第二节两条直线的位置关系-2025届高三数学一轮复习讲义

第二节两条直线的位置关系

【知识梳理・归纳】

L两条直线的位置关系

⑴位置关系

项目斜截式一般式

y=kix+bi,4%+3iy+G=0(A：+B存0),

方程

y=fex+Z?2A2x+&y+Q=0(A刍+B#0)

相交ki*k?AIB2-A2B^0

垂直kikz=3AiA2+3ib2=0

(A1B2-A2B1=0,或

(B1C2-B2clH0A

平行左i二左2,且b#b?

fA1B2-A2B1=0,

(A1C2-A2C1W0

AiB2-A2Bi=BiC2-

重合M二42,且历二岳

82cl=AiG-A2ci=0

(2)交点坐标

若直线/i：Aix+Biy+G=O(力什B3r0),

/2加+&“2=0(段哙0)相交则h与12的交点坐标就是方程组偿:々的解.

2.三种距离公式

⑴两点间的距离公式

①条件:点Pi(xi,yi),P2(X2,y2).

②结论：|P1BI=J(“2-X])2+①4)2-

③特例:点P(x,y)到原点0(0,0)的距离|。尸|=J%2+y2

(2)点到直线的距离

点尸(无。,把)到直线l-.Ax+By+C=Q的距离^|AX°+gjo+C,.

VA2+正

(3)两条平行直线间的距离

两条平行直线/i：Ar+By+Ci=0与/2：Ax+By+C2=0间的距离d=尸

VA2+B2

【微点拨】A

点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件

(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.

(2)求两平行线之间的距离时,应先将直线方程化为一般式，且尤的系数对应相等.

【基础小题・自测】

类型辨析改编易错

题号12,34.5

1.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是()

A.若两条直线斜率相等，则两直线平行

B.若则k\=k2

C.若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在,则两直线相交

D.若两直线斜率都不存在,则两直线平行或重合

【解析】选CD.A.两直线有可能重合，故A错误；

B.可能出现两直线斜率不存在的情况，故B错误：

C.若两直线中有一条直线的斜率不存在则直线垂直于x轴.另一条直线的斜率存在，则直线不与x轴垂直，所

以两直线相交，故C正确.

D.两直线斜率都不存在，可能重合，可能平行，故D正确.

2.（选择性必修第一册P57例5变形式）以A（5,-1）,B（1,1）,C（2,3）为顶点的三角形是（）

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.以A为直角顶点的直角三角形

D.以B为直角顶点的直角三角形

【解析】选D.直线AB的斜率心肝中手，直线BC的斜率法=券=2,

由kAB-kBC=-}.^AB±BC,

故AABC是以B为直角顶点的直角三角形.

3.（选择性必修第一册P57练习T2变条件）若直线3尤-2y-l=0与3x-ay+6=0平行，则a=（）

A.-2B.-lC.-D.2

2

【解析】选D.由题意|二,则。=2.经检验两条直线不重合.

2a

4.（忽视直线斜率不存在的情形致误）侈选题）若4（九3）,8（2打徵+4）,。（徵+1,3）,。（1,0）,且直线AB与CD平行，则

机的值为（）

A.-lB.OC.lD.2

【解析】选BD.当AB与CD的斜率均不存在时，片2m,加+1=1,故得m=0,此时AB//CD;

当即*0时,附工未解得片2,止匕时AB//CD.

5.（误用两平行线间的距离公式致误）直线Zi：3x+4y-7=0与直线Z2:6x+8y+l=0之间的距离为（）

OO

A.8B.4C.-D.-

52

【解析】选D.因为/1〃/2,所以直线h与直线/2之间的距离公兴=|.

V6Z+8Z2

【巧记结论速算】

1.直线系方程

(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2¥0)平行的直线系方程是Ax+By+m=Q(meR,且m^C).

⑵与直线Ar+By+C=O(A2+82¥0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+n=O(nGR).

(3)过直线/Mx+Biy+Ci=O(国+比加)与/2：A2x+B2y+C2=0(掰+B知0)的交点的直线系方程为

Aix+Biy+Ci+a(AM+B2y+C2)=0(/lGR),但不包括li.

2.点关于特殊的直线的对称问题的结论：

点的坐标对称直线对称点的坐标

y=x—

y=-xGyo,-xo)

点尸(xo,yo)

x+y+t=0(1-yo,-£-%o)

x-y+t=0Oo-^xo+O

【即时练】

1.过点(1,0)且与直线『2广2=0平行的直线方程是()

A.x-2y-l=0B.x-2y+l=0

C.2x+y-2=QD.尤+2y-l=0

【解析】选A.因为所求直线与直线x-2y-2=0平行，所以设直线方程为x-2y+c=0,又直线经过点(1,0X得出c=-l,

故所求直线方程为『2y-l=0.

2.设"BC的一个顶点是A(3,-1),/B,NC的平分线的方程分别是x=0，尸x,则直线BC的方程是()

A.y=3x+5B.y=2x+3

x5

C.y=2x+5D.尸沃

【解析】选C.A关于直线x=0的对称点是4(3-1),关于直线尸的对称点是/"(-1,3),由角平分线的性质可

知，点4d均在直线BC上，所以直线BC的方程为广2x+5.

【核心考点•分类突破】

考点一两条直线的平行与垂直

[例1](一题多法)已知直线/i：ax+2y+6=0和直线l2：x+(a-l)y+a2-l=0.

⑴试判断a为何值时/与h平行;

【解析】⑴方法一:当〃=1时,/i：x+2y+6=0j2：T=0Ji不平行于＜2；

当a=Q时,/i：y=-3,/2：x-y-l=0,/i不平行于；2；

a_1

2l-a,

(-3*-(a+1),

解得。=得

综上可知，当a=-l时,/“瓦

2

方法二:显然存0///h则匕?丰萼a(a-l)-lx2=0,(a-a-2=0,

a26Ia(a2-l)-lx6W0ta(a2-l)H6,

可得。=1,故当a=-l时

[例1](一题多法)已知直线/i：依+2y+6=0和直线/2：x+(〃-l)y+〃2-i=o.

(2)当/」/2时，求〃的值

【解析】(2)方法一:当a=\时,/i：x+2y+6=0,/2：D,/i与，2不垂直，故。=1不成立；

当。=0时,/i：产-3,/2：x-y-l=0,/i不垂直于以故〃=0不成立；

当即且分0时,/i：产-3-3,

/2：产各-3+1),由(-》专=-1,得a=|.

方法二:由442+8出2=0狷4+231)=0,可得a=|.

【解题技法】

1.已知两直线的斜率存在，判断两直线平行或垂直的方法

(1)两直线平行=两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；

(2)两直线垂直o两直线的斜率之积等于1

提醒:当直线斜率不确定时.要注意斜率不存在的情况.

2.由一般式确定两直线位置关系的方法

直线方程/iAx+3iy+G=0(A,+B存0)

/2：Azx+&y+C2=0(A[+B纤0)

八与/2平行的

(A-£B2=A2B]

(A1C2WA2cl(或B1C2HB2ci)

充要条件

/1与h垂直

AiAz+Bi&u。

的充要条件

/1与，2相交

的充要条件

/1与/2重合

A[二B1二J

*1B2C?

的充要条件

提醒在判断两直线的位置关系时比例式F与小毡勺关系容易记住，在解答选择题、填空题时,建议多用比例

式来解答.

【对点训练】

1.（2024・合肥模拟）直线h：x+ay-l=0与直线l2：ax+y+l=0平行，则〃=（）

A.OB.lC.-lD.1或-1

【解析】选B.因为直线h：x+ay-l=0与直线h：ax-^-y+l=0平行，所以lxl=〃x〃，

所以a=l或〃=-1.当a=-l时直线li：x-y-l=0与直线/2：-x+y+l=0重合,舍去，

故〃=L

2.（2024・贵阳模拟）已知直线/1：3”+3=0,/2：21->3=0,若/i±以贝!]m的值为（）

11

A.-B.-C.2D.3

23

【解析】选A.因为直线/i：mx+y+3=0,/2：2%-y+3=0,若/」/2厕2怔1=0,解得m=|.

【加练备选】

若a,b为正实数，直线2x+（2〃-4）y+l=0与直线2Z?x+y-2=0互相垂直，则ab的最大值为，

【解析】由两直线垂直得4b+2/4=0,

即2=°+2处2V2ab

当且仅当“=1,号时，等号成立，故ab的最大值为点

考点二距离问题

［例2］⑴已知直线3x+y-3=0和6x+my+l=0互相平行,则它们之间的距离是()

A.4B至C3D.也

20420

【解析】选D.由直线平行可得3%6=0,解得根=2,因此直线方程为6x+2y+l=0,即3x+y+),则所求距离是

l|+3|_7V10

V32+l220.

⑵过点4-1,2),到原点的距离等于1的直线方程为3x+4y-5=o或x=・l.

【解析】当直线的斜率存在时，设所求直线的斜率为匕则直线的方程为y-24(x+l),

即kx-y+k+2=0.

由题意可得黑＞1,解得上指因此所求直线的方程为3x+4y-5=0.当直线的斜率不存在时，直线x=-l满足题

意.

综上.所求直线的方程为3x+4y-5=0或尸-L

一题多变

［变式1］将例⑴变为:求到两平行直线3x+y-3=0和6x+my-l=0距离相等的直线的方程.

【解析】由题意得解得机=2,

将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0,

则所求直线方程可以设为6x+2y+D(用-1,且佚6),

由归+1|二归+6|解得7

R后不屈仔'用牛1守L2'

因此所求直线的方程为6x+2y-|=0.

［变式2］将例⑴变为:已知两直线3x+y-3=0和6x+2y-l=0,点21(孙男),尸2(孙丁2)分别在两条直线上运动，求

(xi-X2)2+(yi-y2)2的最小值.

【解析】(为-%2)2+。l)2的几何意义是点尸1(孙％),尸2(%2,次)之间距离的平方，

由题意知,两直线3%+'-3=0,即6x+2y-6=0和6x+2y-l=0平行，

因此该距离的最小值即两条平行直线间的距离，品卷=岛=乎.

22

可知(x1-%2)+(yi-y2)的最小值为

【解题技法】

距离问题的求解策略

⑴点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式.

⑵两平行线间的距离的求法

①利用,转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.

②利用两平行线间的距离公式求解，利用公式前需把两平行线方程化为一般式，且的系数对应相等,即一

定要化成/i：Ar+By+Ci=012：Ax+By+C2=0的形式.

【对点训练】

1.已知点A(3,3a+3)与点8(凡3)之间的距离为5,则实数。的值为()

A.-lBgC.-1或qD.1或-晟

【解析】选C.因为点A(3,3a+3)与点8Q3)之间的距离为5,可得

\AB\=l(a-3)2+(3-3a-3)2=J(a-3)2+(-3a)2=5,

整理得10。2-6°-16=0,即5a2-3a-8=0,解得a=-l或o=|.

2.(2024.北京模拟)设cl为动点P(cos0,sin0)到直线x-y-2=0的距离，则d的最大值为()

A.V2-1B.—C.1+V2D.3

2

【解析】选C.点P(cos0,sin0)到直线x-j-2=0的距离上竿强”=

J#+(-1)2

|V2cos（0+^）-2|

因为-1WCOS（8+：）W1,则-&-2盘岳0$（。+已）-2«^-2,所以当cos（e+：）=-l时,

t/max=l-^2-1+V2.

3.（2024.青岛模拟）若动点A（xi,yi）,B（X2j2）分别在直线/i：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动，则AB的中点做到原点

距离的最小值为（）

A.3V2B.2C.V2D.4

【解析】选A.由题意知，点M在直线h与/2之间且与两直线距离相等的直线上，

设该直线方程为x+y+c=0,则詈=詈，即c=-6,所以点M在直线x+y-6=0上，

所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离，即号=3段.

【加练备选】

（2024・遂宁模拟）抛物线y=f上的点P到直线x-y-2=0距离的最小值为（）

A延B,延C.逋D.V2

888

【解析】选C.设抛物线产？上一点为尸（的,诏），

点P（xo,据倒直线尤*2=0的距离d噂届一打+ZI

VzyzIZ41

所以当xo=*即P（泊时倒直线广广2=0的距离最短,为乎.

考点三对称问题

【考情提示】

对称问题常常涉及中点坐标、两条直线的垂直关系及直线方程的求解等问题，其中掌握中心对称及轴对称满

足的几何条件是解决此类问题的关键.

角度1中心对称问题

［例3］直线,r-2y-3=0关于定点加（-2,1）对称的直线方程是x-2v+U=0.

【解析】设所求直线上任一点（x,y）,

则关于M(-2,l)的对称点(-4-x,2-y)在已知直线上，所以所求直线方程为

(-4-x)-2(2-y)-3=0,即x-2y+l1=0.

【解题技法】

中心对称问题的解法

=2a-x9

=2b-y.

(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决.

角度2轴对称问题

［例4］(1)已知点A的坐标为(-4,4),直线/的方程为3尤+广2=0,则点A关于直线I的对称点A的坐标为3.

y-4=1

44二3'"4解得匕I独斤以点A的坐标为(2,6).

{3x>+2=。，3一6，

(2)直线2x-y+3=0