2024−2025学年琼海市高二数学上学期10月考试卷附答案解析

−2025学年琼海市高二数学上学期10月考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．复数，则（

）A． B．2 C． D．53．不等式的解集是（

）．A． B．C． D．4．已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（

）A． B． C． D．6．函数的部分图象大致是（

）A．B．C．D．7．体育是初三学生中考的第一科，某班50名同学的体育中考成绩数据如表，其中有两个数据被遮盖，下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（

）分数4344454647484950人数1213430A．中位数，众数 B．中位数，方差C．平均数，方差 D．平均数，众数8．若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（

）A．“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件B．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件D．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件10．以下命题为真命题的是（

）A．若样本数据，，，，，的方差为2，则数据，，，，，的方差为8B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5C．数据0，1，2，4的极差与平均数之积为6D．已知一组不完全相同的数据，，，的平均数为，在这组数据中加入一个数后得到一组新数据，，，，，其平均数为，则11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（

）A．直线平面B．三棱锥的体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边上有一点，则．13．设向量，，则向量在向量上的投影向量坐标为.14．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是．四、解答题（本大题共5小题）15．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，.(1)求角的值；(2)若，的面积为，求的最大值.16．平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，；(1)用向量，，表示向量，并求出线段的长度；(2)请求出异面直线与所成夹角的余弦值.17．从我校高二年级的500名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.(1)求第七组的频率；(2)估计该校的500名男生的身高的平均数；(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，求出这两名男生来自同一组的概率.18．如图，平面ABCD，，，，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点.(1)求证：平面CPM；(2)求平面QPM与平面CPM夹角的大小；(3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面QPM所成的角为，求N到平面CPM的距离.19．类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线，，构成的三面角，记，，，二面角的大小为，则.如图2，四棱柱中，为菱形，，，，且点在底面内的射影为的中点.(1)求的值；(2)直线与平面内任意一条直线夹角为，证明：；(3)在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.参考答案1．【答案】B【详解】由集合，解不等式得到：，又因为，根据集合交集的概念得到：.故选：B.2．【答案】C【详解】因为复数则故选：C.3．【答案】C【解析】化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解.【详解】由题意，不等式，可化为，即，解得或，即不等式的解集是.故选：C.4．【答案】A【详解】若，则，解得，显然“”可以推出“”，“”不可以推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.5．【答案】B【详解】从2，3，5，7，11这5个素数中，随机选取两个不同的数，共有种选法，其积为偶数，即两个数中有一个为2，共有4种选法，所以概率为.故选：B.6．【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，并判断时，函数值的正负，即可判断选项.【详解】，定义域为，关于原点对称，由，所以为奇函数，排除BD；当时，，因为为上减函数，为上的增函数，则为上的减函数，且当，，则当，，故，排除A.故选：C.7．【答案】A【分析】根据众数、中位数、平均数和方差的定义求解可得．【详解】这组数据中成绩为46、47的人数和为，则这组数据中出现次数最多的数是50，即众数为50，第25、26个数据都是50，则中位数为50，即中位数，众数不变，平均数，方差均与具体数据有关，故平均数，方差与被遮盖的数据有关.故选A．8．【答案】D【详解】由题意可得，设，即有即可得，解得，即即向量在基底下的斜坐标为.故选：D.9．【答案】BC【解析】根据题意，写出所有的基本事件，根据互斥事件和对立事件的定义进行判断即可.【详解】不妨记两个黑球为，两个红球为，从中取出2个球，则所有基本事件如下：，恰有一个黑球包括基本事件：，都是黑球包括基本事件，两个事件没有共同的基本事件，故互斥；至少一个黑球包括基本事件：，都是红球包括基本事件，两个事件没有共同的基本事件，且两者包括的基本事件的并集为全部基本事件，故对立.故选：BC10．【答案】ABD【详解】对A，，，，，，的方差为2，，，，，，的方差为，故A对；对B，数据8，9，10，11，12共个数，，故数据8，9，10，11，12的第80百分位数是：，故B对；对C，数据0，1，2，4的极差为：，平均数为：，故极差与平均数之积为：，故C错；对D，一组不完全相同的数据，，，的平均数为，，故，故，故D对.故选：ABD.11．【答案】ABD【详解】在选项A中，∵，，，且平面，∴平面，平面，∴，同理，，∵，且平面，∴直线平面，故A正确；在选项B中，∵，平面，平面，∴平面，∵点在线段上运动，∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，∴三棱锥的体积为定值，故B正确；在选项C中，∵，∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.易知为等边三角形，当为的中点时，；当与点或重合时，直线与直线的夹角为.故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；在选项D中，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为1，则，，，，所以，.由A选项正确：可知是平面的一个法向量，∴直线与平面所成角的正弦值为：，∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.故选：ABD12．【答案】-4【分析】由三角函数定义求出，利用“”的变换，将所求的式子化为的齐次分式，化弦为切，即可求出结论.【详解】因为角的终边上有一点，所以．所以．故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的定义、三角恒等变换求值，考查计算求解能力，属于基础题．13．【答案】【详解】，，..根据投影向量公式，.所以投影向量为.故答案为:.14．【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以获胜的概率是综上所述，甲队以获胜的概率是【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．15．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理边化角可得，所以，又，所以，又为锐角，则；（2）由，当且仅当等号成立，得：，.16．【答案】(1)，(2)【详解】（1）如图所示：因为为中点，为中点，，，，所以；因为平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，且，所以，，，，所以，所以，即线段长为.（2）因为，则，，则，，则与所成夹角的余弦值为.17．【答案】(1)0.06(2)(3)【详解】（1）第六组的频率为，∴第七组的频率为.（2）由直方图得，身高在第一组的频率为，身高在第二组的频率为，身高在第三组的频率为，身高在第四组的频率为，身高在第五组的频率为，身高在第八组的频率为，则平均数为：.（3）第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，则从中随机抽取两名男生有，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，记事件“随机抽取的两名男生在同一组”，所以事件A包含的基本事件为，，，，，，共7种情况.所以.18．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）连接EM，证得，利用线面平行判定定理即可证明平面MPC；（2）根据条件建立空间直角坐标系，求得平面PMQ和平面MPC法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.（3）设，则，从而，由（2）知平面PMQ的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，求出，进而得到，利用点到平面距离公式求出答案.【详解】（1）证明：连接EM，因为，，所以，又因为，所以四边形PABQ为平行四边形，因为点E和M分别为AP和BQ的中点，所以且，因为，，F为CD的中点，所以且，可得且，即四边形EFCM为平行四边形，所以，又平面MPC，平面MPC，所以平面MPC.（2）因为平面ABCD，，故以D为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，依题意可得，，，，，，，，，，，设为平面PQM的法向量，则，不妨设，可得，设为平面PMC的法向量，则，不妨设，可得.所以，设平面PQM与平面PMC夹角为，所以，即平面PQM与平面PMC夹角的正弦值为.（3）设，即，则.从而.由（2）知平面PMQ的法向量为，而直线DN与平面PMQ所成的角为，所以，即，整理得，解得或，因为，所以，所以，，由（2）知：为平面的法向量，故点N到平面CPM的距离为.19．【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在，【详解】（1）连接，由已知得平面，，又平面，所以平面