直线与圆的方程（原卷版）-2024-2025学年高二数学复习（人教版选择性必修第一册）

第二章直线与圆的方程（知识归纳+题型突破）

课标要求

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；

2.理解直线倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式;

3.能根据斜率判定两条直线平行和垂直；

4.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）；

5.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；

6.探索并掌握平面上两点间的距离公式,点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；

7.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；

8.判断直线与圆、圆与圆的位置关系；

9.用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.

基础知识归纳

一、直线的倾斜角与斜率

1.直线的倾斜角

（1）倾斜角的定义

①当直线/与x轴相交时，我们以无轴为基准，x轴正向与直线/向上的方向之间所成的角a叫做直线/

的倾斜角.

②当直线/与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。.

（2）直线的倾斜角a的取值范围为0°3z<180°.

2.直线的斜率

（1）直线的斜率

把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母女表示，即/tana.

（2）斜率与倾斜角的对应关系

1/1i

图示——._JL0

。/0x\1X°

倾斜角（范围）。=0°0°<a<90°a-=90°90°<a<180°

斜率（范围）k=ak>0不存在k<0

（3）过两点的直线的斜率公式

过两点P（无I，>1）,尸2（&，丫2）0#X2）的直线的斜率公式为％="二^

X2—即

【注】(1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系.

(2)涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解.

二、两条直线平行和垂直的判定

1.两条直线(不重合)平行的判定

2.两条直线垂直的判定

【注】判断两条直线是否垂直时:

在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于一1即可，但应注意有一条直线与

尤轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.

三、直线的方程

1.直线的点斜式方程

(1)直线的点斜式方程的定义：

设直线/经过一点斜率为左，则方程y—为=左0—X。)叫作直线/的点斜式方程.

(2)点斜式方程的使用方法：

①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角a=90。，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，

但因为/上每一个点的横坐标都等于尤1，所以直线方程为x=xi；若直线的倾斜角a户90。，则直线的斜率

k=tana，直线的方程为y—y0=(tana)"(x—x0).

2.直线的斜截式方程

(1)直线的斜截式方程的定义：

设直线/的斜率为公在y轴上的截距为方，则直线方程为产fct+b,这个方程叫作直线/的斜截式方程.

九(0,6)

0于0

OX

(2)斜截式方程的使用方法：

已知直线的斜率以及直线在y轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.

3.直线的两点式方程

(1)直线的两点式方程的定义：

设直线I经过两点尸|(汨,%)，R02,为),弘抄2)，则方程卫二江=二二工叫作直线I的两点式

yi—%12—

方程.

(2)两点式方程的使用方法：

①已知直线上的两个点已(汨,弘)，尸2(9,为)，且X#X2,%分2时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当％=孙，M处2时，直线方程为X=X|(或X=X2).

③当X1，X2,M=%时，直线方程为v=M(或了=%).

4.直线的截距式方程

(1)直线的截距式方程的定义：

设直线/在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为6,且时0,卬0,则方程?+?=1叫作直线/的截

距式方程.

8(0,6)/

A(a,0)

~O~*

(2)直线的截距式方程的适用范围：

选用截距式方程的条件是存0,以0,即直线/在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示

过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行(或重合)的直线.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直线在无轴上的截距、y轴上的截距，且都不为。时，可以直接使用该公式求直线方程.

②已知直线在无轴上的截距、y轴上的截距，且都为。时，可设直线方程为＞=质，利用直线经过的点的

坐标求解左，得到直线方程.

5.直线的一般式方程

(1)直线的一般式方程的定义：

在平面直角坐标系中，任何一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一

次方程Ax+8y+C=0(其中A,B不同时为0)叫作直线的一般式方程.

对于方程Ax+By+C=O（A,B不全为0）：

ArAC

当毋0时，方程Ac+8y+C=0可以写成尸-怖x-1，它表示斜率为在y轴上的截距为-1的直

DDDJD

线.特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.

C

当8=0时，A#0,方程Ax+3y+C=0可以写成x二—-,它表水垂直于x轴的直线.

（2）一般式方程的使用方法：

直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.

6.辨析直线方程的五种形式

方程形式直线方程局限性选择条件

不能表示与x轴垂①已知斜率；②已知

点斜式y-y=k(x-x)

0<0直的直线一点

不能表示与X轴垂①已知在y轴上的截

斜截式y=kx+b

直的直线距;②已知斜率

不能表示与X轴、①已知两个定点；②己

两点式y—y[―一0

=y轴垂直的直线知两个截距

z/2-yix2-g

不能表示与X轴垂①已知两个截距；②已

T=i

截距式ab直、与y轴垂直、知直线与两条坐标轴

过原点的直线围成的三角形的面积

求直线方程的最后结

Ax+By+C=O

一般式表示所有的直线果均可以化为一般式

(A,B不全为0)

方程

7.方向向量与直线的参数方程

除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧

密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.

如图1,设直线/经过点尸（X。,％）,v=O,w）是它的一个方向向量，P（无,y）是直线/上的任意一点，则向

---->->---->->

量尸与V共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数3使尸。尸=小，即（》_刈”_为）句（九”），所以

x=Xo+mt

①.

y=y0+nt

在①中，实数f是对应点尸的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线/上的任意一点尸（无,y）,存在唯一实数f使①成立；反之，对于参数f的每一个确

定的值，由①可以确定直线/上的一个点尸（x,y）.我们把①称为直线的参数方程.

四、求直线方程的方法

1.求直线方程的一般方法

（1）直接法

直线方程形式的选择方法：

①已知一点常选择点斜式；

②己知斜率选择斜截式或点斜式；

③已知在两坐标轴上的截距用截距式；

④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.

（2）待定系数法

先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.

利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.

若已知直线过定点/（x。,％），则可以利用直线的点斜式y-y0=k\x-x。）求方程，也可以利用斜截式、

截距式等求解（利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况）.

2.两条直线的位置关系

斜截式一般式

劣+Bi?+Ci=0（4：+W0）

l\\y=k\x+b\

方程

h:y=kvc+bi

l2-A2x+B2y+C2=0（^2+%W0）

AB2-（当儿昆力。时，记为4-耳）

相交k\=t=ki石R瓦

442+8由2=0（当332片0时，记为4A2_）

垂直瓦,瓦=―

fA1B2-A2B1=O或JA1B2-A2B1=O

BIC2—B2cl手014c2—401/0

平行k\=ki且、

（当42星。2/0时，记为劣_旦G）

4与2。2

Ai=XA2,Bi=X,B2,Ci=kC2(X^O)

重合女尸左2且b\=bi(当时，记为劣=旦=&)

-A,2与2。2

五、直线的交点与距离

1.两条直线的交点坐标

(1)两条直线的交点坐标

:二芝二;’,若方程组有唯一解，则两条直线相

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组22

交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多

解，则两条直线重合.

(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系

设两直线+Biy+G=0(4?+厌手，直线+B2y+C2=0(芯+B升0).

方程组r),,「八的解

4x+Dy+G=0

一组无数组无解

[A2x+B2y+C2=0

直线Z1和/2的公共点个数一个无数个零个

直线/1和h的位置关系相交重合平行

1.两点间的距离公式

22

平面内两点尸I(XQ1),尸2(》2,无)间的距离公式为|尸|尸』=V(x2—X,)+(y2—yd.

特别地，原点0到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=，x2+*.

2.点到直线的距离公式

⑴定义：

点P到直线/的距离，就是从点P到直线/的垂线段尸。的长度，其中。是垂足.实质上，点到直线的

距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离.

(2)公式:

\Ax+By+C|

已知一个定点尸Go,%),一条直线为/:Ax+2y+C=0,则定点尸到直线/的距离为d=00

y/A2+B2

3.两条平行直线间的距离公式

⑴定义

两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长.

(2)公式

设有两条平行直线h+为+G=0,l2-.Ax+By+C2=Q,则它们之间的距离为d=塌岩?.

4.中点坐标公式

公式：

Xi+X2

设平面上两点B3,M),尸2(尤2,为)，线段RB的中点为M(X。,%),则《

六、圆的方程

1.圆的定义

圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径).

圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.

2.圆的标准方程

(1)圆的标准方程：方程(x—a)2+(y—6)2=〃(>0)叫作以点3力)为圆心，厂为半径的圆的标准方程.

(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.

(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此

在一般条件下，只要己知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.

3.圆的一般方程

(1)方程/+y2+Dx+Ey+F=0(£>2+E?-4/>0)叫做圆的一般方程.

(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因

此在一般条件下，只要己知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.

下列情况比较适用圆的一般方程：

①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数。，E,F-,

②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心卜-亨)代入圆心所在的直线

方程，求待定系数E,F.

4.二元二次方程与圆的方程

(1)二元二次方程与圆的方程的关系：

二元二次方程//+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O,对比圆的一般方程—+y2++£>+F=0

+£2—4尸>0),我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的

方程.

(2)二元二次方程表示圆的条件:

二元二次方程//+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F

F

>0

5.点与圆的位置关系

(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.

W

⑵圆A的标准方程为(x—a)2+3—6)2=*,圆心为/(“/),半径为r(r>0)；圆A的一般方程为

2222>

x+y+Dx+Ey+F=0(<D+E-4F>0).平面内一点MQ。,％).

判断方法

位置关系

几何法代数法(标准方程)代数法(一般方程)

点在圆上\MA\=r(xo-a)2+(yo-Z?)2=r2

Xo+yo+Dx0+Ey0+F=0

2

点在圆内\MA\<r(xo-a)+(yo-b)若+谛+DXQ+Ey0+F<0

2

点在圆外\MA\>r(xo-a)+(yo-Z7)2>产笳+必+DXQ+Ey。+F>0

七、直线与圆的位置关系

1.直线与圆的位置关系及判定方法

(1)直线与圆的位置关系及方程组的情况如下:

位置相交相切相离

交点个数两个一个零个

图形(

d与r的关系d<rd=rd>r

方程组有两组不

仅有一组解无解

解的情况同的解

(2)直线与圆的位置关系的判定方法

①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的

实数解，即\>0,则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即、=0,则直线与圆相切；若无实数解，即

A<o,则直线与圆相离.

②几何法：由圆心到直线的距离［与半径厂的大小来判断，当衣厂时，直线与圆相交；当心7■时，直线

与圆相切；当上厂时，直线与圆相离.

2.圆的切线及切线方程

(1)自一点引圆的切线的条数：

①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

（2）求过圆上的一点（x。,％）的圆的切线方程：

①求法：先求切点与圆心连线的斜率%（厚0）,则由垂直关系可知切线斜率为由点斜式方程可求

得切线方程.如果金。或左不存在，则由图形可直接得切线方程.

②重要结论：

2

a.经过圆/+=/2上一点尸（10,外）的切线方程为了0、+yoy=r.

2

b.经过圆（x—ay+（y—bY—r上一点P（x0,^0）的切线方程为（%o—。）（%—。）+（乂）一份（v—6）=/.

c.经过圆工2+歹2+m+份+尸=0上一点尸（XoJo）的切线方程为Xox+vo）+。•".X。+E,+F

=0.

3.圆的弦长问题

设直线/的方程为产丘+加圆。的方程为（工—死尸+白一%）2=〃，求弦长的方法有以下几种：

（1）几何法

如图所示，半径八圆心到直线的距离小弦长/三者具有关系式：r2=c/2+^y.

（2）代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为皿礼乂）,8（向/2）.

①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解.

y=kx+b

②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元

2

(X—x0)+(y—%)2=r-

二次方程中根与系数的关系可得X1+X2,X1•X2或%+玖,了2的关系式，通常把程引=与1+左2同一可或

\AB\=3一叫作弦长公式.

九、圆与圆的位置关系

1.圆与圆的位置关系及判断方法

（1）圆与圆的位置关系

圆与圆有五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含，其中外离和内含统称为相离，外切和内切

统称为相切.

0

外离外切相交

内切内含

(2)圆与圆的位置关系的判定方法

①利用圆心距和两圆半径比较大小(几何法)：

222

设两圆(x—Oj)+(j—瓦)=疗与(x—a2)+(y—仇)2=以的圆心距为d,则

d=\/(02—mF+(。2—bl)。，两圆的位置关系表示如下:

位置关系关系式图示公切线条数

外离d>门+设四条

外切d=n+r2三条

£

|n-r2|<J<n+r

相交两条

2

内切d=\n-r2\一条

内含0<J<|n-r2|©无

②代数法：联立两圆方程，根据方程组解的个数即可作出判断.

当A>0时，两圆有两个公共点，相交；当A=0时，两圆只有一个公共点，包括内切与外切；当A<0时,

两圆无公共点，包括内含与外离.

2.两圆的公切线

(1)两圆公切线的定义

两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线.

(2)两圆的公切线位置的5种情况

①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线；

②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线；

③相交时，有2条公切线，都是外公切线；

④内切时，有1条公切线；

⑤内含时，无公切线.

判断两圆公切线的条数，实质就是判断两圆的位置关系。

(3)求两圆公切线方程的方法

求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法，

设公切线的方程为广区+6,最后根据相切的条件，得到关于匕b的方程组，求出匕6的值即可.要注意公切线

的斜率可能不存在.

3.两圆的公共弦问题

(1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法

两圆相交时，有一条公共弦，如图所示.

设圆Ci+F+A尤+By+E=0,①

圆C2：X?+必++瓦了+产2=0，②

①-②，得(Di—2)x+(Ei—&)»+耳—巴=0,③

若圆G与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若尸(x。,％)为圆C1与圆C?的交点，则点

尸(无0,为)满足k+7o+DiXo+Exy0+Fj=0且而+yo+D2x0+E2y0+F2=0,所以

(A-。2)沏+㈤一Ejy。+Fl—尸2=o.即点尸(沏,珀适合直线方程，故尸(沏,％)在③所对应的直线上，③

表示过两圆G与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程.

(2)求两圆公共弦长的方法

①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长.

②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股

定理求出公共弦长.

重要题型

题型一直线的倾斜角与斜率

【例1】若直线=与直线2x+3y-6=。的交点位于第一象限，则直线/的倾斜角的取值范围是

反思总结

(1)对于一条与a轴相交的直线，以a轴为基准，x轴正向与直线I向上的方向之间所成的角a,即为直线/的倾

斜角，也就是说把a轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时,所转的最小正角记为a,那么a就称为直线

的倾斜角.

(2)规定:当直线1与a轴平行或重合时,它的倾斜角为0.

(3)范围:直线的倾斜角a的取值范围是［0,z).

(4)斜率公式:经过P(Xl,%),P(尤2J2)(尤度尤2)＞两点的直线的斜率为左=^二工

(5)任何一条直线都有倾斜角，但并非所有直线都有斜率，倾斜角为，的直线斜率不存在.

巩固训练：

2

1.已知直线4：y=2x+3a,l2：y=(a+l)x+3,若“/J,则a=()

B.-1

D.±1

2.已知直线6：x+ay_2=0,/2:(a+l)x-ay+l=0,若qia=-2,则〃是q的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知直线4:依+3y+4=0,:x+(a—2)y—5=0,贝。

A.若a=l,贝也的一个方向向量为(3,—1)B.若1八,则。=—1或。=3

3

C.若则a=：D.若4不经过第二象限，贝UaVO

4.已知直线〃经过4(3,〃?),3(机-1,2),直线〃经过点C(l,2),£>(-2,"?+2).

⑴若〃〃〃,求"，的值；

(2)若乙，/2,求机的值.

题型二直线的方程

【例2】过点尸(3,0)作一条直线/,它夹在两条直线心2尤-y-2=0和3x+y+3=0之间的线段恰被点尸

平分，则直线/的方程为()

A.8x+y—24=0B.8x—y-24=0

C.8x+y+24=0D.x+8y+24=0

反思总结

求直线方程是解析几何中的基础知识与基本技能。求直线的方程，一般采用待定系数法,将直线方程设成点斜

式或斜截式。或者根据题目条件的特点，使用其他直线方程的基本形式。

直线方程综合问题的两大类型及解法

(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中X,y的关系，将问题转化为关于武或y)的函数，借助函数

的性质解决.

(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.

巩固训练

1.求满足下列条件的直线方程.

⑴经过点4(-1,-3),且斜率等于直线3x+8y-l=0斜率的3倍；

(2)过点“(0,4),且与两坐标轴围成的三角形的面积为12.

2.已知直线4：办+2〉-12=0,直线4过点A(T,1),.在①直线4的斜率是直线>=x的斜率

的2倍，②直线4不过原点且在无轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，这两个条件中任选一个，补充在

上面的横线中，并解答下列问题.

(1)求4的一般式方程；

⑵若《与4在无轴上的截距相等，求“的值.

3.已知直线小(2+m)x+(l—2〃?)y+4-3〃?=0.求证：无论相为何实数，直线4恒过一定点

4.设直线/的方程为(a+l)x+y+2_a=0(aeR)

(1)若/在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.

(2)若直线/交x轴正半轴于点A,交y轴负半轴于点8,4103的面积为S,求S的最小值并求此时直线/

的方程.

题型三直线的交点坐标与距离公式

［例3］已知动直线加：尢t-y+4=0和"：x+Ay-3-2A=0,P是两直线的交点，A、B是两直线机和〃分

别过的定点，下列说法正确的是()

A.8点的坐标为(3,-2)B.m±n

C.|上4卜归回的最大值为10D.P的轨迹方程为f+/-2x—2y-3=0

反思总结

(1)求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标.

(2)求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可

借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程.

利用距离公式应注意的点

(1)点P(xo，yo)到直线x=a的距离d=|xo—a|,到直线y=b的距离d=|y()—b|.

(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x,y的系数化为相等.

巩固训练

1.若动点4（演,%）,2（尤2,必）分别在直线4：X+»-7=0和:尤+y-5=0上移动，则AB的中点M到原点距离

的最小值为（）

A.372B.2C.72D.4

2.直线/：》-（左2+1卜+左2=0与圆C：/+y2=i的交点个数不可能为（）

A.0B.1C.2D.3

3.已知直线/：（2a+3）x-（a-l）y+3a+7=0,aeR.

（1）证明直线/过定点A,并求出点A的坐标；

（2）在（1）的条件下，若直线/'过点A,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的求直线/'的方程；

（3）若直线/不经过第四象限，求。的取值范围.

4.已知三条直线；ll：2x-y+a=0,/2:4x-2y-l=0,/3：x+y-\=0,且原点到直线《的距离是竽.

⑴求a的值；

（2）若a>0,能否找到一点尸，使P同时满足下列三个条件：①点尸在第一象限；②点P到4的距离是点P到

4的距离的2倍；③点P到4的距离与点尸到。的距离之比是夜:君，若能，求点P的坐标；若不能，说明

理由.

5.若三条直线》+>-3=0户->+1=0,尔+77-5=。相交于同一点，则点（九〃）到原点的距离的最小值

为,,

题型四直线综合

［例4］如图，射线OA,。8所在直线的方向向量分别为1=（1#）,不=（1,-左）（左>0）,点尸在一493内,

PM_LQ4于M,PNLOB于N.

（1）若％=1,尸［I］］，求|。闾的值；

（2）若尸（2,1）,AOMP的面积是求上的值；

（3）已知上为常数，M,N的中点为T,且％MON=［当P变化时，求|。刀的取值范围.

K

反思总结

定点问题：

（一）将直线方程化为点斜式y—yo=k（x—xo）,则直线过定点（xo,yo）

（二）含参直线方程转化为等式恒成立问题

直线1恒过定点说明与参数的取值无关，求定点只需把方程整理成关于参数的式子，令参数的系数为零。

（三）从特殊到一般

从直线系的角度看方程,交点即为定点.所以要求定点、定值,可以先根据特殊位置找到这个定点（定值）,明确了

解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.

巩固训练

1.已知“BC的顶点B（5,-l）,C（l,3）,设AABC的外心（三边中垂线的交点）到直线BC的距

,h

离为d,垂心（三边高的交点）到顶点A的距离为3则==.

a

2.已知不同的两点2（“,-6）,。（6+1,“-1）关于点（3,4）对称，则必=.

题型五圆的方程

［例5］方程/+、2+m+万丫+尸=0表示的曲线是以（-2,3）为圆心，4为半径的圆，则的值分别为（）

A.4,—6,3B.—4,6,3

C.—4,6,-3D.4,—6,—3

反思总结

求解圆的方程常用思路：

一是结合平面图形的有关特点，先求圆心坐标和半径,再利用圆的标准方程写出圆的方程；

二是充分利用待定系数法，先设圆的方程为一般式(或标准式)，再结合题设求得参数D,E,F(或a,b,r)的值,

这样就可以写出圆的方程.

巩固训练

1.圆/+/+以-1=0关于点(0,0)对称的圆的标准方程为()

A.X2+/-4%-1=0B.x2+(y-2)2=5

C.x2+y2+8x+15=0D.(x-2)2+y2=5

2.若圆/+一依+2y+i=。与圆/+>2=1关于直线y=x-i对称，过点C(—°,°)的圆p与>轴相切，贝帼

心P的轨迹方程为()

A.;/-4x+4y+8=0B.;/-2元一2'+2=0

C.y2+4%-4y+8=0D.^2-2x-y—1=0

3.已知圆的一条直径的端点分别是A(-l,0),B(3,-4),则该圆的方程为.

4.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,2的距离之比为定值4(4*1)的点的轨迹是圆，

此圆被称为“阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系xQv中，A(-2,0),3(4,0),点p满足前>=7.设点P的

轨迹为C.

①轨迹C的方程为(X+4)2+/=9.

PD1

②在x轴上存在异于A,2的两点使得々=彳.

PE2

③当三点不共线时，射线PO是NAPB的角平分线.

④在C上存在点使得|同0|=2|八例.

以上说法正确的序号是.

5.点尸(-3,1)在动直线m(x-l)+-1)=0上的投影为点M,若点N(3,3),那么|上例的最小值为.

题型六直线与圆的位置关系

［例6］若直线/：入7-2=0与曲线c：713g产=尸1有两个不同的交点，则实数%的取值范围是（）

A•与2］B.（*4）C.唱2］D.GT

反思总结

弦长问题：

但凡涉及直线与圆的位置关系时，都会遇到弦长问题，但高考中单纯的以求弦长为目标的问题较少。小题中大

多是已知弦长求参数的值（范围）这一类的逆向思维问题,大题中往往是将弦长作为条件的综合问题，因此，弦长

问题举足轻重。

解决直线被圆截得的弦长问题的核心:在由弦心距（即圆心到直线的距离）弦长的一半及半径所构成的直角三

角形中运用勾股定理进行计算。

最值与范围问题：

最值问题是范围问题的特例，因此，研究的方法、手段基本相同。在处理直线与圆的方程的最值与范围问题时,

主要有以下两种途径:一是利用圆的几何性质直接判断，如过圆内一个定点的弦长的最值与范围问题,就可以

结合图形利用弦长与弦心距之间的关系进行判断;二是构建目标函数的解析式，然后利用函数或基本不等式

研究最值与范围。另外，在特定的情境中，利用“三角形两边之差小于第三边”来研究最值与范围问题可以取到

意想不到的效果。

巩固训练

1.已知圆。：/+y=4,过直线/：x+y-6=0上一点尸作圆。的两条切线，切点分别为贝I］（）

A.若点P（2,4）,则直线A3的方程为x+2y—2=0B.四边形X4O3面积的最小值为2&Z

C.线段的最小值为短D.点。始终在以线段为直径