人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：2 3 2 两点间的距离公式

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE12．3.2两点间的距离公式学习目标1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题．导语在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现在计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区住户的出行．如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？一、两点之间的距离公式问题1在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？〖提示〗|AB|＝|xA－xB|.问题2已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？〖提示〗(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|；(2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|；(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).知识梳理1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).注意点：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)已知斜率为k的直线上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|，或|P1P2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.例1已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状．解方法一∵|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(1－32＋7＋32)＝eq\r(104)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－－3)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－－3)＝－eq\f(2,3)，∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(1＋32＋7－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形．反思感悟计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．跟踪训练1若点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________________．〖答案〗(2,10)或(－10,10)〖解析〗由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.设点M的坐标为(xM，±10)．由两点间距离公式，得|MN|＝eq\r(xM＋42＋10－22)＝10或|MN|＝eq\r(xM＋42＋－10－22)＝10，解得xM＝－10或xM＝2，所以点M的坐标为(2,10)或(－10,10)．二、坐标法的应用例2求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．证明如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点．设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)，则|AB|＝|c|.又由中点坐标公式，得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)，\f(n,2)))，∴|DE|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)－\f(m,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))，∴|DE|＝eq\f(1,2)|AB|，即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半．反思感悟(1)用〖解析〗法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”．(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤①建立坐标系，用坐标表示有关的量．②进行有关代数运算．③把代数运算的结果“翻译”成几何结论．跟踪训练2已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|＝|BD|.证明如图所示，建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(a,0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c)．∴|AC|＝eq\r(b－02＋c－02)＝eq\r(b2＋c2)，|BD|＝eq\r(a－b－a2＋c－02)＝eq\r(b2＋c2).故|AC|＝|BD|.1．知识清单：两点间的距离公式．2．方法归纳：待定系数法、坐标法．3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解．1．已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是()A．x2－y2＝1 B．x2＋y2＝0C.eq\r(x2＋y2)＝1 D.eq\r(x2＋y2)＝0〖答案〗C〖解析〗由两点间的距离公式得eq\r(x2＋y2)＝1.2．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于()A．5B.eq\r(37)C.eq\r(13)D．4〖答案〗A〖解析〗|MN|＝eq\r(2＋12＋1－52)＝5.3．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则|PQ|等于()A．4B．4eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)〖答案〗B〖解析〗∵P(1,1)，Q(5,5)，∴|PQ|＝eq\r(42＋42)＝4eq