2024-2025学年隆昌市高二数学（文）上学期开学考试卷（附答案解析）

2024-2025学年隆昌市高二数学（文）上学期开学考试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1.设复数z满足(l-i)z=3-i3,贝丘=()

A.2+iB.2-iC.l-2iD.l+2i

2.从小到大排列的数据1,2,3,7,8,9,10,11的第三四分位数为（）

19

A.—B.9C.—D.10

22

3.已知向量。=（一2,m），则"Mlr'是"=的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.将函数/（x）=sin2x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到的图象所对应的函数的解

0

析式为（）

A.y=sin（2x+E）B.y=sin（2x+：]

C.y=sin（2x-t）D.y=sin（2x-]]

5.甲、乙、丙3人独立参加一项挑战，已知甲、乙、丙能完成挑战的概率分别为工、!、

334

则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率为（）

6.圆心角为135。，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A,则A:B等于（）

A.11:8B.3:8C.8:3D.13:8

7.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如

图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器，2022年5月，“极目一号”111型浮

空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇

大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”11型浮空艇长53米，高18

米，若将它近似看作一个半球，一个圆柱和一个圆台的组合体，轴截面图如图2所示，则“极目

一号"III型浮空艇的体积约为（）

图1

A.2530兀B.3016兀

C.3824兀D.4350K

8.如图，在三棱锥S-43。中，SA_L平面ABC,AB=AC=2,ABAC=120°,若三棱锥外接球

的表面积为52兀，则此三棱锥的体积为（）

A.1B.石C.2A/3D.6A/3

二、多选题（本大题共3小题）

9.如图是函数/（x）=Asin3尤+⑴（4>0,0>0,冏<句的部分图象，则下列说法正确的是（）

B.K。]是函数的一个对称中心

Ajr

C.（p=——D.函数“X）在区间-7T,-y上是减函数

3

10.下列说法正确的是（）

5]

A.已知tana=——，则cos2a=；；

23

sinl00cosl0°

c.已知同=6,B为单位向量，且（词=3则3在让的投影向量为一3B

D.一个袋子中有大小相同，标号分别为1,2,3,4的4个小球.采用不放回方式从中任意摸

球两次，一次摸一个小球.设事件A="第一次摸出球的标号小于3"，事件8="第二次摸出球的

标号小于3”则尸3

O

11.在VABC中，内角A,B,C对边分别为a,b,c,则下列说法中正确的有（）

TT

A.若a=6,A=-,则VABC周长的最大值为18

B.若a=6,b+c=8,则VA3C面积的最大值为6—

C.若AB=3,AC=1,M为BC的中点，且则BC=2出

2

D.若角A的内角平分线交BC于点O,且器ja=3,则VABC面积的最大值为3

三、填空题(本大题共3小题)

12.如图，水平放置的VABC的斜二测直观图是图中的AAB'C',已知A'C'=3,BC=1,则AB边

的实际长度是.

13.如图，在棱长为2的正方体A8CD-A4GR中，点M为线段CG上的动点，则用Vf+OM取

得最小值__________,当M为线段CG中点时，平面截正方体所得的截面面积

14.已知平面向量b，"满足同=1,同=2,苗百三且伍一孙仅闷=0,则“的最大值

为.

四、解答题(本大题共5小题)

15.已知向量2=忖=应，且(a+B)，B=3.

⑴求向量£与石的夹角.

(2)若向量6+B与Z-防互相垂直，求女的值.

(3)若向量心+百万与百2+癌互相平行，求k的值

16.在疑。中，角A氏c所对的边分别为。也C,已知2bcosC=2a+c.

⑴求B；

(2)若b=6，且sinAsinC=；,求a+c.

17.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量(单位：kg),

将全部数据按区间[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组，得到图所示的频率分布直方图.

3

八频率/组距

0.04----------

0.03-----------

0.02--------l

LYA_J____I________1_1_____________

o5060708090100日销售量/kg

(1)求图中a的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数(同一组中的数据用该组

区间的中点值为代表)；

(2)若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量

新鲜，又能85%地满足顾客的需要(在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求).请问，

每天应该进多少水果？

(3)在日销售量为［70,90］kg苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2

个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在［80,90］的概率.

18.已矢口函数/(尤)=A^sin2尤+2cos?无一1.

⑴若［<一万,。)，且/［3卜；，求8$［0+逐)的值；

(2)在锐角三角形中，若/(A)=l,求sinB+sinC的取值范围；

(3)设函数g(x)=［1-彳］/(%)+7sin(4x-」+彳，若g(x)>。在区间-上恒成立，求0的

k2<6J21126」

取值范围.

19.对于平面向量向=(4,%)(左=1,2,…),定义“工变换”：

UUIIzlDlx

ak+l=F3(ak\=(xkcos0-yksin9,xksin8+cos6),(0<6<兀)

⑴若向量4=(2,i),求Z；

(2)求证：同=|7)；

⑶已知O?=a，yJ,OB=(x2,y2),且函与砺不平行，OA'=F0(OA),弧=居(砺)，求证：

S^OAB=SqAB。

4

参考答案

1.【答案】c

【分析】先根据复数的除法计算复数，再结合共朝复数定义即可.

L,3-i33+i(3+i)(l+i)3+3i+i+i22+4i,>

【详解】因为z=-=­、—=^^=l+2i,

l-il—i(1—+22

所以Z=lT2i.

故选C.

2.【答案】C

【分析】计算8x75%,结合百分位数的定义求解即可.

9+1019

【详解】因为8x75%=6,所以该组数据的第三四分位数为=

22

故选C.

3.【答案】B

【详解】由题当时，a»b=—2x1+,M(1+m)=—2+m+=0,

=>租=—2或m=l,

故“1/5”是=的必要不充分条件.

故选：B.

4.【答案】B

【详解】将函数/(x)=sin2尤的图象上所有的点

向左平移/个单位长度得到y=sin+^=sin^2x+.

故选B.

5.【答案】D

【详解】由题意，甲、乙、丙三人都没完成挑战的概率「=[1—；卜[1一；)文11一扑；,

再由对立事件关系，则甲、乙、丙中有人完成挑战的概率尸=1-』=2，

33

故选：D.

6.【答案】A

【分析】先根据扇形面积列出圆锥半径和母线的关系式，然后利用圆锥的表面积公式求比例即

可求解.

V3

【详解】设圆锥的母线长为/,底面半径为由题意135。=7乂360。,即一"

8

则3=兀〃，又A=m/+无产，故4=也士”=*=□.

BnrlI8

故选：A

7.【答案】A

【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果.

【详解】根据题意，该组合体的直观图如图所示：

5

半球的半径为9米，圆柱的底面半径为9米，母线长为14米，圆台的两底面半径分别为9米和

1米，高为30米.

则叫球=gxgx兀*妒=486兀(n?),唳柱=71x9?xl4=1134兀(u?),

223

^&=1x(9+9xl+l)7rx30=9107t(m),

所以V=%球+%柱+嗡台=48671+1134兀+910兀=2530K(m3).

故选A.

8.【答案】C

【分析】利用正弦定理求出VABC外接圆的半径，，根据球的表面积求出球的半径R,再由SA_L

平面ABC,则笈=，+[^：求出SA,最后根据锥体的体积公式计算可得.

【详解】因为AB=AC=2,ABAC=120°,所以NABC=NACB=30。，

S.„r=-AB-ACsinZBAC=-x2x2x^=y/3,

“ABC222

2-一一2

设VABC外接圆的半径为,，圆心为。],贝UsinZACBJ_,即r=2,

2

设三棱锥外接球的半径为我，球心为0,则4元改=52%，解得7?=而(负值已舍去)；

因为SAL平面ABC,所以AO。=AO：+O。;,

即R2=/+]m],即i3=4+1m],解得&4=6（负值已舍去）；

所以"=!$心c•SA=gx⑺x6=2g.

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是找到球心位置，求出底面外接圆半径和外接球半径，再根据勾股

定理求出棱锥的高.

6

9.【答案】ACD

【分析】根据图象求周期，结合周期公式可判断A；将点1代入解析式求解可判断C；利

用代入法验证可判断B；利用整体代入法求单调递减区间可判断D.

【详解】对A,由图可知，A=2,7=21等一=兀，所以。=*=2,A正确；

对C,又图象过点-2）所以2sin[2x?d=_2,

5TTTT47r

所以2x--\-（p------F2E,即夕=-----F2hi,keZ,

1223

因为Ml〈兀，所以夕=年，/（^）=2sin^2x+-y^,C正确；

对B,因为=+=括，

所以（哈0）不是的对称中心，B错误；

对D,由一37r彳+27rjr解得一13誉兀WxW—7—冗，

2321212

13冗77r

所以函数“X）在区间一黄，一三上是减函数，

47t

所以函数“X）在区间-兀，-彳上是减函数，D正确.

故选：ACD

10.【答案】ABD

【分析】根据二倍角余弦公式结合齐次式弦化切即可判断A,应用两角和差公式及辅助角公式计

算判断B,结合向量的数量积及投影向量得出C,写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，

再结合古典概型概率计算公式即可求解D.

【详解】已知tanc=变，

2

ec2.2cos26z-sin26ifl-tan26z?1•3TH一”

贝Ucos2a=cosa-sma=——%------^—=-----^―=——^=一,A选项正确;

cosa+sina1+tana+3

2

coslOO-GsinlO。2cosl00-

sinl00cosl0°sinl00xcosl0°2sinl00xcosl0°

4ic104sin（307-10?）

r0--sinl0°=4,B选项正确;

Sn20?s/20?

..-5

已知同=6,B为单位向量，且,）=:兀，则分在B上的投影向量为

7

、

一__lx6x------

无B5_无5I2)石所以c选项错误；

HICK1

由题意，摸球两次的样本空间

。={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},

事件A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},

事件8={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},

所以AuB={(l,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},

利用古典概型计算公式P(A+B)=t=|,D选项正确；

故选：ABD.

11.【答案】ACD

【分析】对于A,由正弦定理得6=46sinB,c=4百sinC,从而由8+C=与结合三角恒等变换公

式得a+6+c=6+12sin(8+小，进而得解.

14.

对于B,由基本不等式结合Z?+c=8得AW16,由余弦定理得cosA=^----1,故由面积公式

be

2

S4ABe=gbesinA=^Z?cVl-cosA即可求解；

对于C,由NHM4+NCM4=7i即cosNH肱l+cosNCM4=0结合余弦定理即可求解；

对于D,ZBAD=ZCAD=a,ABDA=(3,先由正弦定理丝=皿和=吧在二0得人=2。，

BDsmaCDsina

接着由余弦定理得cosA=；-*,从而由一元二次函数性质结合工QC=sinA=c2A/1-COS2A即

可得解.

1=上=^='=4百

【详解】对于A,由题以及正弦定理得sinA-sinB-sinC.兀一”，

sin—

3

所以匕=4氐in5,c=4氐inC,

所以〃+c=sinB+4^3sinC=4^/3sinB+4^3sin(g-“

=4^3sinB+4\/3^-cosB+—sinB>I=6A/3sinB+6cosB

[22J

=12sin5+[cos5=12sin15+g],

7

8

所以a+6+c=6+12sin18+[J,

因为5£[0,日~J,所以5+不£[了豆)，所以+,

所以a+Z?+c£(12,18],故VABC周长的最大值为18,故A正确；

对于B,因为8=。+°22〃^,所以历416,当且仅当〃=c=4时等号成立,

由余弦定理得COSA="+C2-"2(6+C)2-/-26C_82-62-26。_14_]

2bc2bc2bcbe

所以SA”=—besinA=—Z?c^/l-cos2A=—be

△ABC222

=1y/(be)2-(14-be)2=巾be-49<77x16-49=3币,

所以VABC面积的最大值为3",故B错误；

+AM2-C2jg]+AM--b1

对于C,因为/BM4+NCM4=JI,所以匚」-----------+匕」-----------=0,

2AAfx-2AMx巴

22

2

2222

所以十+2A/=/+°2即=^AM2+2^+C)=_4XA/2"+2X(1+3)=12,

所以JBC=2VL故C正确;

对于D,设ZBAD=NCAD=ct/BDA=0,贝!|NCZM=兀一/7,

所以由正弦定理得丝=型也，江=s,11(无一月)=包2,

BDsinaCDsinasina

所以一,又由题可知30=1,8=2,所以b=2c,

所以由余弦定理得COSA=I^^=£^=9-二

所以SJBC=^csinA=C2A/1-<OS\4=Jc4-f|-c2

9

=17-C4+10C2-9=|^-(C2-5)2+16<|X4=3,

当且仅当。2=5即0=有时，等号成立，所以VABC面积的最大值为3,故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点睛：在求解面积SAMc=；6csinA的最大值问题时，关键是利用已知条件结合正弦定理或

基本不等式求出边匕和。的关系或求出其积的最值，再利用余弦定理cosA="十。—〃将角转化成边,

2bc

从而建立三角形的面积函数，进而再借助基本不等式或一元二次函数性质即可探求最大值.

12.【答案】V13

【分析】结合斜二测画法的性质将图还原后计算即可得.

【详解】把直观图AAaC'还原为原图形，如图所示，

则AC=A'C'=3,BC=2B'C=2,

所以A?=JN+BC?=次*=而.

故答案为：V13.

13.【答案】2国2瓜.

【分析】将侧面展开即求得第一空；记明的中点为N,先判断所求截面为四边形然

后根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得第二空.

【详解】将侧面BCG4绕着cq旋转，使得侧面BCG4和侧面。CGR在同一平面内，如图，

易知，当D,M，用三点共线时，+取得最小值厅百=2君・

当M为线段CC1中点时，记人4的中点为N,B4的中点为P,

10

由正方体性质可知，NP||A4||CQ,NP=AB\=GD\,

所以NPC.为平行四边形，所以尸CJINR,

易知BP||MG，3P=MG，所以2PGM为平行四边形，所以尸GIIBM,

所以四点N,R,民M共面，即平面8Ms截正方体所得的截面为四边形NR8M,

因为ND\=D1M=MB=BN=小,所以四边形ND0M为菱形,

所以SNRBM=；MN.BR=1X2A/2X2A/3=2^.

故答案为：2下;2n.

14.【答案】A/3+1

【分析】设1=市,b=OB=（2,0）,c=OC,分析可知点C在以A3为直径的圆上，根据

数量积的几何意义结合圆的性质分析求解.

【详解】由题意可设:a=OA,b=OB=（2,0）,c=OC,

11UUttlULIULUUiiULUUL1UUULUL

贝Uc—a=OC—6M=AC,c—A=OC—O3=3C，

若传-彳）.卜_q=0,即IT.而=o，贝前，

可知点C在以A3为直径的圆上，即圆心为。,半径厂=；恒明=[,

11

则）在B方向上的投影数量的最大值为立+2,

24

所以="的最大值为2千+1=括+不.

故答案为：6+二.

2

【点睛】方法点睛：本题根据向量运算的几何意义把题意转化为图形，结合图形分析求解.

15.【答案】（1）5

（2）fc=1或左=-1

（3）k=士币!

【分析】（1）由向量模的坐标运算得出|£|=&,再根据向量数量积的定义及运算律求解即可;

（2）由已知得（初+»（万-防）=0,根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可.

（3）由向量平行的判定定理即可求解.

【详解】（1）由商=。,一1）,得㈤=#+（-1）2=小,设向量2与B的夹角为6e[0H，

由,+孙5=3,a-b+b=3'又忖=&，所以2%=1，

所以I£I•IB।cose=1,解得cose=g,

所以向量Z与石的夹角为三.

（2）由向量向量女2+石与Z-防互相垂直，得（质+5）（方一防）=0,

所以lui—k2a»b+a*b—左片=0，即2左一%?+1-2左=0,

解得左=1或左=—1.

（3）因为向量ka+6吞与百4+小互相平行，

所以存在XwO,使得左〃+6石=之（月。+左5）

k=乖t九l

所以「解得：k=±6

小=4k

兀

16.【答案】（1）市2

（2）2

【分析】（1）利用余弦定理化简等式，再根据余弦定理的推论和角的范围解出答案;

12

(2)利用正弦定理公式结合已知条件求出ac=l,再由余弦定理求出答案.

【详解】(1)由余弦定理可得26x"+"-c=2a+c,

2ab

所以a之一人2+=_ac，

因为cosB=a+C———=,Be(0,兀)，

lac2

所以八年2兀.

a_b_c_^3_

(2)由正弦定理得sinAsinBsinC73，

~2

所以0=sinA,—=sinC,

22

又sinAsinC=L,所以=即收=1,

4224

由余弦定理得)2=+/—2Q℃OS5，即3="+/一2acx

QQC

3=2+02+=>碇+3=(〃+。产=4=(〃+cy

因为所以a+c=2.

17.【答案】(l)83.5kg

(2)95kg

(3)?

【分析】(1)在频率分布直方图中，所有矩形的面积和为1,所有矩形的面积乘以其底端中点

之和即为平均值.

(2)能85%地满足顾客的需要即求该店苹果日销售量的85%分位数，通过矩形的面积和确定

nQC_n7

85%分位数在［90,100］,再利用公式90+10x5：；=95计算即可.

1—U.7

(3)由分层抽样确定来自日销售量［70,80)中的有2个，来自日销售量为［80,90］的苹果有4个,

再列出基本事件，由古典概型求解.

【详解】(1)由直方图可得，样本落在［50,60),［60,70),…，［90,100］的频率分别为10a，10a,

0.2,0.4,0.3,

由10。+10。+0.2+0.4+0.3=1,解得。=0.005.

则样本落在［50,60),［60,70),［90,100］频率分别为0.05,0.05,0.2,0.4,0.3,

所以，该苹果日销售量的平均值为：

cy50+60…60+7070+80八,80+90八、90+100”、

0.05x---------+0.05x----------+0.2x----------+0.4x---------+0.3x-----------=83.5(kg).

22222v)

(2)为了能85%地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的85%分位数.

依题意，日销售量不超过90kg的频率为l_0.03xl0=0.7,

则该店苹果日销售量的85%分位数在［90,100］,

所以日销售量的85%分位数为90+10x**^=95(kg).

13

所以，每天应该进95kg苹果.

（3）由日销售量为［70,80）,［80,90］的频率分别为0.2,0.4知,

抽取的苹果来自日销售量［70,80）中的有2个，不妨记为％,出，

来自日销售量为［80,90］的苹果有4个，不妨记为伉也也也，

任意抽取2个苹果，有（«，©，（《，伪卜侬也乂弓也卜侬也乂生在卜出也「他也「他也卜伯也），

色也）,（伪也），他也）,（伪也）,（4也），共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售［80,90］中

的有6个基本事件，由古典概型可得尸=得=：.

18.【答案】（1）同一夜

8

（呜闾

（3）（。,+8）

2x+^

【详解】(1)f(x)=A/3sin2x+cos2x=2sin

2sin1a+£

由题意知f

2

(2)由/⑷=1得2sin(2A+£=1,

7171771C4兀5兀A兀

•■­0<A<r—<2A4+—<—,2AH———,A=一

666663

故sinB+sinC=sinB+sin|5+5)=5sinBcosB=Gsin18+仁

由△ABC是锐角三角形，得?<8<W，

o2

则工<8+3〈生，得。〈道sin（B+乌］wQ,

3632I

14

即sin3+sinC的取值范围为

心/⑶-产4x+扑2

(3)g(x)=

2%+^-^l-2sin2

=(2-a)sin

=sin212x+£)+(2-〃)sin[2x+F)+1,

6

7兀5兀c兀4兀11兀

当时，2x+—€

l2，-6~6~T9~6~

人.(c兀、riY1

令sin[2x+qJ=/,贝(J££-1'—W，

一7兀5兀]「1-

g(%)>0在区间上恒成立，等价于关于，的不等式》+(2-m+1>0在区间-1,--上恒成

126JL2_

立，

即有，+,<〃-2在区间-1,-不上恒成立，

t/

又在区间-1,-;上单调递减，

.•.当仁_1时，有最大值一2,

故有。-2>-2,即。的取值范围为(0,+8)