2025高考数学一轮复习知识清单：集合与常用逻辑用语（原卷版）

专题01集合与常用逻辑用语

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

维构建・耀精向绐

「（元素的三大特性：确定性、无序性、互异性）

《元素与集合的关系：属于、不寿）透01判麻索与集合土系

知识点一集合）整02筠—然

■（集合的表示法：列举法描述法、图示法）朝03集合中元素的恃性

型04集钿

T〔甫用数集的记法与关系图〕

集合A中所有元素都是集合B的元素

集合甚吾*祥

MTS：A型01强

o知识点二集合间的基本关系且集合B中至少有一个元翥不JS于A罐02判雌合与集合间的关系

合：集丽、毗元六例百年03根嶷合之间的关系求参数

空集：不含朝元,集合

一集合的交集

壁01集合的3&件除合运算

「集合交并补运算的表示」--「集合的并集辘02

集合常用逻辑用语—（o知识点三集合的基本运算）壁03集合在场问题中的应用

翅04韦霁

型05集合的腕义问题

充要条件的定员

o知识点四充分条件与必要条件迹01充分条件与必要条件判断

耀02雄必《^^

充要条件充要条件的含义：P是q的充要条件，q也是P的充要条件

充要条件的等价说法：q成立当且仅当P成立

小星词：短语■■所有的,•任意二F辱

的星词命题：含有翎展词山藕]

型01含有命震的否定

锂02根据全村词命酰真辕求参数

—fO知识点五全称量词与存在量词）--强痂词：霞・g£f•妙有一个•等）

K------------------------------------------------------------/---------------------L存在星词命瑟含有存在星词的命题「壁03根据序连词命题的亮段求参数

-命题的否定

口说盘点・查福讣与

知识点1集合与元素

1、集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性；

2、元素与集合的关系：属于或不属于，用符号e或右表示

3、集合的表示法：列举法、描述法、图示法

4、常见数集的记法与关系图

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集

符号NN*（或N+）ZQR

知识点2集合间的基本关系

表示

文字语言符号语言图形语言

关系

集合A的所有元素都是集合B的

子集AqB或B卫A

元素(%eA贝!1)

o或

基本

集合A是集合B的子集且集合B

关系真子集AtjB或A

中至少有一个元素不属于Ao

相等集合A,B的元素完全相同A=B

不含任何元素的集合.空集是任

空集0

何集合4的子集

知识点3集合的基本运算

1、集合交并补运算的表示

集合的并集集合的交集集合的补集

0©

图形语言而

符号语言AU5=3％GA,G5}AQB=|x|xGA,SJCe玛2A=^x\xGU,SJC^A}

2、集合运算中的常用二级结论

(1)并集的性质：AU0=A;AUA=A；AUB=BUA；=匹A.

(2)交集的性质：ACI0=°；AAA=A；AAB=BHA；AHB=A=AUB.

(3)补集的性质：AU(O)=U;An([uA)=。.=A；

C[/(AUB)=(Cc4)n(CC/B)；MAnB)=([必)U([uB).

知识点4充分条件与必要条件

1、充分条件与必要条件

“若P，则必为真命题“若P，则4”为假命题

推出关系p0qpg

P是4的充分条件P不是4的充分条件

条件关系

q是P的必要条件q不是p的必要条件

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

定理关系

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

2、充要条件

(1)充要条件的定义

如果喏p，则q”和它的逆命题“若q，则，'均为真命题，即既有pnq，又有qnp，就记作。o小

此时，p既是。的充分条件，也是q的必要条件，我们说?是q的充分必要条件，简称充要条件。

(2)充要条件的含义

若p是q的充要条件，则q也是p的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的，

因为这两个命题的条件与结论不同。

(3)充要条件的等价说法：?是q的充要条件又常说成是q成立当且仅当p成立，或夕与q等价。

知识点5全称量词与存在量词

1、全称量词与全称量词命题

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并用符号“V”表示.

【注意】(1)全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定；

(2)常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都”

(2)全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.

符号表示：通常，将含有变量x的语句用p(x),q[x),r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表

示，那么，全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立"可用符号简记为

【注意】(1)从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题；

(2)一个全称量词命题可以包含多个变量；

(3)有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。

如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行二

2、存在量词与存在量词命题

(1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词，并用符号“于'表示.

【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等；

(2)存在量词命题：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题。

符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x，使0(x)成立"可用符号简记为

【注意】(1)从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题；

(2)一个存在量词命题可以包含多个变量；

(3)有些命题虽然没有写出存在量词，但其意义具备“存在”、“有一个”等特征都是存在量词命题

3、命题的否定：对命题?加以否定，得到一个新的命题，记作“r?”，读作“非P”或P的否定.

(1)全称量词命题的否定：

一般地，全称量词命题“五6河应(力”的否定是存在量词命题：BxEM^q(x).

(2)存在量词命题的否定：

一般地，存在量词命题“Gq(x)”的否定是全称量词命题：V%GM,^q(x).

(3)命题与命题的否定的真假判断：

一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.

即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.

(4)常见正面词语的否定：

正面词语等于（=）大于（>）小于（<）是都是

否定不等式（丰）不大于（<）不小于（>）不是不都是

正面词语至多有一个至少有一个任意所有至多有n个

否定至少有两个一个都没有某个某些至少有n+1个

点突破・看分■必检

重难点01已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值.

（1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值；

（2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验.

【典例1]（23-24高三上•广东惠州・月考）集合A=若3cA且—leA,则。的取值范围

为（）

A.a<3B.a<-lC.a<3D.-l<a<3

【典例2]（23-24高三下•江西月考）已知4=旧尤2-6+1叫，若2e/,且3eA,则。的取值范围是（）

重难点02利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围

第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；

第二步：看集合中是否含有参数，若

且A中含参数应考虑参数使该集合为,空集的情形；

第三步：将集合间的包含关系转化为方程（组）或不等式（组），求出相关的参数的值或取值范围.

常采用数形结合的思想，借助数轴解答.

【典例1】（2024•陕西西安•三模）设集合A={0,l},若A=8,则。=（）

A.2B.3C.1D.1或2

【典例2】（2024.黑龙江.二模）已知A={x|x（x-l）<O},B={x|logzXVa},若AgB,则实数“的取值范围

为（）

A.[0,+功B.[1,+向C.（0,1]D.fo.1

重难点03根据集合运算的结果确定参数的取值范围

法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，确定参数的取值范围.

法二：（1）化简所给集合；（2）用数轴表示所给集合；

（3）根据集合端点间关系列出不等式（组）；（4）解不等式（组）；（5）检验.

【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“="；（2）千万不要忘记考虑空集。

【典例1】（2024•重庆•模拟预测）设集合A={l,-2—凡-2-2*，8={0,力，若=贝1］。=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【典例2】（2024.重庆.模拟预测）已知集合&={r/一2尤一3>0},8={尤|（x-a）（x+2）<。},若AU3=R,

则a的取值范围为（）

A.（3,+8）B.［3,-H»）C.（-1,3）D.

重难点04利用充分必要条件求参数的策略

1、巧用转化法求参数：把充分条件、必要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于

参数的不等式（不等式组）求解；

2、端点取值需谨慎：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍。

【典例1］（23-24高三上.上海松江.期中）已知":炉-2犬-8<0应:1-。<%<2。-3,且。是4的充分不必要

条件，则实数。的取值范围是.

Y-I-4

【典例2］（23-24高三上.江苏扬州・月考）（多选）若“一7>0"是"<彳<左+2”的必要不充分条件，则实数

X-1

上可以是（）

A.-8B.-4C.0D.4

重难点05根据全称（存在）量词命题的真假求参数

1、全称量词命题求参的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”

等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围；

2、存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常时假设存在满足条件的参

数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词

命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。

2

【典例1]（2024・四川•模拟预测）已知命题1-加20”为真命题，则实数机的取值范围为（）

A.（^»,e-2]B.I-<»,e4C.[e-2,+oo）D.e4-^-,+00|

【典例2]（23-24高三上•黑龙江哈尔滨•期末）已知命题：士°eR，3+2%-120为假命题，则实数〃的取

值范围是（）

A.（^»,-l）u（O,-H»）B.（-1,0）C.[-1,0]D.（-1,0]

法技巧・连褰学霸

一、子集的个数问题

如果集合A中含有n个元素，则有

（1）A的子集的个数有2"个.（2）A的非空子集的个数有2"—1个.

（3）A的真子集的个数有2"-1个（4）A的非空真子集的个数有2"-2个.

【典例1】（2024.浙江.二模）已知集合"={1,2,3},N={0,1,2,3,4,7},若M=A=N,则满足集合A的个

数为（）

A.4B.6C.7D.8

【典例2】（2024.全国.一模）已知集合A={0,1,2},8=卜,=lg（T?+3川，则AcB子集的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、判断集合与集合的关系

判断集合间关系的常用方法：

1、列举观察法：列出几何中的全部元素，通过定义得出集合间关系；

2、集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合元素的特征，再利用集合元素的特征判

断集合间关系；

3、数形结合法：利用数轴或韦恩图判断集合间关系，如不等式的解集之间的关系，适合用数轴法。

【典例1】（2024•云南贵州•二模）已知集合&="€2|0三段4},8={0,1,2,3,4,5},则（）

A.AUBB.A=BC.A&BD.BeA

【典例2】（2024高三.全国.专题练习）已知集合4=口|不>-1/6咫,B={x|x2-x-2>0,xeR},则下列关系

中正确的是（）

A.AcBB.疫AuRBC.AnB=0D.AU3=R

三、韦恩图的应用

元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，一般都能通过韦恩图形象表达。有时题设条件比较抽象，

也应借助于韦恩图寻找解题思路。这样做有助于直观地分析问题、解决问题。

【典例1】（2024•山西长治•一模）已知集合A=„+2无-8<0},8={x|Wv2},U=R,则图中阴影部分表

示的集合为（）

【典例2】（2024•河北邢台.二模）下列集合关系不成立的是（）

A.AUA=AB.AC0=0

C.（瘵4）c（㈤=%（AD3）D.Oe0

四、集合新定义问题

在集合新定义问题中，出现较多的是在现有运算法则和运算律的基础上定义一种新的运算。解题时，要抓

住两点：（1）分析新定义的特点，把新定义中所叙述的问题的本质弄清楚，并且能够应用到具体的解题过

程中；（2）集合中元素的特性及集合的基本运算是解题的突破口，要熟练掌握。

【典例1】（2024•贵州黔东南•二模）若对任意xeA,-eA,则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子

X

关系”集合的是（）

A.{1,3}B.{-1,0,1}C.{x|x>l}D.{x|x>0}

【典例2]（23-24高三下•甘肃・月考）如果集合。存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）

的非空子集A，&,…,4,eN*,左22）,且满足AU&ULUAk=U,那么称子集组A，&,…&构成集合U

的一个左划分.若集合/中含有4个元素，则集合/的所有划分的个数为（）

A.7个B.9个C.10个D.14个

五、充分条件与必要条件的判断

充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

1、定义法：（1）分清命题的条件和结论；（2）判断“若p,则q”及“若q,则p”的真假；（3）得出结论.

2、集合法：利用集合间的包含关系进行判断；

3、等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题。

【典例1】（2024•江西南昌・二模）已知集合4={如11掇0},B={x|2，2},则“xeA”是“xeB”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例2】（2024.湖南衡阳.模拟预测）己知命题.集合A={XX+X_2>0},命题g：集合

B={X|X2+2X-3>0},则p是q的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

X笏混笏错•联券用墟

易错点1对集合表示方法的理解存在偏差

点拨：对集合表示法的理解不能只流于形式上的“掌握”，要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素

类型（点集或者数集）及代表元素的含义。

【典例1X23-24高三下.江西吉安・期中）已知集合M={尤eN|尤2-2x43},N=3y=2T},则“cN=（）

A.{0,1,2,3}B.（0,3]C.[0,3]D.{1,2,3）

B=\xy=,6L则(

【典例2】（2024・湖北•模拟预测）已知集合4={引了=|彳-1|+氏+2]},)

y/10-x2

A.(疝+对B.[3,710)C.[3,^o)D.(-Vio,3]

易错点2忽视（漏）空集导致错误

点拨：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往

往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解。

【典例1】（2024•重庆•模拟预测）设若A={x|（e-2）（x+2）=0},B={x|«x-l=0},则40台=3,实数“

的取值集合为（）

A.j-plog2e|B.卜共C.{log2e)