2024-2025高中数学第二章平面向量2.3.2-3平面向量的正交分解及坐标表示　平面向量的坐标运算课时作业含解析新人教A版必修4

PAGE2.3.2-3[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标原点，若eq\o(OA,\s\up10(→))＝4i＋2j，eq\o(OB,\s\up10(→))＝3i＋4j，则2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))的坐标是()A．(1，－2)B．(7,6)C．(5,0)D．(11,8)解析：因为eq\o(OA,\s\up10(→))＝(4,2)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(3,4)，所以2eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)．答案：D2．已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,0)，那么向量3b－a的坐标是()A．(－4,2)B．(－4，－2)C．(4,2)D．(4，－2)解析：3b－a＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)．答案：D3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则bA．(1，－2)B．(1,2)C．(5,6)D．(2,0)解析：b＝(3,2)－2a答案：A4．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：由平面对量基本定理知①正确；若a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．答案：A5．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且eq\o(BC,\s\up10(→))＝2eq\o(AD,\s\up10(→))，则顶点D的坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2)))C．(3,2)D．(1,3)解析：设点D(m，n)，则由题意知，(4,3)＝2(m，n－2)＝(2m,2n－4)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＝4，,2n－4＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝\f(7,2)，))即点Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2)))，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．在平面直角坐标系内，已知i、j是两个相互垂直的单位向量，若a＝i－2j，则向量用坐标表示a＝________.解析：由于i，j是两个相互垂直的单位向量，所以a＝(1，－2)．答案：(1，－2)7．如右图所示，已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，则向量eq\o(OA,\s\up10(→))的坐标为________．解析：设点A(x，y)，则x＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|·cos60°＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|·sin60°＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，所以eq\o(OA,\s\up10(→))＝(2eq\r(3)，6)．答案：(2eq\r(3)，6)8．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与eq\o(AB,\s\up10(→))相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________.解析：易得eq\o(AB,\s\up10(→))＝(2,0)，由a＝(x＋3，x2－3x－4)与eq\o(AB,\s\up10(→))相等得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3＝2，,x2－3x－4＝0，))解得x＝－1.答案：－1三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j作为基底，分别用i，j表示eq\o(OA,\s\up10(→))，eq\o(OB,\s\up10(→))，eq\o(AB,\s\up10(→))，并求出它们的坐标．解析：由图形可知，eq\o(OA,\s\up10(→))＝6i＋2j，eq\o(OB,\s\up10(→))＝2i＋4j，eq\o(AB,\s\up10(→))＝－4i＋2j，它们的坐标表示为eq\o(OA,\s\up10(→))＝(6,2)，eq\o(OB,\s\up10(→))＝(2,4)，eq\o(AB,\s\up10(→))＝(－4,2)．10．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c.(1)求p的坐标；(2)若以a，b为基底，求p的表达式．解析：(1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1,3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ－μ＝－6，,－4λ＋3μ＝－3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－\f(21,2)，,μ＝－15，))所以p＝－eq\f(21,2)a－15b.[实力提升](20分钟，40分)11．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若第三象限的点P满意eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，－1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,7)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,5)))解析：方法一设P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up10(→))＝(x－2，y－3)，又eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)，于是由eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))可得，(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝3＋5λ，,y－3＝1＋7λ，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5λ＋5，,y＝7λ＋4.))因为点P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5λ＋5＜0，,7λ＋4＜0，))解得λ＜－1.故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1)．方法二eq\o(OP,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AP,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))＋λeq\o(AC,\s\up10(→))＝(5,4)＋λ(5,7)＝(5＋5λ，4＋7λ)，所以P(5＋5λ，4＋7λ)，因为点P在第三象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋5λ＜0，,4＋7λ＜0，))所以λ＜－1.答案：A12．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________．(只填序号)①eq\o(OA,\s\up10(→))＝2i＋3j；②eq\o(OB,\s\up10(→))＝3i＋4j；③eq\o(AB,\s\up10(→))＝－5i＋j；④eq\o(BA,\s\up10(→))＝5i－j.解析：i，j相互垂直，故可作为基底，由平面对量基本定理，有eq\o(OA,\s\up10(→))＝2i＋3j，eq\o(OB,\s\up10(→))＝－3i＋4j，eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＝－5i＋j，eq\o(BA,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝5i－j，故①③④正确．答案：①③④13．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq\o(OA,\s\up10(→))|＝4eq\r(3)，∠xOA＝60°，(1)求向量eq\o(OA,\s\up10(→))的坐标；(2)若B(eq\r(3)，－1)，求eq\o(BA,\s\up10(→))的坐标．解析：(1)设点A(x，y)，则x＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|cos60°＝4eq\r(3)cos60°＝2eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up10(→))|sin60°＝4eq\r(3)sin60°＝6，即A(2eq\r(3)，6)，所以eq\o(OA,\s\up10(→))＝(2eq\r(3)，6)．(2)eq\o(BA,\s\up10(→))＝(2eq\r(3)，6)－(eq\r(3)，－1)＝(eq\r(3)，7)．14．已知向量eq\o(AB,\s\up10(→))＝(4,3)，eq\o(AD,\s\up10(→))＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满意eq\o(PB,\s\up10(→))＝λeq\o(BD,\s\up10(→))(λ∈R)，求λ与y的值．解析：(1)设B(x1，y1)，因为eq\o(AB,\s\up10(→))＝(4,3)，A(－1，－2)，所以(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝4，,y1＋2＝3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝3，,y1＝1，))所以B(3,1)．同理可得D(－4，－3)，设BD的中点M(x2，y2)，则x2＝eq\f(3－4,2)＝－eq\f(1,2)，y2＝eq\f(1－3,2)＝－1.所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－1)).(2)由eq\o(PB,\s\up10(