专题13导数的概念及其意义导数的运算（原卷版）

2023高考一轮复习讲与练专题13导数的概念及其意义、导数的运算练高考明方向1.（2022·新高考Ⅰ卷T15）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是______________．2.（2022·新高考Ⅱ卷T14）写出曲线过坐标原点的切线方程：____________，____________．3.（2022·全国甲（文）T20）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．（1）若，求a；（2）求a的取值范围．4.（2022·新高考Ⅰ卷T22）已知函数和有相同最小值．（1）求a；（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数的图像在点处的切线方程为 ()A． B． C． D．6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 ()A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+7．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线在点处的切线方程为，则 ()A．B． C． D．8．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知函数．讨论的单调性，并证明有且仅有两个零点；设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．9．(2021年高考全国甲卷理科)曲线在点处的切线方程为__________．10．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线在点处的切线方程为．11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线在点处的切线的斜率为，则．12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线在点处的切线方程为__________．13．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知为偶函数,当时,,,则曲线在点处的切线方程是_______________.14．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．导数的概念及其意义、导数的运算导数的概念导数的概念及其意义、导数的运算导数的概念导数的几何意义导数公式导数的运算法则复合函数的导数类型一、导数的概念及导数的几何意义基础知识：1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记法记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)2．函数f(x)的导函数：函数f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)为f(x)的导函数．基本题型：1．设为可导函数，且满足，则为（）A．1 B．C．2 D．2．已知函数，且，则的值为（）A． B．2 C． D．3．（多选题）已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则（）A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56C．该物体位移的最大值为43D．该物体在t＝5时的瞬时速度是70类型二、导数的几何意义基础知识：导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．基本题型：1、（过某点处切线的方程）若经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为()A．12x－y－16＝0B．3x－y＋2＝0C．12x－y＋16＝0或3x－y－2＝0D．12x－y－16＝0或3x－y＋2＝02．（在某点处切线的方程）(2018全国卷Ⅰ)设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．3、（求参数的值）已知函数f(x)＝msinx＋b在x＝eq\f(π,6)处的切线方程为y＝eq\f(\r(3),2)x－eq\f(\r(3),12)π＋1，则实数b的值为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．1 D.eq\r(3)4．（求参数的范围）已知函数，过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（）A． B． C． D．5．（切线的倾斜角）设点P是曲线y＝x3－x＋9上的任意一点，曲线在P点处切线的倾斜角为α，则α的取值范围是()A．B． C． D．6．（切线的斜率）偶函数的图象在处的切线斜率为A．2e B．e C． D．7、（求切点坐标）设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为．8．（求参数的值）已知直线l：y＝x＋b为曲线f(x)＝ex的切线，若直线l与曲线g(x)＝－eq\f(1,2)x2＋mx－eq\f(7,2)也相切，则实数m的值为________．基本方法：1、函数y＝f(x)在点A(x0，f(x0))处的切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，一定要抓住关键eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y0＝fx0，,k＝f′x0.))2、过点的切线方程的求解方法：设切点为P(x0，y0)，则斜率k＝f′(x0)，过切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)，又因为切线方程过点A(m，n)，所以n－y0＝f′(x0)(m－x0)，然后解出x0的值．(x0有几个值，就有几条切线)3、求切点坐标的思路：已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．4、求参数问题的方法：通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出关于参数的方程(组)并解出参数，注意以下几点：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上．类型三、导数的运算基础知识：1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝eq\a\vs4\al(0)f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))eq\a\vs4\al(′,)＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；(4)[cf(x)]′＝cf′(x)(c为常数)．基本题型：1．（多选）下列函数求导正确的是（）A． B．C． D．2．(多选)下列结论中正确的是()A．若y＝coseq\f(1,x)，则y′＝eq\f(1,x2)sineq\f(1,x)B．若y＝lneq\r(1＋2x)，则y′＝eq\f(1,1＋2x)C．若y＝eq\f(1,tanx)，则y′＝eq\f(1,cos2x)D．若y＝x2022＋log2x，则y′＝2022x2021＋eq\f(1,xln2)3．（多选）设函数，则下列说法正确的是（）A．B．C．在处的切线方程为D．基本方法：1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．2．常见形式及具体求导的几种方法连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式：先化为和、差形式，再求导类型三、复合函数的导数基础知识：1、一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成eq\a\vs4\al(x)的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))2、复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．基本题型：1．设，，，…，，，则（）A． B．C． D．2．已知函数，其导函数记为，则（）A．2 B． C．3 D．3．求下列函数的导数．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．基本方法：复合函数的求导：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元。类型四、解析式中含有导数值的函数基础知识：对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似于f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．注意：f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，且(f(x0))′＝0.基本题型：1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝eq\f(1,x)＋3xf′(1)，则f′(2)的值为()A.eq\f(5,4) B．1C.eq\f(1,4) D．－22．已知函数，，则满足的的值为______．3．已知函数的导函数，若，则________.新预测破高考1．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．2、(多选)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于y＝2x－1，则点P的坐标为()A．(1,3) B．(－1,3)C．(－1，－3) D．(1，－3)3．函数，且，则（）A．1 B．C．2 D．4、若对恒成立，则曲线在点处的切线方程为（）A． B．C． D．5．已知函数的图象在和处的切线互相垂直，且，则（）A． B． C． D．6．（多选）过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数可能的值是（）A． B． C． D．7．已知函数的导函数为，且满足，则（）A．1 B． C． D．8．甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是（）A．v甲＞v乙 B．v甲＜v乙C．v甲＝v乙 D．大小关系不确定9．设曲线y＝x＋lnx的一条切线过点(0,1)，则此切线与坐标轴围成的三角形面积为()A.eq\f(e,21＋e) B.eq\f(e,1＋e)C.eq\f(e2,2e2＋1) D.eq\f(e2,e2＋1)10．设函数，其中，则导数的取值范围是（）A．[－2，2] B． C． D．11．（多选）函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列不等式正确是（）A． B．C． D．12．（多选）已知函数在处的导数为，则的解析式可能为（）A． B．C． D．13．（多选题）已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“青山点”．下列函数中，有“青山点”的是（）A． B． C． D．14．（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设定一个起始点，如图，在处作图象的切线，切线与轴的交点横坐标记作：用替代重复上面的过程可得；一直继续下去，可得到一系列的数，，，…，，…在一定精确度下，用四舍五入法取值，当，近似值相等时，该值即作为函数的一个零点.若要求的近似值(精确到0.1)，我们可以先构造函数，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为的近似值，则下列说法正确的是（）A．对任意，B．若，且，则对任意，C．当时，需要作2条切线即可确定的值D．无论在上取任何有理数都有15．曲线在点处的切线与直线垂直，则________.16．已知曲线：，若过曲线外一点引曲线的两条切线，它们的倾斜角互补，则实数的值为______．17．过点(0，－1)且与曲线y＝x－1＋eq\f(1,ex)相切的