高考数学专项复习：统计概率（原卷版）

专题13统计概率专题（数学文化）

一、单选题

1.（2021春•河北沧州•高一统考期末）洛书古称龟书，传说有神鱼出于洛水，其甲壳上有此图案，由表示

1-9的圈点组成，数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四

隅黑点为阴数，即九宫图，如图，在5个阳数中随机选取3个，则3个数的和为15的概率为（）

D.5

2.（2022秋•全国•高三兴国中学校联考阶段练习）我国古代学者余道安在他著的《海潮图序》一书中说：“潮

之涨落，海非增减，盖月之所临，则之往从之哲学家王充在《论衡》中写道：“涛之起也，随月盛衰.”

指出了潮汐跟月亮有关系.到了17世纪80年代，英国科学家牛顿发现了万有引力定律之后，提出了潮汐

是由于月亮和太阳对海水的吸引力引起的假设，科学地解释了产生潮汐的原因.船只在涨潮时驶进航道，

靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下图是某港口某天记录的时刻（x轴）与水深（y轴）关系的散点

图，若某货船需要的安全水深为5米，则下列说法正确的是（）

A.该船在凌晨3点零6分驶入航道，靠近码头，9点18分返回海洋或15点30分驶入航道，靠近码头，

21点42分返回海洋

B.该船这一天能进入航道，靠近码头的时间可以是0时到凌晨6点12分或12时24分到18点36分

C.海水涨落潮周期是12小时

D.该船最多在码头停留时间不能超过6小时

3.（2022•江西赣州.高三校考阶段练习）2022年是香港回归祖国25周年，香港是一座高度繁荣的国际大都

市，有着东方之珠的美誉，同时香港的区徽也带上了香港特有的浪漫.香港特别行政区区徽，呈圆形，位于

徽面内圆中央的动态紫荆花图案为白色，由五片花瓣组成，每片花瓣中均有一颗红色五角星及一条红色花

蕊镶在其间，香港特别行政区区徽代表祖国，白色紫荆花代表香港，紫荆花红旗寓意香港是祖国不可分离

的一部分，并将在祖国怀抱中兴旺发达.花蕊上的五星象征香港同胞热爱祖国，采用红、白不同颜色，象征“一

3

国两制，，.其中紫荆花外辅助圆直径为区徽直径的《，现从区徽内任取一点，则该点取自紫荆花外辅助圆内的

概率为（）

4.（2022春•新疆乌鲁木齐•高一乌鲁木齐101中学校考期末）概率论起源于16-17世纪对赌博问题的研究,

概率的要义在17世纪中叶由法国数学家帕斯卡与费马的讨论才明确.当时有个叫梅罗骑士因赌注分配的问

题写信求教于帕斯卡.背景：“甲乙两人赌注共有144收金，赌局分为五局三胜制，谁先赢得3局，即可获

得全部赌注，现已知在甲获得2局胜乙获得1局胜利时，因某种原因赌局被中止了，给甲乙俩人怎样分配

赌注才合理”，已知甲乙每局获胜的概率均为0.5,且每局输赢相互独立.你认为乙应该获得多少妆金才合理

（）

A.24B.36C.48D.72

5.（2022・全国•高三专题练习）Poisso”分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩・德尼・泊

松首次提出，尸。分布的概率分布列为P（X=K）=]yeT（笈=0,l,2L）,其中e为自然对数的底数，%是

Poisson分布的均值.当二项分布的n很大（"220）而p很小（pV0.05）时，尸。。。〃分布可作为二项分布的近

似.假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核甘酸对，采用0.05紫外线照射大肠杆菌时，每个核昔酸

对产生喀咤二体的概率均为0.0003,已知该菌株基因组有一个嚼咤二体就致死，则致死率是（）

A.l-e~3B.e-3C.1-3e-3D.l-4e-3

6.（2022春・广东茂名•高一统考期末）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，激发

青少年学生的爱国、爱党热情，引导青少年学生深入地了解党的光辉历史，加强爱国主义教育，甲、乙两

所学校均计划于2021年7月组织师生参加“观看一部红色电影”活动.据了解，《1921》、《革命者》、《红船》、

《三湾改编》等多部电影将陆续上映.甲、乙两校分别从这4部电影中任选一部电影观看，则甲、乙两校

选择不同电影观看的概率是（）

A.1B.3C.iD1

9944

7.（2022春•河南•高二统考期末）“霍姆斯马车理论”是指各种资源都得到最合理配置和使用的一种理论.一

个富有效率的团队不需要每一个人都是最有能力的，而在于每个人的能力都能得到最合理的使用和发挥.某

科研团队共有10名研究人员，编号分别为1,2,…,9,10,要均分成甲、乙两个科研小组，其中1,2号研究员组

合在一起，3,4号研究员组合在一起，其余研究员随意搭配就能达到最佳效果，那么达到最佳效果的不同的

分组方式共有（）.

A.26种B.46种C.52种D.126种

8.（2022春・江西宜春•高二统考期末）在数学史上记载了众多科学家根据生活中的一些数学问题制作了许多

经典的数学模型，如研究随机现象规律的“高尔顿钉板”模型.某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿作了一款

如图的游戏机，玩家投入一枚游戏币后，机器从上方随机放下一颗半径适当的小球，假设小球从最上层3

个缝隙落下的概率都相等，小球第一次与第2层的一障碍物随机（图中圆点）碰撞且碰撞下落过程中等可

能地从左边或右边继续下落，于是又碰到下一层的一障碍物，如此继续下去，最后落入编号①，②，...,

⑧的槽内.设小球落入编号②的槽内概率为4,落入编号⑥的槽内概率为尸2,则（）

①②③④⑤⑥⑦®

A.P2=P}B.P2>pxC.P2<PXD.R,鸟大小关系不定

9.（2022・全国•高三专题练习）南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence

Nightingale1820-1910）设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小.某机构统计了

近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法错误

A.2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加

B.2016年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多

C.2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍

D.2016年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增

10.（2021秋・山东临沂・高二统考开学考试）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.下图

是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（简称上珠）

代表5,下面一粒珠子（简称下珠）代表1,五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒

上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子

至梁上，设事件A="表示的四位数含2个数字5"，则P（A）=（)

5

D.

8

11.（2022・高二课时练习）由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分

如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一

格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有（）

A.10条B.8条C.6条D.4条

12.（2022秋・山东济宁•高二校考阶段练习）据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制

成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千

十相望，万百相当.即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横

式，以此类推.例如_1_II表示62,=1-表示26,现有5根算筹，据此表示方式表示两位数（算筹不剩余

且个位不为0）,则这个两位数大于30的概率为（）

।IlinmiIIIIIT

横式:一=三三三j_J_=

123456789

A.-B.IC.-D.-

3235

13.（2022秋・浙江•高二浙江省衢州第一中学校联考开学考试）魔方又叫鲁比克方块（Riibk'sCube）,是由匈

牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克•艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外

智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议.三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三

等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小

正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从所有的小正方体中任取一个，恰好抽到中心

方块的概率为（）

-ID-I

14.（2022•全国•高三专题练习）“回文联”是对联中的一种，既可顺读，也可倒读.比如，一副描绘厦门鼓浪

屿景色的回文联：雾锁山头山锁雾，天连水尾水连天.由此定义“回文数”，九为自然数，且〃的各位数字反

向排列所得自然数〃'与〃相等，这样的〃称为“回文数”,如：1221,2413142.则所有5位数中是“回文数”

且各位数字不全相同的共有（）

A.648个B.720个C.810个D.891个

15.（2022春.江苏扬州.高二统考期末）托马斯・贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了

,,.尸（A）尸（剧A）"/、/、

一个公式：p（a网=「句八，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中2?（4）尸（却可）

称为B的全概率.假设甲袋中有3个白球和3个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球

放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概

率为（）

51633

A.—B.—C.-D.-

137585

16.（2023•全国•高三专题练习）花窗是一种在窗洞中用镂空图案进行装饰的建筑结构，这是中国古代建筑

中常见的美化形式，既具备实用功能，又带有装饰效果.如图所示是一个花窗图案，点E,F,G,H分别

为AS,BC,CD,上的三等分点；点P,M,N,O分别为ERFG,GH,”£上的三等分点；同样，点

Q,R,S,T分别为PM,MN,NO,0P上的三等分点.若在大正方形中随机取一点，则该点取自阴影部分

的概率为（）

c1005

C.-----D.

7299

二、多选题

17.（2022.全国.高三专题练习）端午节，又称端阳节、龙舟节、天中节等，与春节、清明节、中秋节并称

为中国四大传统节日.扒龙舟与食粽是端午节的两大礼俗，这两大礼俗在中国自古传承，至今不辍.在一

个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中咸肉粽的个数

为X,则下列结论正确的是（）

A.P（X=2）=1B.随机变量X服从二项分布

19

C.随机变量X服从超几何分布D.尸（1<X<4）=云

18.（2022・全国•高三专题练习）“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两

系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系.某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高（单

（X-100）2

]

位:cm）服从正态分布，其分布密度函数。（尤）=-200xe（T»,+oo）,贝I]（）

10岳

A.该地杂交水稻的平均株高为100cm

B.该地杂交水稻株高的方差为10

C.该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多

D.随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在（80,90）和在（100,110）的概率一样大

19.（2022秋•广东广州•高三广州市第十七中学校考阶段练习）为了解决传统的3D人脸识别方法中存在的

问题，科学家提出了一种基于视频分块聚类的格拉斯曼流形自动识别系统.规定：某区域内的加个点

4的深度4的均值为〃=5，z,.,标准偏差为b=,深度z,e[〃-3cr,〃+3bl的点视

为孤立点.则根据下表中某区域内8个点的数据，下列结论正确的是（）

耳尸2尸4尸7

4p6

七15.115.215.315.415.515.415.413.4

%15.114.214.314.414.515.414.415.4

2012131516141218

A.〃=16B.a=^^-C.片不是孤立点D.媪是孤立点

2

20.（2022・全国•高三专题练习）传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，

这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现，于是留下

遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为机，圆柱的表面

积与球的表面积之比为"，若""=［二.F一口［则（）

A.的展开式中的常数项是56

B.“X）的展开式中的各项系数之和为0

C./（X）的展开式中的二项式系数最大值是70

D./（z）=-16,其中i为虚数单位

21.（2022.高二课时练习）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设a,仇

为整数，若。和b被机除得的余数相同，则称。和6对模相同余，记为。三6（modm）.若

220

a=C°0+C*0x3+C10x3+...+C®x3,。三6（mod5）,则匕的值可以是（）

A.2005B.2006C.2020D.2021

22.（2022・全国•高三专题练习）根据中国古代重要的数学著作《孙子算经》记载，我国古代诸侯的等级自

低到高分为：男、子、伯、侯、公五个等级，现有每个级别的诸侯各一人，君王要把50处领地全部分给5

位诸侯，要求每位诸侯都分到领地且级别每高一级就多分加处（沉为正整数），按这种分法，下列结论正确

的是（）

A.为“男”的诸侯分到的领地不大于6处的概率是］

B.为“子”的诸侯分到的领地不小于6处的概率是!

C.为“伯”的诸侯分到的领地恰好为10处的概率是1

D.为“公”的诸侯恰好分到16处领地的概率是:

23.（2022秋•辽宁铁岭・高二昌图县第一高级中学校考阶段练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解

九章算法》给出了著名的杨辉三角，在杨辉三角（左图）中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的

和，第”行所有数之和为2";右图是英国生物学家高尔顿设计的模型高尔顿板，在一块木板上钉着若干排

相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，

小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从

高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是g,第二个缝隙落下的概率是g;从第2行第一个缝隙落下的

概率是《，第二个缝腺落下的概率是:，第三个缝隙落下的概率是!，小球从第〃行第m个缝隙落下的概

率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为（）

第0行

第

行

第

1行O

第

-行

第

2行

第

2行

第

3行

第

3行

第

4行

第

4行

第

行

第

55行

第

行

第

66行

5D,二

1632

三、填空题

24.（2022秋・江西.高三校联考开学考试）中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山：东岳泰山、西岳华山、

南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山，坐落于东、西、南、北、中五个方位.在甲决定从嵩山、泰山、华山、

庐山、黄山这5座名山中，选择2座名山在2022年国庆期间前去旅游，则甲至少选中一座属于“五岳”的名

山的概率为（用数字作答）.

25.（2022•高一课时练习）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534

石.验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为石.（精确到整

数）

26.（2022・全国•高三专题练习）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化海一“重卦”由从下到上排列

的6个爻组成，爻分为阳爻“------”和阴爻“-------”，如图就是一重卦.如果某重卦中恰有3个阴爻，则

该重卦可以有种.（用数字作答）

27.（2021秋・陕西榆林•高二校考阶段练习）在信息论中，设某随机事件发生的概率为P,称log?■为该随

机事件的自信息.若随机抛一枚均匀的硬币1次，贝『‘正面朝上”这一事件的自信息为.

28.（2022.高二单元测试）公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派已经知道五种正多面体，即正四面体、正

六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.后来，柏拉图学派的泰阿泰德（Theaetetus）证明出正多面

体总共只有上述五种.如图就是五种正多面体的图形.现有5张分别画有上述五种多面体的不同卡片（除画

有的图形不同外没有差别），若从这5张不同的卡片中任取2张，则没有取到画有“正四面体”卡片的概率为

正四面休正六而休止八面休

29.（2022•全国•高三专题练习）太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对

JT

统一的形式美.按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆。被函数y=3singx的图象

分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率

为________

30.（2021•高二课时练习）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书主要记述了

积算（即筹算）、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数14

种计算器械的使用方法，某研究性学习小组有甲、乙、丙、丁、戊五人.该小组搜集两仪、三才、五行、八

卦、九宫5种计算器械的资料.每人搜集一种，每种资料都要有人搜集，其中甲乙不搜集两仪，丙丁不搜集

三才，戊不搜集八卦和九宫，则不同的分配方案的种数—.（用数字填写答案）

31.（2021•全国•高三专题练习）明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一年、一日之象的图式，一年

气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象.他认为“万古之人事，一年之气象也,春作夏长秋收冬藏，

一年不过如此下图是来氏太极图，其大圆半径为6,大圆内部的同心小圆半径为2,两圆之间的图案是对

称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为.

32.（2021春・江苏•高二专题练习）早在宋代，我国著名学者沈括编著的《梦溪笔谈》中，就有对排列组合

问题的研究：在一个3x4的棋盘中，布局4颗相同的棋子，且每一行只有1颗棋子，则不同的棋局总数为

33.（2021春.黑龙江哈尔滨.高二哈九中校考阶段练习）圣宋元宝，是中国古代钱币之一，宋徽宗赵估建中

靖国元年（公元101年）始铸，是仁宗“皇宋通宝”之后又一种不以年号命名的非年号钱，种类主要有小平和

折二两种.小明同学珍藏有小平钱2枚，折二钱3枚，现随机抽取2枚赠好友，则赠送的两枚为不同种类

的概率为.

34.（2021秋.陕西榆林.高二陕西省神木中学校考阶段练习）嫦娥五号的成功发射，实现了中国航天史上的

五个“首次”，某中学为此举行了“讲好航天故事”演讲比赛.若将报名的30位同学编号为01,02,30,利

用下面的随机数表来决定他们的出场顺序，选取方法是：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始，

由左到右依次选取两个数字，重复的跳过.则选出来的第2个个体的编号为.

45673212123102010452152001125129

32049234493582003623486969387481

35.（2022秋・浙江.高二浙江省衢州第一中学校联考开学考试）我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分

问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役二百五十人，

则北乡遣人.

36.（2022春•江苏扬州•高二扬州中学校考阶段练习）考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857,

因为142857x2=285714,142857x3=428571..........所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律：

142+857=999,571+428=999,……若从1,4,2,8,5,7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x,

则999-x的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为.

37.（2022.全国•高三专题练习）三分损益法是古代中国发明制定音律时所用的生律法.三分损益包含“三分损

一""三分益一”两层含义，三分损一是指将原有长度作3等分而减去其1份，即原有长度><?=生得长度;

而三分益一则是指将原有长度作3等分而增添其1份，即原有长度><41=生得长度，两种方法可以交替运

用、连续运用，各音律就得以辗转相生,假设能发出第一个基准音的乐器的长度为243,每次损益的概率为g,

则经过5次三分损益得到的乐器的长度为128的概率为.

38.（2023・上海•高三专题练习）“田忌赛马”的故事千古流传，故事大意是：在古代齐国，马匹按奔跑的速度

分为上、中、下三等.一天，齐王找田忌赛马，两人都从上、中、下三等马中各派出一匹马，每匹马都各赛

一局，采取三局两胜制.已知田忌每个等次的马，比齐王同等次的马慢，但比齐王较低等次的马快.若田忌事

先打探到齐王第一场比赛会派出上等马，田忌为使自己获胜的概率最大，采取了相应的策略，则其获胜的

概