2024-2025学年高考数学一轮复习：阿基米德三角形（学生版+教师版）

第80讲阿基米德三角形

知识梳理

如图所示，为抛物线炉=2。义0>0）的弦，A⑶,%）,B（x2,y2）,分别过A,2作的抛

物线的切线交于点尸，称△PA8为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.

1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.

2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点C（x0,%）,则另一顶点尸的轨迹

为一条直线.

3、若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.

3

4、底边长为"的阿基米德三角形的面积的最大值为公.

8P

5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点。的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面

积的最小值为

6、点尸的坐标为（土产，分）

7、底边A3所在的直线方程为（芯+x2）x-lpy-xxx1=0;

8、APAB的面积为S.PAB=「一”」.

8。

9、若点尸的坐标为,则底边A8的直线方程为％0%-P（〉+%）=0.

10、如图1,若E为抛物线弧A3上的动点，点E处的切线与P4,总分别交于点C,

D,贝晔=口山

\CP\\ED\\DB\'

11、若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在点E处的切线与阿基米德三角形△PA5的

q

边PA,分别交于点C,D,则3"=2.

q

°APCD

1

7

⑵抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的“

必考题型全归纳

题型一：定点问题

例1.（2024•山西太原•高二山西大附中校考期末）已知点4（0,-1）,2（0,1）,动点P满足

|丽口荏卜丽•丽.记点尸的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）设。为直线，=-2上的动点，过。作C的两条切线，切点分别是E,F.证明：直

线过定点.

例2.（2024•陕西西安•西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆M恒过定点尸

圆心〃到直线y=-；的距离为d,d=\MF\+1.

⑴求M点的轨迹C的方程;

（2）过直线y=x-l上的动点Q作C的两条切线4，，切点分别为证明：直线AB恒过

定点.

2

例3.（2024•全国•高二专题练习）已知平面曲线C满足：它上面任意一定到的距离

3

比到直线丫=-5的距离小1.

⑴求曲线c的方程；

（2）0为直线y=上的动点，过点O作曲线C的两条切线，切点分别为A3,证明：直

线A3过定点；

⑶在（2）的条件下，以为圆心的圆与直线A8相切，且切点为线段48的中点，

求四边形AD8E的面积.

变式1.（2024•陕西•校联考三模）已知直线/与抛物线C:x2=2py（p>0）交于4B两点,

且04,08,OD1AB,。为垂足，点。的坐标为（1』）.

⑴求C的方程；

（2）若点E是直线y=x-4上的动点，过点E作抛物线C的两条切线EP,EQ,其中尸，。

为切点，试证明直线尸Q恒过一定点，并求出该定点的坐标.

变式2.（2024・安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的

切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”.对于抛物线C：、=办2给出如下三个条

件：①焦点为尸］。，；］；②准线为>=-3；③与直线刀-1=。相交所得弦长为2.

（1）从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；

（2）已知AABQ是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点。是抛物线C在弦N8两端点处的

两条切线的交点，若点。恰在此抛物线的准线上，试判断直线是否过定点？如果是，

求出定点坐标；如果不是，请说明理由.

3

变式3.（2024•湖北武汉•高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知抛物线C:y=ox2

（。是常数）过点尸（-2,2）,动点过。作C的两条切线，切点分别为4B.

（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

⑵当才=1时，求直线48的方程;

（3）证明：直线N8过定点.

变式4.（2024•全国•高三专题练习）已知动点尸在x轴及其上方，且点尸到点歹（0,1）的距

离比到x轴的距离大1.

（1）求点尸的轨迹C的方程；

（2）若点0是直线y=x-4上任意一点，过点0作点尸的轨迹C的两切线。4、。瓦其中

4B为切点、,试证明直线A8恒过一定点，并求出该点的坐标.

题型二：交点的轨迹问题

例4.（2024•全国•高三专题练习）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸（0,c）（c>0）到直

线/:尤7-2=0的距离为逆.

2

（1）求抛物线C的方程；

（2）设点尸（题，%）为直线/上一动点，过点尸作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B

4

为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q；

（3）过（2）中的点Q的直线机交抛物线C于A,8两点，过点A,8分别作抛物线C的切

线4，3求4，4交点M满足的轨迹方程.

例5.（2024・全国•高三专题练习）已知抛物线C:d=4y的焦点为尸，过点尸作直线/交抛

物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在无轴上，点R是它的一个顶点，且其

离心率e=.

2

⑴求椭圆E的方程；

⑵经过A、B两点分别作抛物线C的切线4、3切线4与4相交于点用.证明：点M定

在直线y=-i上；

（3）椭圆E上是否存在一点ML经过点M作抛物线C的两条切线MK、Mb（A、方为切

点），使得直线A9过点尸？若存在，求出切线MK、ME的方程；若不存在，试说明理

由.

例6.（2024・全国•高三专题练习）已知动点Q在x轴上方，且到定点/（0,1）距离比到x轴

的距离大1.

（1）求动点Q的轨迹C的方程；

（2）过点尸（1,1）的直线/与曲线C交于A,B两点，点A,B分别异于原点。，在曲线C

的A,B两点处的切线分别为4，4,且4与4交于点〃，求证：M在定直线上.

5

变式5.（2024•全国•高三专题练习）已知动点尸与定点尸（1,0）的距离和它到定直线/:x=4

的距离之比为记P的轨迹为曲线C

⑴求曲线C的方程；

⑵过点加（4,0）的直线与曲线C交于A,8两点，尺。分别为曲线C与x轴的两个交点，直

线交于点N,求证:点N在定直线上.

变式6.（2024•全国•高三专题练习）已知点歹为抛物线。:炉=2外（「＞0）的焦点，点、M、

N在抛物线上，且M、N、尸三点共线.若圆2:（尤-2）2+（丫-3）2=16的直径为收7.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过点厂的直线/与抛物线交于点A,B,分别过A、B两点作抛物线C的切线小

4,证明直线4，4的交点在定直线上，并求出该直线.

变式7.（2024・全国•高三专题练习）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总

结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整.

⑴圆。:f+/=/上点〃（五,九）处的切线方程为.理由如下：.

22

（2）椭圆=1（。＞Z?＞0）上一*点（％,Jo）处的切线方程为_;

ab

⑶尸（私也是椭圆Z：］+y2=l外一点，过点P作椭圆的两条切线，切点分别为4,B,如

图，则直线的方程是—.这是因为在4（%，%）,8（移％）两点处，椭圆L的切线方

6

程为誓+yj=i和学+%y=L两切线都过户点，所以得至仃罟+印=i和罟+%"=i,

JJDD

由这两个“同构方程”得到了直线A2的方程；

(4)问题(3)中两切线PA,P8斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为

[y—n=k(x—ni)

y—n=k(x—m),由〈22，^(l+3Z:2)x2+6k(n-km)x+3(n-km)2-3=0,化简得

[x+3y=3

△=0,得(3->)/+2加/+1-*=o.若PA上PB,则由这个方程可知P点一定在一个圆

上，这个圆的方程为一.

(5)抛物线=2px(p>0)上一点(%,%)处的切线方程为%丁="(%+%)；

(6)抛物线C:/=4y,过焦点尸的直线/与抛物线相交于4B两点,分别过点/,8作

抛物线的两条切线4和4,设物片，%)，8(无2，%)，则直线4的方程为玉工=2(%+y).直线

4的方程为％x=2(%+y),设4和相交于点M.则①点M在以线段48为直径的圆上；②

点M在抛物线C的准线上.

题型三：切线垂直问题

例7.(2024・全国•高三专题练习)已知抛物线C的方程为V=4y,过点P作抛物线C的两

条切线，切点分别为A，及

(I)若点P坐标为求切线尸4尸8的方程；

(2)若点P是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线PA和P8互相垂直.

7

例8.(2024•全国•高三专题练习)已知抛物线C的方程为无2=4y,点P是抛物线C的准线

上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A8,点M是A3的中点.

(1)求证：切线PA和PB互相垂直；

(2)求证：直线与》轴平行；

(3)求APAB面积的最小值.

例9.(2024•全国•高三专题练习)已知中心在原点的椭圆口和抛物线心有相同的焦点

(1,0),椭圆口的离心率为杯，抛物线口的顶点为原点.

⑴求椭圆口和抛物线匕的方程；

(2)设点P为抛物线口准线上的任意一点，过点P作抛物线匕的两条切线尸4，PB,其中

A8为切点.设直线P4,P8的斜率分别为左，k2,求证：上他为定值.

变式8.(2024・全国•高三专题练习)已知中心在原点的椭圆G和抛物线C2有相同的焦点

8

(1,0),椭圆G过点G[,|],抛物线。2的顶点为原点.

⑴求椭圆C1和抛物线C2的方程；

(2)设点P为抛物线G准线上的任意一点，过点尸作抛物线G的两条切线为，PB,其中

A,B为切点.

①设直线为，网的斜率分别为4,k2,求证：上他为定值；

②若直线43交椭圆G于C,。两点，S.PAB，分别是APAB，APCD的面积，试问:

s

产是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.

、4PCD

变式9.(2024•全国•高三专题练习)抛物级无2=2/(0>0)的焦点/到直线>的距离

为2.

(1)求抛物线的方程；

(2)设直线y=^+l交抛物线于4(%,%)，3(尤②，%)两点，分别过A,B两点作抛物

线的两条切线，两切线的交点为P,求证：PF1AB.

变式10.(2024•河南驻马店•校考模拟预测)已知抛物线E：尤2=20,(2>0)的焦点为R,

9

点P在E上，直线/：x-y-2=0与E相离.若p到直线/的距离为d,且|PF|+d的最小值

为g1.过E上两点分别作E的两条切线，若这两条切线的交点M恰好在直线/上.

2

（1）求E的方程；

（2）设线段AB中点的纵坐标为"，求证：当"取得最小值时，MALMB.

题型四：面积问题

例10.（2024・全国•高三专题练习）已知抛物线C的方程为尤2=2py（p>0）,点dxB］是

抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2.

（1）求抛物线的方程；

（2）点Q为直线>上的动点，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为O,E,

求面积的最小值.

例11.（2024・全国•高三专题练习）已知抛物线Y=2py上一点加伉,1）到其焦点尸的距离

（1）求抛物线的方程；

（2）如图，过直线/：>=-2上一点A作抛物线的两条切线AP,AQ,切点分别为P,Q,

10

且直线PQ与>轴交于点N.设直线AP,AQ与X轴的交点分别为B,C,求四边形

ABNC面积的最小值.

例12.(2024・全国•高三专题练习)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点到原点的距离等于

直线/“-分-4=0的斜率.

(1)求抛物线C的方程及准线方程；

(2)点尸是直线/上的动点，过点尸作抛物线C的两条切线，切点分别为4,B,求

△PAB面积的最小值.

变式11.(2024•全国•高三专题练习)如图，已知抛物线。：/=2川(0>0)上的点尺的横

坐标为1,焦点为尸，S.\RF\=2,过点P(-4,0)作抛物线C的两条切线，切点分别为4

B,。为线段以上的动点，过。作抛物线的切线，切点为E(异于点aB),且直线OE

交线段P8于点”

11

(1)求抛物线c的方程；

(2)(i)求证：|4。|+|班/|为定值；

(ii)设4£4。，的面积分别为S1,S2,求S=3S［的最小值.

变式12.(2024•全国•高三专题练习)已知点A(-4,4)、B(4,4),直线AM与BM相

交于点M,且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为-2,点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的轨迹方程；

(2)Q为直线y=-1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D、E,求的

面积S的最小值.

变式13.(2024・河南开封•河南省兰考县第一高级中学校考模拟预测)已知点/卜6,0),

平面上的动点S到尸的距离是S到直线&x+4=0的距离的3倍，记点S的轨迹为曲线

2

C.

(1)求曲线。的方程；

⑵过直线/：y=2上的动点尸(s,2)(s>2)向曲线。作两条切线4，4，4交X轴于M，交》

12

轴于N,4交X轴于T，交〉轴于。记APN。的面积为，，Z\PMT的面积为Sz，求5「邑

的最小值.

题型五：外接圆问题

例13.（2024・全国•高三专题练习）已知P是抛物线C：y=的顶点，A,8是。上

4

的两个动点，且可.丽=-4.

（1）试判断直线是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理

由；

（2）设点〃■是APAB的外接圆圆心，求点M的轨迹方程.

例14.（2024•高二单元测试）已知点尸是抛物线C：y=!尤2-3的顶点，A,B是C上的两

4

个动点，且丽・丽=-4.

（1）判断点。（0,1）是否在直线上？说明理由；

（2）设点M是△P4B的外接圆的圆心，点M到x轴的距离为d,点N（l,0）,求

的最大值.

例15.（2。24・全国•高三专题练习）已知点P是抛物线C：y=32-3的顶点，A,B是C上

的两个动点，且西・丽=-4.

13

(1)判断点0(0,-1)是否在直线A8上？说明理由；

(2)设点M是△PA8的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程.

题型六：最值问题

例16.(2024・全国•高三专题练习)如图已知P(-2j)是直线％=_2上的动点，过点P作抛

物线丁=以的两条切线，切点分别为A,2,与》轴分别交于C,。.

(1)求证：直线过定点，并求出该定点；

(2)设直线A3与x轴相交于点Q,记A8两点到直线PQ的距离分别为4,4；求当

\AB\

3~:取最大值时APCD的面积.

4+a2

例17.(2024•湖南•高三校联考阶段练习)在直角坐标系龙④中，已知抛物线

C-.x2=2py(p>0),P为直线y=x-l上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别

为A,8,当p在y轴上时，OAA.OB.

(1)求抛物线c的方程；

(2)求点。到直线AB距离的最大值.

14

例18.(2024•辽宁沈阳•校联考二模)从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都

平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会

汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中.如图，已知抛物线

C:%2=2py(p>l),从点(4,9)发出的平行于了轴的光线照射到抛物线上的。点，经过抛

物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点(-1,5).

(1)求抛物线C的方程；

⑵已知圆M:/+(y-3)2=4,在抛物线C上任取一点E,过点E向圆M作两条切线E/和

EB,切点分别为N、B,求西.丽的取值范围.

变式14.(2024•贵州•高三校联考阶段练习)已知抛物线C:炉=2py(p>0)上的点(2,%)到

其焦点厂的距离为2.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知点。在直线/：>=-3上，过点。作抛物线C的两条切线，切点分别为AB,直线

A8与直线/交于点M,过抛物线C的焦点/作直线A8的垂线交直线/于点N,当最

小时,的值.

15

变式15.（2024•黑龙江大庆・高二大庆实验中学校考阶段练习）已知抛物线C:/=4x,点

P为直线元=-2上的任意一点，过点尸作抛物线C的两条切线，切点分别为4B,则点

M（0,1）到直线43的距离的最大值为（）

A.1B.4C.5D.V5

题型七：角度相等问题

例19.设抛物线C:y=f的焦点为F,动点P在直线/：尤-丫-2=0上运动，过P作抛物线

C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.

（1）求4APB的重心G的轨迹方程.

（2）证明/PFA=/PFB.

例20.（2024・全国•高三专题练习）已知尸,F分别是椭圆（；：17丁+16/=17的上、下焦

点，直线乙过点尸且垂直于椭圆长轴，动直线垂直4于点G,线段GF的垂直平分线交4

于点H,点H的轨迹为C?.

⑴求轨迹C?的方程；

⑵若动点P在直线/：%-丫-2=0上运动，且过点P作轨迹C2的两条切线PA、PB,切点为

/、B,试猜想/PE4与NPEB的大小关系，并证明你的结论的正确性.

16

例21.(2024•江苏南通・高三统考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知圆

G:x2+(y_l)2=l与抛物线c：尤2=2外(p>0)交于点跖N(异于原点。)，儿W恰为该圆

的直径，过点£(0,2)作直线交抛物线于4B两点,过48两点分别作抛物线C的切

线交于点尸.

(1)求证：点尸的纵坐标为定值；

(2)若尸是抛物线C的焦点，证明：ZPFA=ZPFB.

变式16.(2024・全国•高三专题练习)如图所示，设抛物线C：了=炉的焦点为尸，动点P

在直线/：x-y-2=0上运动，过尸作抛物线。的两条切线PA,PB,切点分别为4B,

求证：NAFB=NBFP.

变式17.(2024•全国•高三专题练习)在平面直角坐标系xQy中，已知点E(0,2),以OE

17

为直径的圆与抛物线c：苫2=2加防＞0)交于点私N(异于原点O),AW恰为该圆的直径，过

点£作直线交抛物线与42两点，过43两点分别作抛物线C的切线交于点尸.

(1)求证：点P的纵坐标为定值；

(2)若尸是抛物线C的焦点，证明：NPE4=NPFB

18

第80讲阿基米德三角形

知识梳理

如图所示，为抛物线炉=2。义0>0）的弦，A⑶,%）,B（x2,y2）,分别过A,2作的抛

物线的切线交于点尸，称△PA8为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.

1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.

2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点C（x0,%）,则另一顶点尸的轨迹

为一条直线.

3、若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.

3

4、底边长为"的阿基米德三角形的面积的最大值为公.

8P

5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点。的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面

积的最小值为

6、点尸的坐标为（土产，分）

7、底边A3所在的直线方程为（芯+x2）x-lpy-xxx1=0;

8、APAB的面积为S.PAB=「一”」.

8。

9、若点尸的坐标为,则底边A8的直线方程为％0%-P（〉+%）=0.

10、如图1,若E为抛物线弧A3上的动点，点E处的切线与P4,总分别交于点C,

D,贝晔=口山

\CP\\ED\\DB\'

11、若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在点E处的切线与阿基米德三角形△PA5的

q

边PA,分别交于点C,D,则3"=2.

q

°APCD

1

7

⑵抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的“

必考题型全归纳

题型一：定点问题

例1.（2024•山西太原•高二山西大附中校考期末）已知点4（0,-1）,2（0,1）,动点P满足

|丽口荏卜丽•丽.记点尸的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程；

（2）设。为直线，=-2上的动点，过。作C的两条切线，切点分别是E,F.证明：直

线过定点.

【解析】（1）设P（x，y）,则西=（-左一1一y）,而=

通=（0,2）,丽=（0,-2）,

所以，|丽||丽卜丽.雨可以化为卜丫+0_"=1+y,

化简得f=4y.

所以，C的方程为f=4y.

（2）由题设可设。&-2）,E（”J,-（%，%）,

由题意知切线DE,£＞尸的斜率都存在，

猿2Y

由炉=4）,得y=7，则;/=不，

所以&E=5，

直线3E的方程为了-月=+（》一再），即y_%=工尤_立，①

222

2

2

因为E&,yJ在尤2=4》上，所以犬=4乂，即5=2»,②

将②代入①得V-2y,-2y=0,

所以直线DE的方程为9-2%-2y=0

同理可得直线DF的方程为x2x-2y2-2y=0.

因为。,-2）在直线DE上，所以%-2%+4=0,

又力,-2）在直线力尸上,所以3-2%+4=0,

所以直线E尸的方程为江-2y+4=0,

故直线EF过定点（0,2）.

例2.（2024•陕西西安・西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆M恒过定点尸

圆心"到直线y*的距离为",隆阳+，

⑴求M点的轨迹C的方程;

（2）过直线y=x-l上的动点。作C的两条切线4，，切点分别为A，3,证明：直线A2恒过

定点.

2

11

【解析】（1）设M（x,y）,则|MF|=,d=y+—，

84

1

整理得无2=y+J<0,不成立;

O

综上所述：M点的轨迹C的方程

(2)由(1)可知：曲线C:即y=2%2,贝ljy'=4x,

设A（%p2引倒%2芯），Q（"T），

3

可知切线。A的斜率为4不，所以切线。A：y-2x；=4%（尤-西），

则f-l-2x；=4%（/-玉），整理得2x；-4%+f-l=0,

同理由切线Q3可得：2只一4出+f-l=O,

,t-1

可知：外,马为方程2炉—4及+/-1=0的两根，则无1+%=2r,占尤2=-^-，

可得直线AB的斜率kAB=2c=2（占+%）=4r,

%一乙一

设A8的中点为N（玉）,y°）,贝IJ%=土产=t,y0=2丁产=（再+工J?一2再％=4/一.+1,

即N«,4产T+1）,

所以直线AB：y-（4t2-t+l）=4t（x-t）,整理得＞-1=小卜-£|,

所以直线A8恒过定点尸

例3.（2024•全国•高二专题练习）已知平面曲线C满足：它上面任意一定到的距离

3

比到直线丫=-5的距离小1.

⑴求曲线c的方程；

（2）0为直线y=上的动点，过点O作曲线C的两条切线，切点分别为A3,证明：直

线A3过定点；

⑶在（2）的条件下，以E，,|］为圆心的圆与直线A8相切，且切点为线段48的中点，

求四边形AOBE的面积.

【解析】（1）思路一：由题意知，曲线c是一个以为焦点，以丫=-；的抛物线，

4

故C的方程为：r=2y.

思路二：设曲线C上的点为（X,y）,则

由题意易知，y>0,整理得，X2=2J.

（2）设£>「,_、,则

又因为y=；d,所以y=x.则切线的斜率为不，

故x+g=尤［（占-。，整理得20-2%+1=0.

设2（々，%），同理得2/-2%+1=。.

4（国,%）,8（%2，%）都满足直线方程2比-2>+1=0.

于是直线2比-2y+l=0过点而两个不同的点确定一条直线，

所以直线A3方程为2比-2y+l=0,即2田+（-2>+1）=0,

当2x=0,-2了+1=0时等式恒成立.

所以直线A8恒过定点［0,；］

（3）思路一：利用公共边结合韦达定理求面积

设A3的中点为G.AGQJIH，%）,则G［五产，吗&］,丽=［十三，"二

BA=（x1-x2,yl-y2）.

由西•丽=0，得卜—1七）+「+"5）必_%）=0,

将y=1代入上式并整理得（占-超）a+xj（尤;+X；_6）=0,

因为％1-％2。0,所以尤+1%2=0或%;+W=6.

由（1）知《歪，一£|,所以OG,无轴，

则

=；I跖卜(％-X])+；|GD|.(%-xJ=(尤2-xJ+(芭+：)+4(%-X])

S四边形AD8E=^AABE+

ZZo

(设％2>%).

5

当石+%2=。时，（％2一%1）=（%+%2）—4玉％=4,即％2—玉=2,S四边形ADBE=3；

当％:+君=6时，（%+%）2=4,（/_%1）2=（石+/）2-4玉%2=8，

即%—%=2行,S四边形AD8E=40.

综上，四边形的面积为3或4vL

思路二：利用弦长公式结合面积公式求面积

设由（1）知抛物线的焦点P的坐标为准线方程为y=-;.

由抛物线的定义，得以8|=日+—+日+!=（*+%）-2龙逮2+i=^±2+i=2l+2.

11222222

线段A8的中点为G（J/+£|.

当占+%=0时，r=0,A3_Ly轴，|AB|=2,

S四边形DA8E=；x2xg+m=3；;

AO

当占+%30时，rwO,由EG1A8,得'22,.，即/=±1.

t-0

所以网=4,G[±L|）,直线AB的方程为y=±x+；.

根据对称性考虑点和直线A8的方程y=x+g即可.

E到直线AB的距离为|EG|=J（0_l）2+||_|1=V2,

1+-+-

D到直线AB的距离为22.8.

#+（-D2

所以S四边形=；x4x（夜+及）=4逝.

综上，四边形ADBE的面积为3或4vL

思路三：结合抛物线的光学性质求面积

图5中，由抛物线的光学性质易得Nl=/2,又N1=N3,所以/2=/3.

因为Ab=A4，AO=AO,所以，

所以/=/的。=90°,J_A3,

6

同理△BD尸0=£)/，所以。4=。用，即点。为A4中点.

图6中已去掉坐标系和抛物线，并延长BA,4A于点H.

因为GE，AB,DB_LAB,所以GE〃。P.

又因为G。分别为AB,A耳的中点，所以G。〃朋〃跖，

故EFDG为平行四边形，从而GO=EP=2,A3=A4,+BB,=2GO=4.

因为77〃G£)且双=；GD,所以/为他的中点，

从而DF=GE=®.

S四边形ADBE=S&ADB+SjBE=^,。/+^,GE=4后.

当直线AB平行于准线时，易得S四边形ADBE=3.

综上，四边形ADBE的面积为3或4vL

思路四：结合弦长公式和向量的运算求面积

由(1)得直线A3的方程为丁=比+；.

一1

y=tx+—

2

由彳2,可得f-2比一1二0,

X

/=T

于是否+%2=2/,再/=—1，%+>2=，(玉+工2)+1=2〃+1

\AB\=J1+2-X2\=Jl+/J（%1+々）2—4%%2=212+1）

2

设4,4分别为点D,E到直线AB的距离则4=+1,4=

因此，四边形AD8E的面积S=:|AB|(4+&)=(r+3)/石.

设M为线段A8的中点，则用1,产+£|,

由于成,数，而丽=(b-2),亚与向量(1J)平行，所以-2'=0,解得r=0或

f=±l.

当/=0时，S=3；当，=±1时S=40

因此，四边形ADBE的面积为3或4vL

7

变式1.（2024•陕西•校联考三模）已知直线/与抛物线C:x2=2/（p>0）交于48两点，

且0AL03,ODLAB,。为垂足，点。的坐标为（1』）.

（1）求C的方程；

（2）若点£是直线y=x-4上的动点，过点K作抛物线C的两条切线EP,EQ,其中尸，Q

为切点，试证明直线尸。恒过一定点，并求出该定点的坐标.

【解析】（1）设点4的坐标为（为,兀），点3的坐标为（入2,％），

因为自°=1，所以须B=T,则直线A8的方程为了=-X+2,

fy=_x+2

联立方程组1.，消去乃整理得f+2px-4P=0,

［无=2py

所以有玉+々=-2。，x1x2=-4p,

又OA_LO3,得占X2+X%=%%2+（2-XJ）（2-X2）=0,

整理得Xi%_（%+%）+2=_4p+2p+2=0,解得p=l.

所以C的方程为尤2=2y.

（2）由x2=2y,得所以y'=x,

设过点E作抛物线C的切线的切点为“°,予］,

则相应的切线方程为y-曰…0）,即片亨，

设点E«,"4）,由切线经过点应得-4=卬-［,即年一2%+2/8=0,

8

设尸入3'；~J'Q，则％3，工4是冗2一2比+2,-8=0的两实数根,

可得£+%=，x3x4=2t-8.

设〃是P。的中点，则相应“=马沪=，，

2

则yM==M^-+^-l=^r(x3+x4)-2x3x4l,即加=/―/+4,

乙乙\乙乙J*1

直线PQ的方程为y_(/―/+4)=(*_。，即y=t(x_l)+4,

所以直线尸。恒过定点(1,4).

变式2.(2024•安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试)抛物线的弦与在弦两端点处的

切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”.对于抛物线C：y=^2给出如下三个条

件：①焦点为下］。，£|；②准线为y=-g；③与直线2y-1=0相交所得弦长为2.

(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；

(2)已知AABQ是(1)中抛物线的“阿基米德三角形”，点。是抛物线C在弦两端点处的

两条切线的交点，若点。恰在此抛物线的准线上，试判断直线是否过定点？如果是，

求出定点坐标；如果不是，请说明理由.

【解析】(1)C：＞=亦2即C：x2=-y,

a

其焦点坐标为(0,；］,准线方程为＞=-；,

14〃J4〃

若选①，焦点为HO,：),则;=:，得。=［，

24。22

所以抛物线的方程为炉=2〉；

若选②，准线为y=-＜，贝卜;=二，得

24〃22

所以抛物线的方程为f=2y；

若选③，与直线2y-1=0相交所得的弦为2,

将'=:代入方程尤2=工、中，得乂=土叵,

2a2a

9

即抛物线与直线2y-l=0相交所得的弦长为2、返=叵=2,

2aa

解得所以抛物线的方程为炉=2%

⑵设A(x2J,2(%，%)，O(Xo，-gj,切线乙°：y-y,=k(x-Xl),

将其与C：炉=2〉联立得尤2-2辰一无；+22=0,

由A=(—2左J_4x(—X；+2fccJ=0得上=%,

故切线编：y-yi=k(x-Xl),即y+%=xw；

同理1：y+y2=x-x2

又点。卜°,-m满足切线儿，位的方程，

.1

一5+%=%0.再，

即有:

一不+%=入0“2，

、乙

故弦AB所在直线方程为y=x0-x+^,其过定点F^O,1y

变式3.(2024•湖北武汉•高二武汉市第四十九中学校考阶段练习)已知抛物线C:y=ox2

(。是常数)过点尸(-2,2),动点过。作C的两条切线，切点分别为4B.

(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

⑵当f=l时，求直线48的方程;

(3)证明：直线N8过定点.

【解析】(1)由点尸代入得。=),所以C的焦点为准线方程为y=-；；

(2)设此时则才=2%,后=2%,

1

因为y=x,所以切线'的斜率的4=玉，即廿2_丫r2_r_v+1-

xx-\2

所以2%一2%+1=0(1)

同理可得2%-2%+1=0(2)

所以由(1)、(2)可得直线的方程为2x-2y+l=0；

10

法二：设其中一条切线的斜率为左（显然存在），则切线方程为>+;=%（%-1）,

,y+-=k（x-l]

由J2得zf-2fcv+2左+1=0,

x2=2y

所以由A=0得左2—2左一1=0,左=1±^2,

不妨设OA:y+|=（l_a）（无一l）,D8:y+g=（l+Vi）a_l）,

可解得+5/2,—+A/2^

所以的斜率3=1,

得直线的方程为y-1|-行J=x-（1-及）即2x-2y+l=0