幂的运算重难点题型专训（原卷版+解析）

专题06塞的运算重难点题型专训

旨【题型目录】

题型一同底数幕的乘法

题型二毒的乘方

题型三积的乘方

题型四同底数幕的除法

题型五事的混合运算

题型六幕的运算含参问题

题型七塞的运算新定义问题

题型八塞的运算综合问题

丹【经典例题一同底数塞的乘法】

【要点梳理】

法则：。叫优=。"'+"（其中相，〃都是正整数）.即同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

特别说明：

（1）同底数幕是指底数相同的幕，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数累相乘时，也具有这一性质，即•4=屋+"+?（m,n,p都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个累分解成两个或多个同底数幕的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指

数之和等于原来的事的指数。即（相，〃都是正整数）.

【例1】（2022春.江苏•七年级专题练习）己知入3,2-6,y=i2,现给出3个实数mb,c之间的四个关系式:

①a+c=2b；②a+b=2c-3；③6+c=2a+3；@b=a+2.其中，正确的关系式的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【变式训练】

【变式1］（2022秋•八年级单元测试）若d"=屋（。＞0且"1）,则m=〃,已知4"=3,4"=12，4r=48,

那么加，n,。三者之间的关系正确的有（）

（l）m+p=2n-②—〃=@m+n=2p-1-@TT-mp=1.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【变式2］（2023春•七年级课时练习）观察等式：2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24=25-2,

已知按一定规律排列的一组数：2100,2101,2102,2199,若21。。=相，用含根的代数式表示这组数的和是

【变式3］（2022秋.上海浦东新.七年级统考期中）阅读下列材料：一般地，"个相同因数。相乘。人…，

记为优.如2x2x2=23=8,此时，3叫做以2为底8的对数，记为1（^8（即108?8=3）.一般地，若

（。>0且"1,b>0）,则"叫做以。为底，的对数,记为log*（即log*=〃）.如34=81,则4叫做以

3为底81的对数,记为1吗81（gpiog381=4）.

⑴计算以下各对数的值：log24=,log216=,log264=.

（2）写出（1）log'、logZ16、log?64之间满足的关系式________.

（3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：log“M+log“N=（a>0且"1,M>0,

N>0）

（4）设a“=N,a"'=M,请根据累的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性.

方【经典例题二塞的乘方】

要点、塞的乘方法则

（其中加，"都是正整数）.即幕的乘方,底数不变，指数相乘.

特别说明：（1）公式的推广：（（屋'）"y=。"叼（。#0,相,〃，2均为正整数）

（2）逆用公式：a"'"=（""）"=（优）、根据题目的需要常常逆用塞的乘方运算能将某些

事变形，从而解决问题.

【例2】（2022秋•河北邯郸•八年级校考阶段练习）若3・9"-27加=3%则机的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【变式训练】

【变式1】（2022秋•八年级单元测试）已知a=8/，&=2741,c=961,则的大小关系是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>c>a

【变式2］（2022秋•辽宁鞍山•八年级统考期中）规定两数a,b之间的一种运算，记作（a/）,如果

那么.例如：因为23=8,所以（2,8）=3.

⑴根据上述规定，填空：（4,64）=；〔2,j=；（3,1）=；

（2）小明在研究这种运算时发现一个特征；（3",4"）=（3,4）,并作出了如下的证明：

•.•设（3,4）=x,贝心，=4,

A（31）"=4",即（3"）'=4",

（3",4"）=x

（3",4"）=（3,4）

试参照小明的证明过程，解决下列问题：

①计算（8,1000）-（32,100000）；

②请你尝试运用这种方法，写出（7,5）,（7,9）,（7,45）之间的等量关系.并给予证明.

j【经典例题三积的乘方】

要点、积的乘方法则

（。6）"=废0"（其中"是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.

特别说明：（1）公式的推广：（。A）"=屋力"・。"（〃为正整数）.

（2）逆用公式：a7"=（a。）“逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时,

计算更简便.如：X210=QX

要点、注意事项

（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.

（2）同底数幕的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加.指数为1,计算时不要遗漏.

（3）幕的乘方运算时，指数相乘，而同底数幕的乘法中是指数相加.

（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式（特别是系数）都要分别乘方.

（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

（6）带有负号的募的运算，要养成先化简符号的习惯.

【例3】（2022秋・广东佛山•七年级统考期中）已知当x=2时，5ax2n+3bx3+c=l5,那么当x=-2时，

Sax2"-3bx3+c=（）

A.14B.15C.16D.无法确定

【变式训练】

【变式1］（2022秋.四川广元.八年级校联考期中）下列计算：⑴（_〃丫=_°5；⑵（_加）2=。氏⑶

a2?aba2+b;（4）若4=2,ab+c=6,则中正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【变式2］（2023秋・河南南阳•八年级校考期末）已知f"=5,贝1（3/"）2一4（/户的值为.

【变式3］（2022秋.山东临沂.七年级统考期中）（1）计算：

①（2x7）2与2?x7?；

②［（-3）x41与（-3）2x42；

③（2）x（-3）了与（—2）2x（—3汽

④［（-2）x（一3）于与（一犷x（一3丫

（2）根据以上计算结果猜想：（根冷2,（加〃）3分别等于什么？（直接写出结果）

（3）猜想与验证：当p为正整数时，（加〃y等于什么？

（4）利用上述结论，求（-4产3X0.252°22的值.

【经典例题四同底数塞的除法】

要点、同底数基的除法法则

同底数塞相除，底数不变，指数相减，即。'"十"=。衿"（aWO,m、〃都是正整数，并且相＞“）

特别说明：（1）同底数嘉乘法与同底数累的除法是互逆运算.

（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.

（3）当三个或三个以上同底数塞相除时，也具有这一性质.

（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.

要点、零指数嘉

任何不等于0的数的0次幕都等于L即a°=1（。/0）

特别说明：底数a不能为0,0°无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0

次单项式.

【例4】（2022秋・全国•八年级专题练习）已知25^2〃=56,型+4。=4,则代数式标+H+3c值是（）

A.3B.6C.7D.8

【变式训练】

【变式1】（2022春•重庆北倍•七年级西南大学附中校考期中）已知建=2,优=3,则产⑶的值为（）

Q

A.-1B.-C.1D.72

9

【变式2］（2022秋•八年级课时练习）如果x〃=y,那么我们规定（x,y）=n.例如：因为3?=9,所以（3,

9）=2.

（1）记（4,12）=a,（4,5）=b,（4,60）=c,则a,b,c三者之间的数量关系是；

（2）若（m,16）+（m,5）=（m,r）,贝!J/的值为.

【变式3](2023春•七年级单元测试)数学活动

在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“哥”，下面介绍一种有关“事”的新运算.定

义：〃加与〃〃(a=0,加、〃都是正整数)叫做同底数幕，同底数塞除法记作〃加土能.

运算法则如下：

a=am-\m>n)

a<a=l(m=ri)

、a

解决问题

根据“同底数累除法”的运算法则，回答下列问题：

⑴填空：(》、(；『=，23_26=

⑵如果3+331=(,求出X的值；

(3)如果(7-2苫产;(7-2铲+7=1,请直接写出x的值.

【例5】(2020•七年级统考课时练习)计算(-；)20°8+(_g)2oo9的结果是()

200920082009

A.(1+；产9B.-(1)C,-(1)D.(1)

【变式训练】

【变式1](2022秋•天津南开•八年级校考期末)若°=旬.32,6=(-3『，,1=(-R，贝!]()

A.a<b<c<dB.c<a<d<bC.a<d<c<bD.a<b<d<c

【变式2］（2022秋•八年级课时练习）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，记第1次对折

后得到的图形面积为S/,第2次对折后得到的图形面积为S2,…，第〃次对折后得到的图形面积为S?,请

根据图2化简，S1+S2+S3HI-52020+^2021-

【变式3](2022春.江苏淮安.七年级校考阶段练习)计算:

(l)(x2y)3-(-2xy3)2；

(2)a•/•/+(—2/)_.

⑶(一;尸+(-2)2x5°-(g);

⑷(1)3+01)2；

(5)(x-y)5.(y-x)4.(x-y)3；

(6)(-2a3)2-3a2-a4+a8^a2；

【经典例题六塞的运算含参问题】

【例6】（2022秋•浙江台州•八年级台州市书生中学校考期中）已知1。"=20,100:50,则2a+46-3的值

是（）

A.9B.5C.3D.6

【变式训练】

【变式1］（2021•江苏•九年级自主招生）设施，”是正整数，且加>〃，若9"'与9"的末两位数字相同，则m一〃

的最小值为（）

A.9B.10C.11D.12

【变式2］（2022秋.天津和平.八年级天津一中校考期末）若/„=io8,am=6,则a"=.

【变式31（2022秋•广东江门•九年级统考阶段练习）如果/=y,那么我们规定（x，y）=n,例如：因为h=9,

所以（3,9）=2

［理解］根据上述规定，填空：（2,8）=,（2,曰=一

［说理］记（4,2）=a,（4,5）=。，（4,10）=c,说明a+6=c

［应用］若（m,16）+（m,5）=（m,r）,求/的值

【经典例题七塞的运算新定义问题】

[acl__

【例7】（2023春•七年级单元测试）若定义表示（3冲z『,77表示则运算：

为（）

A.-72〃B.72rlC.mnD.-mn

【变式训练】

【变式1］（2021春・江苏镇江•七年级校联考期中）定义：如果d=N（a>0,"l,N>0）,则匕叫做以。为

底N的对数，记作6=log>如：23=8,记作log；=3.若log；"="log；=〃，则52，"-"的值为（）

A.-0.4B.-0.04C.0.4D.0.04

【变式2］（2021春.上海奉贤.六年级校联考期末）本学期我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结

果叫做“幕"，下面介绍一种有关“幕”的新运算.定义：am与an1叶0,m,w都是正整数）叫做同底数幕，

同底数哥除法记作。陪。".其中“同底数塞除法”运算法则中规定当时，am.an=amn=a°=1，根据“同

底数幕除法”法则中的规定和你已经学过的知识，如果等式/x+£»+7=l成立，则请写出满足等式成立的所

有的x的值.

【变式3](2022秋・北京海淀•八年级校考期中)在学习平方根的过程中，同学们总结出：在优=N中，已

知底数a和指数无，求塞N的运算是乘方运算；已知事N和指数x,求底数。的运算是开方运算.小明提出

一个问题：“如果已知底数。和累M求指数x是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，

继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究.

小明课后借助网络查到了对数的定义：

如果N=a*(a>0,且awl),那么数无叫做以。为底N的对数(logarithm),记作：x=logflN,其中，a

叫做对数的底数，N叫做真数.

小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：

⑴；21=2,二log?2=1；

2

1.-2=4,log24=2；

23=8,log,8=3；

4

V2=16,log216=；

计算：log?32=；

(2)计算后小明观黎(1)中各个对数的真数和对数的值，发现一些对数之间有关系，

例如：log24+log?8=；(用对数表示结果)

(3)于是他猜想：log“M+log“N=(a>0且"1,M>0,N>0).请你将小明的探究过程补

充完整，并证明他的猜想.

(4)根据之前的探究，直接写出log.M-logaN=.

3【经典例题八幕的运算综合问题】

【例8】（2020.甘肃天水•统考中考真题）观察等式：2+22=23-2;2+22+23=24-2;

2+22+23+24=2'-2;…已知按一定规律排列的一组数:2吗2处,2叱…,2吃,22%若2KM=5,用含S的式

子表示这组数据的和是（）

A.2S--SB.2S-+SC.2s2-25D.252-2S-2

【变式训练】

【变式1］（2020春•七年级统考课时练习）已知a=255,b=344,c=533,d=622,那么a,b,c,d大小顺序为（）

A.a<b<c<dB.a<b<d<cC.b<a<c<dD.a<d<b<c

【变式2］（2022秋・北京西城•七年级北师大实验中学校考期中）在某多媒体电子杂志的一期上刊登了“正

方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为。，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长

为:的小正方形,如此连续作几次,便可构成一朵绚丽多彩的雪花图案（如图（3））.下列步骤:

（1）作一个正方形，设边长为a（如图（1））,此正方形的面积为;

（2）对正方形进行第1次分形：将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为£的小正方形，得到图（2）,此

4

图形的周长为;

（3）重复上述的作法，图（1）经过第次分形后得到图（3）的图形；

（4）观察探究：上述分形过程中，经过”次分形得到的图形周长是—，面积是—.

【变式3］（2023春•七年级单元测试）阅读下列材料：小明为了计算1+2+2?+…+2加°+22°21的值，采用

以下方法：

^S=l+2+22+---+22020+220210

贝I]2S=2+22+---+22021+22022@

②-①得，ZS-SuSuZZ02?—i.

请仿照小明的方法解决以下问题：

(1)2+2?+…+2”=;

、

(2)求4I+51+*1…++萍1=------；

(3)求(一2)+(_2y+…+(—2)1°°的和;(请写出计算过程)

(4)求°+2a2+3°3_(-----的和(其中awO且awl).(请写出计算过程)

【培优检测】

1.（2022秋.河南新乡・八年级统考阶段练习）计算（72。"、（_2.5）2°|6乂（-1）2。17的结果是（）

A.-B.-C.--D.--

5252

2.（2021秋•吉林长春•八年级长春市实验中学校考期中）比较344,433,522的大小正确的是（）

A.344<433<522B.522<433<344C.522<344<433D.433<344<522

3.（2023春•七年级单元测试）新型冠状病毒体积很小，这种病毒外直径大概在0.00000011米，则0.00000011

这个数字可用科学记数法表示为（）

A.1.1x10^B.1.1x10"C.1.1x10.8D.O.llxlO*

4.（2021春・河北邯郸•七年级统考期中）已知xa=3,Xb=4,则x3a-2b的值是（)

A.—B.—C.11D.19

816

5.（2022春•山东青岛•七年级统考期中）一点尸从距原点右侧8个单位的M点处向原点方向跳动，第一次

跳动到0M的中点处，第二次从M跳到。陷的中点“2处，第三次从点M2跳至OM2的中点M3处，如

此不断跳动下去，则第2022次跳动后，该点到原点。的距离为（）

_______[111Ih

OM3M2MlM

A.2一2022B.2-2021C.2-2020D.2-2019

6.（2022春,河南平顶山•七年级统考期中）下列有四个结论，其中正确的是（）

①若（x-1户=1,则x只能是2；②若（％-0（/+办+i）的运算结果中不含f项，贝熊=i

③若一+4=7,贝"+工=±3；④若平=〃，8,=6,贝！!22A3y可表示为

xxb

A.①②③④B.②③④C.①③④D.②④

7.（2021春•辽宁沈阳•七年级校考期中）已知（x-3广=1,贝=.

8.（2022秋・河北廊坊•八年级校联考期末）已知x,，满足|x-y|+a+y+2『=0,贝可兀一2021pl=；

（-3广=.

9.（2022秋・全国•八年级专题练习）若无，y均为实数，61=2022,337v=2022,贝h（1）6以337"=x+y；

10.（2021春.江苏无锡•七年级统考期中）观察以下一系列等式：

①m-3°=（3-l）x3°=2x3°；@32-3'=（3-l）x3'=2x3*；

③38-32=（3-1）X32=2X32；④34—33=（3-1）x33=2x33；....

利用上述规律计算：s^s'+^+...+s100=.

11.（2022.湖南长沙.统考中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大.保密性强、追踪性高等特点，

它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威

力.看似“码码相同”，实则“码码不同”.通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中

小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码.根据相关数

学知识，这200个方格可以生成220°个不同的数据二维码，现有四名网友对22。。的理解如下：

yyos（永远的神）：220°就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数；

ODOD（懂的都懂）：22°°等于20。2；

JXND（觉醒年代）：22°°的个位数字是6；

QGKW（强国有我）：我知道2Kl=1024,1O3=IOOO,所以我估计2?。。比io,。大.

其中对2项的理解错误的网友是（填写网名字母代号）.

12.（2022春・江苏盐城.七年级校联考期中）如图①是一块正方形纸板，边长为1,面积记为S/,沿图①的

底边剪去一个边长为［的小正方形纸板后得到图②，图②的面积记为S2,然后再沿同一底边依次剪去一块

更小的正方形纸板（即其边长为前一块被剪掉正方形纸板边长的g）后得到图③，④，…，记第九块纸板

13.（2022春・江西九江•七年级统考期中）已知2,=3,2-6,*12,现给出3个数a,b,c之间的四个关系式:

①a+c=2b；②a+b=2c—3；③b+c=2a+3；④6=a+2.其中，正确的关系式是（填序号）.

14.（2022秋•四川宜宾.八年级统考期中）观察等式：2+22=23-2;2+22+23=24-2;按一定规律排列的

一组数：25。+2$|+252+…+299+200,若25。=a,则用含a的代数式表示下列这组数2$。+2$1+252+.....2"+2100

的和.

15.（2023春•七年级课时练习）阅读材料：J的末尾数字是3,3,的末尾数字是9,寸的末尾数字是7,3•的

末尾数字是1,l的末尾数字是3,……,观察规律，3’用=（3，隈3,•••3,的末尾数字是1,，（34）"的末尾数

字是1,，（34）"x3的末尾数字是3,同理可知，3”"2的末尾数字是%3皿+3的末尾数字是7.解答下列问题:

（1）32021的末尾数字是,142。22的末尾数字是；

⑵求22。22的末尾数字；

⑶求证：世必+37268能被5整除.

16.(2022秋・全国•八年级专题练习)如果106=〃，那么b为w的“劳格数”，记为6=4(").由定义可知：10b=n

与b=d(〃)表示6、"两个量之间的同一关系.

⑴根据“劳格数”的定义，填空：d(10)=,dGO")=；

(2)“劳格数”有如下运算性质：

若相、〃为正数，则=1(优)+d(w),d(巴)=d(m)-d⑺；根据运算性质，填空："'"、)=________.(。

na(a)

为正数)

(3)若d(2)=0.3010,分别计算d(4)；d(5).

17.(2022春•江苏扬州•七年级校联考阶段练习)规定两数a,6之间的一种运算，记作(a,b)：如果ac=6,

那么(a,b)=c.例如：因为23=8,所以(2,8)=3

(1)根据上述规定，填空：(5,25)=,(2,1)=,(3,[)=.

(2)小明在研究这种运算时发现一个特征：(3小4”)=(3,4),并作出了如下的证明：

设(3/1,4〃)—X,贝！](3”)尤=4"，即(3x)n—4n.

所以3x=4,即(3,4)=尤，

所以(3小4/1)=(3,4).

试解决下列问题：

①计算(8,1000)-(32,100000)；

②请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：(3,2)+(3,5)=(3,10).

18.（2021.四川内江.统考一模）阅读下列材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数

称为第1项，记为为,依此类推，排在第〃位的数称为第”项，记为冬.

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母4表示（440）.如：数列1,3,9,27,…为等比数列，其

中％=1,公比为4=3.然后解决下列问题.

⑴等比数列3,6,12,…的公比4为,第4项是.

（2）如果已知一个等比数列的第一项（设为2和公比（设为g）,则根据定义我们可依次写出这个数列的每一

项：%,%q,a,.q2,q./,由此可得第〃项%=（用/和4的代数式表示）.

（3）若一等比数列的公比4=2,第2项是10,求它的第1项与第4项.

（4）已知一等比数列的第3项为12,第6项为96,求这个等比数列的第10项.

19.（2022秋.江苏•七年级专题练习）找规律：观察算式

13=1

13+23=9

13+23+33=36

13+23+33+43=100

（1）按规律填空）

13+23+33+43+...+103=；

13+23+33+43+…+/=.

（2）由上面的规律计算：113+123+133+143+...+503（要求:写出计算过程）

（3）思维拓展：计算:23+43+63+...+983+1003（要求：写出计算过程）

20.（2022秋.黑龙江大庆•七年级统考期末）阅读下列材料，并解决下面的问题：

我们知道,加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算，其实乘方运算也有逆运算，如我们规定式子23=8可

2

以变形为log28=3,logs25=2也可以变形为5=25.在式子23=8中,3叫做以2为底8的对数，记为log28.一般

地，若a"=b（a>0且awl,6X））,则〃叫做以。为底6的对数，记为loga。（即loga6"）,且具有性质：

①log"="k>gaZ?；②logj"="；③logaM+logaN=k>ga（M-N）,

其中aX）且M>0,NX）.

根据上面的规定，请解决下面问题：

⑴计算：log31=,log1025+log104=（请直接写出结果）；

（2）已知x=log32,请你用含x的代数式来表示y,其中y=log372（请写出必要的过程）.

21.（2022春・江苏•七年级专题练习）阅读材料：

求1+2+22+23+24+...+22019的值.

解:设S=l+2+22+23+24+...+22018+22019...©

则2S=2+22+23+24+25+..,+22019+22020..

②-①，得2S-S=22°20-l

即S=22020-l

l+2+22+23+24+...+22019=22020-1

仿照此法计算：

（1）计算：1+3+32+33+34+...+3100.

⑵计算：+，+<■+…+击+（=--------（直接写答案）

11133

22.(2022春・江苏宿迁•七年级统考阶段练习)(1)你发现了吗？(|)2=jxj,^T=2X2=iX2,由上

（3）33

述计算，我们发现］)2一(|)一2；

(2)请你通过计算，判断与1厂之间的关系;

(3)我们可以发现：(2尸—(，尸(成/0)

ab

(4)利用以上的发现计算：

专题06塞的运算重难点题型专训

旨【题型目录】

题型一同底数幕的乘法

题型二塞的乘方

题型三积的乘方

题型四同底数塞的除法

题型五嘉的混合运算

题型六塞的运算含参问题

题型七嘉的运算新定义问题

题型八塞的运算综合问题

幺【经典例题一同底数塞的乘法】

【要点梳理】

法则：""•就=罐7+〃（其中相，〃都是正整数）.即同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

特别说明：

（1）同底数暴是指底数相同的幕，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数幕相乘时，也具有这一性质，即屋d/，=""+"+"（m，77,p

都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个募分解成两个或多个同底数塞的积，其中它们的底数与原来的底数

相同，它们的指数之和等于原来的幕的指数。即七"（加，〃都是正整数）.

【例1】（2022春.江苏.七年级专题练习）己知乎=3,20，2。=12,现给出3个实数a,b,c之

间的四个关系式：①a+c=2/?；②a+〃=2c-3；③b+c=2a+3；®b=a+2.其中，正

确的关系式的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据同底数累的乘法公式即可求出。、b、。的关系，代入各式验证即可.

【详解】解：・・・2a=3,2b=6,2c=U.

・・・2〃X22=3><4=12,2bx2=6X2=12,2C=12,

a+2=Z?+l=c,

即。=a+l,c=b+l,c=a+2,

于是有：①。+。=。+〃+2=2。+2,2/?=2。+2,

所以a+c=2Z?,因此①正确；

②a+/?=a+a+l=2〃+l,2c-3=2〃+4-3=2。+1,

所以a+b=2c-3,因此②正确；

③。+c=4+l+4+2=2a+3,因此③正确；

④。=4+1,因此④不正确；

综上所述，正确的结论有：①②③三个，

故选：C.

【点睛】本题考查同底数幕的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幕的乘法公式，得出。、

b、c的关系.

【变式训练】

【变式1】(2022秋•八年级单元测试)若(。>0且。/1),则机=〃，已知4”=3,

4"=12，4。=48,那么加，"，。三者之间的关系正确的有()

@m+p=2n-=®m+n=2p-l-(4)n2-mp=\.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】根据同底数幕的乘除法公式即可求出加、小p的关系.

【详解】解：；4w=12=4x3=4x4优=4%%，

n=l+m,即n-m=\,故②错误；

4P=48=12x4=4nx4=41+n,

,'.p=l+n,即p=n-m+n=2n-m,

m+p=2n,故①正确；

•；4p=48=3x16=4/42=^m>

.,.p=2+m,

m+n=p-2+p-1=2p-3,故③错误；

M2—mp=(1+m)2—m(2+m)=1+2m+m2—2m—ni1=1,故④正确；

故选：C.

【点睛】本题考查了同底数幕的乘法，解题的关键是熟练运用同底数塞的乘法公式，本题属

于中等题型.

【变式2](2023春•七年级课时练习)观察等式:2+22=23-2,2+22+23=24-2,2+22+23+24

=25-2,…,已知按一定规律排列的一组数：2i°°,272吗…，2199,若21。。=机，用含

m的代数式表示这组数的和是.

【答案】m2~

【分析】归纳出数字的变化规律，给已知数列求和，并用含机的代数式表示出来即可.

【详解】解：由题意得：

21—.+2199,

=(2+22+23+...+2199)-(2+22+23+...+299),

=(2200-2)-(2*2),

=(2100)2-2100,

_—nr2-m,

故答案为：m2-m.

【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，观察数字变化规律并利用规律用含机的代数式

表示出结果是解题的关键.

【变式3](2022秋•上海浦东新•七年级统考期中)阅读下列材料：一般地，〃个相同因数。

相乘…，记为。.如2x2x2=23=8,此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28(即

log28=3).一般地，若"=>(。>0且awl,6>0),贝!!“叫做以。为底6的对数，记为log”》

(BpiogaZ?=n).如34=81,则4叫做以3为底81的对数，记为logj81(gpiog381=4).

⑴计算以下各对数的值：log24=,log216=,log264=.

(2)写出(1)log?4、logzl6、log264之间满足的关系式________.

⑶由(2)的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：log°M+log“N=(a>0且

awl,M>0,N>0)

⑷设a"=N,a-M，请根据累的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性.

【答案】⑴2,4,6

(2)log24+log?16=log?64

⑶log“(肱V)

⑷见解析

【分析】(1)根据对数的定义求解；

(2)认真观察，即可找到规律：4x16=64,log24+log216=log264；

(3)由特殊到一般，得出结论：log.M+：log“N=log.(MN)；

(3)根据同底数幕的乘法可得=四，根据对数的定义即证明.

【详解】(1)解：；2?=4,2,=16,26=64

log24=2,log216=4,log264=6,

故答案为：2,4,6；

(2)V4x16=64,log24=2,log216=4,log264=6,

/.log24+log216=log264,

故答案为：Iog24+log216=log264；

(3)由(2)的结果可得log,M+log.N=log”(MV),

故答案为：log“(MN).

(4)证明：设a〃=N,am=M,则〃=log。N,根=log。M

：-MN=an-am=an+m

m+n=loga（ACV）

Bpioga^+logaM=loga（AW）.

【点睛】此题主要考查了同底数暴的乘法应用，借考查对数，实际考查学生对指数的理解、

掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确地应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对

数应有的性质.

4【经典例题二塞的乘方】

要点、募的乘方法则

（其中m，〃都是正整数）.即幕的乘方，底数不变，指数相乘.

特别说明：（1）公式的推广：^amyy=amnp（。工0,牡〃,°均为正整数）

（2）逆用公式：小"根据题目的需要常常逆用塞的乘

方运算能将某些暴变形，从而解决问题.

【例2】（2022秋•河北邯郸.八年级校考阶段练习）若3・9叫27"'=3%则加的值为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据幕的乘方和同底数幕的乘法可求得31+5"=3%即可求得加=3

【详解】V3.9m-27m

=3-32m-33m

_31+2利+3加

_31+5加

l+5m=16,

解得：m=3,

故选：B

【点睛】本题主要考查事的乘方、同底数塞的乘法，解题的关键是熟练幕的运算

【变式训练】

【变式1］（2022秋•八年级单元测试）已知〃=8产，Z,=2741,c=961,则。，4c的大小关系

是（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>c>a

【答案】A

【分析】化成底数为3的塞，比较指数的大小即可判定.

【详解】解：因为。=8产=（3,31=3.,&=2741=（33）41=3123,c=961=（32）61=3122,

因为124>123>122

所以a>b>c,

故选A.

【点睛】本题考查了哥的乘方，熟练掌握嘉的乘方运算法则是解题的关键.

【变式2］（2022秋•辽宁鞍山•八年级统考期中）规定两数°,6之间的一种运算，记作（a,b）,

如果/=6,那么（a,6）=c.例如：因为23=8,所以（2,8）=3.

⑴根据上述规定，填空：（4,64）=；。,£|=；（3,1）=；

（2）小明在研究这种运算时发现一个特征；（3",4"）=（3,4）,并作出了如下的证明：

•.•设（3,4）=x,则3工=4,

.•.（3*）"=4",即（3"）"=4",

/.（3",4"）=尤

（3",4"）=（3,4）

试参照小明的证明过程，解决下列问题：

①计算（8,1000）-（32,100000）；

②请你尝试运用这种方法，写出（7,5）,（7,9）,（7,45）之间的等量关系.并给予证明.

【答案】（1）3,-3,0

（2）①0；②（7,5）+（7,9）=（7,45）

【分析】（1）由新定义计算得出结果即可；

（2）①由推理过程可得（8,1000）=（2,10）;（32,100000）=（2,10）,再相减结果得0即可;

②设7工=5,7，=9,贝！］7*7=7中=5x9=45,从而得到（7,5）+（7,9）=（7,45）

【详解】（1）•.,43=64,

.•.（4,64）=3,

3°=1,

.•.(34)=0,

故答案为：3,-3,0

(2)①(8,1000)—(32,100000)=3,1()3)_Q5,105)=(2,10)-(2,10)=0；

②（7,5）+（7,9）=（7,45）.

证明：设7'=5,7〉=9,则7*7=7巾=5x9=45,所以（7,5）=x,（7,9）=y,（7,45）=x+y,

所以（7,5）+（7,9）=（7,45）

【点睛】本题主要考查塞的运算与新定义结合的题型，理解透题目的意思是解题的关键点.

K［经典例题三积的乘方】

要点、积的乘方法则

屋•/（其中〃是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再

把所得的幕相乘.

特别说明:（1）公式的推广：（口儿）"=4"/"•c"5为正整数）.

（2）逆用公式：废〃=（a。）”逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数

互为倒数时，计算更简便.如：x2i°=（；x2）=1.

要点、注意事项

（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.

（2）同底数累的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加.指数为1,计算时不要

遗漏.

（3）幕的乘方运算时，指数相乘，而同底数塞的乘法中是指数相加.

（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式（特别是系数）都要分别乘方.

（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

（6）带有负号的事的运算，要养成先化简符号的习惯.

【例3】（2022秋•广东佛山•七年级统考期中）已知当x=2时，5加■+3加+o=15,那么当

x=-2时，5ax2"-3bx3+c=（）

A.14B.15C.16D.无法确定

【答案】B

【分析】先将x=2带入5ax2n+3bx3+c=15得至5a-22"+3b缓+c=15,再将x=-2带入

5依2〃+c得到5a.（-2产-3/7.（-2）3+c,再根据积的乘法的运算法则将

5。•（一2产―36•（-2）3+c换算成5a.*"+3b-23+c即可得到答案.

【详解】解:当x=2时，5a.22,i+3Z?.23+c=15,

当x=-2时，

5ax2n-3bx3+c

=5a•（-2产-36•（-2甘+c

=5a.（-l）2H.22"+3£>.（-1）.（-1）3.23+c

=5a.22n+3Z7.23+c

-15,

故选：B.

【点睛】本题考查积的乘方，解题的关键是灵活运用积的乘方将整式进行换算.

【变式训练】

【变式1】（2022秋•四川广元•八年级校联考期中）下列计算：（1）（-4）3=一.5；（2）

（-加）2=加；（3）a2?ab（4）若1=2,ab+c=6,则优=3中正确的有（）个.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】直接利用积的乘方、幕的乘方，同底数幕的运算，即可计算得出选项.

【详解】解：（1）（-4）3=_/,原计算错误，不符合题意；

（2）{-ab2^=a2b\原计算错误，不符合题意；

（3）a2?aba2+b,原计算正确，符合题意；

（4）若a"=2,ab+c=abgic=6,则a。=3,原计算正确，符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了幕的乘方、积的乘方，同底数幕的运算，解题的关键是能熟记法则的内

容.

【变式2］（2023秋.河南南阳•八年级校考期末）已知口=5,则（3/”y一4（丁广的值为

【答案】1025

【分析】先化简，再逆用幕的乘方，进行求值即可.

【详解】解=5,

（3X3"）2-4（X2）2"=9f"一4”

=9（/y_4（/）2

=9X53-4X52

=1125-100

=1025.

故答案为：1025.

【点睛】本题考查积的乘方，塞的乘方，以及代数式求值.熟练掌握积的乘方，基的乘方运

算，是解题的关键.

【变式3］（2022秋.山东临沂•七年级统考期中）（1）计算:

①（2x7『与2%7'

②(3)x4丁与(一3『x4?；

③[(-2)x(一3)?与(一2px(一3汽

④[(-2)x(一3)了与(一2)3《3)3

(2)根据以上计算结果猜想：(〃加『，(〃加)3分别等于什么？(直接写出结果)

(3)猜想与验证：当P为正整数时，(加〃)。等于什么？

(4)利用上述结论，求(-4产3X0.252022的值.

【答案】(1)①196196②—144-144③3636④216216(2)=mV(m«)3=m3«3

(3)mpnp;(4)-4

【分析】(1)第一个式子先计算乘法，再计算乘方，第二个式子先计算乘方，再计算乘法即

可得到答案；

(2)根据(1)的运算结果可知(相〃)=〃//,("mf=m3n3；

(3)由(加〃)'=竺":二巴结合(2)可得答案；

〃个

(4)将原式变形为(-4*0.25产zx(-4)进行求解即可.

【详解】解：(1)①(2x7)2=14?=196,22x72=4x49=196;

②[(-3)x41=(-12『=144,(-3八42=9x16=144；

③[(-2)x(-3)J=62=36,(-2)2x(-3『=4x9=36；

④[(-2)x(-3)J=63=216与(-2)3x(-3)3=(-8)x(-27)=216；

(2)由(1)可知(相〃J=I”，。,(俏")3=〃而3；

(3)(mn)P

=mn-mn---mn

=根•根…•机•〃•〃•••〃

'~PF_

=mpnp

(4)