平面向量的数量积-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第02讲平面向量的数量积

（7类核心考点精讲精练）

12.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第3题,5分向量垂直的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示

数量积的运算律

2024年新II卷，第3题,5分已知数量积求模模长的相关计算

垂直关系的向量表示

向量垂直的坐标表示

2023年新I卷，第3题,5分平面向量线性运算的坐标表示

利用向量垂直求参数

2023年新II卷，第13题,5分数量积的运算律向量的模长运算

2022年新H卷,第4题,5分数量积及向量夹角的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示

坐标计算向量的模

2021年新I卷，第10题,5分数量积的坐标表示逆用和、差角的余弦公式化简、求值

二倍角的余弦公式

2021年新II卷，第15题,5分数量积的运算律无

2020年新I卷，第7题,5分用定义求向量的数量积无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度不定，分值为5分

【备考策略】I通过物理中功等实例理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积

2会用数量积判断两个平面向量的垂直关系

3能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角

4会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学

和实际问题中的作用

5会用数量积解决向量中的最值及范围问题

【命题预测】本节一般考查平面向量数量积的表示和计算、在平面几何图形中的范围及最值等应用，易理

解，易得分，需重点复习。

知识点1平面向量的数量积的定义

知识点2平面向量数量积的运算律

知识点3平面向量数量积的有关结论

考点1求平面向量的数量积

考点2蝌折数量积的运算律

考点3模长踪合计算

考点4夹角综合计算

考点5垂直综合计算

考点6求投影向量

考点7数量积范围的综合问题

知识讲解

1.平面向量的数量积

设两个非零向量〃的夹角为仇记作且。c[o，T

二

定义

则数量同网cos0叫做a与b的数量积，记作ab

同cos0叫做向量a在b方向上的投影，

投影

网cos0叫做向量8在a方向上的投影

几何

数量积ab等于a的长度同与8在a的方向上的投影团cos0的乘积

意义

2.向量数量积的运算律

b=ba.

（2）（筋）力=4（"力）=/（劝）.

(3)(a+A)c=ac+6c.

3.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=(x「刃)，6=(x2,")，a与8的夹角为夕

结论几何表示坐标表示

数量积同网cos(叫ci'b=x\X2~\~y\y2

模同=Jaa|a|=

abXlX2+yiV2

夹角cos0=-----cos6=]一]二

\a\\b\Jx?+MVxi~\~yi

a±b的充要条件ab=0

,崖2+.U21WJ(x?+-)(兄+yi)

|a•〃与同网的关系|a力其同网

1.数量积运算律要准确理解、应用，

例如，a?=<rc(aWO)不能得出8=c,两边不能约去一个向量.

2.a力=0不能推出a=0或8=0,因为a力=0时，有可能a_LA.

3.在用同=行求向量的模时，一定要先求出/再进行开方.

考点一、求平面向量的数量积

典例引领

1.(2022・全国・高考真题)已知向量2》满足向=1,向=6,|2-2司=3,则£石=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：•.M—2盯=|秆一4限彼+4同，

X-\a\=l,\b\=y/3,\a-2b|=3,

••-9=l-4a-i+4x3=13-4a-^，

-a-b=1

故选：C.

2.(2024•山东潍坊•三模)已知向量:=(1,2)范=(4,一2),」=(1㈤,^c-(2a+b)=O,则实数2=

【答案】-3

【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.

【详解】2a+S=(2,4)+(4,-2)=(6,2),

c.(2a+^)=(l,2).(6,2)=6+22=0,

解得彳=-3.

故答案为：-3

•全国•高考真题)已知向量=。，忖=邛第

3.(2021a+B+c1=2，a-b+b-c+c-a-_____•

【答案】-，

【分析】由已知可得仅+5+今2=0,展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得(a+各+c)=a+b+c+2^a-b+b-c+c-a^=9+2^a-b+b-c+c-a^=0,

因止匕，a-b+b-c+c-a=--.

2

o

故答案为：一万.

4.(2024・全国•模拟预测)如图所示，在边长为2的等边。3C中，点E为中线2D的三等分点(靠近点

2),点尸为3c的中点，贝！1丽.丽=()

【答案】D

【分析】由平面向量数量积公式以及平面向量基本定理求解结果.

【详解】由己知有|茄|=2,|就|=2,ZABC=60°,

所以瓦就=|网数|cosN/8C=2x2xg=2.

已知。是/C的中点，则彷=」(血+就)，BE=-BD=-(BA+BC),BF=FC=-BC,

2362

■—*—-I—►—►I—►I.I—►

所以FE=BE—BF=—(BA+BC)——BC=—BA——BC,

6263

则丽・丽=仕莎」能数］=」防灰+工济=」><2+口4」.

(63八2J1261262

故选：D.

即时检测

1.(2023•全国•高考真题)正方形48CD的边长是2,E是48的中点，则反.而=()

A.V5B.3C.275D.5

【答案】B

【分析】方法一：以｛方，而｝为基底向量表示正，而，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以｛布，而｝为基底向量，可知|方|=|诟|=2,标.石=0,

-------->--------*-------->I-------->---------►-------->------->--------->I-------->--------->

则EC=EB+BC=—AB+AD,ED=EA+AD=一一AB+AD,

22

--->--->(1--->----(1--->----1----------->2-------->2

所以•班=+[―务/吕+力。=一^/吕+AD=-1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

则E(l,0),C(2,2),Z)(0,2),可得反=(1,2),方=(-1,2),

所以反.历=-1+4=3；

方法三：由题意可得：ED=EC=V5,CD=2,

DE*CE2-DC?5+5-4_3

在ACOE中,由余弦定理可得cosNDEC=

2DE-CE2x^5xVs5

所以反.诟=|瓦^丽]cos/DEC=V5xV5Xy=3.

2.(2024•黑龙江・二模)已知向量。=0,〃7),B=(",6),若石=33，则>

【答案】15

【分析】根据向量共线的坐标表示求出加和〃，再利用向量数量积的坐标表示求解即可.

【详解】,•,石=33，即（〃,6）=（3,3刃），：.〃=3,m=2,

■-a=[1,2）,3=（3,6）,••・£.5=1x3+2x6=15.

故答案为：15.

3.（2022・全国•高考真题）设向量刃的夹角的余弦值为:，且忖=1,恸=3,则（2£+办”=.

【答案】11

【分析】设"与否的夹角为。，依题意可得cos9=；,再根据数量积的定义求出7孔最后根据数量积的运

算律计算可得.

【详解】解：设a与刃的夹角为凡因为a与■的夹角的余弦值为g,即cosO=g,

又忖=1,利=3,所以a4=|aH*os6=lx3xg=l,

所以（24+刃）.否=20/+否2=20％+恸=2x1+32=11.

故答案为：11.

4.2024,河北衡水,模拟预测）在AABC中,ABAC=60°,画=6,|就卜3,而=2MB,CN=丽？，贝U宙.赤=

（）

A.-9B.—C.9D.18

2

【答案】C

【分析】将把亦与无用在，前来表示，进而利用平面向量的数量积即可求解.

【详解】AN=^AC+^AM+CB=AB-AC.

不；荏1（冠-冠）

=-1B^+-AB-AC--AC^=n+-x6x3x---^9.

362622

故选：C.

考点二、辨析数量积的运算律

典例引领

1.（2021•浙江•高考真题）已知非零向量工标，则是"1"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】

如图所示，方=区砺=*无=口方="石,当/BLOC时，与"垂直，"斗；=0，所以

u•c-h*c成乂，止匕时G手b，

春总白彖方不是5=b的充分条件,

—►—►\~►—>—>

（a-b）-c=O-c=O,；.£.Z=B.3成立，

唾藁』窗遍是2=行的必要条件，

综上，“嬴后」国蕊"是吗=斤的必要不充分条件

2.（湖北•高考真题）已知京为非零的平面向量.甲：为用=小1,乙：b=c，贝1J（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【分析】根据向量运算法则，结合充分，必要条件的定义，即可判断.

【详解】若展$=晨3,则鼠,-勾=0,因为落瓦万为非零的平面向量，

所以或所以甲不是乙的充分条件，

反过来，b=c,能推出晨B=»京，所以甲是乙的必要条件.

综上可知，甲是乙的必要条件，但不是充分条件.

故选：B

3.(上海・高考真题)若人工均为任意向量，加eR,则下列等式不一定成立的是()

A.(a+S)+c=a+(S+c)B.(a+b)-c=a-c+b-c

C.m(a+Z))=ma+mbD.(a-b)c=a(b-c)

【答案】D

【分析】根据向量加法、数量积、数乘运算的运算法则判断.

【详解】选项A是向量加法的结合律，正确；

选项B是向量数量积运算对加法的分配律，正确；

选项C是数乘运算对向量加法的分配律，正确；

选项D.根据数量积和数乘定义，等式左边是与"共线的向量，右边是与£共线的向量，两者一般不可能相

等，也即向量的数量积运算没有结合律存在.D错.

故选：D.

4.(2023・全国•模拟预测)设是三个非零的平面向量，且相互不共线，则下列结论正确的是()

A,0中=但+B.\a-b\<a-b

c.@中甘・诙与.垂直D.|a|-|s|<|a-s|

【答案】c

【分析】利用平面向量的运算求解.

【详解】选项A：因为Z,瓦"是三个非零的平面向量，且相互不共线，

所以々I不会同时与B垂直，所以7否与讥"不会同时为0，

所以0豆片小牛，故A错误；(注意向量的数量积为一个常数)

选项B：a%="Wcos卜,族)，由于cos(a,g)W^os,，用，

(点拨：向量夹角的取值范围是［0,兀］)所以0片4/例，故B错误；

选项c：因为［0期一伍.工问•［0研>+0日口引=0，

且由/知(。不卜与(^c)a不相等，所以(a•qc-("c)a与否垂直，

(点拨：若两向量的数量积为0,则两向量垂直)故C正确；

选项D：因为2］是非零向量，且不共线，所以设况=£,砺=九

从而**网，在◎3中，两边之差小于第三边，所以问-忖<|力|，

（提示：Z花不共线，所以问-。卜|£一,中的等号不成立）故D错误.

故选:C.

5.（22-23高三上•江苏扬州•开学考试）（多选）关于平面向量泊下列说法不正确的是（）

A.若,则-=3

B.[d,+b^'C=a-c+b-C

c.若万2=庐,则行.,=3]

D.（万石）•U=e-cj-a

【答案】ACD

【分析】由数量积性质可判断A,由分配律可判断B,由相反向量可判断C,由向量垂直可以判断D.

【详解】对于A,若则不一定有5=别A错误；

对于B,根据分配律即可得到，B正确；

对于C,若12=人2,贝|J可能]=—B，那么鼠/工儿三,C错误；

对于D,若方从，则有小3=0,那么就不一定有（，同/=（而）•*D错误.

故选：ACD

考点三、模长综合计算

典例引领

1.（2022•全国•高考真题）已知向量Z=（2,l）Z=（-2,4）,则『-可（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得15,然后求得

【详解】因为2-3=（2,1）-（一2,4）=（4,-3）,所以忖_耳="2+（-3）2=5.

故选：D

2.（2024•全国•高考真题）已知向量£,否满足卜|=1,k+2M=2,且®则问=（）

A.；B.eC.立D.1

222

【答案】B

【分析】由R"）4得片=2鼠九结合同=南+2©=2,得1+40%+3=1+67=4，由此即可得解.

【详解】因为6-2q，人所以0-2q石=0,即片=275，

又因为|,=邛+2闸=2,

所以1+4屋区+4片=1+6石2=4，

从而w=等.

故选：B.

3.(2024・广东肇庆•模拟预测)已知是单位向量，且它们的夹角是60°.若I+=,且

\a\=\b\,则4=()

A.2B.-2C.2或-3D.3或-2

【答案】D

【分析】根据条件将标+2司=同-司两边平方，然后利用数量积的运算律计算即可.

【详解】a\=\b\,即|q+2e2卜

,+4,•e2+4e2-Xex—22,•q+与

1.1

l+4xlxlx—+4=22-22xlxlx—+1

22

解得/I=3或X=-2.

故选：D.

4.(2024高三下•全国,专题练习)已知向量7=(-1,2),向量B满足卜-q=2右，且cos〈£,B〉=(,则⑸=

()

A.V5B.5C.5D.25

【答案】B

【分析】由|2-彳=仅-否)2,利用向量数量积运算和向量的模即可求解.

【详解】由于向量Z=(T2),可得同=氐

由|£_3]=26,得卜—二(Q_g『二卜『—2卜|同COS(Q,B)+国2=20,

故5-20、,£+用=20,得用一2恸一15=0,得|4=5或恸=-3(舍去).

所以可=5

故选：B

即时检测

1.（2024・陕西榆林•二模）若向量@=-1），=（血机,3）,|初=|B|,则加=（）

A.-4B.-3C.一2拒D.-2

【答案】A

【分析】根据同=同，从而可得力+（〃-1）2=2疗+9,从而可求解.

【详解】若同=同，则诲即加？+（加一1）2=2比2+9,解得机=一4.故A正确.

故选：A.

2.（2024.陕西西安•模拟预测）已知向量£=（%"?）,m&R,1=（0,2）,贝电+闸的最小值为.

【答案】6

【分析】根据复数的坐标运算和复数模的坐标表示得到B+4=,2（加+1）2+2,再利用二次函数性质即可得

到答案.

【详解】。+3=（加，机+2）,

所以卜+B卜J加2+（加+2『=个2m2+4冽+4=小2（m++2>^2.

当加=-1时等号成立.

故答案为：V2.

3.（2024•广西柳州,模拟预测）已知向量4与B的夹角为60。，且@=问=1,则忖-2*（）.

A.近B.V5C.4D.2

【答案】D

【分析】根据3的坐标求出它的模，利用数量积运算求出所求向量的模.

【详解】由方=（1,6）得，同=2,

又忖=1,贝IjB_2否卜y/a2-4a-b+4b2-V4-4x2xlxCOS60°+4=2.

故选：D.

4.（2024・湖南长沙•三模）平面向量a,b,c满足：打人R弓=］，（瓦》=2，且p|=f|=3,\b\=2,

贝lj|a+S+c|=_.

【答案】373+1/1+373

【分析】结合数量积的定义和性质求出£.）、，花和利用'+5+d=J（a+刃+c）即可求出答案.

【详解】因为所以Zi=0,

因为卜|=/卜3,问=2,（a用弋,„兀

所以Q.B=WWcos(a,B)=3x2xcos—=3,

3

b'C=WHcos(B,c)=2x3xcos—=3A/3,

6

因为,+加+c[=(Q+^+C),

,—►f—1期+,+,+2.

a+b+ca-b+a-c+b'C5)=28+6若=(3君+1『，

所以|q+B+

故答案为：373+1.

考点四、夹角综合计算

M!l^

1.(2023•全国•高考真题)已知向量£=(3,1))=(2,2),贝|cos«+瓦£一司=()

A±RV17626

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得|£+阳£-48+4(【可，从而利用平面向量余弦

的运算公式即可得解.

【详解】因为£=(3,1)。=(2,2),所以£+1=(5,3),1一/=(1,-1),

则卜+q=Js?+3?=A/34,—^|=A/1+1=V2,(°+3),(a-=5x1+3x(—1)=2,

/---[a+b\\a-b\2J17

所以cos(a+6,"»J|_公，=后=*•

、/卜+目卜叫V34xV217

故选：B.

2.(2023•全国•高考真题)已知向量扇B忑满足同=|q=1洞=收，且,+B+'=6，则cos®-工石-工〉=

4224

A.B.C.D.

555

【答案】D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为值+B+万=。,所以万+B=—己

即下+庐+2。石=力,即1+1+2方方=2,所以展B=0.

如图，设刀=a,砺=石,加=己，

AB边上的高。0=",/〃=交，

22

所以8=。0+00=及+电=逑，

22

tanZACD=—=~,cosZACD=-1=

CD3加’

cos{a-c,b-c)=cosNACB-cos2ZACD=2cos2NACD-l

故选:D.

3.(2022•全国伺考真题)已知向量0=(3,4)1=(l,0),c=a+R,若va,c>=<>,贝()

A.-6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

,、,、/、9+3/+163+/

【详解】解:苕=（3+f,4）,cos低»=cos（仇刊,即—雨—=百，解得1=5,

故选：C

4.（2023•河南郑州,模拟预测）已知向量方=（6,1）,B=（m-1,3）,若向量I,5的夹角为锐角，则实数机的

取值范围为（）

B.(1+3*^,+00)

D.(1+百,1+3⑹U0+3省,+8)

【答案】C

【分析】根据题意，由鼠彼＞0口限B不共线，再用向量的坐标运算求解即可得答案.

【详解】因为万=（6,1）,b=（m—1,3）,

所以。=y/3（m-1）+3；

因为向量。，5的的夹角为锐角，所以有有（仅-1）+3>0,解得〃?

又当向量汗，5共线时，3A/3—（m—1）=0,解得：m=1+3>/3,

所以实数加的取值范围为（1-/1+3⑹U0+3后+q.

故选：C.

【点睛】本题考查根据向量的夹角范围求参数的范围问题，考查数量积的坐标运算和向量共线的坐标表示,

是中档题.

即时性测

1.（2024・山东日照•三模）已知£和B是两个单位向量，若依可=三，则向量£与向量］一君的夹角为（）

7T7L7L2兀

A.—B.—C.—D.—

6323

【答案】B

【分析】根据平面向量的运算、向量的模的计算公式以及向量的数量积求夹角即可求解.

【详解】因为a和3是单位向量，所以同=忖=1,又因为用3=三,

所以=/_@Z=l_lxlxg=E，

所以石-Bl+l-2xlxlx-=l,

2

一aAa-b1一

所以cos,,d—6=匚1匚一汗二彳，又扇N—6w[0,兀],

|3|-5-/?2

所以向量Z与向量［一力的夹角为土

故选：B.

2.（2024・广东江门•二模）设向量刀=（l,x）,砺=（2,无），则cos〈H1,而〉的最小值为____.

【答案】迪/］血

33

【分析】先求得cos〈瓦I团〉的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值.

―►―►2+x2

【详解】cos〈O4O2〉=j（.+4/+4）,令2+/=人年2）,则工2=』一2,

--►--►T

cos〈OA,OB〉=/=।二।

所以E•”，

当1=!，即/=4/2=2时，cos〈E,赤〉取得最小值，且最小值为迪.

/43

故答案为：迪

3

3.（2024・河北•模拟预测）平面四边形/BCD中,点及尸分别为4D,8C的中点，|。0=21回=8,怪尸|=5,

则cos(/5DC)=()

555V55_23

A.——B.C.D.

1664一_F~40

【答案】A

【分析】由向量的加法法则可得2而=而+诙，两边同时平方可得比.次=10，由平面向量的夹角公式

求解即可.

【详解】因为平面四边形中，点反厂分别为N23C的中点，

所以砺=定+而+瓦=豆+瓦5+荏，

所以2而=元+丽+诙+而+强+次=函+直，

由|。|=2|4刈=8可得：|CD|=8,|/8|=4,

两边同时平方可得：4FE'=^CD+BA）=CD+BA+2CD-BA,

所以4x25=示+/+2①•茄=64+16+2丽.茄，

——ABDC105

解得：。。/8=10,所以c°s/3，℃=同同=而=口

故选：A.

4.（2024・上海•模拟预测）已知向量3,b，3满足同=忖=1,同=收，且3+B+@=6,贝。

4

【答案】y/0.8

【分析】根据已知条件依次求出施=0、标=-1、标=-i,接着求出伍-研分-"、区-日和1司即可

结合向量夹角余弦公式求解.

【详解】由题。+3=V，故,+32=（-靖=^即必+庐+2於1片，

=>l+l+2d・B=2'=^>a*b=0;

222222

a+c=-b,Sft(5+c)=)=bBPa+c+2a-c=b.

=l+2+2N・c=l，=^>a*c=—1;

b+S=-a，故(B+4=(-a)2=a2即后+7+2b-c=a2，

=1+2+2B・C=1，=^>b*c=-1»

所以伍_])•($_B=无3_卜+3忖+m2=212=4,

且区一己|=J(2—己『=后$一2赤=5归/=业_寸=a—斯=5

一{a-c}(b-c\44

所以cosdYb_[=0I/=了--q

|S-c||/)-c|y/5xV55

、,4

故答案为：—.

考点五、垂直综合计算

典例引领

I_________________________

1.(2024•全国•高考真题)设向量N=(x+l,x),彼=(x,2),则()

A."》=-3"是点"的必要条件B.晨=-3"是5/后"的必要条件

C."x=0"是"力『，的充分条件D."x=-l+e"是"Z//V的充分条件

【答案】C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当a_L刃时，则坂=0，

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，a=(l,0),Z>=(0,2),故£彳=0，

所以人即充分性成立，故C正确；

对B,当Z//1时，则2(X+1)=X2,解得x=l土百，即必要性不成立，故B错误；

对D,当x=-l+百时，不满足2(尤+1)=/,所以：/后不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

2.(2024•全国•高考真题)已知向量2=(0,1)3=(2,x),若让色-甸,则「=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.

【详解】因为必匠甸，所以冲-砌=0,

所以]2_4].]=o即4+%2一4%=0,故％=2,

故选：D.

3.(2023•全国•高考真题)已知向量£=(1,1)花=(1,-1),若.+闷，,+闻，则()

A.4+〃=1B.X+//=-1

C.24—1D.2〃——1

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出3+4，%+而,再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详解】因为Q=(1,1),3=。,一1),所以Q+XB=(1+41_4),Q+=+,

由(〃+几否)_L(Q+可得，(Q+•(a+=0,

即(l+4)(l+〃)+(l_4)(l_〃)=0,整理得：加=-l.

故选：D.

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1.(2024・广西•三模)已知向量)=(-1,3)为，分，那么向量B可以是()

A.(1,3)B.1一1,£|C.(3,-1)D.(3,1)

【答案】D

【分析】根据平面向量垂直的坐标表示即可求解.

【详解】对于A,因为(-1,3>(1,3)=—1+9=8*0,所以用B不垂直，故A错误;

对于B,因为(-1,3)1-1,「=1+1=24,所以落彼不垂直，故B错误；

对于C,因为(-1,3)-(3,-1)=-3-3=-630,所以万了不垂直，故C错误；

对于D,因为(-1,3)-(3,1)=-3+3=0,所以故D正确.

故选：D

2.(2024.浙江台州.二模)已知平面向量Z=(2,l),b=(-2,4),若(2£+可乂翁-Z；),则实数几=()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示求解.

【详解】因为£=(2,1),6=(-2,4),

所以2a+6=（2,6）,Atz—b=（2A+2,A—4）,

因为（2Q+B）_L,

所以（23+4画-*（2,6）.（2X+2,；l-4）=4/L+4+6X-24=0,

解得2=2.

故选：D

3.（2023•浙江宁波•一模）若々花是夹角为60°的两个单位向量，茄+B与-31+23垂直，贝慎=（）

1177

A.—B.—C.-D.一

8484

【答案】B

【分析】由题意先分别算出二片,小的值，然后将苏+g与一32+25垂直"等价转换为胸+即卜3々+2可=0,

从而即可求解.

【详解】由题意有。-=卜|=11-=W=1,a-S=|a|-|/j|cos60°=1X1X,

又因为+5与一32+29垂直，

所以俱Z+刀・卜3£+2@=-3/l7+（2/l—3”4+27=-3/U；x（2X-3）+2=0,

整理得-2/1+LO,解得2」.

24

故选:B.

4.（2024・安徽合肥•模拟预测）已知向量1=（2,。，5=（1,2）,若当仁。时，展【同似，当"芍时，

d」B,贝U（）

A.t1=-4,t2=-lB.=-4,t2=l

C.%=4,f2=-1D.%=4,%2=1

【答案】C

【分析】根据向量同向及数量积为0分别建立方程求解.

【详解】当"4时，由展3=同.「可知G与B方向相同，得］=3>0,解得。=4；

当，=，2时，a-b=0f即2+2%=0,解得，2=-L

故选：C

考点六、求投影向量

典例引领

L（2024•山东青岛二模）已知向量1=（-1,2）,6=（-3,1）,则方在B上的投影向量为（）

【答案】A

【分析】利用投影向量的定义直接求解即可.

【详解】依题意，a.S=-lx（-3）+2xl=5,|6|=7（-3）2+l2=V10,

所以3在B上的投影向量为震6==

U乙乙乙

故选：A

2.（2023•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知向量0》满足同=2石=（3,0）,5-同=/记，则向量3在向量]方向

上的投影向量为（）

【答案】C

【分析】将归-'=】而两边平方求出Z片,然后由投影向量公式可得.

【详解】因为同=2，W=3,

所以忖叫=52-23-6+62=22-23-6+32=10,得0/二万,

_3

所以向量Z在向量B方向上的投影向量为a23=25=工（3,0）=[10].

园296l，＞UJ

故选：C

1一

3.（2024•安徽马鞍山•模拟预测）已知平面向量。与B满足:5在B方向上的投影向量为B在方方向上

4

的投影向量为心且同=2,则问=（）

A.V3B.2C.273D.4

【答案】D

【分析】根据投影向量的定义，即可求解.

Ia-bb1a-b_

【详解】。在B方向上的投影向量为同*丽下=＞r即阿丁,①

Irla-ba一a-b,

B在日方向上的投影向量为|华丽*冏=a,即=1,（②

由①②得4=；,又同=2,所以9=4.

\b\

故选：D

________\--,--►

~ABHe—、ABAC1

4.（2024•湖南长沙•模拟预测）已知非零向量方与4C满足i=q+i=d•BC=6,且=”则向

UdkuIM"2

量而在向量无上的投影向量为（）

A.-CBB.-CBC.--CBD.--CB

2222

【答案】B

【分析】根据给定条件，确定“BC的形状，再利用投影向量的意义求解作答

AC

【详解】因为义和可分别表示向量方和向量就方向上的单位向量,

\AB\\AC\

（___,___k\

~AUAT___.

由尸可+mBC=0,可得//的角平分线与5c垂直，

所以O8C为等腰三角形，S.AB^AC,

ABAC1ABAC所以cos（在,元）=；,

又丽,扃=5,得•cos

AB\\AC\同国I

又（存兀］,所以/=（9，就）=5，

所以。8C为等边三角形，

——k——>——*—ICBI2

所以向量而在向量无上的投影向量为中£4名=2=一.而=工赤,

\CB\\CB\|CS|22

故选：B.

即回啊

1.（23-24高三下•湖北•开学考试）已知G是单位向量,且|2G-同=756,3+23在G上的投影向量为53,贝!

与）的夹角为（)

n71715兀

A.一B.1C.一D.——

64312

【答案】B

【分析】根据陛-司=丽,，推理得到求一4鼠0=6,再由投影向量求得展3=3,联立得到同=30,利

用两向量的夹角公式计算即得.

【详解】因为e是单位向量，且陛-司=9，

两边平方得，4e2-45-e+a2=10,BPa2-4a-e=6（*）,

（a+2eYe

由G+2G在己上的投影向量为52,可得一o-----e=5e,

所以伍+2到3=5,即晨）=3,代入（*）可得，月=18,即同=3a,

印”--a-e3V2

所以cos”,e=rqrq-=—f==—,

\a\\e\3j22

因为2,Ge[0,兀],所以=

故选：B.

2.（2024・浙江绍兴•三模）若非零向量万，3满足同=问=忖+可，则）+23在3方向上的投影向量为（）

一3f-1T

A.2bB.—bC.bD.一b

22

【答案】B

【分析】利用向量的模长关系可得aZ=-号,2,再由投影向量的定义即可求出结果.

【详解】根据题意同=忖=卜+可可得同2=4,

所以2同2cos他3〉+同~=0,则cos（3»=_g

所以小92=-躯2,

-五-七七J1Vl的旦…口Ja+2讣B-33+2同--1―5+2）/-3-

则11+26在b方向上的投影向重为1-------L—b=------——乙——b=~b-

w2Fl2附2

故选：B

3.（2024•全国■模拟预测）已知向量1=（2,%）,B=c=（m+l,-l）,若bile，则B在@上

的投影向量为（）

【答案】D

【分析】根据已知条件求得加，”的值，得到加和@+e的坐标，即可利用投影向量的公式进行求解.