重庆市某中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末统考试题【含解析】

重庆市中学2023-2024学年数学八年级第一学期期末统考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题

卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右

上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和

涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题3分，共30分）

1.如图所示，有一个长、宽各2米，高为3米且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从顶点

A要爬到顶点B,那么这只昆虫爬行的最短路程为（）

A.3米B.4米C.5米D.6米

2.下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差:

甲乙丙T

平均数（分）92959592

方差3.63.67.48.1

要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

3.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A.£B.720C.2&D.7121

4.在上中，分式的个数是（）

x227ix+y

A.2B.3C.4D.5

5.如图，ZMAN=60°,若△A5C的顶点3在射线AM上,且AB=2,点C在射线

AN上，当△ABC是直角三角形时，AC的值为（）

A.4B.2C.1D.4或1

6.下列从左到右的变形是分解因式的是()

A.9X2-25=(9X+5)(9X-5)B.4/—/+9=(2〃+b)(2a-6)+9

C.5x2y-10xy2=5xy(x-2y)D.(Q—2b)(a+/?)=(〃+b)(a-2b)

3

7.在-1,0,一夜四个数中，最小的数是（）

3

A.-1B.一一C.0D.—亚

2

若3"3n+3n=g,贝！|n=（）

8.

A.-3B.-2C.-1D.0

9.下列说法错误的是（）

」的平方根是土,

A.

366

B.-9是81的一个平方根

C.Jj%的算术平方根是4

D.^=27=-3

10.若数据5,-3,0,X,4,6的中位数为4,则其众数为（)

A.4B.0C.-3D.4、5

二、填空题（每小题3分，共24分）

11.如图，已知A、B、C、O四点在同一直线上，AB=CD,ZA=ZD,请你填一个

直接条件,,使AAFC=

12.如图，Z\ABC的三边AB,BC,CA的长分别为14,12,8,其三条角平分线的交

点为O,则S^ABO:S"CO:SQO

O

B

13.如图，边长为1的菱形ABCD中，ZDAB=60°.连结对角线AC,以AC为边作第

二个菱形ACEF,使NFAC=60。.连结AE,再以AE为边作第三个菱形AEGH使

NHAE=60。…按此规律所作的第n个菱形的边长是.

14.分解因式：a'b-9ab=•

15.如图，AABC是等边三角形，AE=CD,AD.BE相交于点P,BQLD4于

Q,尸Q=3,EP=\,则的长是.

17.在平面直角坐标系中，点A,5的坐标分别为(3,5),(3,7),直线y=2x+b与线

段A3有公共点，则b的取值范围是.

18.直线y^2x+b与x轴的交点坐标是(2,0),则关于x的方程2x+6=0的解是.

三、解答题(共66分)

19.(10分)⑴分解因式：(a—b)(x—y)—3—a)O+y).

⑵分解因式：5m(2x-y)2-5mn2

122x1

（3）解方程rt：----~7=-

x+lL-X'x-1

20.（6分）甲乙两地相距400千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，

如图，线段OA表示货车离甲地的路程y（千米）与所用时间x（小时）之间的函数关

系，折线BCD表示轿车离甲地的路程y（千米）与x（小时）之间的函数关系，根据图

象解答下列问题：

ky（千米）

才100h^r力::

r

°\B—24.55丁卜时］

（1）求线段。对应的函数关系式；

（2）在轿车追上货车后到到达乙地前，何时轿车在货车前30千米.

21.（6分）已知：如图，在△ABC中，AD±BC,垂足是。，E是线段AO上的点，且

AD=BD,DE=DC.

（1）求证：ZBED=ZC；

（2）若AC=13,DC=5,求AE的长.

22.（8分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点4-1,2），5（—3,1），C（0,-l）

（1）在图作出AABC关于y轴的称图形J4G

（2）若将AABC向右移2个单位得到则点A的对应点A的坐标

是.

y

23.（8分）观察下列等式:

〜

①1=—1I—1，7②一=1­I—1，7③一=1—I1，7④一=1­I-1---，

2223634124520

(1)按此规律完成第⑤个等式：()=()+()；

(2)写出你猜想的第”个等式(用含九的式子表示)，并证明其正确性.

24.(8分)如图，AABC与AADE均为等腰直角三角形，ZACB=ZAED=90°.

(1)如图1,点E在AB上，点。与C重合，歹为线段BD的中点，则线段所与尸C

的数量关系是—，族与尸。的位置是.

(2)如图2,在图1的基础上，将AADE绕点A顺时针旋转到如图2的位置，其中

AC在一条直线上，尸为线段BD的中点，则线段跖与尸C是否存在某种确定的

数量关系和位置关系？证明你的结论.

(3)若AADE绕4点旋转任意一个角度到如图3的位置，产为线段6D的中点，连

接防、FC,请你完成图3,猜想线段所与FC的关系，并证明你的结论.

25.(10分)“推进全科阅读，培育时代新人”.某学校为了更好地开展学生读书节

活动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：

时间/小时6789

人数581215

(1)写出这50名学生读书时间的众数、中位数、平均数;

(2)根据上述表格补全下面的条形统计图，

26.(10分)已知NMAN=120。，点C是NMAN的平分线AQ上的一个定点，点B,D

分别在AN,AM上，连接BD.

(发现)

(1)如图1,若NABC=NADC=90。，贝！|NBCD=°,ACBD是三角形；

(探索)

(2)如图2,若NABC+NADC=180。，请判断ACBD的形状，并证明你的结论；

(应用)

(3)如图3,已知NEOF=120。，OP平分NEOF,且OP=1,若点G,H分别在射线

OE,OF上，且APGH为等边三角形，则满足上述条件的APGH的个数一共

有.(只填序号)

①2个②3个③4个④4个以上

图1图2

参考答案

一、选择题(每小题3分，共30分)

1,C

【解析】解：由题意得，

路径一：

2B

=瓯

路径二：

，噬二J画铲存=意；

路径三：

H3=J(3+2)f=技

%"AA售

..5为最短路径，

故选c.

2、B

【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越

大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最

小，而且平均数较大的同学参加数学比赛.

【详解】解：,..3.6V7.4V8.1,

二甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，

V95>92,

.•.乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高,

...要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙.

故选B.

【点睛】

此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反

映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小;

反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.

3、C

【分析】化简得到结果，即可做出判断.

【详解】儿故不是最简二次根式;

B.720=275，故可不是最简二次根式;

C.2&是最简二次根式；

D.7121=11*故4五不是最简二次根式；

故选C.

【点睛】

此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键.

4、A

【解析】根据分式的定义即可得出答案.

13

【详解】根据分式的定义可知是分式的为：一、——共2个，故答案选择A.

xx+y

【点睛】

A

本题考查的主要是分式的定义：①形如万的式子，A、B都是整式，且B中含有字母.

5、D

【分析】当点C在射线AN上运动，^ABC的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝

角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，即可求出AC的值.

【详解】解：如图，

%

ABM

当aABC是直角三角形时，有△ABCi,△ABC?两种情况，过点B作BC」AN,垂足

为Ci,BC2±AM,交AN于点C2,

在RtZkABCi中，AB=2,NA=60。，

.,.ZABCi=30°,

.*.ACi=—AB=1；

2

在Rt4ABCz中，AB=2,NA=60°,

.,.ZAC2B=30°,

；.AC2=4,

故选：D.

【点睛】

本题考查解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形中30。的角所对的直角边等

于斜边的一半是解题关键.

6、C

【分析】考查因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式.

【详解】解：A.正确分解为：9/—25=(3x+5)(3x—5),所以错误；

B.因式分解后为积的形式，所以错误；

C.正确；

D.等式左边就不是多项式，所以错误.

【点睛】

多项式分解后一定是几个整式相乘的形式，才能叫因式分解

7,B

【分析】根据正数大于0,0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即可

判断.

【详解】|-1|<\~^\<~~

3

——<-V2<-1<0

2

,在-1，0,—应四个数中，最小的数是一万.

故选B.

【点睛】

本题考查了实数的大小比较，熟练掌握正数、0、负数的大小关系是解题的关键.

8、A

【分析】直接利用负整数指数塞的性质结合同底数塞的乘法运算法则将原式变形得出答

案.

【详解】解：•••3"+3"+3"=：,

.-.3,,+1=3y,

则〃+1=-2,

解得：n=—3.

故选：A-

【点睛】

此题主要考查了负整数指数易的性质以及同底数幕的乘法运算,正确掌握相关运算法则

是解题关键.

9、C

【解析】根据平方根的性质，立方根的性质依次判断即可.

【详解】工的平方根是土工，故A正确；

366

-9是81的一个平方根，故B正确；

716=4,算术平方根是2,故C错误；

亚工7=—3，故D正确，

故选：C.

【点睛】

此题考查平方根与立方根的性质，熟记性质并熟练解题是关键.

10>A

【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个.找中位数要

把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数.

【详解】•••数据的中位数是1

•••数据按从小到大顺序排列为-3,0,1,x,5,6

，X=1

则数据1出现了2次，出现次数最多，故众数为1.

故选：A.

【点睛】

本题考查众数与中位数的意义.将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中

间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念

掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错.

二、填空题（每小题3分，共24分）

11、ZACF=ZDBE（或NE=NF,或AF=DE）

【分析】根据全等三角形的判定，可得答案.

【详解】解：：AB=CD,

.".AB+BC=CD+BC,即AC=BD.

VZA=ZD；

添加INACF=NDBE,可利用ASA证明AAFC=△£）班；

添加NE=NF,可利用AAS证明AAFCMADEB；

添力口AF=DE,可利用SAS证明△AFCwADEB；

故答案为：NACF=NDBE（或NE=NF,或AF=DE）

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定,熟练掌握全等三角形的判定并选择适当的方法证明是解

题关键.

12、7:6:4；

【分析】利用角平分线的性质，可得知△BCO,ZkACO和AABO中BC,AC和AB

边上的高相等，根据三角形的面积比即为底的比，由此得知结果.

【详解】如图，过O作ODJ_AB交AB于D,过。作OE_LAC交AC于E,过O作

OF_LBC交BC于F,

因为点O为三条角平分线的交点，所以OD=OE=OF,

所以S4ABo:SABCO：Sqo=AB:BC:AC=14:12:8=7:6:4.

故答案为：7:6:4.

【点睛】

考查角平分线的性质，学生熟练掌握角平分线到角两边的距离相等这一性质是本题解题

关键，利用性质找到面积比等于底的比，从而解题.

13、（石厂

【详解】试题分析：连接DB,BD与AC相交于点M,

•四边形ABCD是菱形，.*.AD=AB.AC±DB.

VZDAB=60°,.♦.△ADB是等边三角形.

1

.,.DB=AD=1,/.BM=—

2

2

.*.AC=V3.

同理可得AE=^AC=(百)2,AG=y/3AE=(^/3)3,...

按此规律所作的第n个菱形的边长为(6)n」

14>ab(a+3)(a-3).

【解析】试题分析：cr'b-9ab=b(a2-9)=ab(a+3)(a-3).故答案为ab(a+3)(a

-3).

考点：提公因式法与公式法的综合运用.

15、1

【分析】由已知条件，先证明aABE@Z\CAD得NBPQ=60。，可得BP=2PQ=6,

AD=BE.即可求解.

【详解】•••△ABC为等边三角形，

.♦.AB=CA,ZBAE=ZACD=60°；

又；AE=CD,

在4ABE和ACAD中，

AB=CA

<ZBAE=ZACD,

AE=CD

/.△ABE^ACAD；

.*.BE=AD,ZCAD=ZABE；

二NBPQ=NABE+ZBAD=ZBAD+ZCAD=ZBAE=60°；

VBQ±AD,

AZAQB=90°,则］NPBQ=90°-60°=30°；

VPQ=3,

.,.在RL^BPQ中，BP=2PQ=6；

又；PE=1,

，AD=BE=BP+PE=L

故答案为：L

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30。的角的直角三角

形的性质；巧妙借助三角形全等和直角三角形中30。的性质求解是正确解答本题的关键.

16、1

【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母

为0的未知数的值.

详解：分式方程可化为：x-5=-m,

由分母可知，分式方程的增根是3,

当x=3时,3-5=-m,解得m=l,

故答案为1.

点睛：本题考查了分式方程的增根.增根问题可按如下步骤进行：

①让最简公分母为0确定增根；

②化分式方程为整式方程；

③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.

17、~l<b<l

【分析】由一次函数图象上点的坐标特征结合直线与线段有公共点，即可得出关于b

的一元一次不等式，解之即可得出b的取值范围.

【详解】解：当x=3时，y=2X3+b=6+b,

(6+b>5

•••若直线y=2x+A与线段A5有公共点，贝！I6+万<7,解得一长后1

故答案为：-1KWL

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征结合直线

与线段有公共点，列出关于b的一元一次不等式是解题的关键.

18、x=l

【分析】由直线y=lx+b与x轴的交点坐标是(1,0),求得b的值，再将b的值代入

方程lx+b=0中即可求解.

【详解】把(1,0)代入y=lx+b,

得：b=-4,

把b=-4代入方程lx+b=0,

得：x=l.

故答案为：x=l.

【点睛】

考查了一次函数与坐标轴的交点坐标问题，解题关键抓住直线y=lx+b与x轴的交点坐

标即为关于x的方程lx+Z)=0的解.

三、解答题(共66分)

19、(1)2x(a-b)•(2)5m(2x-y+ri)(2x-y-ri)；(3)无解

【分析】(1)利用提公因式法因式分解即可；

(2)先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可；

(3)根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可.

【详解】解：⑴(a-b)(尤-y)-(b-a)(x+y)

=(«-b)(x-y)+(a-b)(x+y)

=(a-Z?)[(x-y)+(x+y)]

=(a-b)[x-y+x+y]

=2Ma-b)

(2)5m(2x—y)2—5mn2

=5切[(2九一,产一/]

=5m(2x-y+n)(2x-y-n)

22x1

(3)——

X+11-XX~1

化为整式方程，#2(x-l)+2x=x+l

去括号，得2x-2+2x=x+l

移项、合并同类项，得3x=3

解得：元=1

经检验：x=l是原方程的增根，原方程无解.

【点睛】

此题考查的是因式分解和解分式方程,掌握用提公因式法和平方差公式因式分解和解分

式方程的一般步骤是解决此题的关键，需要注意的是，分式方程要验根.

17

20、(1)j=120x-140(2WxW4.5)；(2)当x=—时，轿车在货车前30千米.

4

【分析】(D设线段CZ>对应的函数解析式为7=丘+儿由待定系数法求出其解即可；

(2)由货车和轿车相距30千米列出方程解答即可.

【详解】(1)设线段。对应的函数表达式为7=丘+瓦

将C(2,100)、D(4.5,400)代入y=fcv+方中，得

'2k+b=100

<4.5k+6=400

入=120

解方程组得<

b=-140

所以线段。所对应的函数表达式为y=120x-140(2Sr<4.5).

17

(2)根据题意得，120x-140-80x=30,解得尤=一.

4

17

答：当时，轿车在货车前30千米.

4

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的

解析式的运用，行程问题中路程=速度x时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车

与轿车的速度是解题的关键.

21、1

【分析】(1)可以通过证明△AOC也△ADE可得NBEZ)=NG(2)先根据勾股定理

求出AO,由上一问△AOC之△3OE可得EO=EC,AD=BD,即可求出AE.

【详解】证明：(1)：AO_L5C,.I40E=40C=90。，

V在△AOC和△BOE中，

BD=AD

<ZBDE=ZADC,

DE=DC

J.AADC^ABDE,

：.^BED=ZC.

(2),:ZADC=9Q°,AC=13,DC=5,：.AD^12

'：/\BDE^/\ADC,DE=DC=5

：.AE=AO-Z)E=12-5=1.

【点睛】

题目中出现较多的角相等，边相等可以考虑用三角形全等的方法解决问题.

22、(1)作图见解析；(2)(1,2)

【分析】(1)根据网格结构找出点4、5、C关于y轴的对称点Ai、Bi、G的位置，然

后顺次连接即可；

(2)根据网格结构找出点A、B、C向右平移2个单位的对应点4、B\。的位置，然

后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点4的坐标.

【详解】(1)△AiBiG如图所示；

(2)如图所示,A'(1,2)；

【点睛】

本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对

应点的位置是解题的关键.

1,Li=J_^_

23、(1)-(2)+,证明见解析

5630nn+1n(n+1)

【分析】(D根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为1,第二个式子的左边

分母为2,…第五个式子的左边分母为5；右边第一个分数的分母为2,3,4,…第五

个则为6,另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1;

111

(2)由(1)的规律发现第n个式子为一=--+-~利用分式的加减证明即可.

nn+1n(n+1)

【详解】(1)Ql=1+!

22

111

—=--1——

236

111

—二——I------

3412

111

—=——I------

4520

111

,——二——I------

"5630

1

故答案为：二，—

30

(2)由规律可得：第九个等式(用含”的式子表示)为:

111

——---------1---------------9

nn+1n(n+l)

n1〃+I1

右=।-二—

川(〃+l)n(n+l)〃(几+1)n9

111

「•左边=右边，即一二—r+-—

nn+1n(n+1)

【点睛】

此题考查数字的变化规律，关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律,

并应用发现的规律解决问题.

24、(1)EF=FC,EF±FC；(2)EF=FC,EF±FC,证明见解析；(3)EF=FC,EF±FC,

证明见解析；

【分析】(1)根据已知得出^EFC是等腰直角三角形即可.

(2)延长线段CF到M,使FM=CF,连接DM、ME、EC,利用SAS证△BFC丝Z\DFM,

进而可以证明aMDE也aCAE,即可得证；

(3)延长线段CF到M,使FM=CF,连接DM、ME、EC,利用SAS证△BFC之△DFM,

进而可以证明aMDE之aCAE,即可得证；.

【详解】解：(1)：AABC与AADE均为等腰直角三角形，ZACB=ZAED=90°.

：.ZBEC=ZAED=90°,ZB=ZBCE=45°.

.*.BE=EC

•••尸为线段BD的中点，

EF=FC=-BC,EF±FC；

2

故答案为：EF=FC,EF±FC

(2)存在EF=FC,EF±FC,证明如下：

延长CF到M,使FM=CF,连接DM、ME、EC

,••尸为线段BD的中点，

，DF=FB,

图2

VFC=FM,ZBFC=ZDFM,DF=FB,

AABFC^ADFM,

.*.DM=BC,ZMDB=ZFBC,

.♦.MD=AC,MD〃BC,

.,.ZMDC=ZACB=90°

/.ZMDE=ZEAC=135°,

VED=EA,

AAMDE^ACAE(SAS),

.*.ME=EC,ZMED=ZCEA,

AZMED+ZFEA=ZFEA+ZCEA=90°,

.,.ZMEC=90°,又F为CM的中点,

/.EF=FC,EF1FC；

(3)EF=FC,EF±FC.

证明如下：

如图4,延长CF到M,使CF=FM,连接ME、EC,连接DM交延长交AE于G,交

AC于H,

，DF=FB,

在aBCF和△DFM中

FC=FM

<ZBFC=ZDMF

BF=DF

.♦.△BFC丝△DFM(SAS),

.*.DM=BC,ZMDB=ZFBC,

.♦.MD=AC,HD/7BC,

.,.ZAHG=ZBCA=90°,且NAGH=NDGE,

/.ZMDE=ZEAC,

在aMDE和4CAE中

MD=AC

<ZMDE=ZEAC

DE=AE

/.ME=EC,ZMED=ZCEA,

ZMED+ZFEA=ZFEA+ZCEA=90",

A