上海市2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题 (无答案)

2024学年第一学期期中联考高二数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1－6题每题4分，第7－12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度________.2.已知四棱柱的底面是正方形，侧棱垂直于底面，底面边长为，高为3，则此四棱柱的对角线长为________.3.已知边长为3的正△ABC的三个顶点都在球O的表面上，且OA与平面ABC所成的角为30°，则球O的表面积为________.4.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，给出下列四个说法：①m∥n，，； ②，，；③，； ④，，，其中正确的序号是________.5.直线l垂直于平面内的两条不平行的直线，则直线l与平面的关系是________.6.已知异面直线m，n所成的角为60°，M，N在直线m上，G，H在直线n上，，，，，，则G，M间的距离为________.7.正方体中，平面与平面的交线是________所在的直线.8.圆锥的底面半径为1，母线长为2，在圆锥体内部放入一个体积最大的球，该球的表面积为________.9.已知圆锥的顶点为P，母线PA，PB的夹角为60°，PA与圆锥底面所成角为45°，若△PAB的面积为，则该圆锥的侧面积为________.10.在正方体中，二面角的平面角大小为________.11.已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点P是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是MN，则的取值范围是________.12.已知正四面体ABCD棱长为2，点，，分别是△ABC，△ABD，△ACD内切圆上的动点，现有下列四个命题：①对于任意点，都存在点，使；②存在，使直线平面ABC；③当最小时，三棱锥的体积为④当最大时，顶点A到平面的距离的最大值为.其中正确的有________.（填选正确的序号即可）二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，每题有且只有一个正确选项）13.在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点坐标是（）A. B. C. D.14.设a，b为两条不同的直线，，为两个不重合的平面.下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若a，b与所成的角相等，则a与b平行或相交C.若内有三个不共线的点到的距离相等，则D.若，且，则15.如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱，的中点，点E在BD上，点F在上，且，点P在线段CM上运动，给出下列四个结论：①当点E是BD中点时，直线EF∥平面；②直线到平面CMN的距离是；③存在点P，使得；④面积的最小值是.其中所有正确结论的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.316.如图所示，四面体ABCD的体积为V，点M为棱BC的中点，点E，F分别为线段DM的三等分点，点N为线段AF的中点，过点N的平面与棱AB，AC，AD分别交于O，P，Q，设四面体AOPQ的体积为，则的最小值为（）A. B. C. D.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在棱长为2的正方体中，E为的中点.（1）求异面直线AE与所成角的余弦值；（2）求三棱锥的体积.18.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为正方形，E，F分别为PA，PC的中点，且平面PBD⊥平面BEF.（1）证明：；（2）若PB⊥PD，当四棱锥P－ABCD的体积最大时，求直线PA与平面BEF的夹角.19.如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，PA=BC=2AD=2AB=4，AD⊥平面PAB，PA⊥AB，E、F分别是棱PB、PC的中点.（1）证明：DF∥平面ACE；（2）求平面ACE与平面PCD的夹角的余弦值.20.如图，已知长方体，AB=2，，直线BD与平面所成角为30°，AE垂直BD于E.（1）若F为棱的动点，试确定F的位置，使得AE∥平面，并说明理由；（2）若F为棱的中点，求点A到平面BDF的距离；（3）若F为棱上的动点（除端点、外），求二面角F－BD－A的平面角的范围.21.一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度.（1）已知△ABC为直角边为1的等腰直角三角形，其中AB⊥AC，求分别以△ABC三边为直径的三个圆构成