集合-高考数学复习重点题型归纳与方法总结（原卷版）

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

第01讲集合（精讲）

题型目录一览

集合的含义及其表示

集合间的基本关系

集合的交并补运算及印初图的应用

集合新定义问题

、知识点梳理

L集合的有关概念

1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性.

2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

3.元素与集合的两种关系：属于，记为G;不属于，记为"

4.五个特定的集合及其关系图：N*或N+表示正整数集，N表示非负整数集（或自然

数集），Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.

2.集合间的基本关系

（1）子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素，都是集合8中的元素，

就称集合A为集合B的子集.记作AC8（或B2A）.

⑵真子集：如果集合AU8,但存在元素xGg,且工e4,就称集合A是集合2的真子集，

记作A^B.

（3）相等：若AU8,且8UA,则

（4）空集的性质：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集合

符号表示

A的补集为CuA

图形表示

AUBACB

集合表ZF{小GA,或XGB}{x\x^A,x^B]{x\x^U,且

【常用结论】

(1)若有限集A中有几个元素，则A的子集有2"个，真子集有2"-1个，非空子集有2"-1

个，非空真子集有2"-2个.

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

(3)AcJB<=>AnB=A<=>AUB=BoCcBcCVA.

(4)Cv(A。或=(QA)US),Q(AU5)=(QA)A(C®.

二、题型分类精讲

题型一集合的含义与表示

畲策略方法解决与集合中的元素有关问题的一般思路

看元素构成一遮房差食昼藜集逆建房差.....i

J根据限制条件确定集合中的元素或求：

明限制条件

:参数的值：

检元素特性一〔注意建盒史匹因啰三是性___________!

【典例1】已知集合人={1,3,"},B={l,a+2],A<JB=A,则实数。的值为()

A.{2}B.{-1,2}C.{1,2}D.{0,2}

【典例2】已知集合4={0,1,2},则集合3={(">»,xeA,”A}中元素的个数是()

A.1B.3C.6D.9

【题型训练】

1.(2022.全国.统考高考真题)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足电加={1,3},则()

A.26MB.C.D.5^M

2.(2023•北京海淀•校考模拟预测)设集合"={2加-1,切-3},若-3eM,则实数，片()

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

3.(2023春・河南新乡•高三校联考开学考试)已知集合4={4,%2H，B={-2,%2,l-y),若

A=B,则实数尤的取值集合为()

A.{-1,0,2}B.{-2,2}C.{-1,0,2}D.{-2,1,2)

4.(2023•全国•高三专题练习)已知集合A={0,l,2,3,4,5},3={(x,y)|_xeAyeA,x-yeA},

则集合B中所含元素个数为()

A.20B.21C.22D.23

5.(2023・全国•高三专题练习)设集合A={(x,y)|y=x},B={(x,j)|y=x3},则的元

素个数是（）

A.1B.2

C.3D.4

6.（2023・全国•高三专题练习）已知集合A={0』,2},则集合2={（尤eeA}中

元素的个数是（）

A.1B.3C.6D.9

二、填空题

7.（2023・河北•高三学业考试）设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x\x=a+b,aeA,beB）,

则M中的元素个数为.

8.（2023•全国•高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成又可表示成

忖,。+40},贝|口2侬+62。22=.

9.（2022•全国•高三专题练习）设集合A={（x,y）|x+y=3,xeN*,yeN*},则用列举法表示集合

A为.

10.（2023•全国•高三专题练习）已知集合河={（x,y）"+3>+（yT）2=0,xeR,yeM，

N={-3,1},则McN的元素个数是.

题型二集合间的基本关系

畲策略方法判断集合关系的三种方法

|观察法|一;----列一番观豪[

|「普生两瀛集答既元豪莫彳莽福惠

元素由征阂T合的元素特征，再利用集合元素的特；

:征判断集合关系:

数形结合法一僭曲莪篇晟Venn亩：

【典例1】已知集合4=卜自区1},B={x\lx-a<6\,若AgB,则实数。的取值范围是

A.（2,+8）B.[2,+8）C.（-00,2）D.（-oo,2]

【典例2】已知全集。=408={尤6冲2-10工40},Ac&B）={l,3,5,7},则集合8的真

子集个数为（）

A.63个B.64个C.127个D.128个

【题型训练】

1.（2023•浙江金华・浙江金华第一中学校考模拟预测）己知集合/满足

{2,3}="={1,2,3,4,5},那么这样的集合M的个数为（）

A.6B.7C.8D.9

2.（2023.黑龙江哈尔滨.哈尔滨市第六中学校校考一模）已知集合&=何/+彳42},3={1,“},

若8=A,则实数。的取值集合为（）

A.{—2,—1,0}B.{x[—2＜尤＜1}

C.{x|-2<x<l}D.{-2,—1,0,1）

3.（2023・山东济南•一模）已知集合4=卜"=5/^五},B-{x|x＞a},若A=8,则a的取

值范围为（）

A.a<2B.a>2C.a<QD.a>0

4.（2023•天津河东•一模）已知集合4={1,3,/},B=[l,a+2],AuB=A,则实数〃的值

为（

A.{2}B.{-1,2}C.{1,2}D.{092}

5.（2023・江苏•统考一模）设M无x=1•，左ez1,N=1尤卜=左+g,左ez1,则（）

A.MVNB.NVMC.M=ND.McN=0

6.（2023・山西•校联考模拟预测）已知集合4=卜€勾-4＜》＜“，8则ACB

的非空子集个数为（）

A.7B.8C.15D.16

7.（2023•广西桂林•校考模拟预测）设集合M={（x,y），=y},N={（x,y）lW=x},则集合

McN的真子集的个数为（）个

A.3B.4C.7D.15

8.（2022秋•四川•高三四川省岳池中学校考阶段练习）设集合A={（苍y）|x+y=l},

3={（x,y）|x-y=3},则满足/a（Ac3）的集合/的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

9.（2023•全国•高三专题练习）已知集合A={-1,1,3},8={G+2,a},B^A,则实数a

的值是________

10.（2022・上海.统考模拟预测）已知集合4=3卜2+尤-2=。},5={无|依+1=0},若

则实数a的取值组成的集合是.

11.（2022秋•上海青浦•高三上海市青浦高级中学校考期中）已知集合4=,B={^ax=A\,

若ACB=3,贝I」。的取值集合为

12.（2022秋・上海嘉定•高三校考期中）已知集合A=[y\y=2'+1},8={x\y=ln（6-x）,xez},

集合c=anB,则集合c的子集的个数为.

13.（2022秋•河南安阳•高三校联考阶段练习）集合{幻-1<%,3且无eN}的所有非空真子集

的个数为.

题型三集合的基本运算

畲策略方法集合运算三步骤

回回J满,集一吾田葩元豪友至谪定曲秦祥:如菌累

屁素]一1的定义域、值域，一元二次不等式的解集等！

I

pEWjJ版据元翥满定白勺秦祥绿方程晟示军装，得百元善

信盒|一；满足的最简条件，将集合清晰地表示出来；

司jj利诬交集最笄集而定爻兼辩,必萋豆牙应用

|求解L；数轴或Venn图来直观解决；

【典例1】已知集合4=司尤2-5》+64。},集合3=[巾=Jlog2（x_l）],则Au3=（）

A.（1,3]B.（1,-H»）C.[2,+oo）D.[2,3]

【典例2】己知集合4={尤1%2一/_2=。},B=|x|x2+qx+r=0^,且AuB={-2,1,5},

An2={-2},则0+4+r=（）

A.12B.6C.-14D.-12

【题型训练】

1.（2022•全国•统考高考真题）已知集合4={-1,1,2,4},2=卜k-1归1},则A「3=（）

A.{-1,2}B,{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

2.（2022・浙江•统考高考真题）设集合A={1,2},3={2,4,6},则（）

A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6）

3.（2022・全国•统考高考真题）设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足电加={1,3},则（）

A.2eMB.3eMC.4箔MD.5生M

4.（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题）己知集合

A=^——,—1,1,3^,B={x|/+%—2<0},则Ap|5=（）

A.{1}B.{-1,1}C.D-

5.（西藏拉萨市2023届高三一模数学（理）试题）已知集合A={巾=Inx},2={巾>-2},

则A「8=（）

A.[-2,+00）B.[-2,0）C.（-2,0]D.（0,+e）

6.（2023・吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测）已知集合4={1,3,5,7},

B={x|-l<%<2,%eN*},则AuB中的元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

7.（2023•北京朝阳•统考一模）已知集合八,产“},集合3={小>0},则Au3=（）

A.2]B.[—2,0）C.[—2,+co）D.（0,2j

8.（2023春•浙江杭州•高二浙江大学附属中学期中）已知集合

A={x|log2x<0},B={y||y-l|<2},则（）

A.（0,1）B.（-1,1）C.（-1,3）D.（-8,3）

9.（2023春・甘肃张掖•高三高台县第一中学校考阶段练习）已知全集。={1,2,3,4,5,6},

A=1%|%2-2x-8<0,xeN*1,则即A=（）

A.{0,5,6}B.{-2,-1,0,5,6}C.{5,6}D.{1,5,6）

10.（2023春・湖南•高二浏阳一中校联考阶段练习）设集合A=伸，>4b8={#>4},则

AC（6RB）=（）.

A.（2,4]B.[0,2）C.（-8,4]D.（4,+8）

11.（2023春・湖南•高二临澧县第一中学校联考期中）已知全集。=1i,集合

A={xeZ|0<|x|<2）,3={-1,0』,2,3},则图中阴影部分表示的集合为（）

A.{-2,0}B.{-2,3}C.{-2,0,2}D.{-2,0,3}

12.（2023春・湖南•高一校联考期中）设集合A={xeZ-3<x<m，6={-1,0,1,2},能正确

表示图中阴影部分的集合是（）

C.{0,1,2）D.{2}

13.（2023广东•统考一模）已知集合M={x|x（x—2）vO},N={x|x—IvO},则下列Venn图

{xll<x<5},则

C.{x|x<4}D.x\l<x<5

二、填空题

15.（2023.上海嘉定.统考二模）已知A=［尤--W0

xl|>lk则ACW

16.（2023・上海松江•统考二模）已知集合A=口,2,3,4},B=

17.（2023.高三课时练习）设集合A={X|«7TMO},B={x|lg（x2-2）=lgx},则Au3=

18.（2023・全国•高三对口高考）己知集合4={—1,0,L2},B={.reR||3x-2|<4},则=

19.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4={即。82了<2},则为A=

20.（2021秋・上海金山•高三上海市金山中学校考期中）已知集合4=也|>=2无}，全集U=R,

则用A=

21.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4=卜|«^1<2},B=[y\y=2x-l+3],贝|

Ac做町=.

22.（2023•全国•高三专题练习）已知集合4="《14肛区2},8=卜|y=e27,xe4，则

4口金2=

23.（2022秋・广东湛江•高三校考阶段练习）如图，已知集合

A={-l,0』,2},B={xeN*|l<2'48},则图中的阴影部分表示的集合为.

24.（2022.全国•高三专题练习）建党百年之际，影片《1921》《长津湖》《革命者》都已陆

续上映，截止2021年10月底，《长津湖》票房收入已超56亿元，某市文化调查机构，在至

少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了100人进行调查，得知其中观看

了《1921》的有51人，观看了《长津湖》的有60人，观看了《革命者》的有50人，数据如

图，则图中；b=；c=.

25.（2022秋・陕西•高三校联考阶段练习）某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、

球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.

参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游

泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学有.

题型四集合的新定义

畲策略方法解决与集合的新定义有关问题的一般思路

1.集合的新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所

涉及到的知识和方法并不难，难在转化。

2.集合的新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算

法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可

以用类比的方法进行理解。

[典例1]L若4=卜||无一：|<1bB=定义Ax2={x|xeAUB且X£AI团

1313

A.{x|--<x<0^1<x<—}B.{x|--<x<0^<l<x<—}

,13

C.x\——<x<—D.{X|0<A:<1}

22

【题型训练】

1.（2023春・四川内江•高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）设集合的全集为U,定义

一种运算0,MQN={X\XGMn（^；^））,若全集U=R,M=卜卜|V2},N={x卜3Vx<1},

则M0N=（）

A.{x|-2Vx<1}B.{x|l<xW2}

C.{x|l<%<2}D.{A:|-2<X<1}

2.（2023春•湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个〃位正整数的所有数位上数

字的“次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集

合A,集合8={xeZ|-3cx<4},则AcB真子集个数为（）

A.3B.4C.7D.8

3.（2023•全国•高三专题练习）定义8—A={x|xeB,xeA},集合A={x|*-4W。},

3={x|-3<x<6},贝!|3-A=（）

A.{x|2<x<6}B.{x|-3<x<—2}

C.{x\-3<x<-2^2<x<6}D,{%|-3<x<-22<x<6}

4.（2023•全国•本溪高中校联考模拟预测）对于集合A,B,定义集合4-8={尤«€4且了/研，

已知集合。={力3<%<7,*"},£={-1,0,2,4,6},7={0,3,4,5},则屯（E—2=（）

A.{—2,0,1,3,4,5}B.{0,1,3,4,5}C.{-1,2,6}D.{-2,0,1,3,4}

5.（2023・全国•校联考模拟预测）对于集合A8,定义A-B={x|尤eA,且xgB}.若

A=[x\x=2k+l,k^N},5={%|尤=3k+1,1wN},将集合A—5中的元素从小到大排列得到

数列{%}，则为+%）=（）

A.55B.76C.110D.113

6.（2023•北京・中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合A满足：①AqN,②

\/x,y&A,x^=y,必有,-乂22,③集合A中所有元素之和为100,则集合A中元素个数最

多为（）

A.11B.10C.9D.8

7.（2023•全国•高三专题练习）定义集合运算A㊉8="x,y）沫若集合

A=B={xeN|l<x<4},C=1（x,y）|j=--|x+||,则（A㊉3）cC=（）

A.0B.{（4,1）（C.Jl,|}D.，（4,1）[6,31

8.（2023•全国•高三专题练习）设集合X是实数集R的子集,如果点x°eR满足:对任意a>Q,

都存在xeX,使得。<1x-x。l<a,称与为集合X的聚点，则在下列集合中：①{无|xeR,XH0}；

②{x|xeZ,xwO}；③=N*，；④卜|x=Uj,weN*，,以0为聚点的集合有（）

个.

A.1B.2C.3D.0

二、多选题

9.（2023•河南安阳•安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪•直

到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称

戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时

代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机•所谓戴德金分割，是指将有理数集

。划分为两个非空的子集M与N,且满足A/uN=。，McN=0,M中的每一个元素都

小于N中的每一个元素,则称（M,N）为戴德金分割•试判断下列选项中，可能成立的是（）

A.M=[x\x<0},N={x\x>0）是一个戴德金分割

B.M没有最大元素，N有一个最小元素

C.M有一个最大元素，N有一个最小元素

D.M没有最大元素，N也没有最小元素

10.（2023秋・福建龙岩•高三校联考期末）设数集S={a/,Gd}满足下列两个条件：（1）

^x,yeS,xyeS-（2）Vx,y,zeS,若xwy则xzwyz.则下论断正确的是（）

A.a,6,c,d中必有一个为0

B.a,b,c,d中必有一个为1

C