人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册学案：习题课 圆锥曲线的离心率

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第一册PAGEPAGE1习题课圆锥曲线的离心率学习目标1.掌握圆锥曲线的离心率的求法.2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题．一、定义法例1直线y＝－eq\r(3)x与椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\r(3)－1D．4－2eq\r(3)〖答案〗C〖解析〗以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，也必过椭圆的左焦点，过这两个焦点及A，B两点可作一个矩形，直线y＝－eq\r(3)x的倾斜角为120°，所以矩形的宽是c，长是eq\r(3)c，由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a，即c＋eq\r(3)c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.反思感悟根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关于e的方程，进而求出e.跟踪训练1设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq\f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为__________．〖答案〗eq\f(5,3)〖解析〗不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故r1＝eq\f(3b＋2a,2)，r2＝eq\f(3b－2a,2).又r1·r2＝eq\f(9,4)ab，所以eq\f(3b＋2a,2)·eq\f(3b－2a,2)＝eq\f(9,4)ab，解得eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)(负值舍去)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋1)＝eq\f(5,3).二、几何法例2设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)〖答案〗A〖解析〗如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|.由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝eq\f(3|PF2|,2)，2c＝|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，即c＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)·eq\f(2,3|PF2|)＝eq\f(\r(3),3).反思感悟涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得eq\f(c,a)的值．跟踪训练2设F1，F2是双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．〖答案〗eq\r(3)〖解析〗根据双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝6a，,|PF1|－|PF2|＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝4a，,|PF2|＝2a.))又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小．在△PF1F2中，由余弦定理，得eq\f(4a2＋4c2－4a2,2×4a×2c)＝cos30°，∴2eq\r(3)ac＝3a2＋c2.等式两边同除以a2，得e2－2eq\r(3)e＋3＝0，解得e＝eq\r(3).三、寻求齐次方程求离心率例3(1)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．〖答案〗eq\f(\r(5)－1,2)〖解析〗在△ABF中，|AB|＝eq\r(a2＋b2)，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，即a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，整理得a2＋b2＝c2＋2ac，将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2).因为0<e<1，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).(2)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．〖答案〗2〖解析〗如图，由题意知|AB|＝eq\f(2b2,a)，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2×eq\f(2b2,a)＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．反思感悟利用定义以及图形中的几何关系来建立关于参数a，b，c的关系式，结合a，b，c之间的关系，化简为参数a，c的关系式进行求解．跟踪训练3已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点F，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B．2C.eq\r(2)＋1 D.eq\r(2)－1〖答案〗C〖解析〗如图所示，∵两条曲线交点的连线过点F，∴两条曲线交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，±p))，代入双曲线方程得eq\f(\f(p2,4),a2)－eq\f(p2,b2)＝1，又eq\f(p,2)＝c，∴eq\f(c2,a2)－4×eq\f(c2,b2)＝1，化简得c4－6a2c2＋a4＝0，∴e4－6e2＋1＝0，∴e2＝3＋2eq\r(2)＝(1＋eq\r(2))2，∴e＝eq\r(2)＋1.四、求离心率的取值范围例4已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右顶点到其渐近线的距离不大于eq\f(2\r(5),5)a，则离心率e的取值范围为()A．〖eq\r(3)，＋∞) B．〖eq\r(5)，＋∞)C．(1，eq\r(3)〗 D．(1，eq\r(5)〗〖答案〗D〖解析〗依题意得，点(a,0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于eq\f(2\r(5),5)a，∴eq\f(|ba＋0|,\r(b2＋a2))≤eq\f(2\r(5),5)a，解得e≤eq\r(5).又e>1，∴1<e≤eq\r(5).反思感悟求离心率范围的常用思路(1)通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为求离心率的取值范围．(2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的取值范围．跟踪训练4已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．〖答案〗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))〖解析〗设P(x，y)，则eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，将y2＝b2－eq\f(b2,a2)x2代入上式，解得x2＝eq\f(2c2－b2a2,c2)＝eq\f(3c2－a2a2,c2).又x2∈〖0，a2〗，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).1．知识清单：(1)圆锥曲线的离心率的求法．(2)圆锥曲线的离心率的范围问题．2．方法归纳：定义法、数形结合．3．常见误区：忽略离心率的范围导致出错．1．已知双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1，则离心率等于()A．3B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(5),2)D．2〖答案〗D〖解析〗由双曲线方程可知c2＝4，所以e＝eq\f(c,a)＝2.2．(多选)已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y＝±2x，则双曲线E的离心率为()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\r(5)C.eq\f(5\r(3),3)D.eq\f(3\r(5),5)〖答案〗AB〖解析〗若双曲线焦点在x轴上，由渐近线方程为y＝±2x，得eq\f(b,a)＝2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(5)；若双曲线焦点在y轴上，由渐近线方程为y＝±2x，得eq\f(a,b)＝2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(5),2).3．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(5),5)〖答案〗C〖解析〗设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－eq\f(b2,a2k)xM，代入k＝1，M(－4,1)，解得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(3),2).4．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点(不在坐标轴上)，Q是∠F1PF2的平分线与x轴的交点，若|QF2|＝2|OQ|，则椭圆离心率的取值范围是________．〖答案〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))〖解析〗∵|QF2|＝2|OQ|，∴|Q