山西省忻州市2025届高三年级上册9月月考数学试题（含答案）

山西省忻州市2025届高三上学期9月月考数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知集合A={x\y=lg(2-x)}^={%eN\y=^/4-x2},则AnB=()

A.{0,1,2}B.{0,1}C.(—2,2)D.(0,2)

2.已知aGR,beR,且(2+ai)=2+bi,则a+b=()

A.-1B.0C.1D.2

3.已知命题p/%>0,x2>2X,则p的否定为()

A.Vx>0,%2<2XB.Vx>0,x2>2XC.3%>0,/<2XD.Bx<0,x2<2X

4.在平行四边形ABC。中，AP=2PB,则而=()

A.|荏+ADB.-|AB+而C.^AB+而D.一狐+AD

5.如果随机变量f〜B(n,p),且E(3f)=12,D(f)=*则p=()

1112

A-4B-3C-ND-3

6.已知冗>0,y>0,x+y+2xy=4,则冗+y-%y的最小值为()

3I

A.-B.2C.2D.1

7.已知数列{an}满足等/注言二2,且a?=2a；；的=9，则3的0()=()

A工B—c—p—

8.已知a>0,设函数/(%)=e2%+(2-a)%-ln%-lna,若/(%)N0在(0,+8)上恒成立,则a的取值范围是

A.(0,三B.(0,1]C.(0,e]D.(0,2e]

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知a>0,则函数/(%)=a，-2a的图象可能是()

10.已知函数f(久)=2sin(2x+9)(切<舒，且/(*)<|廛)|,则下列结论正确的是()

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7T

A/=不

C.若％1,%2为方程f(x)=2的两个解，则|乂2-比11的最小值为2兀

D.若关于％的方程/(X)=a在区间［0,目上有且仅有一个解，贝必的取值范围为［1,避)U{2}

11.已知函数/(国的定义域为R*设g(x)=/(%+2)-1,若g(x)和/''(%+1)均为奇函数,则()

A)(2)=1Bj(x)为奇函数

C"'(x)的一个周期为4D，Sfc=i/W=2024

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.将一个底面半径为r(r>0),高为逆r的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积与圆

柱的侧面积之比为.

13.设0<a<p若tana+tan(^—a)=贝！Jsina=.

14.设a力是正实数，若椭圆a/+by2=i与直线x+y=i交于点4B,点M为的中点，直线。M(。为原点

)的斜率为2,又。41OB,则椭圆的方程为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

如图，在直三棱柱4BC=4iBiCi中，乙4cB为直角，侧面BCC/i为正方形，BC=2,AC=1.

(2)求直线ABi与平面ABC1所成的角的正弦值.

16.(本小题12分)

己知函数/(x)=sin®久+9)(3>0,0<卬<兀)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为看点。,0)为/(x)的

图象的一个对称中心.

(1)求f(x)的解析式;

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TT

(2)将/(x)的图象向右平移运个单位长度，得到函数g(x)的图象，若贝》)在区间［0即］上的最大值和最小值

互为相反数，求a的最小值.

17.(本小题12分)

已知函数/(久)是g(x)=ax(a>。且a丰1)的反函数，且函数F(x)=/2(%)-/(%2)-/(61).

m

(1)若尸(4)=-l,/(6)=m,g(n)=3,求a及3元的值；

(2)若函数F(x)在七,2］上有最小值-2,最大值7,求a的值.

18.(本小题12分)

在-ABC中，已知tan4+tanB=V^(tanatanB-1).

(1)求C；

(2)记G为“BC的重心，过G的直线分别交边C4cB于M,N两点，设屈=沅江丽=〃丽.

()求泻的值;

(花)若CA=CB,求入CMN和△ABC周长之比的最小值.

19.(本小题12分)

已知函数f(%)=%ln(x+a).

(1)当a=0时，求/(久)的极值；

(2)若/(%)存在两个极值点%i，%2(巧<%2).

(。求a的取值范围；

4

(回证明:-J</(Xi)<0.

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参考答案

1.5

2.C

3.4

4.B

5.D

6.D

7.B

8.D

9.AD

10.AD

11.ACD

12.空

13噜

14.#+|y2=1

15.解：(1)•••侧面BCC/i为正方形，BCr1BrC,

•••直三棱柱4BC-AB1C1，AC1CClt

,•*AC_LCC^,AC_LBC,BCDCC=C,BC,CC、u平面BB,

・•・AC1平面BBiCC

*•*BC]u平^面'BBiCi。，ACJ_BCi

•・,BCi1BrC,ACnB]C=C,AC,BrCu平面A&C

，BCi_L平面A&C；

(2)建立如图所示的空间直角坐标系C-ABCi，

则C(0,0,0)/(L0,0),B(020),BI(022),CI(0O2).

又由荏=(-1,2,0)的=(0-2,2),

设平面ZBC1的一个法向量为达=(%,y,z),

则有色,比-久+2y=o

令y=l,则x=2,z=l,于是A=(2,1,1),

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又由A/=(-122)/&•n==3,|n|=心,

设直线//与平面ZBCi所成的角为仇

所以sine=|cos福拓=搞吊=舟=*，

故直线ZBi与平面ABG所成的角的正弦值为坐.

16.解：(1)设f(x)的最小正周期为T,则齐击=会所以3=2,

因为2x^+9=eZ),所以⑴=kn-策JieZ),

JT

因为0<9<兀，所以9=»

所以/(x)=sin(2x+§；

(2)依题意,g(x)=/(%一言)=sin[2(x—有+哥=sin(2x+§,

因为OW久<zn,所以看W2x+看W2m+也

当m时，g(X)的最大值为gO),最小值为g(0)=，，不符题意；

当小灵时，久久)的最大值为1,所以g(x)的最小值为-1,

所以2机+号笄，解得mN将，

所以机的最小值为尊

17.解：(1)因为函数f(x)是g(x)=a*(a>0且aK1)的反函数,则/1(x)=log/，

2

即F(x)=(logax)-2logax-l,

则F(4)=Qoga4：y-2loga4：-l=-1,解得log*-2或Zoga4=。(舍)，

可得a=2,即/(x)=/og2久，。(久)=2",

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n

又因为/(6)=log26—=2=3,即zn=log26,n=log2^f

TYt-lo-g-2

所以3K=3'啊3=3.36=6.

2

(2)由(1)可知：F(x)=(logax)-2logax-l,且久e膝目，

令t=logax,则t£[loga2-loga2],(0<a<1时)或tG[-loga2,loga2],(a>1时),

可得y=t2-2t-l,

若函数尸⑺在售,2]上有最小值-2,最大值7,

可知y=/一2七一1的最小值一2,最大值7,

令y=/_21一1=-2,解得t=1；

令y=t2—2t—l=7,解得力=-2或力=4；

且10/2与一10/2互为相反数，可知tG[-2,2],

则一/0%2=2或LogW=2,解得a=孝或a=根，

综上所述，a=福或孝.

18.1?：(1)由题可知tanC=tan(7r-i4-B)=-tan(X+B)=一詈注詈^=小，

TT

又CG(0,%)，所以C=§;

(2)(i)设。为48的中点，则而=押+痴，

又因为"=|而，所以德=纸？+痴=奈M+表丽，

因为M,G,N三点共线，所以1言1+亮=1,所以1小1「3；

DA。林AM

TT

(花)由C4=CB,C=3-可得人ABC为等边三角形，

设“8C的边长为1,△CMN与入ABC周长分别为。,。2，则。2=3,

MN=,入2+〃2一加,所以C]=a+〃++〃2—

所以鱼—4+4+J.2+〃2一加,

由)+；=3可得，32〃=4+〃之(当且仅当2=〃时等号成立)，

AM

解得加＞^,

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所以胃=加+=

所以▲CMN和“8C的周长之比的最小值为|.

19.解：(1)当a=0时，/(%)=xlnx,

可知/(%)的定义域为(0,+8),且/'(%)=1+Inx,

当xe(o,y时，f(x)<o；当xeg,+8)时，当尸(%)>0；

可知〃久)在(0,3内单调递减，/(X)在&+8)内单调递增，

所以/(X)的极小值为/6)=-!无极大值.

(2)(i)由题意可得：f(x)的定义域为(一口，+8),

X]

且/'(%)=ln(x+a)+x+a=%+黑%+a)ln(x+a)+%],

设g(%)=(%+a)ln(x+a)+x,可知g(%)在(一见+8)内有两个变号零点，

则“(%)=2+ln(x+a),

当久E(—a,2一a),gf(x)<0；当％wg-a,+8)时,gf(x)>0；

可知9(%)在(一。q一a)内