高考数学专项复习：数列（新定义）（解析版）

专题08数列专题（新定义）

一、单选题

1.（2023春・甘肃张掖•高二高台县第一中学校考阶段练习）对于正项数列｛%｝中，定义：

⑸一”"生+…+隗为数歹式％｝的“匀称值，，已知数列｛〃“｝的“匀称值"为G"=〃+2,则该数列中的

n

“io=（）

8「12-9-21

A4.—B.—C.—D.—

35410

【答案】D

【分析】确定〃G”=〃（〃+2）=4+2%+3a3■!-----卜也〃,取〃=10和〃=9带入式子，相减得到答案.

［详解］0=0+2"2+3。3+—+叫=〃+2,即"G'=M〃+2）=%+2氏+3%+…+加”，

n

故q+2%+3/H----FIO^ZJQ=10x（10+2）；%+2%+3/H-----H9%=9x（9+2）；

21

两式相减得10%=21,所以/噎.

故选：D

2.（2023春・浙江•高三开学考试）对任意正整数对①次），定义函数/（4Q如下：/（1"）=1,

A.f（/+l,j）=lB./（?J）=2C；1

C.勿产加"）］=j.（2，TD.方寸”4,_7）］=2"+〃一2

1=1j=li=l

【答案】c

【分析】根据新定义得与彳=q,令；/即可判断A,根据

于（2,j）_j-\于（3,j）_j-2/（4,j）j-3方击箱必|好口壬田一市Y…钿弋汨

二/c7~，…累乘可判断B,利用一项式7E理求得

C：+C；+…+C：=2"T,结合£［产/（i,川=）£1=jQ-l）判断C,££〃♦/«，川=£（2』），结

i=lz=lJ=1f=lJ=1

合等比数列的前〃项和公式判断D.

【详解】•・g1）/3"（…）〃，,加靠上好

fu+tj)

令，=九则=0,+A错误;

jT/(3,j)j-2J(4")j-3j-i+1

'/(I,J)-2"(2,1)-37(3,；)"4'…'i

(厂1)(/-2)(，-3)…(，-i+1)J

累乘得:

/(I,j)2x3x4x5x…xij

1

•.•/(l,j)=l,.-./(z,j)=-C；.,a<j),令i=l,则B错误;

J

因为(1+1)"=C：+C：+C：+…+C：,所以C：+C：+…+C：=2"-1,

卜这c；=jQT,则C正确；

1=1i=l

ttu-%，/)]=t(2J'-1)=牛P-n=2"+1-«-2,则D错误.

j=li=lj=lI1

故选：C.

3.（2023春・安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义:对于数列｛?｝,如果存在一个常数T（TeN*）,

使得对任意的正整数“2传恒有凡+7=%，则称数列｛%｝是从第"。项起的周期为T的周期数列.已知周期数

列｛〃｝满足:伉=1,%=3,bn=bn_x-bn_2(n>3),则为0=()

A.-1B.-3C.-2D.1

【答案】D

【分析】写出周期数列｛〃｝的前几项，发现周期为6,进而求得多）23的值.

【详解】写出周期数列也｝的前几项:

1,3,2,—1j—3,—2,1,3,2,—1,—3,—2,1,…，

发现周期数列｛2｝是周期为6的周期数列,

••Hem=437x6+l=4=1-

故选：D.

4.（2023秋・福建南平•高二统考期末）若数列｛%｝的前“项和为S",则称数列也J是数列｛。”｝的“均

值数列”.已知数列也,｝是数列｛a,｝的“均值数列”且或=n设数列若

g（疗一,〃+百一3）＜（对〃eN*恒成立，则实数优的取值范围为（）

A.[-1,2]B.(-1,2)

C.-1)u(2,+oo)D.(-co,-l]u[2,+oo)

【答案】B

【分析】由新定义求得S",然后由。“=5,-5“_|求得%,从而可求得［(裂项相消法)后得北的最小值，解

相应不等式可得结论.

【详解】由题意2=〃，即S“=〃2,

n

a22

；・时,n=Sn-Sn-1=n-(n-l)=2n-l,

又q=E=1,£N*时，％=2九一1,

11+

,21-1+12〃+12

y/3—1A/5—V3J2—+1—二2及一1+1—1

/=------1--------1---1---------------=---------9

〃2222

易知｛后7-1｝是递增数列,.・・｛叵皆1｝的最小值是与1(〃=1时取得)，

由题意;(加之-m+6-3)<—；1,解得—

故选：B.

5.(2023秋•山西长治•高三校联考阶段练习)对于一个〃项数列

A-.ax,a2,---,an,Sk=ai+a2+---+ali(l<k<n,k,记A的“Cesaro平均值”为工(岳+S2+•••+$“)，若数列

q,…Moi。的“Cesam平均值”为2022,数列x,q,%，…，《oio的"Cesam平均值”为2046,贝口=()

A.24B.26C.1036D.1541

【答案】B

【分析】先求出1+邑+…+5皿。的值，再根据Cesar。平均值的求法列出等式，即可求出尤的值.

【详解】因为数列q,%，…，小。^Cesaro平均值”为之土幻L幽=2022,

以5］+邑+•••+Si。］。—2022x1010.

因为x,q,%，…MKH。的“Cesar。平均值”为2+5)+„+…+口+%>)=2046,

所以1。卜+2022>1010=2046,所以x+2020=2046,解得x=26,

故选:B.

6.（2023春糊北咸宁•高二校考开学考试）等比数列｛%｝中为=512,公比“=用n“=qq••…玛表示

它的前w项之积，则n-n2,中最大的是（）

A.n”B.n10c.n9D.n8

【答案】c

【分析】根据题意分析a“，n”的符号，结合前〃项之积的性质运算求解.

【详解】V«1>0,^=-1<0,则当"为奇数时，«„>0,当〃为偶数时，a„<0,

.•.当〃=4左一3（AwN*）或〃=4左（左€?4*）时，n„>0,

当〃=4左一2（左eN*）或〃=4左一l,eN*）时，<0,

由题意可得：a“=5121-g],令同=5122）>1,解得“W10,

若n“取到最大，则左=3,〃=9,即｛n“｝中最大的是n%

故选：C.

7.（2022秋・北京•高二北京二中校考期末）如果数列｛%｝满足吐-乌包=左（左为常数），那么数列｛4｝叫做

an+lan

等比差数列，上叫做公比差.下列四个结论中所有正确结论的序号是（）

①若数列｛%｝满足如=2〃，则该数列是等比差数列；

an

②数列｛〃•2"｝是等比差数列；

③所有的等比数列都是等比差数列；

④存在等差数列是等比差数列.

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

【答案】B

【分析】根据比等差数列的定义为^-刍包:环七为常数），逐一判断①②③④是否是等比差数列即可可得到

aa

n+ln

答案.

【详解】①数列｛“"｝满足%贝|]吐--=25+1）-2"=2,

an%+1a„

满足等比差数列的定义，故①正确;

②数列｛".2"｝,

%+2-—(〃+2>2"+2(〃+1>2.

+,

«„+14~(«+1)-2"“2

77.(«+2)-2-(«+1)2-22

——,

不满足等比差数列的定义，故②错误；

a|Oa

③设等比数列的公比为q,贝i]3-3=q-4=。，

a

«„+1„

满足等比差数列，故③正确；

④设等差数列的公差为

ipJ4+2_4+1_a“+2d_a”+cl__d

a

'%nan+dana“(a“+d)’

故当4=0时，满足吐--=0,故存在等差数列是等比差数列，即④正确；

aa

n+ln

故答案为：①③④

故选：B.

8.(2019秋・北京•高三101中学校考阶段练习)定义在(-8,0)U(0,+oo)上的函数〃x),如果对于任意给定

的等比数列｛%｝,｛"%)｝仍是等比数列，则称“X)为“保等比数列函数”.现有定义在(-力,0)U(0,+«))上

的如下函数：①/(x)=f；②〃尤)=2、③f(x)=J®/(x)=ln|^|,其中是“保等比数列函数”的序号为

()

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】C

【分析】根据新定义，结合等比数列性质氏。一一加以判断，即可得到结论.通过积的乘方，即

可判断①；通过指数的幕的运算，即可判断②；通过积的运算即可判断③；由对数的运算法则，即可判断

【详解】设｛%｝是等比数列，由等比数列性质知。冯+2=。3，

对于①，/(%)〃%)=g3=(屋1)2=产(%)，即｛〃%)｝仍是等比数列，故正确；

对于②，〃/)〃%+2)=2"”2%=2%+"<22限=/(%),

即｛■/■(q)｝不是等比数列，故不正确；

2

对于③，/(«„)/(«,1+2)=——^=^=/(«„+1),即｛/(%)｝是等比数列，故正确；

anan+2an+l

1*|a„1)i=2

对于④，/(«„)/(an+2)=In|a„|In|o„+2(in+1f(a„+1),

即｛了(4)｝不是等比数列，故不正确；

故选：C.

12

9.（2023秋•吉林・高二吉林一中校考期末）若数列｛4｝满足------=。，则称｛%｝为“必会数列”，已知正

an+lan

项数列｛%｝为“必会数列”，若%+%=3，则4+。3=（）.

A.-B.1C.6D.12

9

【答案】D

【分析】根据数列新定义可得数列｛%｝是以q=g为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即可求得答

案.

【详解】由题意数列｛%｝满足-------=。，可得%+i=ga“，

an+\an2

故正项数列｛%｝是以4=g为公比的等比数列，

21

贝！=4（〃2+〃3）=^（%+々3）=3,.二生+/=12,

故选：D

10.（2022秋•陕西渭南•高二统考期末）设｛%｝是无穷数列，若存在正整数左，使得对任意的“eN*,均有

an+k>an,则称｛%｝是间隔递增数列，%是｛%｝的间隔数.若｛々｝是间隔递增数列，则数列出｝的通项不可熊

是（）

9

A.b=2n--B.%=3〃+1

nn

C.b“=TD-d=一〃（一2）”

【答案】D

【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可.

99

【详解】对于A：b-b„=2（k）-——-2n+-,

n+tn+II/vIrZ

9

化简得：bn+k-bn=k2+——>0,

存在正整数3使得对任意的〃EN*,2+左-2>。恒成立,

所以｛2｝是间隔递增数列;

对于B：bn+k-bn=3M+1-3"-1=（3-）3”,

因为左为正整数且“eN*，所以（3上-1）3,>0,

所以％广白>0,所以也｝是间隔递增数列；

对于C：bn+k-bn+—I,

因为左为正整数且〃eN*,所以

所以*「优>0，所以色｝是间隔递增数列；

对于D：-用=一（"+左）（一2）"+"+〃（一2）"

当Ze正奇数，”eN*时，〃-（〃+左）（-2?>0,

（-2）"的正负由〃的奇偶性决定，此时~bn>0不恒成立,

不符合间隔递增数列的定义;

当左e正偶数，〃eN*时，〃一（〃+左）（一2）'<0,

（-2）"的正负由〃的奇偶性决定，此时勿+丘-2>0不恒成立，

不符合间隔递增数列的定义；

故选：D.

11.（2023•全国•高三专题练习）对于数列若存在正整数左/22）,使得《〈“J,ak<ak+l,则称应是

9

数列｛4｝的“谷值”，4是数列｛风｝的“谷值点”.在数列｛%｝中，若+厂8,则数列｛%｝的“谷值点”为

（）

A.2B.7C.2,7D.2,5,7

【答案】C

376129

【分析】先求出q=2,。2=彳,。3=2,〃4=i，%=£,。6=彳，%=｝，“8=7，再得到"N7，〃£N,

245278

9

H+—8>0,结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解.

n

9

【详解】因为氏二〃+—8,

n

在［、］_3__7_6_1_29

所以。1―2,%=耳，〃3-02,%=1，“5=《，"6=5，%=亍

8

999

当HGN,-----8>0,所以。〃=〃+—8=几+—8,

nnn

Q

因为函数y=x+=-8在［7,y)上单调递增，

9

所以时，数歹IJ4=〃+'—8为单调递增数歹IJ,

n

所以。2<%,%<〃3，%<“6，%<〃8，

所以数列｛。“｝的“谷值点”为2,7.

故选：C.

12.(2023・全国•高二专题练习)若数列｛叫满足*=24-1,则称｛%｝为“对奇数列”.已知正项数列也,+1｝

为“对奇数列”，且4=2,则2=()

A.2x3"-B.2"TC.2"+1D.2"

【答案】D

【分析】根据题意可得〃+|+1=2(2+1)-1,进而可得｛2｝为等比数列，再求得通项公式即可.

【详解】由题意得2+1+1=2(%+1)—1,所以%=22，又仇=2,所以也J是首项为2,公比为2的等比数

列，所以”=2义2"7=2".

故选：D.

13.(2022春・辽宁葫芦岛•高二校联考阶段练习)设A(4)表示落在区间阮区』内的偶数个数.在等比数列

｛%-"｝中，［=4,2=11,则/?(%)=()

A.21B.20C.41D.40

【答案】C

【分析】设｛q-科的公比为分根据为和出求出夕，从而得凡和。一再根据。(%)的定义可求出结果.

(、an_211—2

【详解】设｛见一"｝的公比为4,则4=-r=〒7=3，

q-14—1

所以见一a=(q-1)・=(4-1)•3-=3",贝IJ%=〃+3",

所以%=4+3&=85.

所以落在区间［4,85］内的偶数共有41个，故a(%)=4L

故选：C

14.(2023春•湖北•高三黄冈中学校联考开学考试)对于数列｛%｝,定义4=%+2%+…+2"%"为数列｛%｝

的“加权和“，已知某数列｛4｝的“加权和''4=w2"M,记数列｛%+川｝的前W项和为北，若4对任意的

〃eN*恒成立，则实数p的取值范围为()

r_i2_71r_i6_7ir_5_i2ir_i69-

A-B-r7,-3jc-「5,一二1D-r7,-4.

【答案】A

【分析】根据4与%的关系求出(,再根据等差数列的求和公式求出北，将化为

伽-5)［p+2"+<0对任意的〃eN*恒成立,分类讨论〃可求出结果.

In+6)

ln+i

【详解1由4=%+2a2+—>2"an=n-2,

n2n

n'>2时,%+2a2-----^^n-i=(n—1)-2,

・・.2〃T・〃“二小2n+1-(n-l)-2\・・.%=2〃+2,

九=1时，q=4也成立，/.an=2n+2,

二・数列+pn｝的前n项和为：(=%+%+…+p(l+2+…+九)

九(4+2〃+2)n(l+ri)_2n(l+ri)

-2+P2--“+n+P2-'

22

•.•444对任意的〃€7^恒成立，An+3n+p-^^-<T5=5+3x5+px^-,

即M2-52+3n-3x5+-|H(n+l)-^x5x(5+l)<0,

即M2-52+3〃一3X5+£(*-52)+^(n-5)<0,

22

即(a-5)(〃+5+3+节+:+如0,

即(九一5)("+8+。("+6))40,

2

即("-5)［p+2乎］V0对任意的〃eN*恒成立，

In+6)

当时，一?4竺2〃+著16=2+」47对任意的〃eN*恒成立，

n+6〃+6

因为2+3422+/4=昔12，.•.一。4112，所以p»-1g2,

n+64+6555

当〃=5时，5—5）1〃+2几+161=0恒成立,p《R,

I〃+6）

2〃+164

当〃26时，—pN——丁=2+一二对任意的〃EN*恒成立，

H+6n+6

44777

因为2+-<2+---=—,-p>—,所以p<一工，

n+66+6333

-127

综上可得：实数’的取值范围为-彳,-].

故选：A.

15.（2023・全国•高三专题练习）若数列圾｝满足：若粼=2（机,〃eN*）,则6,M=%一则称数列也J为“等

同数列”.已知数列｛叫满足为=5,且用-q）,若“等同数列”也｝的前〃项和为S”，且仿=4=々，

b2=a2fS5=。]0,则S2022=（）

A.4711B.4712C.4714D.4718

【答案】D

【分析】先对已知关系式变形，求出数列｛4｝的通项公式，再利用“等同数列”的定义与已知条件得｛2｝是周

期数列，即可得S2g.

[详解】由怎=〃（%+「。”）得4="，贝U"=%=%=..=§=1,

〃+1nnn—1n—25

故a”=",所以乙=%=1,b2=02=2,b4=cii=1,

所以“=4，所以么=4=2,因为$5=40=10,

所以1+2+a+1+2=10,解得仇=4,同理得％=%=4,

瓦=匕=1,々="=2,…，故数列圾｝是以3为周期的数歹I],

所以S21H2=$674*3=(1+2+4)x674=4718,

故选:D.

16.（2022•全国•高三专题练习）设数列｛4｝,若存在常数/,对任意小的正数s,总存在正整数%,当nN%

时,则数列｛4｝为收敛数列.下列关于收敛数列说法正确的是（）

A.若等比数列｛%｝是收敛数列，则公比qe（0,1）

B.等差数列不可能是收敛数列

C.设公差不为0的等差数列｛a„｝的前〃项和为S"（S"牛0）,则数列fl)一定是收敛数列

D.设数列｛%｝的前"项和为S"，满足4=1,S„+1=«„+l,则数列｛叫是收敛数列

【答案】C

【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前〃项和公式逐一判断

即可.

【详解】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此

选项AB不正确；

选项C：设等差数列｛%｝的公差为"3NO）,

11

当dwO时，当”一用时，告一>°,

所以S"叫+；〃(〃-l)d

所以数列一定是收敛数列，因此本选项正确;

选项D：因为q=l,Sn+I=an+\,所以可得电=1,

当〃22,〃eN*时，由S“+i=a.+lnS“=qi+l,两式相减，得%+i=。”一’

所以%=0,%=-1,%=-1，。6=0，%=1，所以该数列的周期为6,该数列不可能是收敛数列，因此本选项说

法不正确,

故选：C

【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.

17.（2022春・安徽亳州•高三蒙城县第六中学校联考开学考试）设数列｛'｝：%,出，…，a„,（m>2）,若

存在公比为q的等比数歹U｛纥+J:瓦,b2,么中，使得其中左=1,2,…，m,则称数列｛片角｝

为数列｛4｝的“等比分割数列”.若数列｛Ao｝的通项公式为4=2n（n=1,2,...,10）,其“等比分割数列”｛旦J的

首项为1,则数列｛综｝的公比q的取值范围是（）

A.伊,2）B.（2",2）C,（2,2™）D.（2,2^）

【答案】C

【分析】由题意可得，4T<2”<g"5=l,2,3,L,10）,从而可得q>2且广］<2"（w=l,2,3,L,10）,可得

2<“<2涓，再根据指数函数的单调性求出2台的最小值即可

【详解】由题意可得，O'T<2"</M=1,2,3,L,10）,

所以4>2,且4"7<2"(〃=1,2,3,1,10),

当”=1时，1<2成立；当"=2,3,…，10时，应有q<2/成立，

因为y=2工在R上单调递增，所以2告=21+-随着n的增大而减小，

故4<2与，综上，q的取值范围是(2,2号).

故选：C.

18.(2022春・江苏无锡・高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试)若数列｛即｝满足

。2-；勾<生<•■•<«„<...，则称数列｛助｝为“半差递增”数列.已知“半差递增"数列｛。?｝的前n

项和S〃满足S“+2c“=2f_l(〃eN*),则实数f的取值范围是()

A.(-8,；)B.(-CO,1)

C.(―,+co)D.(1,+oo)

【答案】A

【分析】根据S“+2%=2,-ISeN*),利用递推公式求得数列｛1｝的通项公式.再根据新定义的意义，代入解不

等式即可求得实数r的取值范围.

【详解】因为S,+2c”=2f-l(〃eN*)

所以当"22时，S„_l+2^=21-｝

c27

两式相减可得C,+2c,-2%=0,即工=a,所以数列｛c“｝是以公比q=?的等比数列

Cn-\J3

当〃=1时,q=­r~

2r-l(2广2

18⑶

__j_2r-lpY12r-lpY-1_2r-l

"+1"2C"~uj~2~3~⑸18tij

由“差半递增”数列的定义可知

2t-l（2Y-22Z-1（2Y-1

18tij<18,⑴

2

化简可得2/—1<（2^—l）x—

解不等式可得

即实数7的取值范围为

故选：A.

19.（2022•浙江•高二学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2,3之间插入2与3的积6,

得到数列2,6,3；第2次，在2,6,3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2,12,6,18,3；类

似地，第3次操作后，得到数列：2,24,12,72,6,108,18,54,3.按上述这样操作11次后，得到的数

列记为｛4｝,则％。25的值是（）

A.6B.12C.18D.108

【答案】A

【分析】设数列经过第〃次拓展后的项数为或，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则

经过第〃+1次拓展后增加的项数为或T,从而可得勿“=2+包-1=26,-1,从而可求出％=2"+1,从而可

知经过11次拓展后在2与6之间增加的数为2"_1，由此可得出经过11次拓展后6所在的位置，即可得出

答案.

【详解】解:设数列经过第〃次拓展后的项数为£,因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，

则经过第"+1次拓展后增加的项数为2-1，

所以2M=2+2-1=22-1，

b-1

即心「1=2（包一1）,即方==2,

所以数列色T｝是以4=2为首项，2为公比的等比数列，

是以2-1=2",所以"=2"+1,

则经过11次拓展后在2与6之间增加的数为2/_/，

所以经过11次拓展后6所在的位置为第-1+1+1=210+1=1025,

所以。1025=6.

故选：A.

二、多选题

20.（2022秋•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）若数列｛%｝满足：对任意正整数

〃，｛%+i-%｝为递减数列，则称数列｛。“｝为“差递减数列”.给出下列数列｛%｝（〃eN*）,其中是“差递减数列”

的有（）

2

A.an=TB.an=n

C.an=4nD.an=Inn

【答案】CD

【分析】利用差递减数列的定义及函数的单调性即可求解.

【详解】对A,若。“=2"，则%-4=2向-20=2",由函数y=2,在（0,+“）上单调递增，所以｛%-%｝为

递增数列，故A错误；

对B,若4=贝lJa“+]-a“=（〃+1）2-〃2=2〃+1,由函数y=2〃+1在（0,+8）上单调递增，所以｛。用-。“｝为

递增数列，故B错误；

对C,an—yfn,则见+i-a“=+1-+,由函数y=~~4"十丁在（。,+°°）上单调递减,

所以｛〃,,+「为｝为递减数列，故C正确；

对D,若%=lmz,则a,+i-a“=ln5+l）-ln〃=lnW^=ln]l+「，由函数y=+在（0,+s）上单调递

减，所以为递减数列，故D正确.

故选：CD.

21.（2023春•江西新余•高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列｛（｝满足：3A,BeR,ABwO,使得对

于V〃eN*,都有%+2=A。用+加“，则称｛%｝具有“三项相关性”，下列说法正确的有（）.

A.若数列｛。“｝是等差数列，则｛%｝具有“三项相关性”

B.若数列｛4｝是等比数列，则｛%｝具有“三项相关性”

C.若数列｛4｝是周期数列，则｛%｝具有“三项相关性”

D.若数列｛风｝具有正项“三项相关性”，且正数A,B满足4+1=3,al+a2=B,数列也｝的通项公式为

b„=B",｛。”｝与也｝的前〃项和分别为S“，Tn,则对V〃eN*,恒成立

【答案】ABD

【分析】根据题目给出的“三项相关性”的定义，逐项验证即可.

【详解】若｛。“｝为等差数列，则有4+2-%=%-%，%+2=2%+1-。“，A正确；

若数列｛。n｝是等比数列，则%+2=如用，­=,（43。），即%+2=（qT）%+i+q%，易知4片1,显然成

立，

4=1时，。”+2=。”+1=%，取A=8=5，有4+2=+5。”，也成立，所以B正确；

对周期数列：0,0,1,0,0,1,•••,所以九=1时，1=AXO+BXO,显然不成立，所以C错误；

对D,%+2=（3-1）%+1+&“，即q+2+a“+i=B（4+[+a“），ax+a2=B

,,an+2+an+i=B-B=B,B>1,易知°"+2+4,+i=3（%+i+a“）>a“,

即以>4，〃wN*,故S.>&D正确；

故选：ABD

22.（2023春・广东惠州•高三校考阶段练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多・斐波那契

以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用"“表示斐波

那契数列的第〃项，则数列｛%｝满足：at=a2=l,an+2=an+l+an,记=⑷+四+…+%，则下列结论正

确的是（

A.数列｛4｝是递增数列B.2an=an_2+an+1(n>3)

D.X4="2023-1

【答案】BCD

【分析】由数列的递推公式可判断A,B；利用累加法计算可判断选项C,D.

【详解】对A,由%+2=%+。“知，｛%｝的前10项依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

其中，第一二项相等，不满足递增性，故A错误；

对B,根据递推公式4=。"_1+。“_2，得4+%=%-2+%-1+%=%-2+。"+1（7723）,故B正确；

对C,%=%,%，

〃：=%•(%—%)=%q—a?•%,

《—q•(%—%)=%•。4—4•。2，

“2022—%022,（“2023—^20217—%022,“2023—“2022e&2021,

2022

=

・・4+4“2022="2022,“2023,即Z%"2022,“2023,故C正确；

i=l

>X寸D,由。3—“2—%，。4—“3—。2，.・.，%023—“2022="2021，

累力口得〃3~a2+〃4—〃3+…+〃2023—〃2022="1+%+…+〃2021，

2021

即3q=。2023-1，故D正确；

1=1

故选：BCD.

23.（2023秋•河北邯郸•高二统考期末）若｛%｝不是等比数列，但｛〃“｝中存在互不相同的三项可以构成等比

数列，则称｛%｝是局部等比数列.下列数列中是局部等比数列的是（）

A.｛（-2）"+8｝B.〔*1C.上1D."+25｝

【答案】ABD

【分析】对于ABD,直接取特定项验证即可；对于C,定义法可证为等比数列后即可判断.

【详解】对于A：若〃〃=（—2）"+8,贝lj%=6,%=12,%=24,由12?=6x24,得力,电，2成等比数列，

因为｛（-2）〃+8）不是等比数列，所以｛（-2）〃+8）是局部等比数列.故A正确；

则4=4，%i="5i=77X，由I'],得%，如，％成等比数列，

对于B：若

3n+71040160（40）10160

因为[「二]不是等比数列，所以[丁二|是局部等比数列.故B正确；

[3〃+7J[3〃+7J

71IQa1f7i1

对于c：若为=,表=授2，则,=5,则｛%｝是等比数列，所以仁一再|不是局部等比数列.故C

错误；

对于D：若4=1+25,则%=50,%=250,a35=1250,由第=罂，得%,%，旬成等比数歹人

因为,2+25｝不是等比数列，所以｛“2+25｝是局部等比数列.故D正确.

故选：ABD.

24.（2023春・安徽蚌埠•高二蚌埠二中校考阶段练习）已知数列｛%｝是各项均为正数且公比不等于1的等比

数列(〃eN*),对于函数〃x),若数列｛1球(4)｝为等差数列，则称函数〃x)为“保比差数列函数”，则定义

在(0,+8)上的如下函数中是“保比差数列函数”的有()

A.〃x)=:为“保比差数列函数"B.为“保比差数列函数”

C.〃x)=e£为“保比差数列函数"D.=正为“保比差数列函数”

【答案】ABD

【分析】设数列｛4｝的公比为4(4/1),利用保比差数列函数的定义，结合等差数列的定义逐项验证即可.

【详解】设数列｛叫的公比为4(#1),

选项A：ln〃a“)=ln—,

a.

所以ln/(a“+J-ln〃a“)=ln二一一111,=1112=一1114是常数，

«„+1%«w+i

所以数列｛in/(%)｝为等差数列，A满足题意；

选项B：ln/(a“)=lnd，

2

所以In〃«„+i)-ln/(o„)=ln4＞一In4；=In玛-=lnq2=21ng是常数，

an

所以数列｛4(%)｝为等差数列，B满足题意；

选项C：ln/(%)=lne"”=%,

所以ln/(4+J-ln/(%)=a用一%不是常数，

所以数列｛4(4)｝不为等差数列，C不满足题意；

选项D：=

所以111/(4+1)-111/(4,)=111向二_111疯=夕114是常数，

所以数列｛in/(%)｝为等差数列，D满足题意；

故选：ABD

25.(2022秋・福建福州•高二校联考期末)在数列｛%｝中，若d-a3=M"22,〃eN*,p为常数)，则称｛q｝为

“平方等差数列”.下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为()

A.｛（-2）”｝是平方等差数列

B.若｛q,｝是平方等差数列，则｛4｝是等差数列

C.若｛%｝是平方等差数列，贝。｛姐,+“（匕为常数）也是平方等差数列

D.若｛%｝是平方等差数列，则｛软幅｝&beN*,匕6为常数）也是平方等差数列

【答案】BD

【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可.

【详解】对于A,当“为奇数时，则（〃-1）为偶数，所以（-2）"-（-2广=-（2"+2"-）=-3?1,

当〃为偶数时，则（〃-1）为奇数，所以（-2）"-（-2）i=（2"+2"T）=3?"T,

即｛（-2）"｝不符合平方等差数列的定义，故错误；

对于B,若｛%｝是平方等差数列，则4-片-=。522,九€叶,。为常数），即｛才｝是首项为公差为〃的

等差数列，故正确；

对于C,若｛4｝是平方等差数列，则心2/eN*,p为常数），

2

则（包,+6）2-（如+6）2=k（a；-a；_y）+2kb（an-%）,

即（她+，）2-（帆―1+4=丹+2的-,

当｛。,｝为等差数列时，an-an_x=d,贝lj｛她+6｝为平方等差数列，

当｛4｝不为等差数列时，则｛3“+闿不为平方等差数列，故错误；

a

对于D,因为｛g｝是平方等差数列,所以或+i-堤,=或+2-Li=•••=4“+i）-4（“+1）-1=P，

把以上的等式相加，得（成,+1-成,）+（吃2-心1）+…+（《（”+「d（.+l）T）=切，

底=厢,则4向）+厂以产切，即数列｛为+』是平方等差数列，故正确；

故选:BD

26.（2023秋・山西吕梁•高二统考期末）定义:在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，

这样的操作叫作该数列的一次“美好成长，，.将数列1,4进行“美好成长”，第一次得到数列1,4,4；第二

次得到数列1,4,4,16,4,L,设第〃次“美好成长”后得到的数列为1,占,%,L,々,4,并记

%=log4（lx玉x%xLx/x4）,贝lj（）

=

A.%5B.an+l=3an-1

D.数列｛na｝的前n项和为产（2〃T）j+2/。+〃）

C.左=2"+ln

【答案】ABD

【分析】对A：由题意直接运算判断；对B：根据第〃+1次“美好成长”与第〃次“美好成长”的关系分析运算;

对C：根据题意分析可得：+1=2(2+1),利用构造法结合等比数列分析运算；对D：由%M=3%-1,

利用构造法结合等比数列可得%=3旺"+1，利用裂项相消结合分组求和运算求解.

"2

25

【详解】对A：CZ]=log4(lx4x4)=log44=2,02=log4(lx4x4xl6x4)=log44=5,A正确;

对B：由题意可知:

2

、（ixrxx2x..-xx，x4）

a„+l=log4｛（1x外x%x…x4x4）［（1x尤］）（网x尤2）…@x4）］｝=log4X玉X%2X・・・x々x4）x---------------------------—

一八勺八八2八"■•八人kI/\

=log4-------------------------^=31og4(lx%ixx2x・・・x/x4)-l=3a〃-1，

故a.+i=3%,T,B正确；

对C：设第"次“美好成长”后共插入4项，即左=2，共有2+1个间隔，且4=1,

则第〃+1次“美好成长”后再插入2+1项，则bn+1=£+电+1)=纥,+1,

可得2+1+1=2仅“+