2025年高中数学《平面向量与复数》综合测试卷（含答案及解析）

第五章平面向量与复数综合测试卷

（新高考专用）

（考试时间：120分钟;满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024•北京大兴三模）设乙族是非零向量，噂=合是4=加的（）

\a\\b\

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（5分）（2024•西藏•模拟预测）已知复数z=2T,则（）

1111

A.--+iB.--iC.-+iD.---i

3.（5分）（2024•陕西安康•模拟预测）已知向量日%为单位向量，演=值且江+石+之=6,贝无与石的夹角

为（）

71717121T

A.34C.]D,—

4.（5分）（2024・重庆・二模）若复数2=（2-砌+（2£1-1）葭£1€7?）为纯虚数，则复数2+£1在复平面上的对

应点的位置在（）

A.第一象限内B.第二象限内

C.第三象限内D.第四象限内

5.（5分）（2024•四川•模拟预测）已知平行四边形4BCD中，E为4C中点方为线段4。上靠近点4的四等分

点，设前=五，AD^b,则说=（）

A.——a——bB.——u——b

C告一至D.告一系

6.（5分）（2024•陕西商洛•模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复

数Z1=ri（cos0x+isin。。,z2=r2（cos02+isin02）（^i^2>0），则之/2=r1r2[cos（01+02）+isin（6i+02）]-

设2=--学，则Z2024的虚部为（）

A•一孚B・亨C.1D,0

7.（5分）（2024•北京大兴•三模）已知平面向量2=（1,㈤，加=（2,-2m）,则下列结论一定错误的是（）

A.a//bB.albC.|同=2回D.a-b=（1,-3m）

8.（5分）（2024•四川成都•模拟预测）在矩形4BCD中，AB=5,4D=4,点E是线段4B上一点，且满足

4E=4EB.在平面4BCD中，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上运动，则而•前的最大值为（）

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2413—6

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.（6分）（2024•山东•模拟预测）已知向量值=（1,8），3=（—2,0）,则下列说法正确的是（）

A.a-b=2B.方与3的夹角为三

C.a1（a+2b）D.2+法区上的投影向量为岁

10.（6分）（2024•山东荷泽•模拟预测）已知复数2=a+历（/6€11）,下列说法正确的是（）

A.若z为纯虚数，则a+b=0

B.若z是岩的共轨复数，则a+b=T

C.若z=（1+i）（l-3i）,则a+6=2

D.若|z-i|=L则|z|取最大值时，a+b=2

11.（6分）（2024・山西•三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它

的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自

然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口NBCDE凡它的边长为1,点P是△£>£尸内部（包括边界）

的动点，则（）

A.DE=AF-^AD

B.AC-BD^

C.若尸为EF的中点，则而在前上的投影向量为-逐而

D.|豆+而|的最大值为V7

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（5分）（2024•陕西安康•模拟预测）已知复数z=3-i（i为虚数单位），贝匹的虚部为.

13.（5分）（2024•湖南长沙•三模）平面向量a,h,c满足：ale,{ajb）=^,（b,c）=且|a|=|c|=3,

同=2,贝！IH+B+.

14.（5分）（2024・天津南开・二模）已知在平行四边形4BCD中，DE=^EC,BF=^FC,记屈=2,AD=

b,用2和石表示荏=；若4E=2,AF=遍,则前•方值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（2024•天津河北•模拟预测）已知向量五=（3,4）,1=（1,久），c=（1,2）.

⑴若求同的值；

（2）若2II（五-2励，求向量石-23与2的夹角的余弦值.

16.（15分）（23-24高一下•上海松江•期末）已知i为虚数单位，=（m2—3m—4）+（m2+m）i.

（1）当实数m取何值时，z是纯虚数；

（2）当TH=1时，复数z是关于％的方程%2+p%+q=0的一个根，求实数p与q的值.

17.（15分）（2023•黑龙江大庆•二模）己知石=（sin2x+l,cos2x）,b=（-1,2）,%G[o,.

⑴若313,求x的值；

（2）求f（久）=ai的最大值及取得最大值时相应的x的值.

18.（17分）（2024•湖南邵阳•一模）在中，内角4满足gsin22—cos22=2.

（1）求角4的大小；

（2）若反=2而，求需的最大值.

19.（17分）（2024•陕西•模拟预测）等边△ABC外接圆圆心为0,半径为2,0。上有点明前=久瓦？+y

~BC.

（1）若M为弧4C中点，求x+y；

⑵求前•万最大值.

第五章平面向量与复数综合测试卷

（新高考专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024•北京大兴三模）设币是非零向量，喘，”是心针的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解题思路】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案.

【解答过程】由《=森示单位向量相等，贝皈方同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出五=九

由2=3表示需同向且模相等，则奇=

所以喻是"—的必要而不充分条件

故选：B.

2.（5分）（2024•西藏•模拟预测）已知复数z=2—i,则六=（）

A.--+iB.--iC.万+iD.---i

【解题思路】根据共辗复数和除法法则进行计算，得到答案.

【解答过程】因为z=2—i,所以5=2+i,

所以^____________2+i_（2+i>i_-l+2i__l

物以z-2-2T-（2+i）—_2i—（-2i>i-2一2十L

故选:A.

3.(5分)(2024•陕西安康•模拟预测)已知向量为工为单位向量，|耳=四且2+5+2=6,贝值与茄勺夹角

为()

717171211

A.3B.IC.E—

【解题思路】利用转化法求得己不，再利用两个向量夹角的余弦公式即可得解.

【解答过程】因为向量13均为单位向量，即|句=|刃|=1,且2+1+不=6,|c|=V3,

则五+b=~C,两边平方可得同2+|耳2+2己•1=|?|2,

HP2ab=l,所以五-b—\a\'\b\'cos(a,fe)=cos(a,b)=

又0W〈林)Wn,所以2与茄勺夹角为］

故选：C.

4.(5分)(2024・重庆•二模)若复数z=(2-a)+(2a-l)i(aeR)为纯虚数，则复数z+a在复平面上的对

应点的位置在()

A.第一象限内B.第二象限内

C.第三象限内D.第四象限内

【解题思路】根据纯虚数的定义解出a,利用复数的几何意义求解.

【解答过程】••,复数z=(2—a)+(2a—l)i(aeR)为纯虚数，.•・｛丈

复数z+a=3i+2在复平面上的对应点为(2,3),位置在第一象限.

故选：A.

5.(5分)(2024・四川•模拟预测)已知平行四边形中，E为ZC中点尸为线段上靠近点人的四等分

点，设荏=五AD=b,则阮=()

【解题思路】利用向量的线性运算可得答案.

【解答过程】如图所示，由题意可得而=荏+前=2+几

而EF=EA+AF=^CA+^AD="(a+3)+节=~a—^b,

故选：C.

6.(5分)(2024•陕西商洛•模拟预测)法国数学家棣莫弗(1667/754年)发现了棣莫弗定理：设两个复

数Zi=ri(cos01+isinOD，z2=r2(cos02+isin02)(^i^2>0)，则z/?=r1r2[cos(01+02)+isin(%+02)]-

设2=*一争，则Z2024的虚部为()

A.-B.坐C.1D.0

22

【解题思路】变形复数Z,根据题中定义进行计算，即可判定.

【解答过程】Z=-呆苧i=cosy+isiny,

411X2024..4nx2024

所以z2024=cos—------1-isin---

2n,2n1后

=COSy+ISiny=~+—1,

所以Z2024的虚部为当.

故选:B.

7.(5分)(2024•北京大兴・三模)已知平面向量4=(1即)，9=(2,-2加，则下列结论一定错误的是()

A.a//bB.albC.同=2同D.a-b=(1,-3m)

【解题思路】根据向量共线的坐标表示求出参数巾的值，即可判断A；根据港1=0及数量积的坐标表示求

出山，即可判断B：表示出同，回，即可判断C；根据平面向量线性运算的坐标表示判断D.

【解答过程】对于A：若石/万，则1x(-2m)=2m，解得加=0,故A正确；

对于B：若五19，贝顶•B=1X2—262=o,解得巾=±1,故B正确；

对于C：因为同=Vl+m2,|b|=02+(―2m)2=V4+4m2=2V1+m2,

显然同=2同，故C正确；

对于D：a—b=(l,m)-(2,—2m)=(—1,3m)，故D错误.

故选：D.

8.(5分)(2024•四川成都・模拟预测)在矩形A8CD中，AB=5/。=4,点E是线段48上一点，且满足

4E=4EB.在平面4BCD中，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上运动，则而•尼的最大值为()

A.V41+4B.V41-6C.2V13+4D.2,13—6

【解题思路】建立直角坐标系，利用向量的坐标运算即可结合三角函数的性质求解.

【解答过程】以E为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，

动点P在以E为圆心，1为半径的圆上运动，故设P(cosasin。)，

则4(0,4),D(4,4),C(4,-l),

DP-AC=(cos0—4,sin0—4)1(4,-5)=4(cos0-4)-5(sin0-4)=V41cos(0+(p)+4,其中锐角⑴满足tan^=

5

4,

故而■前的最大值为WT+4,

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.(6分)(2024•山东•模拟预测)已知向量2=(1,g),b=(-2,0),则下列说法正确的是()

A.a-b-2B.3与办的夹角为三

C.a1(a+2b)D.五+刃在刃上的投影向量为岁

【解题思路】利用向量的坐标运算即可，其中五+石在石上的投影向量公式为喟耳福.

【解答过程】对于A,由向量五=(1,何，b=(-2,0),则方不=1x(—2)+遥义0=-2,故A是错误的；

对于B,由向量的夹角公式得：，所以2与3的夹角为与，故B是错误的；

对于C,由2+2办=(1,K)+2(—2,0)=(―3,遍)，所以a(a+2b)=(l,g>(—3,V^)=—3+3=0,即3_L

(2+2b),故C是正确的；

对于D,由2+至=(1，回+(—2,0)=(—1，回，贝皈+石在刃上的投影向量为：

弟国•普(T，丹(T。).亨2=(-1,0)=岁,故D是正确的；

网\b\2乙、，乙

故选：CD.

10.（6分）（2024•山东荷泽・模拟预测）已知复数2=。+历（。/ER）,下列说法正确的是（）

A.若z为纯虚数，则a+b=0

B.若z是罟的共朝复数，则a+b=—|

C.若z=（1+i）（l—3i）,则a+b=2

D.若|z-i|=L则|z|取最大值时，a+b=2

【解题思路】根据复数的类型求解参数的值判断A,利用复数的除法运算及共辗复数的概念求解参数判断

B,利用复数的乘法运算求解参数判断C,根据复数模的运算结合三角换元求解最值即可判断D.

【解答过程】对于A：复数z=a+bi的实部为a,虚部为b,若z为纯虚数，贝小片：&,

故a+b=bH0,错误；

对于B：因为罟第詈Y+|i,所以z=—（—刍，则a+b=T，错误：

1—3131）（1•+31）55555

对于C：z=（1+i）（l-3i）=4-2i,则a+b=2,正确；

对于D：因为|z—i|=1,所以JQ2+（为―1）2=1,即小+（b—i）2=1,

令｛力=74°shi0，贝"z|=Va2+b2=^/cos2^+（14-sin0）2=V2+2sin0,

因为JER,所以—lWsinJWL所以当sin6=l时，|z|取到最大值2,

所以a+6=2,正确.

故选：CD.

11.（6分）（2024•山西•三模）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它

的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自

然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口N8CDER它的边长为1,点尸是△£>£尸内部（包括边界）

的动点，则（）

B.AC-BD=l

c.若尸为环的中点，则而在诙上的投影向量为-如■丽

D.|而+而|的最大值为V7

【解题思路】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据CEJ.EF结合投影向量

的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解.

【解答过程】对于选项A：因为无=而-赤=而-切，故A正确；

对于选项C：由题意可知：CE1EF,

若尸为点的中点，所以而在正上的投影向量为-阮，故C错误；

对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系，

则，（一3，一苧），璀，一苧）李），或，一外F（T，。），

可得而=（|,苧），丽=（0怖，所以更而=|,故B错误；

设P（x,y）,可知-1WxW今0WyW容

则丽=&亨），而=（%+l,y），可得而+而=（x+|,y+空）,

可知当x=T，y=孚，即点P与点。重合时，|而+而|的最大值为V7，故D正确；

故选：AD.

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

⑵（5分）（2024・陕西安康•模拟预测）已知复数z=（i为虚数单位），则2的虚部为—今

【解题思路】根据复数的运算法则可得Z=9-手，进而万=9+》，结合复数的有关概念即可求解.

【解答过程】2=吉7=君高T=＞全

所以万=[+2,

则》的虚部为5

故答案为：

13.(5分)(2024•湖南长沙•三模)平面向量a,b,c满足：ale,(a,b)—(b,c)=p且|a|=|c|=3,

\b\=2,贝!]\a+b+c\=_3.V2±1_.

【解题思路】结合数量积的定义和性质求出港人石%和九3利用忖+3+工|=]亿+办+。2即可求出答

案.

【解答过程】因为所以HU=o,

因为|矶=©=3,|同=2,(标)=]伍")=》

所以2-b=|同国cos位3)=3X2Xcos^=3,

b-c=|b||c|cos(fa,c)=2x3xcos]=3V3,

因为B+b+c|2=(a++c)2,

22

(a+b+c)-|由2+国之+同2+2(方-b+a-c+b-c)-28+6V3=(3V3+l),

所以|五+9+引=J(a+ft+c)2=J(3V3+l)2=3y/3+1.

故答案为：3V3+1.

14.(5分)(2024・天津南开•二模)已知在平行四边形4BCD中，DE=^EC,BF=^FC,记屈=2,AD=

b,用石和石表示荏=_、五+5_;若2E=2,AF=在,则尼•丽值为

【解题思路】对于空1,由丽="得方=死=冠，结合荏=诟+而即可得解；对于空2,利用已

知条件将向量前和而转换成向量而和荏来表示即可得解.

【解答过程】因为丽="，所以方=那=拂，

所以族=前+方=前+抽+

因为丽=河，所以丽=河=料，

所以尼=AB+AD=（而-而）+（XE-DE）=AF+荏一*屈+诟）=而+AE-^AC,

故次=而+族，即衣=涉+海=?（而+族），

又丽=AB-AD=（赤-而）-（左-函=AF-AE+（OE-FF）=AF-AE+|（^4S-AD）=AF-AE+海,

故|丽=AF-AE,即丽=|而-1族=|（赤-淳），

因为力E=2,AF=*）,

所以说•丽=，（而+AEyl（AF-AE）=l（JF2-AE2）=（X（6-4）=.

故答案为：+b；j.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.（13分）（2024•天津河北•模拟预测）己知向量3=（3,4）,3=（1,久），c=（1,2）.

（1）若求同的值；

（2）若工II（a-2b）,求向量五-23与五的夹角的余弦值.

【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标表示求羽再代入模的公式，即可求解；

（2）首先根据两向量平行求X,再代入向量夹角的余弦公式，即可求解.

【解答过程】（1）由五1加得3+4x=0,解得x=—*

"石=(1，一则IE=J1?+(_')=

(2)由题意不一2刃=(1,4—2久)，

又2||(五一2%)，1x2-1x(4—2%)=0,解得x=l,

则五一2办=(1,2),|a—2d|=Vl2+22-V5,|a|-V32+42=5,

伍_卷

cos(H—2fo,a)=21)1X3+2X411V5

|a-2h||a|-V5x525'

即向量2-21与H的夹角的余弦值为嘿.

16.（15分）（23-24高一下,上海松江,期末）已知i为虚数单位，复数z=（病―3m—4）+（*+m）i.

(1)当实数m取何值时，z是纯虚数；

(2)当771=1时，复数z是关于％的方程%2+p%+q=0的一个根，求实数p与q的值.

【解题思路】(1)由z是纯虚数得到实部为0,虚部不为0,解方程组得到皿的值；

(2)将z=-6+2i代入方程，实部和虚部均为0,解方程组得到p和q的值.

【解答过程】⑴由Z是纯虚数得1%鬻，解得皿=4.

所以当TH=4时，Z是纯虚数.

(2)当7H=1时，z=-6+2i,

因为z是关于汽的方程%2+p%+q=0的一个根，所以z2+pz+q=0,

即(-6+2i)2+p(-6+2i)+q=0,整理得(32-6p+q)+(2p-24)i=0,

所以代力2普U,M?：40-

17.(15分)(2023,黑龙江大庆,二模)已知五二(sin2%+Leos?%),b=(—1,2),

(1)若五1反求x的值；

(2)求/(%)=a•石的最大值及取得最大值时相应的x的值.

【解题思路】(1)由平面向量的数量积为0可得近sin(2%-；)=0,再由％的范围求得x值;

(2)/(%)=-鱼sin(2%-：),结合x的范围及正弦函数的最值求解.

【解答过程】(1)a=(sin2x+l,cos2x),b=(—1,2),

22

若五1b,则(sin2%+l;cosx),(—1,2)=-sin2x—1+2cosx=-sin2x+cos2x=0,

.,.sin2x—cos2x=0,即V^sin(2x-=0,

.・.2%—在[一：,用，可得2%—；=0,即％=余

(2)/(%)=a-b=—sin2x+cos2x=—V^sin(2%—；),

vxe[o,f]J,，,2x-ZG[~pT],可得当2%—：=一：，即％=o时，/(%)