2024-2025学年鄂尔多斯市高一数学上学期第一次月考试卷（附答案解析）

2024-2025学年鄂尔多斯市高一数学上学期第一次月考试卷

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，想也等熟

区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章，第二章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.下列关系正确的是（）

A.ac{a,b,c}B.0e{0}

C.{0,1}ND.V2eQ

2.a24的一个必要不充分条件是（）

A.a>4B.a>4C.a>\D.a<1

3.若工<工<0,则下列不等式正确的是（）

ab

A.同>网B.a<bC.a+b>abD.a~<b2

4.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（

A.每一个命题都能判断真假

B.存在一条直线与两条相交直线都平行

C.对任意实数a,6,若a<b,贝！

D.存在xeR，使Jx?—x+1=0

5.若集合2={》|》2-3x-10K0,xeZ）,5=1x|2x2-x-6>0,xez},则ZcB的子集有（）

A.15个B.16个C.7个D.8个

6.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%

的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（）

A.63%B.47%C.55%D.42%

1

7.对于任意的eR,定义运算：xG）y=x（y+l）,若不等式xG）（x+a）+l>0对任意实数x恒成立,

则（）

A—1<。<3B.0<Q<2

C.—3<a<1D.—2<。<2

8.若正数满足孙—2x—y=0,则x+'的最小值是（）

A.2B.272C.4D.4VI

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知全集。=区，集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的（）

U

A.MNN=0B.MU6RN=R

C.2/=RMD.CRN=RM

10.下列结论正确的是（）

A.当xNO时，x+l+-^—>2

x+1

^>2

B.当x>0时,

C.x+工的最小值为2

X

1

D.+2+/°-的最小值为2

&+2

11.二次函数y=a/+6x+c的图象如图所示，则（）

2

A.a+b+c<0B.a+c<bC.abc<0D,b1<（c+4（7）

12.已知全集。={0』,2,3,4,5},/是。的子集，当xe/时，x—且x+leN,则称x为A的一

个“孤立元素”，则下列说法正确的是()

A.若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素

B.若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素

C.若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个

D,若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.命题)：eR,x?+x<0的否定为.

14.如图，坐标系中矩形及其内部的点构成的集合可表示为.

斗

B,------------1C

-2Ox

15.若{a，。,-1}={a,“0},贝！la-6=.

16.若对VxeRJa>0,使得一+⑪―—加+i成立，则实数加的取值范围为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知集合4={x|(%+2)(8-%)>0},5=(x|-3<x<6).

(1)求/U(为5)

⑵若C={x［加+l<x<2加—1},Cc(^nfi),求实数机的取值范围.

18.已知abwO,求证：/+b3+Qb—Q2—b2〉o的充要条件是

19,已知:Vxe|x|-1<x<1},x2+x-A:<0,:3xGR,x2+2kx+3k+4«0.

(1)若可成立，求实数左的取值范围，

(2)若夕和9中至多有一个成立，求实数上的取值范围.

hrCdah

20.(1)设见伉。为正数，求证：---1----1---2a+b+c；

abc

3

（2）解关于x的不等式：x~—（2a+1）忖+a"+a<0.

21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形/BCD,如图）上设

计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH=2EF）,宣传栏（图

中阴影部分）的面积之和为36000cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为

10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm）,设£E=xcm.

水平方向

（1）当x=60时，求海报纸（矩形48CD）的周长;

（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形45CD的面积最小）？

22若实数X,%%满足-时>状-加|,则称x比歹远离加.

（1）若-2比1远离/,求实数/的取值范围;

（2）若=试问：——+^^与'+2哪一个更远离2?并说明理由.

a-+lb2+la-b

鄂尔多斯市第三中学高一年级上学期第一次月考考试题

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出等熟

区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章，第二章.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

4

1.下列关系正确的是（）

A.ac{a.b.c}B.0£{0}

c.{0,1}ND.V2eQ

【答案】C

【解析】

【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系进行判断.

【详解】解：选项A：因为。是集合“c}中的元素，所以8c},所以选项A错误;

选项B：因为0是任何集合的子集，所以0口{0},所以选项B错误；

选项C：因为N中含有元素0,1,而且还有其他元素，所以{0,1}N,所以选项C正确；

选项D：因为④是无理数，而Q是有理数集，所以正@Q,所以选项D错误；

故选：C

2.a»4的一个必要不充分条件是（）

A.a>4B.a>4C.a>\D.a<\

【答案】C

【解析】

【分析】根据必要不充分条件的定义转化为对应集合的关系进行求解即可.

【详解】a»4的一个必要不充分条件对应集合设为A,则［4,+8）A,

则a之1满足条件，

故选：C.

3.若工<工<0,则下列不等式正确的是（）

ab

A.同>网B.a<bC.a+b>abD.a1<b2

【答案】D

【解析】

【分析】结合y得6<a<0,即可逐个判断.

X

【详解】由y=L知xe（—8,0）单调递减，又,（工<0,则6<a<0,B错误；

%ab

则同<同,A错误;

5

a+b<O,ab>0,C错误；

由二次函数y=/知，xe（—叫0）单调递减，则/</,D正确.

故选：D

4.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（）

A.每一个命题都能判断真假

B.存在一条直线与两条相交直线都平行

C.对任意实数a,6,若a<b,则/〈人？

D,存在xeR，使Jf-x+1=0

【答案】A

【解析】

【分析】根据全称量词命题以及存在量词命题的概念以及命题的真假判断，一一判断各命题，即得答案.

【详解】对于A,“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假，

A是真命题，符合题意；

对于B,“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意；

对于C,该命题是全称量词命题，当a=-2,6=-1时，a2>b2,C中命题是假命题，不符合题意；

对于D,该命题是存在量词命题，不符合题意，

故选：A.

5.若集合2={》|》2-3x-10K0,xeZ）,5=1x|2x2-x-6>0,xez},则ZcB的子集有（）

A.15个B.16个C.7个D.8个

【答案】B

【解析】

【分析】利用交集的运算法则以及集合子集的计算公式求解.

【详解】因为Z={x|-2VxV5,壮Z},5={x|x>2或x<—京xeZ）,

所以/c—2Vx<—§或2<x«5,xcZ}={—2,3,4,5）,

它有24=16个子集.

6

故选：B.

6.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%

的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是（）

A.63%B.47%C.55%D.42%

【答案】B

【解析】

【分析】设只喜欢篮球的百分比为X,只喜欢羽毛球的百分比为V,两个项目都喜欢的百分比为z,画

出图形，列出方程求解即可.

【详解】解：设只喜欢篮球的百分比为X,只喜欢羽毛球的百分比为歹，两个项目都喜欢的百分比为z,

由题意，可得x+z=60,x+y+z=95,y+z=82,解得z=47.

•••该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是47%.

故选：B.

7.对于任意的eR,定义运算：X。〉=x（〉+l）,若不等式工。（％+。）+1>0对任意实数》恒成立,

则（）

A,-1<4Z<3B.0<«<2

C.—3<a<1D.—2<a<2

【答案】C

【解析】

【分析】根据运算法则得到/+（4+1）》+1>0恒成立，由根的判别式得到不等式，求出答案.

【详解】由已知得工。（％+。）+1=%（》+。+1）+1=》2+（。+1）》+1>0对任意实数》恒成立，

所以A=（a+1）2-4<0,解得—3<tz<1.

故选：C.

8.若正数xj满足孙—2x—y=0,则x+拼■的最小值是（）

A2B.272C.4D.4V2

7

【答案】c

【解析】

2YV

【分析】由中—2x—歹=0得歹=——，代入x+上后利用基本不等式即可求解.

x-12

2x

【详解】因为正数x/满足肛—2x—歹=0,所以y=——>0,贝Ux—1〉0,

x-1

所以X+上=x+'+l=x—l+，+222」(x—1)・工+2=4,

2x-1x-1r'x-1

当且仅当x-1=——，即x=2时，等号成立.

X—1

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知全集。=R,集合M、N的关系如图所示，则下列结论中正确的()

U

A.Mc或N=0B,Mu\N=R

C.uRN=RMD.CRN=RM

【答案】BD

【解析】

【分析】根据集合的的运算与韦恩图即可求解.

【详解】由图可知，/n翻=MNW0,A错误；

M<J6RN=R,B正确；

刎URN=^(M「N)=RN,C错误；

刎nRN=^("UN)=R〃,D正确，

故选:BD.

8

10.下列结论正确的是()

A.当xNO时，X+1+——>2

x+1

X+lc

当x>0时，-^>2

XH—的最小值为2

G+2+/,的最小值为2

G+2

【答案】AB

【解析】

【分析】利用基本不等式逐一判断即可.

【详解】A：当x»0时，x+l+—>2j(x+l)-|—|=2,当且仅当x+l=」一时，即x=0时

X+1\7(x+1)X+1

等号成立，故本选项正确；

=2,当且仅当4时，即x=l时等号成立，故

本选项正确;

C：当x<0时，显然X+—22不成立，因此本选项不正确;

D：因为，f+2>2jVx2+2-J——=2,当且仅当+2=时,此时

/+2x2+2

必+2=1无实数解，故取不到等号，所以本选项不正确,

故选：AB

11.二次函数V=[/+乐+。的图象如图所示，则

9

A.a+b+c<QB.a+c<bC.abc<0D.b2<4(J(C+4(2)

【答案】BCD

【解析】

【分析】由二次函数的图象与性质对选项逐一判断.

【详解】由题意得.<0,对称轴x=—2=1,则b=—2a>0,

2a

当X=1时，y=a+/?+c>0,故A错误；

当％=-1时，y=a-b+c<0,则〃+。<6,故B正确；

当x=0时，y=c>0,则必。<0,故C正确；

设一元二次方程G2+云+C=0的两根分别为占户2,由图象可知%-々|=4=也二^<4,整

同同

理可得〃<4a(c+4a),故D正确.

故选：BCD

12.已知全集。={0』,2,3,4,5},/是。的子集，当xe/时，》一1e“且x+le/,则称x为A的一

个“孤立元素”，则下列说法正确的是()

A.若A中元素均为孤立元素，则A中最多有3个元素

B.若A中不含孤立元素，则A中最少有2个元素

C.若A中元素均为孤立元素，且仅有2个元素，则这样的集合A共有9个

D.若A中不含孤立元素，且仅有4个元素，则这样的集合A共有6个

【答案】ABD

【解析】

【分析】由定义可得“孤立元素不相邻”可判断A项，结合逆否命题可判断B项，对于C项、D项分别依

次列举即可.

【详解】对于A项，由题意，孤立元素不相邻，集合。中最多同时找出3个孤立元素，故A项正确；

对于B项，若A中只有1个元素，则必为孤立元素，故B项正确；

对于C项，易知这样的集合A有{0,2},{0,3},{0,4},{0,5},{1,3},{1,4},{1,5},{2,4},{2,5},

{3,5}共10个,故C项错误；

对于D项，不含“孤立元素”且包含有4个元素的集合有

10

(0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5)共6个,故D项正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.命题)：eR,/<0的否定为.

【答案】VxeR,x2+x>0

【解析】

【分析】由存在量词命题的否定是全称量词求解即可.

【详解】命题:eR,x2+x<0的否定为VxeR,x2+x>0.

故答案为：VxeR,x2+x>0.

14.如图，坐标系中矩形045。及其内部的点构成的集合可表示为.

【答案】{(X,J)|-2<X<0,0<J<1}

【解析】

【分析】根据阴影部分的点构成的集合求解即可.

【详解】易知阴影部分的点构成的集合为{(x,y)l-2<X<0,0<^<1}.

故答案为：{(xJ)「2<xW0,0<yWl}.

15.若{a10,—1}={a,仇0},贝!|.一6=.

【答案】土2

【解析】

22

【分析】依题意可得①〈a—a或②〈a—b，再求出参数的值，从而得解，需代入检验是否满足集合

b=-l[a=-l

元素的互异性.

11

a2=a-a2=b

【详解】因为犷,0,—1}={凡d0},所以①.或②《

b=-la--\

a=0a=la=0a=1

由①得<或<I，其中71与元素互异性矛盾，舍去，故〈71符合题意，此时a-6=2；

b=-lb=-lb=-l

b=\

由②得〈，符合题意，此时a—6=—2；

«=-I

综上，a-3的值为±2.

故答案为：±2

16.若对VxeRJa>0,使得—+ax—/2x—a加+1成立，则实数加的取值范围为

【答案】［2,+8)

【解析】

【分析】由关于x的一元二次不等式恒成立得△<(),参变分离后再由基本不等式求解最值.

［详解］由f+ar_q2—a加+1，+(tz—l)x—tz'+am—l>0.

由题意可得Btz>0，使得(a-1)~+4(矿-am+1)<0成立，

即三。>0,使得加之---1------------成立.

44a2

—+—-->2j—--=2,当且仅当a=l时等号成立，故〃z22.

44a2744a2

故答案为:［2,+8).

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知集合^4={x|(%+2)(8-x)>0},5=(x|-3<x<6).

(I)求/U(泗

(2)若。={》|加+lWx<2加一1},Cc(^nS),求实数加的取值范围.

【答案】(1){x|x<-3或x»-2}

(2)<m\m<—\

12

【解析】

【分析】（1）先化简集合A,然后根据补集运算求出条3,最后再求/U（<5）.

（2）由题意可知一2v加+1«2加一1«6或加+1>2加一1,解不等式即可.

【小问1详解】

解：/={x|（x+2）（8-x）20}={%|-2W8},'B-{x|x<-3^<x>6},

贝ij={x|x<-3^cv>-2}.

【小问2详解】

集合A=\x\-2<x<^,5=|x|-3<x<6},

/.4c5={x|-2WxW6}.

若C=0,则加+1〉2加—1,即加<2；

7

若Cw0则〈加+12—2,解得2V冽V—.

2

2m-l<6,

综上，实数加的取值范围为（切削

18.已知仍wO,求证：/+3+仍一下一/>0的充要条件是6>1.

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】由不等式的性质及充要条件的含义证明.

【详解】证明：充分性（条件n结论）

因为abwO,所以/—+/=[a-g]+|-Z）2>0，

又a+6>1,所以/+/=（^a+b^a2-ab+b2^>a2-ab+b2,

所以充分性成立；

必要性（结论n条件）

因为a：+b+ab—a~-b~=（a+b）（（7-ab+）+ab—cr-b~=（a+b-l）（a-ab+）〉0,

13

2所以

而Q?—cib+Z>=a4|+—>0，a+6—1>0,

所以〃+所以必要性成立.

综上，/+b3+Qb—/>0的充要条件是

19.已知:Vxe-^xl-1<x<lj,x2+x-<0,:3xeR,x2+2kx+3A：+4<0.

（1）若“成立，求实数左的取值范围,

（2）若P和q中至多有一个成立，求实数上的取值范围.

【答案】⑴[k\k<2}

(2){k\k<4}.

【解析】

【分析】（1）根据题意可得r?Hxe{x|—I<x<l},x2+x>左，根据存在性问题分析求解;

（2）取反面：当P和0均成立时，求参数的取值范围，进而可得结果.

【小问1详解】

若R:Hre{x|—1Wx<1},炉+%>%成立，

因为xe{x|-1WxW1}时，x2+xejx|-^-<x<2>,可得左<2,

所以实数左的取值范围为{k\k<2}.

【小问2详解】

。和q中至多有一个成立，考虑其反面：。和q均成立，

若夕：Vxe{x|-l<x〈l},x2+x〈%成立，

因为xe{x|-1WxW1}时，x2+xe<x<21,可得左上2；

若4成立时，4=4左2—4（3%+4）20,解得左K—1或左24；

若0、4均成立时，可得人24,

所以p、q至多有一个成立时，则上<4.

综上上述：实数上的取值范围为找%<4}.

14

hrCddh

20.（1）设a,“c为正数，求证：---1-----1---->a+b+c；

abc

（2）解关于x的不等式：x~—（2a+1）国+矿+G<0.

【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析

【解析】

三式相加即可得证;

⑵x2-（2tz+l）|x|+（22+（2<0,gp|x|2-（2«+l）|x|+a（«+l）<0,再从a分类讨论，结合一1元二

次不等式的解法即可得解.

【详解】（1）因为仇。为正数,

由基本不等式可得,当且仅当a=6时取等号,

B等2M=如当且仅当』取等号,

当且仅当a=c取等号,

以上三式相加有2g+竽+或匕2（“+",）,

<abc）

hrCddh

即一+—+——N1+人+C,当且仅当Q=b=C时取等号；

abc

（2）角牟：X?—（2Q+1）+Q?+Q<0,

BP|xP-（2a+1）国+Q（Q+1）<0,

即（国-a）（国-a-1）<0,

①当aW—1时，|x|—a>0,国一”120,（忖一州国一口—1）<0的解集为0,

②当一l<a<0时，凶一a>0,

（忖一。）（国一"1）<0等价于,<4+1,即一a—l<x<a+l；

③当a»0时，（忖一。）（忖一"1）<0等价于4<国<4+1,

15

即一Q-1<X<-Q或Q<X<Q+1,

综上可得：1时，原不等式的解集为0；

当—1<。<0时，原不等式的解集为（―a—l,a+l）；

当a»0时，原不等式的解集为（―a—1,—a）+1）.

21.为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形45CD,如图）上设

计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH=2EF）,宣传栏（图

中阴影部分）的面积之和为36000cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为

10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm）,设斯=xcm.

水平方向

（1）当x=60时，求海报纸（矩形45CD）的周长；

（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形/BCD的面积最小）？

【答案】（1）900cm

（2）选择长、宽分别为350cm,140cm的海报纸，可使用纸量最少

【解析】

【分析】（1）根据宣传栏的面积以及x=60可计算出直角三角形的高，再根据留空宽度即可求得矩形

A8CD的周长；

（2）根据阴影部分面积为定值，表示出矩形面积的表达式利用基本不等式即可求得面积的最小值，验证

等号成立的条件即可得出对应的长和宽.

【小问1详解】

设阴影部分直角三角形的高为歹cm,

所以阴影部分的面积S=6xg孙=3孙=36000，所以孙=12000,

又x=60,故尸200,

由图可知AD=歹+20=220cm,AB=3x+50=230cm.

海报纸的周长为2x（220+230）=900cm.

16

故海报纸的周长为900cm.

【小问2详解】

由（1）知孙