相交线与平行线 教材讲练-2021-2022学年北师大版七年级数学下册专项突破（原卷版）

专题01相交线与平行线教材同步讲练

知识点11余角、补角、对顶角的概念和性质

1）余角：/1+/2=90。=/1与/2互为余角；

2）补角：/1+/2=180。=/1与/2互为补角.

3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等.

4）邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角。（两条相交

线可组成4对邻补角）

5）对顶角的概念：两个角只有一个公共顶点，一个角的两条边是另一个角两条边的反向延长线。（两条相

交线组成2对对顶角）

6）对顶角的性质：对顶角相等（利用邻补角的性质可证明）

例1.（2021•黑龙江•哈尔滨市第四十七中学七年级阶段练习）如图中，/I和N2是对顶角的是（）

A.

变式1.（2021•广东揭阳市•七年级期中）下面各图中，N1与N2是对顶角的是（）

变式2.（2021•成都•七年级课时练习）如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个

扇形零件的圆心角的度数，你能说出所量的角是一度，你的根据是.

例2.（2021•山东临沂市•七年级期末）已知4=43.6°,Z2=46°24',则N1与N2的关系为（）

A.相等B.互余C.互补D.以上都不对

5.（2021•浙江宁波市•七年级期末）如图，点。在直线48上，NCOB=NEOD=90°,那么下列说法错

误的是（）

A.N1与N2相等B.ZAOE与N2互余C.与N1互补D.ZAOE与NC0D互余

例2.（2021•吉林•长春外国语学校七年级阶段练习）如图，直线CD相交于点。，平分/8OC,若

ZBOD：ZBOE=1；2,则N/OE的大小为（）

变式3.（2021•安徽合肥市•七年级期末）如果Na和NP互余，则下列式子中表示Na补角是（）

①180°-Na；②Na+2/P；③④4/?+90。

A.①②④B.①②③C.①③④D.②③④

例3.（2021•北京海淀区•北大附中七年级期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中Na与一定互

补的是（）

变式4.（2021•湖北随州市•七年级期末）如图，直线Z3,CD交于点。，射线（W平分N4OC,如果

440。=104。，那么/MOC等于（）

A.38°B.37°C.36°D.52°

变式5.（2021•浙江嘉兴市•七年级期末）将一把直尺和一块三角板如图叠放，直尺的一边刚好经过直角三角

板的直角顶点且与斜边相交，则N1与22一定满足的数量关系是（）

2

A.Z2=2Z1B.Z2+Zl=180°C.N2+2/1=180。D.Z2-Zl=90°

例4.（2021•江苏扬州•七年级期末）如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分/BOD,OF±CD,垂足为

O,若/BOF=38。.(1)求NAOC的度数;（2）过点O作射线OG,使/GOE=NBOF,求/FOG的度数.

变式6.（2021•浙江温州市•七年级期末）如图，直线AB与直线CD相交于点O,射线OE在N/OD内部,

OA平分NEOC.（1）当OEJ.CD时，写出图中所有与互补的角.

（2）当时，求N50。的度数.

知识点12垂线的概念和性质

1）垂线的概念：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角为直角时，就称这两条直线相互垂直。（实

际上，四个角都为直角）

2）如下图，两条垂线的交点M叫作“垂足”，两条直线用符号表示，读作“垂直”，表示为：AB±

CD,读作：AB垂直于CD

B

&•-D

3）垂线的性质：在同一平面内，过一点（直线内或直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直

注：（1）垂线的性质中，有2点需要格外：①必须强调在同一平面内；②点可在直线外，也可在直线上。

（2）同一平面内，两条直线只有相交和平行两种关系，其中垂直是特殊的相交。

4）垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称为：垂线段最短）

5）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度

例1.（2021•河南郑州•七年级期末）小红在学习垂线时遇到了这样一个问题，请你帮她解决：如图，线段

48和CD相交于点。，则下列条件中能说明的是（）

C

.4OB

D

A.AO=OBB.CO=ODC.NAOC=/BODD./AOC=/BOC

变式1.（2021•全国•七年级课时练习）下面四种判断两条直线垂直的方法正确的有（）个.

（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直.

（2）两条直线相交，有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直.

（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直.

（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直.

A.4B.3C.2D.1

变式2.（2021•全国•七年级课时练习）两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是

（）.

A.有两个角相等B.有两对角相等C.有三个角相等D.有四对邻补角

例2.（2021•黑龙江•哈尔滨德强学校七年级期中）己知直线/仄CD相交于点。，且/、2和C、D分别位

于点O两侧，ZDOE=40°,则乙4OC=.

变式3.（2021•安徽•铜陵市第十五中学七年级期中）如果两个角的两边分别垂直，其中一个角比另一个角的

2倍少9。，那么这两个角的和是.

例3.（2021•辽宁•营口市老边区教师进修学校七年级期中）平面内两条直线斯、相交于点。，

0c恰好平分N4O尸.（1）如图1,若N/OE=40。，求乙8。。数；（2）在图1中，若44OE=x。，请求出乙8。。

的度数（用含有x的式子表示），并写出N/OE和N80D的数量关系；（3）如图2,当。4,08在直线斯的

同侧时，乙4OE和N2O。的数量关系是否会发生改变？若不变，请直接写出它们之间的数量关系；若发生

变化，请说明理由.

变式4.（2021•江苏吁胎•七年级期末）如图，点。在直线上，OC.是两条射线，OCLOD,射线

OE平分/BOC.（1）若/。。£=140。，求NNOC的度数.（2）若/DOE=a,则NNOC=.（请用含

a的代数式表示）；

变式5.（2021•浙江湖州市•七年级期末）如图，已知直线Z5与。。相交于点

O,OEA,CD,ZAOC=40°,0尸为的角平分线.（1）求NE05的度数；（2）求/£。尸的度数.

AB

D

例4.（2021•全国•七年级单元测试）几何知识可以解决生活中许多距离最短的问题.让我们从书本一道习题

入手进行探索（回顾）（1）如图①，A、8是公路/两侧的两个村庄.现要在公路/上修建一个垃圾站C,使

它到A、B两村庄的路程之和最小，请在图中画出点C的位置，并说明理由

•B

A'①

（探索）（2）如图②，在3村庄附件有一个生态保护区，现要在公路/上修建一个垃圾站C,使它到A、B两

村庄的路程之和最小，从8村庄到公路不能穿过生态保护区，请在图中画出点C的位置

A.

②

（3）如图③，A、3是河两侧的两个村庄，现要在河上修建一座桥，使得桥与河岸垂直，且A村到3村的

总路程最短，请在图中画出桥的位置（保留画图痕迹）

B

一条河

A

③

变式6.（2021•浙江湖州市•七年级期末）如图，汽车站、码头分别位于48两点，直线6和波浪线分别表

示公路与河流.（1）从汽车站/到码头2怎样走最近？画出最近路线，并说明理由；（2）从码头2到公路

6怎样走最近？画出最近路线并说明理由.（请画在答题卷相对应的图上）

变式7.（2021•浙江宁波市•七年级期末）（1）如图，过点/画直线5c的垂线，并注明季是为G；过点/画

（2）线段的长度是点/到直线2c的距离.

（3）线段4G、的大小关系为/GAH.（用符号〉，＜,=,2,W表示）.理由是

知识点13同位角、内错角、同旁内角的概念

1）同位角概念：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角。

注：如下图，位置相同指：①两个角都在第三条直线c的同一侧；②且两个角都在两条直线0、6的上方（或

下方）。例：/I与N5都在c的右侧，且都在0、6的上方，则/I与N5为同位角

2）内错角的概念：两直线被第三条直线所截，在两条直线之内，并且分别在第三条直线两侧的一对角（位

置完全错开的角）

注：如下图，位置完全错开指：①两个角在第三条直线c的不同侧；②且两个角在两条直线0、6的上下不

同位置（即都在两条直线的内侧）。例：/2与N8分别在c的左右两侧，且/2在。的下方，N8在6的上

方（即/2、N8在°、6内侧），则/2与N8为内错角

3）同旁内角：两直线被第三条直线所截，在第三条直线同侧，并且在两条直线之内的一对角。

注：如下图，同旁内角指：①两个角在第三条直线C的同一侧；②且两个角在。、6两条直线的内侧

例：N2与N5,两个角都在直线C的右侧，且都在°、b两条直线的内侧，则/2与/5为同旁内角。

注：同位角、内错角和同旁内角是3条直线直角的位置关系，且无角度间大小关系。

例1.(2021•广西钦州•七年级期末)如图，下列各组角中是同位角的是()

/

A./I和N2B.N3和/4C./2和/4D.N1和N4

变式1.(2021•广东•深圳市高级中学八年级开学考试)下列四幅图中，Z1和N2是同位角的是(

t

”(1)(2)力(3)⑷

A.(1)(2)B.(3)(4)C.(1)(2)(3)D.(2)(3)(4)

例2.(2021•黑龙江•哈尔滨德强学校八年级期中)如图,直线AB与CD被直线AC所截得的内错角是

变式2.(2021•辽宁沈河•七年级期末)下列四个图形中,N1和N2是内错角的是()

△人B.。

例3.(2021•浙江嘉兴•七年级期末)如图，直线a,6被直线c所截，/I的同旁内角是(

b

A.Z2B.Z3C.Z4D.Z5

变式3.（2021•江苏•七年级期中）如图所示，直线a力被直线c所截，则N1与22是（）

A.同位角B.内错角C.同旁内角D.对顶角

例4.（2021•盐城市•七年级月考）如图，下列说法正确的是（）

A./2和N4是同位角B./2和/4是内错角C./I和NA是内错角D./3和/4是同旁内角

变式4.（2021•四川渠县•七年级期末）如图，下列结论：①N2与/3是内错角；②N1与是同位角；③

与是同旁内角；④与//C8不是同旁内角，其中正确的是.（只填序号）

例5.（2021•黑龙江•哈尔滨市萧红中学七年级期中）如图所示，用数字表示的8个角中，若同位角有。对,

内错角有6对，同旁内角有。对，贝U"-c=_.

变式5.（2020•南通市启秀中学七年级期末）复杂的数学问题我们常会把它分解为基本问题来研究，化繁为

简，化整为零这是一种常见的数学解题思想.

h

A

（1）如图1,直线4，4被直线,3所截，在这个基本图形中，形成了对同旁内角.

（2）如图2,平面内三条直线，2，,3两两相交，交点分别为/、B、C,图中一共有对同旁内

角.

（3）平面内四条直线两两相交，最多可以形成对同旁内角.

（4）平面内〃条直线两两相交，最多可以形成_____对同旁内角.

知识点14平行线的概念

1）同一平面两条直线间的关系：①平行；②相交

2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线

注：①平行的概念，必须加前提条件“在同一平面内”；②必须是两条直线间的关系（非“射线”、“线段”）

3）平行公理：经过线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行

注：与垂线性质比较相似，但也存在不同的地方。

相同点：过一点都有且仅能作一条线与已知直线平行（垂直）；

不同点：垂直性质中，这个点可以在直线外，也可以在直线上，但在平行公理中，这个点必须在直线外。

例1.（2021•河北沧县•七年级期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）

A.相交或垂直B.垂直或平行C.平行或相交D.相交或垂直或平行

变式1.（2021•陕西宝鸡期末）下列说法中正确的个数为（）①不相交的两条直线叫做平行线；②平面

内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④在同一平面内，两条直线不是平行就是相交.

1个反2个C.3个D4个

例2.（2021•河北平泉•一模）如图，在平面内作已知直线加的平行线，可作平行线的条数有（

m

A.0条B.1条C.2条D.无数条

变式2.（2021•河北兴隆•九年级期中）已知直线旭，在同一平面内，给定一点尸，过点尸作直线沉的平行线，

可作平行线的条数有（）

A.0条B.1条C.0条或1条D.无数条

例3.（2021•牡丹江市田家炳实验中学初一期中）给出下列说法：

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；

（3）相等的两个角是对顶角；（4）三条直线两两相交，有三个交点；（5）若b±c,则

其中正确的有个

变式3.（2021•辽宁•初一期中）若直线a/a!Ic,则直线6与c的位置关系是.

变式4.（2021•云南镇康•初一期中）已知：如图，梯形ABCD.（1）过点A画直线AE〃CD交BC于E；（2）

过点A画线段AF_LBC于F；比较线段AE与AF的大小：AEAF（直接用“=”或填空）.

知识点15平行线的判定

1）判定方法一：同位角相等，两直线平行

2）判定方法二：内错角相等，两直线平行

3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行

4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若且则。〃6

5）平行线的传递性：若h//h,则/1〃/2（用共面知识可证明，此处不证）。

例1.（2021•汉中市南郑区初一期中）已知平面上五条直线4，4，4和4相交的情形如图所示，根据

图中标出的角度，下列叙述正确的是（）

A./1和4不平行，，2和‘3平行，4和‘5平行B.1］和。不平行，，2和4不平行，4和4不平行

C./1和4平行，，2和4平行，,4和4平行D./1和。平行，4和4不平行，,4和4不平行

变式1.（2021•山西期末）如图，点。，E,R分别在AA8C的边BC,AB,AC±,连接DE,DF,

在下列给出的条件中，不能判定下的是（）

A.N/+22=180。°B.Zl=Zy4C.Zl=Z4D.N4=N3

例2.（2021•上海市市西初级中学初一期中）如图，是我们学过的用直尺和三角板画平行线的方法示意图,

画图的原理是（）

A.两直线平行，同位角相等B.同位角相等，两直线平行

C.内错角相等，两直线平行D.同旁内角互补，两直线平行

变式2.（2021•山西初一月考）工人师傅在工程施工时，在图纸上画了一条管道48CD的示意图（如图所

示），经测量得到N/8C=30°,ZBCD=150°,那么（）

B

A.AB!IBCB.BC//CDC.ABUCDD.N3与3相交

例3.（2021•山西模拟）下列图形中，根据N1=N2,能得到A5〃CD的是（

变式3.（2021•洛阳市第四职业高中期中）如图，下列条件中，不能判断直线a〃6的是（）

A./1=/3B.N2=N3C.Z4=Z5D.Z2+Z4=180°

变式4.（2021・沈阳市第一二七中学初一期中）如图，下列条件:①Nl=N2；②N4=N5；③N2+N5=180。；

Zl=Z3;@Z6+Z4=180°；其中能判断直线〃心的有（）

A.②③④B.②③⑤C.②④⑤D.②④

变式5.（2020•江苏徐州市•七年级期末）如图，给出下列条件：@Z3=Z4；②/1=/2；③/5=/B；@AD

//BE,且其中能说明的条件有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

知识点16平行线的性质

1）两直线平行，同位角相等；2）两直线平行，内错角相等；3）两直线平行，同旁内角互补

注：①仅当两直线平行式，3类角才有数量关系；当两直线不平行是，3类角只有位置关系，没有大小关系。

②3类角若有大小关系，也可用于证明两条直线平行。

4）同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段长度，叫作这两条平行线间的距离。

注：。.只有平行线间才存在距离这一说法。（重叠，距离为0）；6.平行线间的距离，处处相等；c.垂直于一

条直线，一定垂直于另一条平行线（易证）

例1.（2021•山东济南市•八年级期末）如图，如果Nl=/3,Z2=60°,那么/4的度数为（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

变式1.（2021•山东潍坊市•八年级期末）一把直尺与30。的直角三角板如图所示，Z1=50。，则N2=（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

例2.（2021•河北张家口•初三二模）如图，直线I]//%，以直线L上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分

别交直线L、U于点B、C,连接AC、BC.若/ABC=67°，则=（）

A.23°B.46°C.67°D.78°

变式2.（2021•陕西初三其他）如图，直尺一边与量角器的零刻度线CA平行，若量角器的一条刻度线

O尸的读数为70。，O尸与48交于点E,那么//即=（）

iat>

114

A.70°B.110°C.20°D.120°

例3.（2021•河北初三其他）光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从空气射向水中时，会发生折

射.如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的.若水面和杯底互相平行，

C.48°D.41°

变式3.（2021•山西初一月考）小林乘车进入车库时仔细观察了车库门口的“曲臂直杆道闸”，并抽象出如

图所示的模型，已知N5垂直于水平地面NE.当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段绕点8缓慢向

上旋转，CD段则一直保持水平状态上升（即3与ZE始终平行），在该过程中NZ8C+/6C。始终等

D.270°

例4.（2021•深圳市高级中学初二月考）己知：如图AB//EF,BC1CD,则Na,二Y之间的关

A.N|3=Na+NYB.Na+N[3+NY=18O°C.Na+N[3-=90°D.Na=90°

变式4.(2021•海安市白甸镇初级中学七年级月考)如图，若AB〃CD,CD〃EF,那么NBCE=()

A-------^51^8

w：

A.Z1+Z2B.Z2-Z1C.18O°-Z1+Z2D.18O°-Z2+Z1

例5.（2020•四川郸都•期末）如图,五边形45C7）£中，AE//BC,则NC+NO+NE的度数为（

A.180°B.270°C.360°D.450°

变式5.（2021•河南沁阳•初一期末）3知ABIICD,ZEAF=-ZEAB,ZECF=-ZECD,若NE=66。，则

33

NF为（）

C.44°D.46°

例6.（2021•山东新泰•七年级期末）(1)已知：如图1,/B+/C=/BEC,求证：AB//CD

（2）如图2,已知45//CD,在的平分线上取两个点M、N,使得/BMN=/BNM,求证:

ZCBM=ZABN.

变式6.（2021•湖北十堰•七年级期末）已知/3〃CD,点£、尸分别在/8、CA上，点G为平面内一点，连

接EG、FG.（1）如图1,当点G在/5、CD之间时，请直接写出//EG、/CFG与/G之间的数量关

系；（2）如图2,当点G在AB上方时，且/EG尸=90。，求证：ZBEG-ZDF