2024-2025学年高考数学一轮复习讲义：讲复数（分层训练）（学生版+解析）

第05讲复数（分层精练）

A夯实基础

一、单选题

1.（2024下•广东•高三校联考开学考试）（3+2i）（2-2i）=（）

A.-10+2iB.-10-2iC.10+2iD.10-2i

2.（2024下•重庆•高三重庆八中校考开学考试）若复数z=/+i（a—1+i）是纯虚数，则实数

a=Q）

A.1B.-1C.±1D.0

3.（2024•吉林延边•统考一模）已知复数z满足（l+i）z=3+5i（i是虚数单位），则目=（）

A.V15B.4C.V17D.5

4.（2024上,山东青岛,高三统考期末）复数z=a+i（«eR,i为虚数单位），彳是z的共

转复数，若（z+l）（2+l）=l,则”（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.（2024下•山东•高三山东省实验中学校联考开学考试）已知复数

z=-l+i,z-az=-6+6i（a,Z?eR）,则6=（）

A.-5B.-4C.-3D.-1

6.（2024下•云南红河•高二开远市第一中学校校考开学考试）已知复数z满足（2-i）z=2,

则z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

7

7.（2024•山西晋城・统考一模）设，在复平面内对应的点为（1,-2）,则一:在复平面内对应

Z+1

的点为（）

8.（2024下•江西•高三校联考开学考试）已知复数2=°+历（a,6eR）.且|2-i-z|=l,则会

的取值范围为（）

7

二、多选题

9.（2024上•河南南阳•高三统考期末）设复数z=-工-且i的共辗复数为般则下列结论正

22

确的有（）

_2〃..2〃z1

A.z=cos----Fisin——B.r=一

33z22

C.1=1D.z2+z2=2

10.（2024上•山东日照,高三统考期末）设z为复数（i为虚数单位），下列命题正确的有

A.若zcR,贝!Jz=zB.若ZZR，贝1JzeR

C.若（l+i）z=l—i,则同=1D.若z2+l=0,则z=i

三、填空题

11.（2024下•广东深圳•高三深圳中学校考开学考试）设awR,若复数（a-2i）（2+i）在复

平面内对应的点位于虚轴上，则a=.

12.（2024上•全国•高三统考竞赛）设z=（2+i）2-（l+2i）2,则|z+8i|=.

四、解答题

13.（2024上•北京房山•高二统考期末）已知复数z=l-2i.

⑴求|z|；

z

（2）若Z[=F;，求Z；

3+41

⑶若IZ2I二底且ZZ2是纯虚数，求Z2.

7

14.（2024•全国•高一假期作业）已知z为复数，z+2i和「均为实数，其中i是虚数单位.

2-1

⑴求复数z和|z|；

17

（2）若4=彳+--——?在第四象限，求机的取值范围.

m—\m+2

第05讲复数（分层精练）

A夯实基础

一、单选题

1.（2024下•广东•高三校联考开学考试）（3+2i）（2-2i）=（）

A.-10+2iB.-10-2iC.10+2iD.10-2i

【答案】D

【分析】根据复数的运算求解即可.

【详解】（3+2i）（2-2i）=6-6i+4i-4i2=10-2i.

故选：D

2.（2024下•重庆•高三重庆八中校考开学考试）若复数z=°2+i（a-1+i）是纯虚数，则实数

a—（）

A.1B.-1C.±1D.0

【答案】B

【分析】利用复数的定义及乘法法则计算即可.

【详解】由2="+i（a-l+i）=〃-l+（a—l）i,

根据题意可知卜二1二°n。=-1.

—1W0

故选：B

3.（2024•吉林延边•统考一模）已知复数z满足（l+i）z=3+5i（i是虚数单位），则归=（）

A.V15B.4C.V17D.5

【答案】C

【分析】利用复数的除法运算求出复数z,再利用模长公式计算即可.

/、3+5i（3+5i）（l-i）

【详解】因为（l+i）z=3+5i,所以2=丁一J:/=4+i,

所以忖="2+F=JT7.

故选:c.

4.（2024上•山东青岛•高三统考期末）复数z=a+i（tzeR,i为虚数单位），N是z的共

辗复数，若（Z+1）信+1）=1,贝ija=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【分析】由共轨复数的概念以及复数的乘法运算可得结果.

【详解】因为z=a+i,所以彳=a—i,

(z+l)(5+l)=(a+l+i)(a+l-i)=(a+l)2+1=1,

解得a=-l,

故选：B.

5.(2024下•山东•高三山东省实验中学校联考开学考试)已知复数

z=—l+i,z—az=—6+历(a,Z?wR),则/?=()

A.-5B.-4C.-3D.-1

【答案】B

【分析】利用复数相等的条件得到方程组，求出答案.

【详解】(―1+i)—a(—1—i)=—6+历，故a—l+(l+a)i=—6+历，

fci—1=—6[a=-5

所以,解得，

[l+a=6也=一4

故选：B

6.(2024下•云南红河•高二开远市第一中学校校考开学考试)已知复数z满足(2-i)z=2,

则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】利用复数的除法法则得到z=q」，得到z在复平面内对应的点坐标，得到答案.

2_2（2+i）_4+2i_4+2i

【详解】2^i-（2-i）（2+i）4-i2-5

42

故z在复平面内对应的点坐标为二'二，位于第一象限.

故选：A

7

7.(2024•山西晋城•统考一模)设z在复平面内对应的点为(1,-2),则一:在复平面内对应

Z+1

的点为()

C.

【答案】C

【分析】利用复数运算法则化简二即可求解.

Z+1

【详解】依题意得z=l-2%，

由z_l+2i_(l+2i)(H-i)_-l+3i_13.

所以---------=-----------=------=---1—1,

z+i1-i(l-i)(l+i)222

则上在复平面内对应的点为

Z+1722)

故选：C

8.(2024下•江西•高三校联考开学考试)已知复数z=a+历(a,beR).且|2-i-W=l,则

的取值范围为()

-3-73-3+73

1-61+73

4'4

【答案】C

【分析】根据复数的几何意义，得到复数z在复平面内对应的点Z的轨迹是以(2,-1)为圆心,

1为半径的圆C,得到圆的方程(〃-2)2+3+1)2=1,再由号=组+1,结合组的几何

意义为过圆C上的点与定点A的直线/的斜率K利用直线与圆的位置关系，列出不等式，

即可求解.

【详解】由复数z满足|2-i-z|=l,即为|z-2+i|=l,

根据复数的几何意义，可得复数z在复平面内对应的点z(a,。)的轨迹是以(2,-1)为圆心，1

为半径的圆C,即圆C:(。-2)2+S+l)2=l,

a+1a+1

又由q的几何意义为过圆C上的点与定点的直线/的斜率鼠

直线/的方程为左+1=0,

\3k+2\

由题意可知，圆心C到直线/的距离即

+1

解得土3V左W二2±且，即土立

<b-l<-3+73

Q+14

又由"3=曰+1,可得上34*＜上叵

故选：C.

【分析】利用共辗复数的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用复数的除

法化简复数z,利用复数的模长公式可判断C选项；解方程z?+1=0,可判断D选项.

【详解】对于A选项，若zeR,则z=z，A对；

对于B选项，若Z?£R,不妨取z=i,则Z2=-1ER，但zeR,B错；

对于C选项，若(l+i)z=l-i,则2=上=,、=-i,故忖=1,C对；

1+1+

对于D选项，若z2+l=0,则/=-!,解得z=±i,D错.

故选：AC.

三、填空题

11.(2024下•广东深圳•高三深圳中学校考开学考试)设aeR,若复数(a-2i)(2+i)在复

平面内对应的点位于虚轴上，则。=.

【答案】-1

【分析】由复数的乘法运算结合复数的几何意义求解即可.

【详解】(a-2i)(2+i)=2a+oi-4i+2=2a+2+(o-4)i,

复数(a-2i)(2+i)在复平面内对应的点为(2a+2,a-4),

所以2a+2=0,解得：a=—l.

故答案为：-1.

12.(2024上•全国•高三统考竞赛)设z=(2+i)2-(l+2i)2,则|z+8i|=.

【答案】10

【分析】由复数四则运算以及模的运算公式即可求解.

【详解】由题意z=(2+i)2-(l+2i)2=(3+4i)-(-3+4i)=6,所以

|z+8i|=|6+8i|=736+64=10.

故答案为：10.

四、解答题

13.(2024上•北京房山•高二统考期末)已知复数z=l-2i.

(1)求|z|；

…Z

(2)右Z]=--,求Z]；

3+41

(3)^|Z2|=A/5,且ZZ2是纯虚数，求Z2.

【答案】⑴出

⑶Z2=2-i或Z2=-2+7

【分析】(1)根据模的计算公式直接求解;

(2)利用复数的除法进行计算；

(3)设4="+从，根据条件列方程求解即可.

【详解】(1)|Z|=#+(-2)2=非;

z_l-2i_(l-2i)(34i)_3-4i-6i+8i?_-5-10i12.

------1.

(2)4=--22

3+4i3+4i(3+4i)(3-4i)-3-(4i)2555'

(3)i§：z2=a+bi,

22

则|z2|=\la+b=A/5，所以a?+/=5①

zz-,=(1—2i)(a+/?i)=(a+2b)+(b—2a)i,

因为zz?是纯虚数，所以。+2b=0力一2。片0②

。二2CL=-2

由①②联立，解得6一或

b=l.

所以z?=2-i或z?=-2+i.

7

14.(2024・全国•高一假期作业)已知z为复数，z+2i和「均为实数，其中i是虚数单位.

2-1

⑴求复数z和团；

17

(2)若4：-一二i在第四象限，求机的取值范围.

m-1m+2

【答案】⑴z=4-2i;|z|=2A/5

⑵/

【分析】(1)设2=。+历(°力©11),依据题设，建立方程求出。力，即可求得Z,再求其模;

4m-3八

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