第07讲二项式定理（原卷版）

第07讲：二项式定理题型一：展开式的应用1．（2023·江苏南通·二模）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为（）A．60 B．80 C． D．2．（2023·湖北·统考模拟预测）一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为n，则二项式展开式的常数项为（

）A． B．60 C．120 D．2403．（2023·全国·高三专题练习）若二项式的展开式中只有第7项的二项式系数最大，若展开式的有理项中第项的系数最大，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8题型二：二项式系数4．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（

）A．32 B． C．16 D．5．（2023·重庆·统考二模）已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）在二项式（x﹣2y）6的展开式中，设二项式系数和为A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为C，则＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．题型三：三项的展开式的系数问题7．（2023·浙江嘉兴·统考二模）的展开式中的系数为（

）A．60 B．240 C．360 D．7208．（2023·全国·模拟预测）已知的展开式中的所有项的系数和为512，则展开式中含项的系数为（

）A．－36 B．－18 C．18 D．369．（2022·安徽宣城·统考二模）的展开式中常数项为（

）A． B． C． D．题型四：两个二项式展开式相乘问题10．（2023·内蒙古包头·二模）的展开式中的系数为（

）A． B． C． D．11．（2023·全国·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．12．（2023·江西赣州·统考一模）已知，则（

）A．40 B．8 C． D．题型五：二项式系数的参数问题13．（2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中的常数项为（

）A．−32 B．32 C．−64 D．6414．（2023·上海·高三专题练习）设，若则非零实数a的值为（

）A．2 B．0 C．1 D．115．（2021·全国·模拟预测）若的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为（

）A．10 B．20 C．30 D．40题型六：二项式定理的应用16．（2023·湖南怀化·统考二模）若，则被8整除的余数为（

）A．4 B．5 C．6 D．717．（2022·全国·高三专题练习）设，且，若能被13整除，则（

）A．0 B．1 C．11 D．1218．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作，比如：.已知，满足，则p可以是（

）A．23 B．31 C．32 D．19题型七：赋值法的应用19．（2023·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）设，则（

）A． B． C． D．20．（2023·高三课时练习）设，则下列结论中错误的是（

）.A．B．C．，，，…，中最大的是D．当x=999时，除以2000的余数是121．（2023·高三课时练习）若，x∈R，则的值为（

）.A． B． C． D．题型八：不等式法求系数最值问题22．（2022·全国·高三专题练习）若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．23．（2023·全国·模拟预测）已知，写出满足条件①②的一个n的值______．①，；②，，1，2，…，n．24．（2022·浙江·高三专题练习）已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则该展开式中系数最大的项为_________．题型九：二项式定理的综合问题25．（2022·浙江·高三专题练习）已知数列，满足，设数列，的前n项和分别为，，且对任意的．(1)证明：是等差数列；(2)记，证明：．26．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）记为数列的前项和，已知.(1)求的通项公式；(2)令，记数列的前项和为，试求除以3的余数.27．（2022·全国·高三专题练习）已知.（1）求的值；（2）求的值.高考达标一、单选题28．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）的展开式中的系数为（

）A．9 B．10 C．24 D．2529．（2023春·天津南开·高二天津四十三中校考期中）在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（

）A． B． C． D．30．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知的展开式中含的项的系数为24，则展开式中含项的系数的最小值为（

）A．83 B．90 C．96 D．10031．（2022·全国·模拟预测）在的展开式中，含的项的系数为（

）A． B． C． D．32．（2023·北京·高三专题练习）若，则（

）A． B．1 C．15 D．1633．（2023·全国·模拟预测）已知的展开式中含有常数项，则的值及展开式中的常数项分别为（

）A．3， B．4， C．3， D．4，34．（2023春·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.；若杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，15，…构成数列，则关于数列叙述正确的是（

）A． B．C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为35．（2023·陕西安康·统考二模）已知，则的值为（

）A．0 B． C． D．36．（2023春·江苏南京·高二南京市第二十九中学校考阶段练习）已知展开式中x的系数为q，空间有q个点，其中任何四点不共面，这q个点可以确定的直线条数为m，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p，则（

）A．2022 B．2023 C．40 D．5037．（2021·天津静海·静海一中校考三模）已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为，若，则等于（

）A． B． C． D．二、多选题38．（2023·全国·校联考三模）若在中，，则（

）A． B．C． D．39．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的三角数阵，其中第m行（从上到下），第n列（从左到右）的数表示为，且，当时，有，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．40．（2022·全国·模拟预测）在的展开式中，下列命题正确的是（

）A．系数最大的项的系数为8 B．所有项的系数和为64C．含的项的系数为12 D．有理项共有4项41．（2023春·山西晋中·高二校考阶段练习），若，则下列结论正确的有（

）A． B．C． D．的展开式中第1012项的系数最大三、填空题42．（2023·安徽淮南·统考二模）已知二项式的常数项为，则______________.43．（2023·河南周口·统考模拟预测）若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为______.44．（2023·陕西西安·校联考一模）设m为正整数，展开式中二项式系数的最大值为a，展开式中二项式系数的最大值为b，若，则展开式中的常数项为__________．45．（2023·广西南宁·统考二模）已知当时，有，若对任意的都有，则______.46．（2023·江西·校联考模拟预测）已知，则__________.四、解答题47．（2021·全国·模拟预测）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为22”.问题：已知二项式，若___________(填写条件前的序号)，（1）求展开式中系数最大的项；（2）求中含项的系数.48．（2006·江西·高考真题）已知各项均为正数的数列满足：，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，求