二次函数-2023年中考数学一轮复习

专题09二次函数

区命理趋势

二次函数是初中数学的重要内容之一，也是历年中考的重点。这部分知识命题形式比较灵活，既有

填空题、选择题，又有解答题，而且常与方程、几何、锐角的三角比在一起，显现在解答题中。因此，熟

练把握二次函数的相关知识，会灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式是解决综合应用题

的基础和关键。

在知巧导图

二次函数二次函数的

的定义图像及性质

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二次函数解

析式的求法

‘，音的,

实际应用

一、二次函数的概念

概念：一般地，形如y=a/+bx+c(a,b,c是常数，a40)的函数，叫做二次函数。

注意：二次项系数aK0,而6,c可以为零.

二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：

(1)等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，X的最高次数是2.

⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.

用待定系数法求二次函数的解析式：

(1)一般式：y=a/+bx+c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：y=a(x-/?)?+匕已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标再、x2,通常选用交点式：y=a(x-x^x-x2).

一、单选题

1.下列函数中，是二次函数的是(

2

y=x+2

A.B.1J

C.y=(2x-l)2-4x2D.y—2-3x2

【答案】D

【分析】根据二次函数的定义逐一判断即可.

【解析】解：A、＞=x+2未知数的最高次不是2,不是二次函数，不符合题意;

B、＞=彳未知数的最高次不是2,不是二次函数，不符合题意；

X

C、y=(2x-l『-4/=4/-4x+l-=-4x+l未知数的最高次不是2,不是二次函数，不符合题意;

D、＞=2-3%2是二次函数，符合题意;

故选D.

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如了="2+6尤+。(。/0)的函数叫做二次函数.

2.下列各点中，在二次函数了=x?-8x-9图象上的点是(

A.(―1,—16)B.(1,—16)C.3,—8)D.(3,24)

【答案】B

【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可.

【解析】A.y=l+8-9=0'-16,选项错误，不符合题意；

B.7=1-8-9=-16=-16,选项正确，符合题意；

C.»=9+24-9=24]-8,选项错误，不符合题意；

D.y=9-24-9=-24l24,选项错误，不符合题意.

故选：B.

【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证.

3.若函数y=("L3)，T+5是关于X的二次函数，则加=()

A.-3B.3C.3或-3D.2

【答案】A

【分析】根据二次函数的定义进行求解即可.

【解析】解：：函数尸("-3”5+5是关于苫的二次函数，

.JH-1=2

［加-3wO'

冽=—3,

故选A.

【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如>=依2+瓜+4470）的函数是二次函数是解题的关键.

4.已知抛物线了=-f+6x+4经过（-2,-4）和（4,〃）两点，则"的值为（）

A.-2B.-4C.2D.4

【答案】B

【分析】将（-2,-4）代入解析式，求出b值，再将（4,〃）代入解析式，求出"值即可.

【解析】解：将（-2,-4）代入函数解析式，得：_4=-（-2『+（-2）6+4,

解得：b=2,

••——x~+2x+4,

当x=4时，y=-42+2x4+4=4,即：n=—4■

故选：B.

【点睛】本题考查求二次函数的函数值.解题的关键的是利用待定系数法，正确的求出二次函数解析式.

5.已知二次函数的图象经过（TO）,（2,0）,（0,2）三点，则该函数的解析式为（）

A.y=—x?+x+2B.y-+x—2C.y=x2+3x+2D.y——x~—x+2

【答案】A

【分析】根据二次函数图象经过三点，可以设二次函数一般式求出解析式

【解析】解：设yuaf+fcr+c,

把（-1,0）,（2,0）,（0,2）分别代入户办2+加+6得

a-b+c=Q

<4a+26+c=0,

c=2

解得a=-l,b=l,c=2,

该函数的解析式是：y=-x2+x+2,

故选：A

【点睛】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征，掌握用二次函数

一般式求出解析式是解题关键.

6.将抛物线y=（x-l）2+2沿〉轴折叠后得到的新抛物线的解析式为（）

A.y=（x+l/_2B.了=（尤-1）2_2C.y=-（x-1）2-2D.y=（x+1）"+2

【答案】D

【分析】关于了轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此解答即可.

【解析】解：根据题意，得

翻折后抛物线的解析式的解析式为：y=（-x-l）2+2.

即y=（x+1）2+2.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换.总结：关于X轴对称的两点横坐标相同，纵坐标坐标互为

相反数.关于了轴对称的两点纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数.关于原点对称的两点横、纵坐标均互

为相反数.

7.小宇利用描点法画二次函数＞="2+乐+°（。*0）的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数

值y,如下表所示：

X01234

y40-103

接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A.x=4,y=3

B.x=3,y=0C.x=2,y=-lD.x=0,y=4

【答案】D

【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线丈=2,则顶点坐标为（2,-1）,再利用待

定系数法求出二次函数解析式，进行验证.

【解析】；x=l和尤=3时，y=0；

.♦.抛物线的对称轴为直线x=2,

顶点坐标为（2,-1）,

设抛物线为y=a（x-2）2-1,

把x=l,y=0代入得0=a-l,

••67—1,

该二次函数解析式为y=（尤-2『-1,

当x=0时，＞=22-1=3x4,

x=0,y=4错误.

故选：D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象，找出图表数据特点，根据函数的对称性解答即可，注意进行验证，

以确保判定的正确性.

8.二次函数y=af+6x+c（a,b,c为常数，且0w0）中的x与y的部分对应值如表，下列选项正确的是

X......-20134......

y......6-4-6-4m......

A.m=6B.这个函数的图像与X轴无交点

C.二次函数>=62+历；+0有最小值_6D.当x<l,y的值随x值得增大而减小

【答案】D

【分析】根据表格数据求出二次函数的表达式，从而根据二次函数的性质判断各选项.

【解析】解：：根据二次函数的x与y的部分对应值图，

当x=-2时，y=6,当无=0时，y=-4,当尤=1时，y=-6,

6=4a-2b+cftz=1

<-4=c,解得：<b=—3，

-6=a+b+cc=-4

••y=x2—3x—4,

令x=4,贝［|加=歹=42—3x4—4=0,故A错误；

V(-3)2-4xlx(-4)=25>0,

这个函数的图像与x轴有两个交点，故B错误；

函数有最小值为4xlx(一4)一(一3)=一生,故c错误，

4x14

-33

•.•抛物线的对称轴为直线x=开口向上，

2x12

3

当X<；,y的值随x值得增大而减小，

即当尤<1,y的值随x值得增大而减小，故D正确，

故选D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不

等式，有一定难度.熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

二、填空题

9.已知关于x的二次函数了=(加-1)尤2-X+/-1的图象经过原点，则/的值为.

【答案】-1

【分析】根据函数图象经过原点，把(0,0)代入函数表达式，即可求出机的值，再根据二次函数的定义，排

除不符合题意的加的值即可.

【解析】解：把(0,0)代入了=(加-l)x2-x+疗一1得：o=m2-l,

解得:叼=1,加2=T，

*.*j^=（m-l）x2—x+加之—1为二次函数，

丁・加一1w0,即加w1,

・・in——1,

故答案为：-1.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的定义，图象经过原点时x=0,y=0,

是本题的关键.

10.写出一个开口向上，且与y轴的负半轴相交的抛物线的解析式：.

【答案】了=£-1（答案不唯一）

【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式满足。＞0,c＜0即可.

【解析】解：开口向下，并且与y轴交点在〉轴负半轴的抛物线的表达式可以是y=

故答案为：y=f-l（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质.本题属于开放性试题，答案

不唯一.

11.函数y=（左+l）/"-2x的图象是抛物线，则左的值是.

【答案】1

【分析】根据二次函数的定义即可求解.

【解析】解：：函数y=（左+l）/M-2x的图象是抛物线，

・,・左+lw0,左？+1=2,

解得：左。一1,左=±1.

：・k=1.

故答案为：1.

【点睛】题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如歹="2+法+0（。。0）的函数关系，称为y关于％的

二次函数，其图象为抛物线是解题的关键.

12.已知函数＞=（"1）””+2尤-1为二次函数，则上的值为.

【答案】-1

【分析】根据二次函数的定义，即可得到答案.

【解析】解：依题意，得

咽+1=2

[k-1^0

解得k=-1

故答案为-1

【点睛】本题考查的是二次函数的定义，正确把握二次函数次数与系数的值是解题关键.

13.已知抛物线了=/+蛆+〃的图象经过(-3,0),(1,0),则此抛物线的顶点坐标是

【答案】(-1，-4)

【分析】利用待定系数法求解析式，再将其化为顶点式，即可求解.

【解析】：抛物线了=/+必+〃的图象经过(-3,0),(1,0),

9-3m+H=0

1+加+几=0

m=2

解得:

〃=—3

y—%2+2x—3=(x+1)2—4,

・・・抛物线的顶点坐标为(-1，-4)

故答案为：(-1，-4)

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式是解

题的关键.

诬重声考向

二、二次函数的图像与性质

1.二次函数的图象：二次函数了=。/十法+。的图象是对称轴平行于了轴的一条抛物线

抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

①a决定抛物线的开口方向：

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；时相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于歹轴(或重合)的直线记作x=h.特别地，y轴记作直线x=0.

③顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、

开口大小完全相同，只是顶点的位置不同

求抛物线的顶点、对称轴：

,(bY4ac-b2b4ac—beh

y=ax~2+bx+c=a\x-\H-------------.••顶点坐标(-二，)对称轴是直线x=2

"2a)4a2a4a2a

2.二次函数的性质

二次函数j=M+bx+c的性质对应在它的图象上，有如下性质:

二次函数的图象及性质

y=ax2y=ax2y=a[x+m)y-a(x+c)2y=ax2

抛物线+c+c+Z?x+c

4ac-b2

+------------

4a

开口方向当Q>0时开口向上，并向上无|浪延伸；

当QV0时开口向下，并无限向下延伸。

顶点坐标(0,0)(0,c)(加，0)(m,k)

b4ac-b2

(-,)

2a4a

对称轴y轴了轴直线x=m直线x=m直线x=-2

2a

A=0时万)时X=m时X=m时

bb2

a>0X=-‘时，Ymin=4ac-一

仆04in~C4m=04in=C2a4a

最

值A=0时x=o时X=m时X=m时

bb2

a<0X=-‘时，Ymin=4ac-一

Yc

Lm=0mm=Lm=0Lin=。2a4a

在对称轴左侧，y随x的增大而减小

a>0

增在对称轴右侧，了随X的增大而增大

减

性在对称轴左侧，y随x的增大而增大

a<0

在对称轴右侧，了随X的增大而增大

3.二次函数产+外代(。邦)的系数。，b,c,△与抛物线的关系

aa决定开口方向：当a>0时开口向上，a<0时开口向下。

a、b同时决定对称轴位置：a、b同号时对称轴在y轴左侧

a,ba、6异号时对称轴在y轴右侧

6=0时对称轴是了轴

c决定抛物线与j轴的交点：c>0时抛物线交y轴的正半轴

cc=0时抛物线过原点

c<0时抛物线交了轴的负半轴

△决定抛物线与X轴的交点：时抛物线与X轴有两个交点

△△=0时抛物线与x轴有一个交点

△<0时抛物线与x轴没有交点

典例引顺

1—._______________I

一、单选题

1.将抛物线夕=4-(x+1)2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线必定经过点()

A.(-2,2)B.(-1,1)C.(0,6)D.(1,-3)

【答案】B

【分析】由题意可确定平移后的抛物线的函数解析式，再逐一判断即可.

【解析】抛物线y=4-G+1)2的顶点坐标为(T,4),抛物线y=4-(x+1)2向右平移1个单位，再向下

平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标为(0,2),则平移后的抛物线解析式为了=-公+2；

当x=-2时，y=-(-2)2+2=-2,即点(-2,2)不在抛物线了=一，+2上；

当x=T时，y=-(-l)2+2=l,即点(-1,1)在抛物线>=一/+2上；

当x=0时，y=-02+2=2,即点(0,6)不在抛物线y=-―+2上；

当x=l时，y=-l2+2=l,即点(1,3)不在抛物线了=-，+2上；

故选：B

【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、点与函数图象的关系，二次函数图象的平移关键是抓住抛物线

顶点的平移.

2.抛物线y=x2+x+2,点(2,a),(-1,b),(3,c),则a、b、c的大小关系是()

A.c>a>bB.b>a>c

C.a>b>cD.无法比较大小

【答案】A

【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-1,然后比较三个点都直线x=的远近

22

得到。、b、。的大小关系.

【解析】解：•••二次函数的解析式为歹=x2+x+2=(x+f2+\,

，抛物线的对称轴为直线x=-1,

2

(2,a)>(T,b),(3,c),

二点(3,c)离直线x=最远，(-1力)离直线尤=-1最近，

22

而抛物线开口向上，

:.c>a>b•,

故选：A.

【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解

析式.

3.若二次函数了=-/+2履+3的图象与x轴交点个数为()

A.0B.1C.2D.以上都不对

【答案】C

【分析】根据一元二次方程的判别式A>0,即可得出结论.

【解析】,二次函数y=--+2履+3,

AA=Z>2-4ac=(2?l)2-4x(-l)x3=4^2+12,

k->Q,

，4万2+12>0,即A>0,

...二次函数了=-，+2丘+3的图象与x轴交点个数为2个，

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数判别式，进行判断二次函数图象与x轴交点个数，正确掌握方法是解题的关键.

4.下列关于二次函数了=4（x-3『-5的说法，正确的是（）

A.对称轴是直线x=-3B.当尤=3时有最小值-5

C.顶点坐标是（3,5）D.当x>3时，y随x的增大而减少

【答案】B

【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解析】解：由二次函数7=4（尤-37-5可知对称轴是直线x=3,故选项/错误，不符合题意；

由二次函数了=4（x-3『-5可知开口向上，当x=3时有最小值-5,故选项2正确，符合题意；

由二次函数了=4（x-3『-5可知顶点坐标为（3,5）,故选项C错误，不符合题意；

由二次函数了=4（x-3）2-5可知顶点坐标为（3,5）,对称轴是直线x=3,当x<3时，>随x的增大而减小,

故选项。错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了开口方向，顶点坐标，对称轴以及二次函数的增减性.

5.一次函数尸ax+b与三次函数尸”2+云+0在同一坐标系中的图象可能是（）

【答案】B

【分析】先由一次函数y=ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=tzx2+bx+c的图象相比较看是否一

致.

【解析】解：A,由抛物线可知,a<0,x=—<0,得6>0,由直线可知，a>0,b>Q,故本选项错误；

2a

B.由抛物线可知，a<0,x=—<0,得b<0,由直线可知，6z<0,b<0,故本选项正确；

2a

C.由抛物线可知，a>0,x=—>0,得6<0,由直线可知，6z>0,6>0,故本选项错误；

2a

D.由抛物线可知，Q<0,x=—<0,得b<0,由直线可知，a<0b>0.故本选项错误.

2af

故选：B.

【点睛】本题考查一次函数与二次函数的图象,掌握抛物线和直线的性质,用假设法来搞定这种数形结合

题是一种很好的方法.

6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数了=办2+云+。的图象过点（1,0）……求

证这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，题中的二次函数一定不具有的性质是（）

A.过点（3,0）B.顶点是（2,2）

C.在无轴上截得的线段的长是2D.与V轴的交点是（0,3）

【答案】B

【分析】由题目条件可知该二次函数图象对称轴为02,可求得抛物线与x轴的另一交点，则可判断A、C；

由抛物线顶点的横坐标应为对称轴，即可判断B；把x=0代入可求得尸c,由c的值有可能为3,故可判断

D正确.

【解析】解：由题可知抛物线与x轴的一交点坐标为（1,0）,抛物线对称轴为x=2,

.♦.抛物线与x轴的另一交点坐标为（3,0）,

在x轴上截得的线段长是31=2,

：.N、C正确，不符合题意；

:该二次函数图象对称轴为x=2,

•••顶点横坐标应为2,

；.B一定不正确，符合题意；

把x=0代入可求得尸c,

.•.当c=3时，抛物线与y轴的交点坐标为（0,3）,

；.D有可能正确，不符合题意.

故选B.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质.掌握函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在二次函数的

图象上是解题关键.

7.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，

足球距离地面的高度人（单位：加）与足球被踢出后经过的时间1（单位：s）之间的关系如表：

t01234567

h08141820201814

Q

下列结论：①足球距离地面的最大高度超过20m；②足球飞行路线的对称轴是直线f=2；③点（9,0）在

2

该抛物线上；④足球被踢出5s〜7s时，距离地面的高度逐渐下降.其中正确的结论是（）A.②③

B.①②③C.①②③④D.②③④

【答案】C

【分析】由题意，抛物线经过（0,0）,（9,0）,所以可以假设抛物线的解析式为力=gG-9）,把（1,8）

代入可得.=-1,可得〃=-/+%=-（「4.5）2+20.25,由此即可—判断.

【解析】解：由题意，抛物线的解析式为〃=流（L9）,把（1,8）代入可得。=-1,

：.h=-〃+%=-G-4.5）2+20.25,

足球距离地面的最大高度为20.25m>20/H,故①正确，

二抛物线的对称轴f=4.5,故②正确，

,>=9时，h=0,

...点（9,0）在该抛物线上，故③正确，

,当f=5时，h=20,当f=7时，力=14,

二足球被踢出5s〜7s时，距离地面的高度逐渐下降，故④正确.

...正确的有①②③④，

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数

的性质解答.

8.小明在研究抛物线了=（〃为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（）

A.无论x取何实数，y的值都小于0

B.该抛物线的顶点始终在直线>=&-1上

C.当-l<x<2时，y随x的增大而增大，则〃22

D.该抛物线上有两点/（国,乂），5（X2,J2）,若王<x2，xl+x2<2h,则%>%

【答案】C

【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，判断即可.

【解析】解：A.=+.•.当x=/z时，几^=-"+1，当〃<1时，Vmax=—〃+1>°，故错误；

B.,•・抛物线了=1的顶点坐标为（瓦_〃+1）,当x=〃时，y--h-l^-h+\,故错误；

C.••・抛物线开口向下，当-l<x<2时，y随x的增大而增大，.【〃之？，故正确；

D.••・抛物线上有两点4（玉,必），B（x2,y2）,若王<马，x,+x2<2h,，五受<〃，二点/至|J对称轴的距离

大于点2到对称轴的距离，.,.必<%,故错误.

故选C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的

关键.

9.如图，抛物线y=（x-a）2+〃（a>0）与歹轴交于点8,直线了=经过抛物线顶点。，过点8作24〃x

轴，与抛物线交于点C,与直线交于点力,若点。恰为线段中点，则线段04长度为（）

A.V26B.3百C.—D.

33

【答案】D

【分析】先根据抛物线顶点为（。,万），直线经过抛物线顶点。，求出/、B、C三点的坐标，再根据

点/在直线>=；尤上建立关于。的方程，求出。值，最后求得。/长度.

【解析】•••抛物线顶点为（。,〃），直线经过抛物线顶点。,

:.h=-a,

3

/.y—(x-Q)2+—

1

8(0,a7+—a)

又・••点。恰为线段ZB中点

2121

二.C(2Q,4+,4(4〃,Q+—tz)；

又,••点4在直线上,

211yl

..QH—a=—x4Q,

33

确牟得：。=1或。=0(舍去);

【点睛】本题考查二次函数、正比例函数的性质，解决本题的关键是熟练应用各性质.

10.如图，二次函数y=ox2+bx+c的图像与x轴交于点/（-1,0）,与夕轴的交点8在（0,2）与（0,

3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2,下列结论：①abc<0；®9a+3b+c>0；③若点可\,%],

〈一2;⑤C—3a>0,其中正确结论有（）

5

D.5个

【答案】C

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点（1,0）

及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得尸3时歹>0,进而判断②，根据N两点与

抛物线对称轴的距离判断③，由抛物线对称轴可得b=4a,再根据x=l时尸0及2<cV3可判断④，根据x=l

时歹>0可判断⑤.

【解析】解：・・•抛物线开口向下，

•••抛物线对称轴为直线x=3>0，

2a

：.b>0.

・・•抛物线与y轴交点在x轴上方，

abc<0,①正确.

•・•抛物线与x轴交点坐标为（1,0）,对称轴为直线x=2,

・••抛物线与x轴另一交点为（5,0）,

当x=3时，y=9a+3b+c>0,②正确.

抛物线开口向下，

22

：.yi<y2,③错误.

••上=2,

2a

b=4a，

x=l时，y=a+4a+c=5Q+C=0，

V2<c<3,

.*.3<5tz<2,

32

解得

・••④正确，

*.*x=l时，y=a+b+c=3a+c>0,

.•・C3Q>0,⑤正确.

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与方程及

不等式的关系.

二、填空题

11.抛物线j二一一工的顶点坐标是.

【答案】（;，9）

24

【分析】直接利用配方法求出二次函数顶点式，进而得出答案.

【解析】解：：y=x27=（x-；）2-；,

抛物线y=/-x的顶点坐标是（；，4）.

故答案为：（；，~）.

24

【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出顶点式是解题关键.

12.已知抛物线y=/-》一1与x轴的一个交点为（如0）,贝！I代数式-3加2+3机+2022的值为.

【答案】2019

【分析】先将点（加，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果.

【解析】解：将（加，0）代入函数解析式得，m2m1=0,

.".m2m=],

3m~+3m+2022

=3+2022

=3+2022

=2019.

故答案为：2019.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（加，0）代入函数

解析式得到有关切的代数式的值.

13.已知二次函数y=（x+机产+2,当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数加的取值范围是.

【答案】加2-2

【分析】根据二次函数顶点式确定对称轴，根据二次函数开口朝上，依题意，可知在对称轴的右侧y的值

随x值的增大而增大，进而求得相的取值范围.

【解析】解：二次函数＞=（x+加）2+2的对称轴为直线x=-加，且开口朝上

•.•当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，

-mW2,

解得机N-2.

故答案为：m^-2.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据解析式求得开口方向和对称轴是解题的关键.

14.将抛物线y=-2（x+3）2+3以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为.

【答案】y=2（x-3）2-3

【分析】求出绕原点旋转180度所得抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出即可.

【解析】解：：抛物线＞=-2（》+3）2+3的顶点为（-3,3）,绕原点旋转180度后变为（3,-3）,且开口相反，

...得到的抛物线解析式为y=2（x-3『-3,

故答案为：y=2（x-3）2-3.

【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的

关键.

15.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线＞=-0.2/+》+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的

【答案】4

【分析】将V=3.05代入>=一0.2，+》+2.25中可求出x,结合图形可知x=4,即可求出0M

【解析】解：当y=3.05时，-0.2x?+x+2.25=3.05,解得：x=l或x=4,

结合图形可知：OH=4m,

故答案为：4

【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值.

16.已知二次函数%=0^+6无与一次函数%=蛆+"(〃"0)的图象相交于点/(-1,6)和8(7,3),如

成立的x的取值范围是

【分析】根据函数图象与两函数的交点坐标，即可求得.

【解析】解：；二次函数必=a/+bx+c(a片0)与一次函数为=F+"(M*0)的图象相交于点和

8(7,3),

由图象可得：使不等式ax2+bx+c<mx+n成立的X的取值范围是-1<X<7,

故答案为：-l<x<7.

【点睛】本题考查了利用两函数的图象和交点求不等式的解集，采用数形结合的思想是解决本题的关键.

17.如图，二次函数了尤+c的图像与x轴相交于点/、B,与y轴相交于点C.过点。作CDLy轴,

交该图像于点。.若3(8,0)、0(6,4),则一SC的面积为.

【答案】20

【分析】由抛物线的对称性及点。，3的坐标可得点/,。的坐标，进而求解.

【解析】解：，点N,3为抛物线与x轴交点，

：.A,8关于抛物线对称轴对称，C,。关于抛物线对称轴对称，

,:D(6,4),

...点C坐标为(0,4),

抛物线对称轴为直线x=3,

由3(8,0)可得点/坐标为(2,0),

：.SAABC=^AB>OC=^X10X4=20,

故答案为：20.

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质.

18.定义:在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”如：3(3,0)、C(-l,3)

都是“整点”.当抛物线了=⑪2-4<«+1与其关于x轴对称抛物线围成的封闭区域内(包括边界)共有9个整

【分析】通过抛物线的解析式可得对称轴为x=2,过点(0,1),对。分情况讨论。>0或"0,分别求解即可.

【解析】解：由了=办2-4办+1可得x=2,过点(0,1),

当a<0时，开口向下，如下图：

此时整点有(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(4,0),(0,1),(1,1),(2,点(3,1),(4,1)…等等,显然超过9个，不符合题意;

此时整数点为（L0），（2，°），（3，。），（DOT）,。-）,（1,1）,（2,1）,（3』）

-2<-3a+l<-l解得2了啖3

-2<-4«+l<-1

故答案为:23

34

【点睛】此题考查了二次函数的新定义问题，涉及了二次函数的性质与一元一次不等式组的求解，解题的

关键是理解题意，并列出不等式组.

三、解答题

19.如图，抛物线芦=4+花+。的图像经过/（4,0）、8（0,-4）两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点A先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点C,请判断点C是否在抛物线上.

【答案】⑴昨X2_3X_4

（2）不在，过程见解析

【分析】（1）把点/（4,0）、8（0,-4）代入了=/+乐+。，利用待定系数法即可得出抛物线的解析式;

（2）根据点的坐标平移规律，先确定点C的坐标，然后将点C的横坐标代入（1）中所得二次函数解析式

进行计算，将所得的函数值与点C的纵坐标比较即可作出判断.

（1）

解：•••抛物线昨下+法+c的图像经过/（4,0）、8（0,-4）两点,

0=16+46+c

c=-4

b=-3

解得:

c=-4

抛物线的解析式为丁=X2-3X-4.

(2)

•.•点44,0）先向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到点C,

C(3,-3),

当x=3时，J=32-3X3-4=-4^-3,

.•.点C不在抛物线上.

【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，点坐标平移的变化

规律•点的坐标平移变化规律：（1）将点左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变；（2）将点向右（或

向上））平移几个单位长度横坐标（或纵坐标）就增加几个单位长度；将点向左（或向下）平移几个单位长

度横坐标（或纵坐标）就减少几个单位长度.理解和掌握点的坐标平移变化规律是解题的关键.

20.如图，直线”=-gx+2与x轴交于点反抛物线内=-gx2+，x+c与该直线交于/、2两点，交了轴于

点。(0,4),顶点为C.

(1)求抛物线的函数解析式，并求出点/的坐标.

(2)求二次函数图像与x轴的交点£的坐标，并结合图像，直接写出当方％40时，x的取值范围.

【答案】(1)点A的坐标(—L"I),"=—；x?+x+4

(2)x<—2或x=4

【分析】(1)根据直线乂=-/x+2与x轴交于点2,可以求得了=0时对应的x的值，从而可以得到点2的

坐标，再根据抛物线%=+bx+c过点。和点B,即可求得该抛物线的解析式，然后与直线乂=-1x+2

联立方程组，即可求得点/的坐标；

(2)根据(1)求得的抛物线解析式，可以求得二次函数图像与x轴的交点£的坐标，然后结合图像，可

以写出当必,%40时，x的取值范围.

(1)

由直线%=—1+2与x轴交于点2,可得点2的坐标为(4,0).

把点2(4,0)与点。(0,4)代入%=—；/+6x+c得

卜8+46+。=0

Ic=4

b=l

解得

c=4'

1

=——X7+X+4,

•・•点4为直线必=-；工+2与抛物线必=-；、+2的交点,

・••解方程一+2--X2+X+4

2

得X=-1,

5

・••点4的坐标(一1,

2

(2)

当%=。时，一；/+尤+4=0,

解得X]=-2,x2—4,

.•.点£的坐标为(2,0),

结合图像，当片为40时，x的取值范围是烂一2或x=4.

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，利用数形结合的思想解答是

解答本题的关键.

21.二次函数了=(优+1)尤2-2(m+l)x-2%+4.

(1)求该二次函数图象的对称轴；

⑵若图象过点4-2,〃)，且一4</<3,求加〃的取值范围；

⑶若点尸(心%),。(2,%)在该二次函数图象上，且必4%,求为的取值范围.

【答案】⑴x=l

(2)-6<mn<90

(3)加>-1时，0V玉V2；机<一1时再40或再22

【分析】(1)根据》=-二计算即可；

(2)将4-2,附)代入二次函数解析式中得〃的表达式，从而得到小〃的表达式，根据二次函数的图象得到加〃

的取值范围；

(3)二次函数的图象分开口向上和开口向下两种情况，分别计算玉的取值范围即可.

【解析】(1)解：对称轴为直线x=

2(m+1)

(2)解：将/(-2,〃)代入二次函数解析式中得：

n=4(m+l)+4(m+D-2m+4=6m+12,

mn=m(6m+12)=6m2+12m=6(m+1)2-6,

・・,二次函数的二次项系数不等于0,

・••加+1w0,

加W一1,

mn>-6；

Vmn=6(m+1)2—6,且一4<加<3,

二.当加=3时，mn=6x(3+1)2-6=90,

mn<90,

综上所述，-6<H〃<90；

(3)当加+1>0时，即用>-1时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x=l,

点0(2,%)关于对称轴x=1的对称点为Q'(O,y2),

%4%，

0<Xj<2；

当机+1<0时，即"7<-1时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线X=l,

点。(2,%)关于对称轴x=1的对称点为,

必4%，

，网40或占22

综上所述，加>-1时，0<^<2；机<一1时占40或再22.

【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数的图象与性质，体现了分类讨论和数形结合的数学思想,

第(3)问进行分类讨论是解题的关键.

22.“燃情冰雪，一起向未来”，北京冬奥会于2022年2月4日如约而至，某商家看准商机，进行冬奥会吉

祥物“冰墩墩”纪念品的销售，每个纪念品进价40元.规定销售单价不低于44元，且不高于60元.销售期

间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，由于销售火爆，商家决定提价销售.经市场调研发

现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.

(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2640元；

(2)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润卬元最大？最大利润是多少元？

【答案】(1)当每个纪念品的销售单价是52元时，商家每天获利2640元

(2)当纪念品的销售单价定为57元时，商家每天销售纪念品获得的利润W最大，最大利润是2890元

【分析】(1)设每件纪念品销售价上涨x元，根据题意列出一元二次方程，解出方程，根据销售单价不高

于60元即可求解.

(2)根据题意列出销售利润w与销售单价x之间的函数关系式，根据函数的增减性即可求解.

【解析】(1)解：设每件纪念品销售价上涨x元，

由题意得：(x+4)(300-1Ox)=2640,

整理得：x2-26x+144=0,即(x-8)(x-18)=0,

解得：x/=8,应=18,

•••销售单价不高于60元，

:・x=8,

答：当每个纪念品的销售单价是5