2控制系统的数学模型(拉氏变换)

第二章控制系统数学模型一、数学模型的基本概念1、数学模型数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。

动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。

12、建立数学模型的方法

解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。

实验法23、数学模型的形式

时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程

复数域：传递函数、结构图

频率域：频率特性3动态系统数学模型有多种表达形式，可以是马上讨论的微分方程，也可以是状态方程、传递函数模型。微分方程描述的系统模型，通过求解微分方程，可以得到系统随时间变化的规律，比较直观。但是当微分方程阶次较高时，微分方程的求解变得十分困难，不易实现，而采用拉氏变换就能把问题的求解从原来的时域变换到幅频域，把微分变成代数方程，而代数方程的求解通常是比较简单的。二、拉普拉斯变换41、定义函数f(t)的拉普拉斯变换定义为：式中：s=

+j

（

，

均为实数）称为拉普拉斯算子；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。5f（0）极限值错误！6

4、实微分定理

11、初值定理

12、终值定理7表2-3常用函数的拉氏变换s-a8原函数（微分方程的解）象函数微分方程象函数的代数方程拉氏反变换拉氏变换解代数方程拉氏变换法求解线性微分方程的过程三、拉普拉斯反变换9由F(s)求f(t)常用部分分式法

如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成为下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，Fn(s)的拉氏反变换可以容易地求出，则：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)10在控制理论中，通常：将F(s)的分母多项式A(s)进行因式分解得A(s)=(s-s1)(s-s2)…(s-sn)式中，si(i=1,2,…,n)为A(s)=0的根。下面分两种情况讨论。111、

A(S)=0有n个不等根，此时F(s)可分解为：式中，Ci为待定系数

由拉氏变换表2-3查得的反变换为，然后相加得（2-16）待定系数ci可按下式求得,即（2-14）12例2-5

求的原函数f(t)

由式2-14计算，得所以

由式2-16，求得原函数

解：将F(s)分解为分式132、A(S)=0有重根设s1为r阶重根，sr+1,sr+2,…,sn为单根，则F(s)可展成如下部分分式式中cr+1,cr+2,…,cn为单根部分的待定系数由式（2-14）计算。而重根部分的计算公式如下（2-17）14将诸待定系数求出后，带入F(s)取反变换即求得原函数f(t)15例2-7求的原函数f(t)

根据式（2-17）可求得：c1=-0.75