2024届广东省大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学试题

2024届广东省大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）

数学试题

一、单选题

1.设集合/={x|-x2+4x-3>o},8={x|2<x44},则4口3=()

A.{x|2<x<3}B.{x|x<l或x>2}

C.{x|3<x<4}D.{x|l<x<4}

2.复数z满足z=(z+2)i,则z=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组，则不同报名

方法有()

A.10种B.20种C.25种D.32种

4.己知向量之=（2,-1）,S=（l,1）,则£在B上的投影向量为（）

A.（T-1）B.mC.D.（1,1）

5.已知数列{〃/为等差数列，S〃为其前〃项和，2+%=%+%，则S7=（）

A.2B.7C.14D.28

6.已知=是奇函数，则。=（）

A.2B.-1C.1D.-2

22

7.已知双曲线C:鼻--、=1（。>1）的右焦点为尸，过点尸作直线/与C交于4,3两

点，若满足|/同=3的直线/有且仅有1条，则双曲线C的离心率为（）.

V14D.包或2

D.---------C.2

,亍22

8.已知直三棱柱48C-44。的侧棱长为2,AB1BC,48=3C=2.过48、的

中点£、尸作平面。与平面四GC垂直，则所得截面周长为（）

A.2V2+V6B.72+276C.3V2+V6D.3V2+2V6

二、多选题

试卷第1页，共4页

Y

9.下列图象中，函数/（x）=——的图象可能是（）

x+a

10.新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民

中随机抽取若干居民进行评分（满分为100分），根据调查数据制成如图所示的频率分

布直方图，已知评分在［80,100］内的居民有180人.则以下说法正确的是（）

A.a=0.025

B.调查的总人数为4000

C.从频率分布直方图中，可以估计本次评测分数的中位数大于平均数

D.根据以上抽样调查数据，可以认为该地居民对当地防疫工作的满意度符合，评分

低于65分的居民不超过全体居民的20%”的规定

11.已知直线八2辰-2了-切=0与抛物线C:y2=20x（0>O）相交于A,8两点，点

是抛物线C的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）

试卷第2页，共4页

A.2=2B.k=-2

C.△M48的面积为56D.\AB\=5

12.已知函数=则()

Inx

A.〃3)<〃2)

3

B.当x>l时,/(x)〉/

99

C.存在％o〉l,当X>%0时，丽

D.若直线y=+卜与y=/(x)的图象有三个公共点，则0〈左<；

三、填空题

13.若角a的终边在第四象限，且cosi=：,则tan[(-a[=.

14.某圆锥的侧面展开图是面积为3万，圆心角为g的扇形，则该圆锥的轴截面的面积

是.

82

15.已知数列｛%｝的前8项1,1,2,3,5,10,13,21,令/(x)=Z(x-q),则〃x)

i=l

的最小值点X=.

16.已知尸(x,y)为函数y=犬+|■图象上一动点，则::;1的最大值为.

四、解答题

17.已知锐角。BC的三个内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且满足

b=5,c=4,sinB-.

16

⑴求cos/;

⑵若前=2灰,求4。的长.

18.已知数列｛%｝和也｝满足：%=1,册+bn=%,an-bn=A(X为常数，且

Xw1).

⑴证明：数列低｝是等比数列；

⑵若当〃=3和"=4时，数列｛%｝的前〃项和S“取得最大值，求S”的表达式.

19.有两个盒子，其中1号盒子中有3个红球，2个白球；2号盒子中有6个红球，4

个白球.现按照如下规则摸球.从两个盒子中任意选择一个盒子，再从盒中随机摸出2

试卷第3页，共4页

个球，摸球的结果是一红一白.

(1)你认为较大可能选择的是哪个盒子?请做出你的判断，并说明理由；

(2)如果你根据(1)中的判断，面对相同的情境，作出了5次同样的判断，记判断正确

的次数为X,求X的数学期望(实际选择的盒子与你认为较大可能选择的盒子相同时,

即为判断正确).

20.如图，平行六面体48cz的体积为6,截面/CG4的面积为6.

⑴求点8到平面/CG4的距离；

⑵若AB=AD=2,ABAD=60°,A4=A,求直线BDX与平面CCQQ所成角的正弦值.

21.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为:，右焦点到右顶点的距

离为1.

⑴求椭圆C的标准方程，

(2)若动直线/与椭圆C有且仅有一个公共点，试问，在x轴上是否存在两定点，使其到

直线/的距离之积为定值?若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.

22.梨曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想

之一.它与函数=(X>O,S>1,s为常数)密切相关，请解决下列问题.

(1)当l<s«2时，讨论了(X)的单调性；

⑵当s>2时；

①证明/(无)有唯一极值点；

②记〃无)的唯一极值点为g(s),讨论g(s)的单调性，并证明你的结论.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.A

【分析】根据一元二次不等式解法可得/={x[l<x<3},利用交集运算可得结果.

【详解】解不等式一x2+4x-3>0可得/={x〃<x<3},

又8={x|2<x44},

可得/n8={x[2<x<3}.

故选：A

2.C

【分析】根据题意，得到复数z=《L,结合复数的运算法则，即可求解.

1-1

2i2i-(l+i)

【详解】由数z满足z=(z+2)i,可得z=「=7rK=-1+i.

故选：C.

3.D

【分析】由分步乘法原理计算.

【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为25=32.

故选：D

4.C

【分析】根据给定条件，结合投影向量的意义求解作答.

【详解】向量4=(2,-1),6=(1,1),则a・A=2xl+(-l)xl=l,|b|=Vl2+12=V2,

所以“在B上的投影向量为=(',《),

|b|\b\222

故选：C

5.C

【分析】由等差数列的性质与前〃项和公式求解，

【详解】由题意得知+%=%+6，则的=2,而s’=7(%;%)=7%=14,

故选：C

6.A

【分析】根据奇函数的定义，即可求解参数。的值.

答案第1页，共16页

【详解】因为函数是奇函数，所以满足〃-x)=-r(x),

-xx(a-l)xx

即^—=一一—,化简为=一--,得=4=2,

e“_[e"_ll-e21eax-1

此时〃x)=£三，函数的定义域为(-e,O)U(O,+动，成立.

故选：A

7.B

【分析】根据/有且仅有1条得出其斜率为0或斜率不存在，分别计算〃后检验.

【详解】若直线/的斜率存在且不为0,根据双曲线的对称性，此时满足|/却=3的直线/的

个数为偶数，所以直线/的斜率为0或斜率不存在.

当直线/的斜率为。时，A,8为双曲线的左、右顶点，由|/同=2。=3,得双曲线C的方程

x2_y2_2x—5

为：~9~T=,易得，过点尸的通径长为Y=：<3,所以满足|“修=3的直线有3条,

44万

不符合题意；

当直线1的斜率不存在时,此时AB为双曲线过点尸的通径,则=2(」T)=3,解得“=2

(。=舍去)，此时双曲线实轴长为4,因为4>3,所以满足以a=3的直线只有1条，

符合题意.

此时，a=2,c=V7,离心率为立.

2

综上所述，双曲线C的离心率为立.

2

故选：B

8.C

【分析】确定平面。与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长.

【详解】如下图所示，取/C的中点J,连接8J,取的。，连接。£,取4cl的中点

K,连接K7、B\K,

答案第2页，共16页

AB=BC,J为/C的中点，则

_L平面28C,2/<=平面/2。，，8/1_/4，

•■•ACoAA^A,：,BJ1平面AAjQC,

•;D、E分别为4/、48的中点，则。E//A7且DE=g8J,r.DE_L平面44cC,

OEu平面DEF,所以，平面。跖_L平面N4cC，

所以，平面。即为平面。E尸，设平面。交及q于点/,

在直棱柱ABC-4耳G中，AAXHCCX且刊=CCX,

所以，四边形44CC为平行四边形，.../0/4G且/c=4G，

・・•/、K分别为NC、4cl的中点，；.47//4K且4/=&K,

所以，四边形441仃为平行四边形，4且仃=/4,

BBJ/他旦BB、=AA、，；.KJ//BB、旦KJ=BB、,所以，四边形8与0为平行四边形,

DEHBJ,DEU平面BB^KJ,BJu平面BB[KJ,：.DE〃平面BB[KJ,

设平面cn平面B81KJ=FG,•.•/)£(=平面a,所以，DE//FG,FGHBJ,

-：BF//GJ,所以，四边形MGJ为平行四边形，可得GJ=3期」K/,

22

所以，G为K/的中点，

延长。G交4G于点〃，•1-DJHKH,所以，ADJG=ZHKG,ZJDG=ZKHG,

答案第3页，共16页

又•：JG=KG,所以，LDJG券LHKG,：.HK=DJ=gAJ=gKG，:.H为KQ的中点、,

因为平面ABC//平面4AG,平面aA平面ABC=DE,平面aQ平面44G=IH,：.DEHIH,

vDEHBJ,BJUB.K,DEHIH,，TH//用K,/./为与G的中点，

VABIBC,AB=BC=2,则AC工记=2亚,

,.■J为4C的中点，：.BJ=-AC=y/2,则。£=1以=正，同理由=正，

2222

因为直棱柱48C-48c的棱长为2,尸为的中点，，台尸瓦=1,

由勾股定理可得EF=J8尸2+台炉=拒,同理可得小=及，

,:KJHBB、旦KJ=BB、=2,3耳_1_平面/8C,_L平面A8C,

■.,/。<=平面/5。，AKJ1AC,

••・G、。分别为《7、的中点，则GJ=[K/=1,DJ,AJ力,

222

由勾股定理可得。G=jDr+G72=",同理GH=".

22

因止匕，截面的周长为DE+/H+£F+〃+O”=Jx2+V^x2+C=30+V^.

2

故选：C.

【点睛】思路点睛本题考查直棱柱截面多边形周长的计算，在画几何体的截面，关键是画

截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提

供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置.

9.CD

【分析】对〃x）分离常数可得：/（x）=l,转化为反比例函数的形式，利用函数图

x+a

像的变换可判断选项.

【详解】解：〃6=上=1一一—,贝故排除AB；

x+ax+a

当a>0时，图像关于（-。1）对称，且当x>-。时，/（%）在（-。,+8）上单调递增，则D有可

能；

当"。时，图像关于对称，且当x>-a时，“X）在（-。,+8）上单调递减，则C有可能

故选：CD.

答案第4页，共16页

【点睛】关键点点睛：f(x)=工,分母决定定义域，分子决定单调性；当6>0时，在各

x+a

自区间单调递减；当6<0时，在各自区间单调递增.

10.ACD

【分析】根据给定的频率分布直方图，结合频率分布直方图的性质，概率的计算方法，以及

中位数、平均数的计算公式，逐项判定，即可求解.

【详解】由频率分布直方图的性质，RTW(0.002+0.004+0.014+0.035+a)x10=1,

即10x(0.075+a)=l,解得。=0.025,所以A正确；

1QQ

设总共调查了〃人,W—=(0.035+0.025)x10,

n

解得〃=300,即调查的总人数为300人，所以B错误；

中位数位于区间［80,90］,设中位数为小，

贝［)0.025x10+(90—加)x0.035=0.5,解得拉=宁，

由频率分布直方图知各段的频率分别为0.02,0.04,0.14,0.20,0.35,0.25,

设平均数为于，

贝丘=45x0.02+55x0.04+65x0.14+75x0.2+85x0.35+95x0.25=80.7.

CQQ

可得〒>80.7,所以C正确；

由评分在［40,70］的居民占调查总人数的20%,所以评分低于65分的居民不超过全体居民的

20%,所以D正确.

故选：ACD.

11.ABD

【分析】求出抛物线C的准线方程，可求得〃的值，可判断A；利用点差法可求得线段

的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得上的值，可判断B；利用抛物线的焦点弦长公式以

及三角形的面积公式可判断C、D.

【详解】由题意知，抛物线C的准线为x=-l,即5=1，解得P=2,故A正确；

因为p=2,所以抛物线C的方程为：V=4x,其焦点为尸(1,0),

又直线/:2区-2歹-切=0,即昨Mx-1),所以直线/恒过抛物线的焦点尸(1,0),

设点工(再,必)，B(x2,y2),因为A,8两点在抛物线C上，

答案第5页，共16页

联立方程'；=两式相减可得，=-^―=k,

〔试=4X2，占一无2M+%

2

设4B的中点为0(%,%),则%=不，因为点。(%,%)在直线/上，

k

解得％>1,所以点。。+1,'是以为直径的圆的圆心，

由抛物线的定义知，圆0的半径「="=土土炉^=2『=2+2.

222k

因为|刎丁k+2)+(河",所以住+2)+(河=住+2),解得上=-2,

故B正确;

因为人=-2,所以M即=5,直线/为y+2(x-l)=0,由点到直线的距离公式可得，点M到

直线/的距离为"=

所以心小|/用='义石、5=也，故C错误，D正确.

£^MAD2।।22

故选：ABD.

12.AC

।

【分析】利用In8<ln9转化可判断A；取特殊值可判断B；构造函数g(»-lnx(x>l)

利用导数可判断C；利用导数研究/(X)的图象，结合图象举反例可判断D.

【详解】对于A,易知〃到=1匚的定义域为xe(O,l)U(l,+W,

Inx

32

由于In8<ln9,所以31n2<2ln3,因此一<一，故/⑶<〃2),A正确;

m3m2

/、己？]33

对于B,由于/(/)=袅=$2,而62尸=小，

1-111_12

因为e<4,则//yBPe2>-,所以<e2xe?=e?,

e22

因此/(5)=袅=3d<卜2尸=”，故B错误；

X组1

对于当时，由——>100故而、

C,x>lInX>0,vX,xY>imnx—

令g(x)=)-lnx(x>l),则g")=彳。。：。。

令g'(x)<0,得xe(l,102。。)，令g，(x)>0,得xe(IO?。。,+oo),

答案第6页，共16页

故g(x)在(1,10200)单调递减，在(10200,+00)单调递增，

且易知g(1040°)=104-4001nl0>104-400*3>0,

99

故存在X。=1()4。。>1,当尤>Xo时，而，故c正确；

对于D,因为〃句=嬴的定义域为xe(0,l)U(l,+8),则=。)=而了

令/'(x)<0,得0<》<1或1<_¥<6；令((x)>0,得x>e；

又当0<x<l时，lnx<0,则/(x)=4<。，且/(e)=F=e,

InxIne

所以/(X)的大致图象如下:

所以该直线经过第一二三象限，不经过第四象限，

显然，此时直线>=丘+[-左卜与y=〃x)的图象不可能有三个交点，故D错误.

故选：AC

【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：

(1)直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基

本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体

现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

(2)构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

(3)参变量分离法：由/(x)=0分离变量得出〃=g(x),将问题等价转化为直线>与函

数>=g(x)的图象的交点问题.

答案第7页，共16页

13.7

3

【分析】利用同角三角函数之间的基本关系可求得tana=-再利用两角差的正切公式代

4

入计算可得结果.

4I------------

【详解】由cosa=y可得sina=±J1-cos2a-I

33

又角a的终边在第四象限，可得=?即=一"

兀1+3

1-tana十4r

----------=——-=7.

1+tana】_。

~4

14.2&

【分析】由题意先计算出母线长,再可求出底面半径，从而可求出圆锥的高，进而可求出轴

截面的面积

【详解】设圆锥的底面半径为母线长为/,

因为圆锥的侧面展开图是面积为3万，圆心角为方■的扇形,

10jr

所以看尸=3万，解得/=3，

「、tC2乃，

因为2勿二彳/,

27r

所以hr-x3,得r=1,

所以圆锥的高为人==T=2行,

所以圆锥的轴截面的面积是:2r・/7=gx2x20=20,

故答案为：2拒

15.7

【分析】根据题意求得了(X)=8X2-112X+750,结合二次函数运算求解.

【详解】由题意可得：

8

/(x)=Z(x-《)2=2(x-l)2+(x-2)2+(x-3)2+(x-5)2+(x-10)2+(x-13)2+(x-21)2

z=i

答案第8页，共16页

=8x2-112尤+750,

因为无)=8/-112x+750=8(x-7Y+358,且开口向上,

所以/(x)的最小值点x=7.

故答案为：7.

16.V3

百无+y

【分析】由题意把/,\表示成丽=(6,1)与无=(x,.y)的夹角的余弦值的2倍，再由

几何关系求得最值可得结果.

【详解】设。(百,1),原点O,则丽=(百,1),OP=(x,y)；

即I2取得最大值;

W+y

33

联立直线尸辰与函数尸/+］可得/-履+广。,

3

所以4==。,解得％0=-也舍去);

员”

止匕时x=^-,y=3货〜+22

二，所以/22一

22必+歹2139

V4+4

即弋:+y2的最大值为6•

答案第9页，共16页

故答案为：V3

y/3x+y

【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据表达式的特征，将其转化为向量数量积

的坐标表示形式，利用几何关系求出最值即可.

1

17.(D-

(2)1251=714

【分析】(1)利用余弦定理，求得边长，进而求得答案；

(2)根据几何性质以及平面向量的运算，结合数量积的性质，可得答案.

【详解】(1)由sin8=迫,0<8〈工得

16216

3

由余弦定理：b1=a2+c2-2accosB,解得Q=6或。=一,(舍)，

所以COS/="十02一"2二L

2bc8

—►1―►

(2)由8£)=2DC，即。。=§C2,

^AD=AC+CD=AC+^CB=AC+jiAB-AC)=^AB+^AC,

所以诟2△际+3酒%+为」+岂4X5XLAX25=14,

9999989

所以|石|=9

18.(1)证明见解析;

【分析】(1)根据题意消元可得，b„+l=2b„,即可根据定义证出；

(2)由(1)知或=。-X)-2"T,从而得出%=(1-4>2"T+"根据邻项变号法可知,

%=0,进而求出X,得到。”的表达式，求出S”.

【详解】⑴因为4-“=彳,即“=。"-几，

所以4=%-2=1-2/0,TfiJbn+1=an+l-A=an+bn-A=(an-A)+/>„=2bn,

答案第10页，共16页

所以即导=2,即数列｛"｝是以1-4为首项，2为公比的等比数歹!J.

un

(2)由(1)知“=。一所以%="+2=(1—X)-2"T+X.

因为当"=3和〃=4时，数列｛。“｝的前〃项和s,取得最大值，所以为=0,

Q

即8(1_/1)+2=0,解得力=；.

O1

所以见=丁亍'2"，

经检验，当"43时，«„>0,当“25时，an<0,所以S“先增后减，

在〃=3和〃=4时取得最大值，符合题意.

c81\-2n8I-x

此时Sn=—n~—+2-1-----1-2]=—n—x------=—n—(2—11

777771-277V7

19.(1)选择1号盒子

(2谤

【分析】(1)计算出1号盒子和2号盒子中摸出一红一白的概率比较下结论;

(2)根据题意得到X~求解.

【详解】(1)解：设选择1号盒子后摸出一红一白的概率为4,

设选择2号盒子后摸出一红一白的概率为Q,

EnC©38

贝Ul=^f=~5

Jo15

因为P\>Pl，

所以较大可能选择1号盒子;

9

(2)由贝叶斯公式，选择1号盒子后猜中的概率尸=T二一r

-Px+-P,I，

2122

由题意得:

Q45

所以研X)=5XF=F

20.(1)1

答案第11页，共16页

(2)半

【分析】（1）应用等体积法求出点到平面距离；

（2）空间向量法求线面角的正弦值即可.

【详解】（1）在平行六面体-44中，NBC-48G是三棱柱，

=

^B-ACCXAX~§卜ABC-AiBg§ABCD-AXBXC{DX~，

设点8到平面/CG4的距离为d,则/Tcc,4=；S/cc/M=；x6d=2,所以d=l,

即点8到平面NCG4的距离为1.

（2）在〃A8CD中，48=40=2,4840=60。，所以48CZ）是菱形，连接3。交/C于。,

则3。=1,

由（1）知点B到平面NCG4的距离为1,所以3。1平面NCG4.

设点4在直线AC上射影为点H,S“CG4=4c•AH=2出A\H=6,

则48=豆，且80_LAXH,AH=小AA；-4H2=J（遥）'-（后=73,

所以。和〃重合，即4。工/。.

以。为坐标原点，0408,04分别为x轴，了轴，z轴，建立空间直角坐标系,

则5(0,1,0),/(6,0,0),D(0,-l,0),4(0,o,V3),

根据"=西=(-V3,0,6),方=比=(-73,1,0)，则2(-73,-1,5,

西=(-73,-2,73),设平面CCRD的一法向量为n=(x,y,z),

.n=-+>/3z=0

,取x=l,则力=(1,百,1),

元=—j3x+y=0

设直e线3"与平面CCQQ所成角为e,则

昕拓卜凤26+6V6

BD\\ni710x75

}V

所以直线8。与平面CCQQ所成角正弦值为半.

答案第12页，共16页

Z八a

21.⑴工+仁=1

43

(2)存在，(TO),(1,0),理由见解析

【分析】(1)根据离心率和右焦点到右顶点的距离为1,联立方程组即可解得标准方程为

(2)设出直线/的方程为x二叼+6并与椭圆联立，由A=0可得〃=3加2+4,设出工轴上

两点坐标为&0),(s,0),写出两距离之积的表达式即可得出结论.

22

【详解】(1)根据题意可设椭圆c的标准方程为=+4=1,

易知禺心率e=—=

又右焦点为(c,0),右顶点为(。,0),可得a-c=l,

解得4=2,C=1,贝U/=/—=3；

即椭圆C的标准方程为《+己=1.

(2)设动直线/的方程为x=+6,

假设在x轴上存在两定点T(/,0),S(s,0)满足题意，如下图所示:

答案第13页，共16页

22

可得A=（6叫2-4（3加2+4）（3Z>-12）=0,即/=3?n+4；

易知点7(7,0)到直线x=叩+6的距离4=,点S(s,0)到直线x=町+6的距离

VI+m

y/1+m2

\t-b\卜一同,一斗卜一可产一(5+/)6+543.一(S+£)6+M

可得[《二VTW,TTw=i+"=―g—=齐1—

3

若3-一(：+9+刈为定值，则需满足1+1=0,

12b2-i唧=T

[s=1(s=—1

解得I或，,此时4=3满足题意；

1—I「1

即可得在X轴上存在两定点(-1,0),(1,0)，使得两点到直线/的距离之积为3.

22.⑴/⑺在(0,+句上单调递减;

(2)①证明见解析；②单调递增，证明见解析；

【分析】(1)对函数〃x)求导，并构造函数Mx)=(s-l-x)-e-(s-l)利用l<