2024-2025学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算巩固练习含解析新人教A版必修第二册

6.2.3向量的数乘运算课后训练巩固提升一、A组1.已知点C在线段AB上,且AC=35AB,则ACA.23BC BC.-23BC D.解析:∵AC=35AB,∴∴AC=-32答案:D2.1312(A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b解析:原式=16(2a+8b)-13(4a-2=13a+43b-43a+23b=-a+2b=2答案:B3.在△ABC中,D是线段BC的中点,且AB+AC=4AE,则(A.AD=2AE B.AD=4AEC.AD=2EA D.AD=4EA解析:由已知得AB+AC=2AD,所以AD=2答案:A4.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则()A.A,C,D三点共线 B.B,C,D三点共线C.A,B,C三点共线 D.A,B,D三点共线解析:因为BD=BC+CD=(-2a+8b)+3(a-b)=a所以AB=BD.又AB与所以A,B,D三点共线.答案:D5.在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=3DC,E为BC的中点,则AE等于()A.2B.1C.5D.1解析:BC=BA+答案:A6.已知向量a,b是两个不共线的向量,且向量ma-3b与a+(2-m)b共线,则实数m的值为.

解析:因为向量ma-3b与a+(2-m)b共线,所以ma-3b=λ[a+(2-m)b].又因为向量a,b是两个不共线的向量,所以m=λ且-3=λ(2-m),解得m=-1或m=3.答案:-1或37.已知点M是△ABC的重心,若存在实数m使得AB+AC=mAM成立,则m=解析:如图,依据重心的性质,重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍,∴AD=32AM,而AB+AC=2AD,故AB+AC∴m=3.答案:38.在▱ABCD中,AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点,求MN(用a,b表示).解法一:如图所示,在▱ABCD中,连接AC交BD于点O,则O平分AC和BD.∵AN=3NC,∴NC=∴N为OC的中点.又M为BC的中点,∴MN=12BO∴MN=12BO=1解法二:MN==14AC-12AB=14(a+b)-19.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,证明这个四边形为梯形.证明:∵AD=AB+BC+CD=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2(∴AD=2BC.∴AD与BC共线,且|AD|=2|BC∵这两个向量所在直线不重合,∴AD∥BC,且AD=2BC.∴四边形ABCD是以AD,BC为两条底边的梯形.二、B组1.已知点P满意向量OP=2OA-OB,则点P与AB的位置关系是(A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的延长线上C.点P在线段AB的反向延长线上D.点P在直线AB外解析:∵OP=2OA-OB,∴∴AP=∴点P在线段AB的反向延长线上,故应选C.答案:C2.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线交DC于点F,若AB=a,AD=b,则AF=()A.13a+b B.12aC.a+13b D.a+1解析:由已知条件可知,在△DFE与△EAB中,BE=3DE,DF∥AB,所以DF=13AB,所以AF=AD+答案:A3.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,A.23 B.-23 C.25解析:由题意知,CD=∵AD=23AB,∴CD=CA+23答案:A4.已知点P是△ABC内的一点,AP=13(AB+AC),则△ABCA.2 B.3 C.32 D.解析:设BC的中点为D,则AB+AC=2∵AP=13(如图,过点A作AE⊥BC,交BC于点E,过点P作PF⊥BC,交BC于点F,则|PF∴S△ABCS答案:B5.若AB=5e,CD=-7e,且|AD|=|BC|,则四边形ABCD的形态是.

解析:由已知得AB=-57因此AB∥CD,且|AB|≠|CD所以四边形ABCD是梯形.又因为|AD|=|BC|,所以四边形ABCD是等腰梯形.答案:等腰梯形6.若AP=tAB(t∈R),O为平面上随意一点,则OP=(用OA,OB表示)解析:∵AP=tAB,∴OP-OA=t(OP=OA+tOB-tOA=(1-t)OA+t答案:(1-t)OA+tOB7.设a,b是两个不共线的非零向量,记OA=a,OB=tb(t∈R),OC=13(a+b),那么当实数t为何值时,A,B,解:∵OA=a,OB=tb,OC=13(a∴AB=OB-OA=tAC=OC-OA=13(a+b)-a∵A,B,C三点共线,∴存在实数λ,使AB=λAC,即tb-a=λ13由于a,b不共线,∴t=1故当t=12时,A,B,C三点共线8.在△ABC中,点P是AB上一点,且CP=23CA+13CB,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,且解:∵CP=∴3CP