浙江省2023年中考数学一轮复习：特殊平行四边形 练习题

浙江省2023年中考备考数学一轮复习特殊平行四边形练习题

一、单选题

1.（2022•浙江金华・统考一模）如图，在矩形A8C。中，AB=2,AD=4,E为CO的中点，连结AE并延

长，交BC的延长线于点R点P为BC上一点，当时，则AP的长度为（）

2.（2022•浙江绍兴•模拟预测）如图，矩形纸片A8CZ）中，AD=6,E是上一点，连结AE,△AZJE沿

直线AE翻折后点。落到点R过点尸作FGLA。，垂足为G.若AO=3G。，则。E的值为（）

A.岳B.-C.D.—

253

3.（2022•浙江杭州・统考一模）在四边形ABC。中，两对角线交于点O,若OA=OB=OC=OD,则这个四边

形（）

A.可能不是平行四边形B.一定是菱形

C.一定是正方形D.一定是矩形

4.（2022•浙江绍兴.一模）在AABC中，CO为AB边上的中线，B.OC=-AB,以点。为圆心，0c长为半

2

径画圆，延长CO交。。于点。，连接A。，BD,贝IJ四边形ADBC是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.邻边相等的四边形

5.（2022•浙江杭州•一模）一块含45。角的直角三角板和一把直尺按如图所示方式放置，直尺的一边EP与

直角三角板的斜边A3位于同一直线上，DE>AB.开始时，点E与点A重合，直角三角板固定不动，然后

将直尺沿AB方向平移，直到点尸与点8重合时停止.设直尺平移的距离AE的长为x,边AC和8c被直

尺覆盖部分的总长度为》则y关于尤的函数图象大致是（）

6.（2022.浙江湖州.统考一模）菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是（）

A.5B.20C.24D.32

7.（2022.浙江绍兴.模拟预测）如图，点H,方分别在菱形ABCD的边AD,5c上，点£,G分别在B4,

。。的延长线上，&AE=AH=CG=CF.连结EH,EF,GF,GH,若菱形ABC。和四边形石R汨的

AJ-f

面积相等,则茄的值为（）

A.D.------D.1

2-2

8.（2022・浙江绍兴•统考中考真题）如图,在平行四边形A3CD中，AD=2AB=2,ZABC=60°,E,F是

对角线上的动点，且BE=DF,M,N分别是边AD,边3c上的动点.下列四种说法：①存在无数

个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形

MENF.其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2022•浙江嘉兴.统考中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，

寓意是同心吉祥.如图，将边长为2cm的正方形A8CO沿对角线8。方向平移1cm得到正方形,

形成一个“方胜”图案，则点。，B之间的距离为（）

C.(应一l)cmD.(272—l)cm

10.（2022•浙江温州・统考一模）如图，在AABC中，/A4C=90。，以BC为边向上作正方形BC£）E,以AC

为边作正方形AC/G,点。落在GP上，连结AE,EG.若。G=2,BC=6,贝必AEG的面积为（）

C.572D.8

11.（2022•浙江宁波・统考二模）如图，以MAABC的各边为边分别向外作正方形，N54c=90。，连接。G,

点H为DG的中点，连接HB,HN,若要求出的面积，只需知道（）

A.AABC的面积B.正方形ADEB的面积

C.正方形ACFG的面积D.正方形3MWC的面积

12.（2022•浙江湖州•统考一模）现由边长为2近的正方形ABC。制作的一副如图1所示的七巧板，将这副

七巧板在矩形EFGH内拼成如图2所示的“老虎”造型，则矩形EFGH与“老虎”的面积之比为（）

二、填空题

13.（2022•浙江宁波•模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=2,点E是AD的中点，点尸是对角线8。上

一动点，ZADB=3O°,连结E尸，作点。关于直线所的对称点P,直线PE交3。于点2,当9EQ是直

角三角形时，OF的长为—.

14.（2022•浙江衢州•统考模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O,AC=10,P、Q分

别为AO、AD的中点，则PQ的的长度为.

15.（2022•浙江杭州•模拟预测）如图，点E是矩形ABC。的边的中点，点P是边上的动点，沿直

线PE将AAPE对折，点A落在点尸处.已知AB=6,AD=4,连结CRCE,当ACEP恰为直角三角形时，

AP的长度等于.

16.（2022•浙江台州•统考中考真题）如图，AA8C的边BC长为4cm.将AABC平移2cm得到AA®。，且

BB'IBC,则阴影部分的面积为cm2.

17.（2022•浙江台州・统考一模）如图，等腰直角三角形ABC,/ACB=90。，点D、E分别是A3、BC上

的点，S.DC=DE,AD=BE=yfi，则图中阴影部分的面积为.

18.（2022•浙江温州・统考模拟预测）如图，在菱形ABC。中，DEJ.AB,DFVBC,垂足分别为点E,

F.若NADE+NCD尸=80。，则/EOF等于______度.

19.（2022•浙江金华・一模）如图，RtAABC中，ZC=90°,ZA=60°,AC=1,点。为边A8上一个动点，将

△COB沿C。翻折，得到ACD?（其中C,D,B,A在同一平面内），AADB'=30°,则AD=.

A

B

三、解答题

20.（2022•浙江温州・统考模拟预测）如图，矩形A2CD的对角线AC、8。相交于点。，若48=40.求

的度数.

21.（2022.浙江衢州.统考中考真题）如图，在4x4的方格纸中，点A,2在格点上.请按要求画出格点线

段（线段的端点在格点上），并写出结论.

图1图2

（1）在图1中画一条线段垂直A3.

（2）在图2中画一条线段平分A3.

22.（2022•浙江舟山・统考一模）如图1,在矩形ABC。中，尸是BC上的点，/ABP沿A尸折叠B点的对应

点是M点，延长交直线于点E.

图1图2

图3

⑴求证：EA=EP

(2)如图2,。是上的点，QD=BP；/CD0沿CQ折叠。点的对应点是N点，且尸、M.N、。在同一

直线上.

①若A8=4,AD=8；求BP的长.

②若M、N互相重合；求嘿的值；(自己画草图)

(3)如图3,。是上的点，QD=BP；/CD。沿C。折叠。点的对应点是N点，若A3=4,MN的最小值

是1；求的长.

23.(2022•浙江台州•统考一模)如图，在矩形ABCZ)中，。是对角线AC的中点，过点。作跖1AC分别

交"),3C于点瓦产.

(1)求证：AAOE^ACOF；

(2)^AB=8,BC=16,求CF的长.

24.(2022•浙江丽水•统考中考真题)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点8与点。重合，点A落在点P

处，折痕为

(1)求证：APDEWACDF；

(2)若CD=4cm,E尸=5cm,求BC的长.

25.(2022•浙江宁波・统考二模)如图1是由边长为1的正方形构成的6x5的网格图，四边形ABCD的顶点

(图2)

⑴求四边形A8C。的对角线AC的长；

(2)命题“对角线相等的四边形一定是矩形”是真命题还是假命题？如果是假命题，请在图2中画一个顶点都

是格点的四边形说明；如果是真命题，请进行证明.

26.(2022•浙江金华・统考一模)如图1,在平面直角坐标系中，点4点2分别是x轴、y轴正半轴上的点，

以。4、为边构造矩形。4c艮点E为OA上一点，满足8£=BC.过点C作垂足为点尸.已

图1图2

(1)求证：CA=CF.

(2)如图2,连结CE,当NBCP=2NECP时，求AE的长.

(3)在(2)的条件下，连结AF,在坐标平面内是否存在一点使得以点M、4、F为顶点的三角形与△CBE

相似？若存在，请求出点〃的坐标；若不存在，请说明理由.

27.(2022•浙江嘉兴•模拟预测)数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动

组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后

把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”如图1,52夕2就是由AABC沿直

线1翻移后得到的.（先翻折，然后再平移）

图3

（1）在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的A与&,B与当…）连线是否被翻移线平

分发生了争议.对此你认为如何？（直接写出你的判断）

（2）如图2,在长方形ABCD中，=8,点E,尸分别是边3C,AD中点，点G在边CO延长线上，联结AE,FG,

如果AGD尸是AABE经过“翻移运动”得到的三角形.请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线。；联

结AG,线段AG和直线。交于点。，若AOG尸的面积为3,求此长方形的边长的长.

⑶如图3,〃是（2）中的长方形边8c上一点，如果BM=1，A4BM先按（2）的“翻移线”直线。翻折，

然后再平移2个单位，得到AA由M一联结线段4vMM、,分别和“翻移线”。交于点K和点a,求四边形

AKHM的面积.

28.（2022.浙江杭州.模拟预测）如图，矩形ABCD的对角线AC,3。相交于点。，过8点作班V/AC,

过C点作CF//BD,防与C尸相交于点歹.

（1）求证：四边形8FCO是菱形；

2

（2）连接OF、DF,若AB=2,tanZOFD=-,求AC的长.

AD

29.（2022•浙江杭州•模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AB=AD,对角线AC、3。交于。,

（1）求证：四边形ABCD是菱形;

（2）过点C作CE1AB交45的延长线于点E,连接OE,若AB=3括，BD=6,求OE的长.

30.（2022•浙江嘉兴.统考中考真题）小惠自编一题：“如图，在四边形A8CD中，对角线AC,8。交于点

O,ACLBD,OB=OD.求证：四边形A8CO是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流.

小惠：

证明："JACLBD,OB=OD,小洁：

...AC垂直平分2D这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才

：.AB=ADfCB=CD,能证明.

四边形ABC。是菱形.

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打7”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明.

31.（2022.浙江舟山・中考真题）小惠自编一题：“如图，在四边形ABC。中，对角线AC,BD交于点0,

AC1BD,OB=OD,求证：四边形ABC。是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流.

小惠：小洁：

证明：VAC1BD,OB=0D,这个题目还缺少条件，需要

，NC垂直平分6Z).补充一个条件才能证明.

AB=AD,CB-CD,

二四边形/BCD是菱形.

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“小；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明.

32.(2022.浙江丽水.模拟预测)如图1,矩形0ABe的顶点A、C分别在无轴，y轴的正半轴，若点B(a,

b),且a,b满足庐i+后-12万+36=0,若点。为矩形。的对角线AC的中点，过点。作AC的垂线

分别交BC,。4于点E,F.

(1)求点8的坐标.

(2)求线段跖的长度.

(3)如图2,连接OD,直线EF交y轴于点G,若点尸为射线GE上的点，在平面直角坐标系中，是否存在

点。，使得以为边，点O,D,P,。为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点P,。的坐标，若不

存在，请说明理由.

33.(2022•浙江温州・一模)图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,AABC为格点三角形.请

仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法

(1)在图①中，画出△ABC中AB边上的中线CM；

(2)在图②中，画出A4BC中AC边上的高BN,并直接写出△ABC的面积.

34.(2022.浙江湖州•统考一模)如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点(不与点A、B重合)，

连接DE,点A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHLDE

交DG的延长线于点H,连接BH.

(1)求证：GF=GC；

(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明.

35.(2022•浙江湖州•统考一模)如图1,正方形A3CD中，AC为对角线，点尸在线段AC上运动，以尸尸

为边向右作正方形DPFE,连接CE；

(1)则AP与CE的数量关系是,AP与CE的夹角度数为；

(2)点尸在线段AC及其延长线上运动时，探究线段。C,PC和CE三者之间的数量关系，并说明理由；

(3)当点尸在对角线AC的延长线上时，连接AE,若AB=2友,AE=2可，求四边形DCPE的面积.

36.(2022・浙江绍兴・统考一模)如图，在正方形A8CD中，E是边上一点(不与。点重合)，F是CB

延长线上一点，且DE=BF,连结AE,AF.

图1图2图3

(1)如图1,求证：AADE^AABF.

⑵把NAOE沿AE所在直线折叠后得到△AGE,连结FG,BE.

①如图2,若CD=3,DE=\,求线段R7的长；

②如图3,若E是0c延长线上一点，延长GB交AE于点Q,连结。Q.若DE=2DC,请用等式表示线段

BQ,DQ,BG之间的数量关系，并证明.

参考答案:

1.B

【分析】根据矩形的性质结合等角对等边，进而得出B的长，再利用勾股定理得出A尸的长.

【详解】'：AD//BC,

：・NDAE=NF,

：.ZPAE=ZF,

：.PA=PF,

在△ADE1和△尸CE中

ZDAE=ZF

</ADE=/FCE,

DE=EC

：.AADE^AFCE(A4S)

：.CF=AD=4,

设CP=x,PA=PF=x+^,BP=4-x,

在直角△AB尸中，

22+(4-x)2=(x+4)2,

解得:",

4

17

•••AP的长为：v-

4

故选：B.

【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出FC的长是解题关键.

2.C

【分析】过点E作EHLFG,交FG于点、H.由翻折的性质得出AF=AO=6,DE=EF.根据题意即可求

出GD=2,从而可求出AG.再根据勾股定理即可求出尸G的长.又易证四边形GHED为矩形，即可得出

GH—DE,HE—GD—2.设DE=x,则GH=EP=x,HF—2s/5-x,最后根据勾股定理即可列出关于x的

等式，解出x,即得出DE的长.

【详解】解：如图，过点E作EHL尸G,交FG于点、H,

由翻折可知AF=AO=6,DE=EF.

'：AD=6,AD=3GD,

：.GD=2.

.•.AG=A£HDG=6-2=4.

'：FG.LAD,

；•FG=\lAF2-AG2=25/5•

:四边形ABC。是矩形，

：.ZD=90°.

"：FG±AD,EH±FG,

四边形GHED为矩形.

：.GH=DE,HE=GD=2.

设Z)E=尤，贝U尤，HF=2后-x,

在Rt4HEF中，HF2+HE2=EF2，

•*.(2A/5-X)2+22=x2.

解得：尤=述.

5

.n„_6V5

5

故选：C.

【点睛】本题考查矩形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理.利用数形结合的思想是解题关键.

3.D

【分析】根据OA=OC,OB=OD,判断四边形ABCD是平行四边形.然后根据AC=BD,判定四边形ABCD

是矩形.

【详解】解：这个四边形是矩形，理由如下：

AD

.••四边形ABCD是平行四边形，

又：OA=OC=OD=OB,

；.AC=BD,

四边形ABCD是矩形.

故选D.

【点睛】本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键.

4.B

【分析】根据题意画出图形,根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可得四边形AC8。是平行四边形,

然后证明AB=CD,再根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形AD8C为矩形.

•..延长CO交。。于点。，

：.DO=CO,

：CO为AB边上的中线，

：.AO=BO,

/.四边形ACBD是平行四边形，

,/OC=-AB,

2

J.AB^CD,

四边形为矩形，

故选8.

【点睛】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握对角线相等的平行四边形是矩形.

5.A

【分析】根据直尺的平移可知，共分三个阶段，利用等腰直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：根据直尺的平移可知，共分三个阶段，分别如下图所示：

如图①，设。E、GF与AC的交点分别为M、P,

作由此可得四边形MARE为矩形，

贝！]MV=EF,/CMN=ZA=45。,

则Z^MNP为等腰直角三角形

由勾股定理可得：MP=yjMN2+NP2=y[2MN=y[2EF

即y=-J1MN=y/2EF,

如图②，设OE与AC的交点分别为M,GP与8C的交点为点

作MNJLGR,延长MC交G尸于点尸，

由此可得，四边形初VFE为矩形，

则建V=£F,ZCMN=ZA=45°,

则或1数？、AC尸。为等腰直角三角形，

贝1JCP=C。，MP=yjMN2+NP2=41MN=V2EF

所以，y=MC+CQ=MP=6MN=0EF

如图③，由图①可得y=0KH=J1E/，

即y不随x的变化，不变，

故选：A.

【点睛】此题考查了动点问题的函数图像，涉及了勾股定理、矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定

与性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解.

6.B

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再

根据菱形的四条边相等求出周长即可.

11

【详解】解：如图所示，根据题意得AO=：x8=4,BO=：x6=3,

22

•..四边形ABCD是菱形，

；.AB=BC=CD=DA,AC±BD,

.,.△AOB是直角三角形，

AB=^ACP+BCP=J16+9=5，

.••此菱形的周长为：5x4=20.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握

菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

7.D

【分析】根据题意先证四边形EFGH是平行四边形，由平行四边形的性质求出EH〃AC,进而由面积关系

进行分析即可求解.

【详解】解：连接"C、AF.HF、AC,HF交AC于O,连接EG.

二,四边形ABCD是菱形，

ZD=ZB,AB=CD=AD=BC,

\'AE=AH=CG=CF,

:.DH=BF,BE=DG,

在4BFE^,

DH=BF

<AD=AB,

BE=DG

:.△DHG卷△BFE,

：.HG=EF,ZDHG=ZBFE,

'：BC//AD,

ZBFE=ZDKF,

：./DHG=/DKG,

：.HG//EF,

・・・四边形跖GH是平行四边形.

•；AH=CF,AH//CF,

・•・四边形AHCF是平行四边形,

・・・AC与〃尸互相平分，

•・•四边形EFGH是平行四边形，

・・・H/与EG互相平分，

：・HF、AC.EG互相平分，相交于点0,

9

：AE=AH9DA=DC,BE//DC,

：.NEAH=ND,

：.ZAEH=ZAHE=ZDAC=ZDCA,

J.EH//AC,

：.SAAEH=SAEHO=SAAHO=ISAAHC=-S四边形EFGH=-S四边形ABCD,

244

SAAHC=3S四边形ABCD=SAADC,

：.AD=AH,

.41.

AD

故选：D.

【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性

质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，证明由〃AC是解题的关

键.

8.C

【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可.

【详解】

如图，连接AC、与8。交于点。，连接ME,MF,NF,EN,MN,

•..四边形ABC。是平行四边形

OA=OC,OB=OD

■:BE=DF

：.OE=OF

:点E、/时8。上的点，

只要N过点0,

那么四边形MEN尸就是平行四边形

.♦.存在无数个平行四边形MENR故①正确；

只要MN=EF,MN过点、0,则四边形MEN/是矩形，

:点£、尸是BD上的动点，

，存在无数个矩形MENF,故②正确；

只要MNLEF,MN过点。，则四边形MENF是菱形；

；点、E、尸是8。上的动点，

...存在无数个菱形MENF,故③正确；

只要MN二EF,MNLEF,MN过点、O,

则四边形MEN尸是正方形，

而符合要求的正方形只有一个，故④错误；

故选：C

【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确

题意，作出合适的辅助线.

9.D

【分析】先求出B。，再根据平移性质求得3B，=lcm,然后由3D-BB'求解即可.

【详解】解：由题意，BD=242cm,

由平移性质得

二点。，夕之间的距离为。9=仍'=(20-1)cm,

故选：D.

【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键.

10.D

【分析】过点E作E7/1,AG于点X,过点E作EH工EK,垂足为E,交FG的延长线于点K,先证明四

边形EHGK是矩形，在证明RfVABC=MVFDC(HL),继而解得/创C+NC4G=180。，证明RA、G三

点同在一条直线上，再证明VEKD三VEHB(A4S),RNEKD中,由勾股定理解得EK的长，证明

VEM=VDFC(A4S)得到屹=/。，最后由三角形面积公式解答.

【详解】解：过点E作石HLAG于点H,过点石作石“，石K,垂足为E,交FG的延长线于点K

/.ZEHB=ZEHG=90°,ZKEH=90°

在正方形BCDE中,BE=DE=BC=CD=6,ZEBC=ZBCD=ZEDC=90°

正方形AC尸G中，AC=FC=AG,ZACF=ZCAG=ZAGF=ZF=90°

/.ZKGH=180°-ZAGF=90°

二.四边形E〃GK是矩形

在RUABC和Rt^FDC中,

QBC=DC,AC=FC

RtVABC=RtVFDC(HL)

/.Z1=Z2

QZ2+Z3=180°-/EDC=90°,Zl+Z4=ZEBC=90°

.*.Z3=Z4

QNB4C+NC4G=180。

•・B、A、G三点同在一条直线上，

••・四边形EHGK是矩形

,\ZK=90°

.\ZK=ZEHB

VEKD与AEHB中

Q/K=NEHB,/3=N4,DE=BE

:NEKDWEHB(AAS)

:.EK=EH

二.四边形EHGK是正方形

设正方形EHGK的边长为了

贝U石长=①/=居=%

RtNEKD,EK2+DK2=EDr

(2DK=DG+KG=2+x

f+(2+x)2=36

=V17-l,x,=-717-1(舍去)

：.DK=2+-/H=+I,EH=yfn

QZ2+Z5=90°,Z2+Z3=90°

,-.Z3=Z5

NEKD与ADFC中

QNK=ZF=90°,Z3=N5,ED=DC

:NEKD=VDFC(A4S)

:.KD=FC

AG=KD=4n+1

SAEG=|AG-EH=1(717+l)(Vr7-l)=1x(17-l)=8

故选：D.

【点睛】本题考查正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考

点，掌握相关知识是解题关键.

11.B

【分析】如图，延长HA交8C于点P,交MN于点Q,可得AD4Gg△BAC,LABNm4EBC,利用全等

三角形的性质以及平行线间的距离相等等性质将阴影部分的面积转化即可.

【详解】解：如图，延长交8C于点P,交MN于点°,连接CE、AN.

由题意可得：AB=AD,NDAG=NBAC,AC=AG,

AADAG^ABAC(SAS),

・・・N2=N4.

由题意可得：BE=AB,ZEBC=ZABN=90°+ZABC,BN=BC

:・△ABN"AEBC(SAS),

,・,点”为。G的中点，ND4G=90。，

AZ1=Z2.

VZl+Z3=90°,

AZ3+Z4=90°,

：.HA±BC,

：.BN//HQ,

••S阴影=S.MN•

△ABNQAEBC,

••,Q、ABN=-s°，EBC・

■:BEIICD,

,•S❷EBC=S今EBA=3S正方形EBAO,

S阴影=/S正方形ER4O,

故选：B.

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用全等三角形以及平行线

间的距离相等等性质，将阴影部分的面积进行转换.

12.D

【分析】如图1,设AC=4a,利用正方形的周长求出小三角形，平行四边形和正方形的边长，再用割补

法求出七巧板的面积和矩形EFGH的面积，即可求解.

【详解】解：如图1,设AC=4a,

正方形的边长AB=BC=CD=AD=2B

：.（4a）2=（2A/2）2+（2V2）2,

如图2,用割补法得到

七巧板拼得的面积为（2+l）x2+lxl+lxl=8,

矩形EFGH的长为1+2+1+1=5,宽为2+1=3,

二矩形EFGH的面积为15,

所以矩形EFGH与“老虎”的面积之比为1.

O

故选：D.

【点睛】本题主要考查勾股定理和正方形的性质，能够求出矩形EFG〃的长和宽是解答关键.

13.1或3或3-百

【分析】根据矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得AD=2百，然后分两种情况讨

论，①当〃QE=90。时，分点尸在矩形内部和矩形外部两种情形求解，②当/DEQ=90°时，过点歹作

EW_LAD于点设则=根据DM=岛，求得。尸的长.

【详解】••・四边形ABCD是矩形，

:.ZBAD=90°,

•.•AB=2,ZADB^30°.

AD=2A/3,

•・•点E是边AO的中点，

DE=yfi，

图2

,・•点E是AD的中点，

­.PE±BD,ZADB^30°.

:.NPED=®。,

由对称可得，EF平分NPED,

:.ZDEF=APEF=3QP,

.〔AZX犷是等腰三角形，

DF=EF,

:PE上BD,ZAZ)fi=30°,DE=5

.〔QE咛，

ZPEF=30。,

:.EF=\,

,\DF=EF=2=1；

如图3,

p

图3

;PE工BD,ZADB=30°.

ZPED=120°,

由对称可得，PF=DF,EP=ED,EF平分/PED,

:.ZDEF=ZPEF=120°,

:.ZEFD=30°,

二.AZ比F是等腰三角形，

;PE上BD,

:.QD=QF=^DF,

・.・PE上BD,NAZ阳=30。.DE=5

.3邛,2D=1,

:.DF=2QD=3.

.•.1卯的长为1或3；

图4

EF平分NPED,

NDEF=45。,

过点歹作出LAD于点M,设£M=a,则KVf=a,DM=瓜,

…x/3a+a=，

:.DF=3-y/3,

综上所述，当ADE。是直角三角形时，。尸的长为1或3或3-百，

故答案为：1或3或3-逝.

【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角

形的性质，综合运用以上知识是解题的关键.

14.2.5

【详解】分析：根据矩形的性质可得AC=BD=10,BO=DO=yBD=5,再根据三角形中位线定理可得PQ=3

DO=2.5.

详解：•..四边形ABCD是矩形，

.\AC=BD=10,BO=DO=1BD,

.*.OD=1BD=5,

:点P、QMAO,AD的中点，

APQ>AAOD的中位线，

.,.PQ=yDO=2.5.

故答案为2.5.

点睛：此题主要考查了矩形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握矩形对角线相等且互相平分.

9、

15.丁或1

4

【分析】分NB£=90。和NCM=90。两种情况根据矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质求解.

【详解】解：①如图，当NC尸石=90。时，

•・•四边形A8CD是矩形，点石是矩形ABC。的边A3的中点，AB=6,AD=4f

：.ZPAE=ZPFE=ZEBC=90°,AE=EF=BE=3,

：.ZPFE+ZCFE=180°f

・・・P、F、。三点一线，

AEFC咨AEBC,

；・FC=BC=4,EC=1¥+不=5,ZFEC=ZBEC,

：.ZPEF+ZFEC=90°,

设AP=x,贝(J尸。=x+4,

A(X+4)2=X2+32+52,

解得广：Q；

4

②如图，当NCEF=90。

：.ZCEB+2ZPEA=90°f

:./CEB+/PEA=90°-ZPEA,

延长尸E、CB,二线交于点G,

■:AE=BE,ZPAE=ZGBE=90°,ZAEP=ZBEG,

:ZAE丝＞GBE,

：.PA=BG,ZAEP=ZBEG,

：./G=900-/GEB=90°-ZPEA,ZCEB+ZPEA=90。-/尸EA,

：.ZG=ZCEB+ZPEA=ZCEB+ZGEB=ZCEG,

：.CE=CBC+BG=BC+AP,

,-.5=4+AP,

解得PA=\,

9

故答案为：7或1.

4

【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定

和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键.

16.8

【分析】根据平移的性质即可求解.

【详解】解：由平移的性质SAABOSAABC,BC=B'C,BC//B'C,

：.四边形夕CCB为平行四边形，

,：BB'上BC,

二四边形"CCB为矩形，

阴影部分的面积=SAAB，C+S矩形B，C，CB-SXABC

=S矩形B，C，CB

=4x2

=8(cm2).

故答案为：8.

【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所

连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等.

17.1+72##A/2+1

【分析】如图，过。作。于尸，过。作。于Q,证明四边形尸CQD是矩形，？A1ADF45?,

证明DP=CQ,"=。。，MAF=DF=1=CQ,可得RS=OQ=1+0,再利用三角形的面积公式进行

计算即可.

【详解】解：如图，过。作OF1AC于E过。作。于Q,

Q?ACB90?,ACBC,

四边形尸CQD是矩形，？A1ADF45?,

\DF=CQ,FC=DQ,

QAD=BE=E

\AF=DF=1=CQ,

QDC=DE,DQ八CE,

\CQ=EQ=1,BC=AC=2+母,

\FC=DQ=l+0,

\S阴影=：CEgDQ=g仓必(1+下)=1+0.

故答案为：1+应

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，

作出合适的辅助线构建矩形与等腰直角三角形是解本题的关键.

18.50

【分析】首先根据菱形的性质得出NA=NGAD=CD,结合垂直的性质进而利用全等三角形的判定证明

AADE^ACDF,证明NADE=NCDb=40。，根据直角三角形两锐角互余得ZA=NC=50。，根据菱形的性

质得NAZ)C=130。，从而可求出NED/.

【详解】解：'：DE±AB,DFLBC

：.ZAED=ZCFD=90°,

•・•四边形ABC。是菱形，

AZA=ZC,AD=CDf

•・•在△人项)和4。尸。中，

ZAED=ZCFD=90°

<ZA=ZC,

AD=CD

：.AAED^ACFD(A4S).

ZADE=ZCDF

:ZAZ)E+ZCDF=80°

JZADE=ZCDF=40°

•・•ZAED=ZCFD=90°

：.ZA=ZC=50°

・・•四边形ABC。是菱形，

：.ADIIBC

AZADC+ZC=180°

・•・ZADC=180°-ZC=180°-50°=130°

・・.ZEDF=ZADC-(ZADE+ZCDF)=130°-80°=50°

故答案为：50

【点睛】此题主要考查了菱形的性质和全等三角形的判定等知识，根据已知得出NA=NC是解题关键.

19.6-1或2-右

【分析】根据折叠的性质求得/CDB=105。，N8CD=45。,过点。作DE工BC于点、E,设4。=尤,则BD=2-x,

得至l」OE=l-EB=6一昱x,利用CE+E8=BC,列式求解即可.

22

【详解】解：'/AADB'=30°,ZACB=90°,/A=60。，

?.ZBDB'=180°-30°=150°,ZB=30°,

将ACDB沿CD翻折，得到ACDB，,

ZCDB=ZCDB'=1(360°-150°)=105°,

ZBCD=180o-105°-30o=45°,

过点D作。EL8C于点E,

VZACB=9Q°,ZB=30°,AC=1,

：.AB=2,BC=y/3,

AD=x,贝!|80=2—x,

在RtABOE中，ZDEB=9Q°,ZB=30°,

：.DE=^BD=\-^x,EB=6DEf一2x,

在RtACDE中，NDEC=90。,ZDCE=45°,

CE=DE=l——x,

2

JCE+EB=BC,

l-—x+y/3-^^x=y/3,

22

解得％=百-1,

f

如图，当。时，ZADB=ZB=30°f

A

依题意，DB'=DB,ZB'DC=ZBDC=1(180-ZADB')=75°,B'C^BC

：./BCD=180°-ZB-ZBDC=75°,

BD=BC,

：.BD=B'D=B'C=BC

四边形友阳'C是菱形，

/.BD=BC=V3

/.AD=AB-BD=2-6

故答案为：6-1或2-出.

【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，菱形

的性质与判定，准确作出辅助线是解此题的关键.

20.60°

【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，可知OA=OB,从而确定△AOB为等边三角形.

【详解】解：：四边形ABCD是矩形，，OA=OC,OB=OD,AC=BD,，AO=OB,

VAB=AO,.,.AB=AO=BO,

AABO是等边三角形，

；./ABD=60°

【点睛】本题考查矩形对角线的性质，矩形对角线相等且互相平分.

21.(1)图见解析，BC1AB(答案不唯一)

(2)图见解析，E尸平分(答案不唯一)

【分析】(1)根据网格特点，利用三角形全等的判定与性质画图即可得;

(2)根据网格特点，利用矩形的判定与性质画图即可得.

(1)

解：如图1,线段BC即为所求，满足BCLAB.

图1

(2)

解：如图2,线段所即为所求，满足E厂平分A3.

图2

【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质画图、矩形的判定与性质画图，熟练掌握全等三角形和矩形

的性质是解题关键.

22.⑴见解析

⑵①4或，；②£

(3)1+46

【分析】(1)利用矩形的性质和折叠的性质可证；

(2)如图，设QD=3P=x,先证得(SAS),根据全等三角形的性质得到AM=C以，进

而证得四边形APCQ是菱形，得到AP=AQ,ZPAM=ZQAM,求得NR4B=30。，在中，

AR

AP=2BP=2x,AB=瓜,进而得到AD=AQ+QO=3x,——可求；

AD

(3)根据/3=4跖=90。，/。=/。惧=90。得到人、B、P、M四点共圆，转为圆的直径，圆心为

AP的中点，设为J,C、D、。、N四点共圆，为圆的直径，圆心为CQ的中点，设为O?,连接。。2

并两方延长分别交AB,CD于点、E,F,当。1、M,N、Q在同一条直线上时，MN最小，此时最小

值为1,只要证得用AA£MgRAaW(HL)得到ME=NP=：(AO-MN)=；(Ar>-l),最后利用勾股定理

即可求解.

（1）

•••四边形ABC。是矩形，

；.AD〃BC,

：.ZDAP=ZAPB,

由折叠的性质可得，ZAPB=ZAPM,

：.ZAPM=ZDAP,

:.EA=EP；

（2）

过点。作。于点R

•••四边形ABC£＞是矩形，

：.ZD=ZBCD=90°,AD=BC=8,

，四边形CD。尸是矩形，

QD=CF,CD=QF,

^QD=BP=x,则CP=x,AQ=CP=8-x,

PF=CP—CF=8—2x,

：.RtAPQF中，尸°?=FQI+尸尸2=42+9-2彳）2,

由（1）可得AQ=P。，

AQ2=PQ2,

（8-X）2=42+（8-2X）2,

图2

4

・・・的的长为4或§；

M、N互相重合，如图所示，^,QD=BP=x,

•・•四边形A3CD是矩形，

：.XD//BC,AD=BC,ZB=ZD=90°,ZBAD=90°,

ZAQM=ZCPMf

由折叠的性质可得尸QD=QM,ZB=ZAMP=90°,ZD=ZCMQ=90°fZPAM=ZPAB,

：.ACLPQ,

•:BP=QD,

：.PM=QM,AD-QD=BC-BP,

：.AQ=PC,

：.AAQM=/\CPM(SAS),

：.AM=CM,

・・・四边形APCQ是菱形，

AAP=AQ,ZPAM=ZQAM,

ZPAM+ZPAB+ZQAM=90°,

ZPAM=ZQAM=ZPAB=30°,

在R/AAB尸中，AP=2BP=2x,AB->j3x,

AD=AQ+QD=3x,

.AB_A/3X_6

(3)

*/ZB=ZAMP=90°,ND=ZCNQ=90°

:.A、3、P、M四点共圆，互为圆的直径，圆心为AP的中点，设为。1,

C、D、。、N四点共圆，CQ为圆的直径，圆心为C。的中点，设为。2,连接

。。2并两方延长分别交AB，。于点E,F,当。1、M、N、。?在同一条直线上时，MN最小，此时

最小值为1，

*/QD=PB,ZB=ZD=90°,AB=CD,

：.AABP丝ACZ)Q(SAS),

AAP=CQ,ZPAB=ZQCD,

'：OXA=^AP,O2Q=^CQ,

OXA=O2Q,

・・・四边形APCQ是平行四边形，

.・.AP//CQ,

・・・四边形AO。?。是平行四边形，

・・.O{O2//AD//BC,

=O2Q=^CQf

：.AE=-ABCF=-CD

2f2f

•；AB=CD=4,

：.AE=CF=2,

"：ZB=ZD=90°,

:.ZAEM=NCFN=90。,

,:AM=AB=CD=CN,

：.RtSAEM^RtACFN(HL),

：.ME=NF=^AD-MN)=^(AD-r),

在MAAEM中，由勾股定理得上@+M?

gjAD-lV5,2

即I--—I+22=4-,

解得AO=l+4指或40=1-4百（不合题意，舍去）

【点睛】本题是一道矩形与折叠问题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定和

性质，菱形的判定和性质等，灵活熟练运用已学知识，作出辅助线是解题的关键.

23.(1)见解析

Q)CF=10

【分析】(1)利用矩形的性质得出边和角的相等条件，进而证明三角形全等；

(2)利用垂直平分线的性质得出=在RLA5尸中根据勾股定理建立方程求解即可.

(1)

证明：,••点O为矩形4BCD对角线AC的中点，

AO=CO,

在矩形ABC。中，AD〃BC,

贝=//CO,

又AC

,-.ZAOE=ZCOF=90°,

AAOE^ACOF(ASA).

(2)

解:连结4F,如图，

•.•O/垂直平分AC,则/F=CF,

AB=8,8c=16,

设CF=AF=x,则3/=16—x,

在RtAABP中，AF2=AB2+BF2,

即》2=64+(16-尤)2,

解得x=10,

.-.CF=10.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定、垂直平分线的性质和勾股定理，牢固掌握以上

知识点、学会作辅助线是做出本题的关键.

24.⑴证明见解析

(2)ycm

【分析】(1)利用ASA证明即可；

(2)过点E作EG_L8C