辽宁省2024-2025学年高三8月模拟预测数学试题（解析版）

2024-2025（上）8月月度质量监测暨第零次诊断测试

-=i=---.、、九

高二数学

本试卷满分150分考试时间120分钟

【命题单位：辽宁沈文新高考研究联盟】

第I卷选择题（共58分）

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且

只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合1°123,4},"={135},p=则p的子集共有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意表示集合尸，然后写出其所有子集即可得到答案.

【详解】因为集合”=（°123,4},"={1,3,5）,

所以尸=〃c"={l,3},

所以集合尸的子集为°」{L3},共四个.

故选：D

2.已知复数~1-1,则匕卜（）

在

A.v2B.~C.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用复数模的运算性质"I来计算即可.

W3H_0g_2+同_2.下

卜〜一|j|一丁也

【详解】由

故选：A.

3.椭圆59的焦点的坐标为

A(-714.0)；(714,0)(-2,0),(2,0)

c（0,-悯（0,^14）

c.,JDJ.（\0.-2/），（0.2）

【答案】D

【解析】

【分析】

求出C的值，结合椭圆的焦点位置可得结果.

易知该椭圆的焦点在•「轴上，因此，椭圆匚+石一一1的焦点的坐标为（。，一？），（°'2）.

故选：D.

4.把14个相同的球全部放入编号为1、2、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数，则不同的放入

方法种数为（）

A.36B.45C.72D.165

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，首先在13个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3的

盒子里，将原问题转化为“将剩下的10个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里”，用挡板

法分析：将10个球排成一列，排好后，有9个空位，在9个空位中任取2个，插入挡板，由组合数公式

计算可得答案.

【详解】解：根据题意，先在14个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球放在编号为3

的盒子里，

此时只需将剩下也11个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；

将11个球排成一列，排好后，有10个空位，

在10个空位中任取2个，插入挡板，有C.=45种方法，即有45种将11个球分为3组的方法，

将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，

则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种，

故选：B.

【点睛】本题考查排列、组合的运用，解答的关键在于将原问题转化为11个球的分组问题，用挡板法进

行分析.

5.如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的体积是（）

767岛7后7岛

A.B.24c.12D.12

【答案】B

【解析】

【分析】先计算出上、下底面的半径和面积，再求出圆台的高，按照圆台体积公式计算即可.

如图，设上底面的半径为7,下底面的半径为R,高为〃，母线长为/,

则？皿="I,2n7?=nx2,解得2,R=1,

h=Ji1—(R—r)3=jl3—1—1

又/=2-l=l,'VI

S'=7TX

l-J4,下底面面积为S=nxl

设上底面面积为=兀，

厂=1(S+S+7^)方=:

所以圆台的体积33<

故选：B.

6.若函数”为R上的奇函数，且当x>。时，/(、)=2xT,则()

A.-4B.-3c.-2D,-1

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数的奇偶性可得出/(°)=°,再由已知得〃T)=一/⑴=一(2xIT)=T,代入可得选项.

【详解】因为函数・'r一为R上的奇函数，所以/i°)二°,

又当x>0时，/(.x)=2.v-l)所以〃T)=-/⑴=-(2xl-l)=-l,

所以/(0)+〃-1)=0+(-1)=T,

故选：D.

7.已知数列｛aQ满足12,怎+1一=°,则数列;4%+1)的前100项的和是()

255099100

A.51B,101c,202D.101

【答案】A

【解析】

11

］-a»a»+i=---r----—

【分析】首项由条件得数列14〕是等差数列，再求数列但”）的通项公式，得+最

后利用裂项相消法求和.

【详解】=°,"*+ia«，且q

"-"—=2+(«-1)=»+1

所以数列1。”是首项为2,公差为1的等差数列，所以4

11_1_____]_

艮尸；7T「"“"+1)5+2)、+1

011111111

ltt233445101102

1125

210251.

故选：A

8.声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数.若某声音对应的函数可近似为

f（x}=sinx+—sin2x

2,则下列叙述正确的是（）

n

人丁・彳为'（'）的对称轴

为的对称中心

5开1久

J（x）在区间［°期上有3个零点D.J在区间13’3」上单调递增

【答案】D

【解析】

「罔=一"°

【分析】利用/（i+a）=力：a-X）知/（X）关于直线x=a对称的性质验证A；求得I可

判断B；化简/a）=0nx（l+c。"），令〃x）=0,得x=k;#eZ）,进而判断c；利用导数研究函

数的单调性可判断D.

-sin(^r-A,)+—sin2(^-.T)=sin.x--sin

【详解】对于A,由己知得“22,即

n

了（万T）W/（X）,故,⑴不关于'F对称，故A错误；

.（3^.3不，1.c1c

j—=sin—+—sin沂=一1工0

对于B,V2722，故B错误；

对于c,利用二倍角公式知/。）=而式1+8”），令〃x）=0得sinx=0或cosx=—l,即

x=kmkeZ\所以该函数在区间［01°］内有4个零点，故c错误；

5/rInI1

,xe—,——16—J

对于D,/(.v)=cos.V+cos2x=2cos:.v+cosx-1,令cosx=t,由L33」，知|_2」，即

5兀In

g«)CT,利用二次函数性质知g")",即/O°,可知〃x)在区间'L3'3」上单

调递增，故D正确；

故选：D.

二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.给出下列说法，其中正确的是()

A.数据0,1,2,4的极差与中位数之积为6

B.已知一组数据、1，5，…一%的方差是5,则数据4»T，4与-1,…,4/-1的方差是20

C.已知一组数据'卜占，…，毛的方差为0,则此组数据的众数唯一

D.已知一组不完全相同的数据一与的平均数为、0,在这组数据中加入一个数”后得到一组新数

据》,可，占，…，册，其平均数为X,则1=T0

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,求得极差、中位数即可判断；对于B,根据方差的性质即可判断；对于C,根据方差的

定义可得玉=&=.="=亍，从而可判断；对于D,根据平均数的计算公式即可判断.

1+23/34

【详解】对于A,极差为4-0=4,中位数为22,所以极差与中位数之积为2,A对；

对于B,根据方差的性质可知，数据，4天-1的方差是4~5=80,B错；

222-52

s=—(x.-r)+(.x2-T)+"(\")=0

对于C,由方差"L、」，

可得\=三=…='*=1,即此组数据众数唯一，C对；

mMH---FA'

---------=",：.X]+X,H----1-/=%

对于D,%",

x0+X2H---F0

〃+1力+1°,D对.

故选：ACD

10.已知直线/经过抛物线C.'nlp*夕＞°)的焦点，且与。交于A,B两点,以线段的为直径的

与C的准线相切于点H-LT),贝I]()

化.[

A.直线2的方程为4x+J=8=°B.点Z)的坐标为(4)

17

c.0。的周长为2"D.直线41+1'+9=°与。0相切

【答案】AC

【解析】

【分析】A选项，根据题意得到抛物线方程，设出直线/的方程*="+2,联立抛物线方程，得到两

根之和，两根之积，根据尸月产8=0列出方程，求出-4,得到直线方程；B选项，求出点。的纵

17

坐标为一1,从而代入4x+J'-8=°求出横坐标，得到B正确；c选项，由焦点弦公式得到"'卜5,

求出OZ）的半径和周长；D选项，利用圆心到直线距离公式和半径相比，得到答案.

【详解】A选项，依题意，抛物线°的准线方程为》=-2,即'一三一一,所以P=4,

即抛物线。的方程为二8七则抛物线°的焦点为（24）.

设直线2的方程为*=4+2,4必加），8（切加,

'X=T+2,

联立〔V=既消去X整理得/一8h—16=0.A=64/+64>0恒成立，

则口+】、=&，%、=T6,

,_（w）L

则』+与=M.n+R+4=&'+4,•W—^―=4,

又因为线段乂8为。。的直径，OD与C的准线相切于点R-L-1）,

所以北》尸=（一？一近，一1一】i卜（一？一为，Tf）

=（2+玉）（2+占）+（1+中（1+必）=0,

整理得4+-（隆+x?）+1］、、+1+.1［+］、+】'，、=°,

即4+2（8/+4）+4+l+8f-i6=0,

即（由+D.=°,解得一4,所以直线/的方程为4i+.】'-8=0,所以A正确；

B选项，因为OP垂直于准线，且R-2，-i）,所以点。的纵坐标为一1,

,=9

代入直线’的方程4".r-S=°,即4*-1一8=0,解得W,

可得点14）,所以B错误；

1717

|^5|=x.+x.+4=——

c选项，根据抛物线的定义可得2,所以。。的半径为4,

c177t

所以OQ的周长为2，所以c选项正确；

MM一一M丁&』

D选项，圆心(41到直线4、+-1+9=°的距离为郃54,

所以直线4、+>+9=°与0。相交，不相切，所以D错误.

故选：AC.

【点睛】结论点睛：抛物线的相关结论，

(i)J'2=?px中，过焦点尸的直线与抛物线交于43两点，则以月尸，3口为直径的圆与】'轴相切，以

期为直径的圆与准线相切；

(2)?=中，过焦点尸的直线与抛物线交于A3两点，则以为直径的圆与x轴相切，以

45为直径的圆与准线相切.

,,Inx

/(xv)=---

n.已知函数x,e是自然对数的底数，则()

A.2^<11B,21n3,>31nn:>31n

T

C.若目=』”,则近+占=1D./(-V)=/(2),且二产修，则由近+山与〉？

【答案】ABD

【解析】

111x

/(X)=---

【分析】对于A,B,根据函数X的单调性，即可判断；

对于C,构造函数8(。=/七+。-/七-。/6(01),判断其单调性，结合近足与二与11】网，即

)即可判断；

/(x}I=/1,T3；

对于D,将=〃壬)展开整理得出』+足与=<v1+x3),ln.T1-ln.x2=皿近一与)，然后采用分

2(J)

111—>1->—X;-，---1、

4工+l〃(D=lnr-苴」

析法的思想，推出内，构造函数、'f+l,求其最小值即可判断.

，/、Inx,l-ln.v

【详解】对于A,由题意得x,则x,

当0<x<e时，，⑶>0,/(x)递增，当X>e时，，(x)<0,递减，

ln4_2ln2_ln2.而

由于e<y/Tf<4,所以而)，即442<y/u,

整理得而In2<2In而，spin2^<In11,所以2万<11<11"，故正确；

对于B,由于3<兀，由于当N〉e时，“X)递减，故，⑶>，5),

ln3Inn八.分八〜

—>——,2nlnj>2xjlnn

即3兀，即[ln3>321nn2,

In,In4

因为24,

史<丝3疝】2〈3*2111兀、【、、

故2兀，即疝兀>31n2,

综上，21n3>>3tair3>31n2",故B正确；

In$_Inx

2J(xJ=/(xj

对于C,因为今=#=M*=ln.，',即111nx2=xjn』，即不三

设g⑺=/（e+f）T（eT）JC（O,e）,由于当0<x<e时，〃x）递增，当"e时，〃x）递减,

故g（r|jw（Oe单调减函数,故g（O<g（0）=0,即〃e+，）<〃eT）

由于/（网）=/（5），不妨设则玉<上一与，即八+与<及，故c错误;

对任意两个正实数勺，与，且Ti*T2,若/（M）=/（M）,不妨设°<七<网，

In*_Inx2In占_Inx3_

即飞一一工一，设二丁一二丁一加，则历网二加凡111与二"与，

InTi-lnAS

m=---------

则InX]+In+x2),ln$-Inx?=加(』一七),

2

凡/>e<=>In.Xj+lnx2>2<=>加（*+xj>2<=>~~>---

分析法知：要证目标不等式只需不一七瓦+与

2(^—1)

<=>InX]-Inx3>一("一«ln->—―...

』+与XiA+i

心)=」(=寡

^=—>1.=5-*)>0

设与令£+1则t(1+1)w+l)

0=1皿_丝2（1>1）

即Z+1为单调增函数,故M)>〃(1)=。,

2（J）

111—Z>——工:---------

X.土+]?

即三成立，故ai*>e",所以ln（x/2）>lne"，即ln』+ln.L>2,故D正确，

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：A、B通过构造中间函数并研究单调性比较大小关系；C、D构造方程并应用对应

函数，结合分析法及导数证明不等关系.

第口卷非选择题（共92分）

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

SInC*-p/\ci仃:fyj—

12.若a为锐角，5,则cosE十阳一.

_3

【答案】5##一。6

【解析】

【分析】根据同角三角函数关系求出余弦值，再结合诱导公式求值即可.

4.221

sina=—,sin'a+cosa=l,

【详解】因为5a为锐角，

cos(x=—cos(n+a)=-cosa=--

所以5,则5.

故答案为：5.

13.若向量"!g=T，°）,则［在2上的投影向量为

【答案】（"°）

【解析】

【分析】根据投影向量公式直接求解即可.

【详解】因为"（"3）,%=（-2,0）,

所以"=一附4

班叩崎叩啸手新"莘9）=（网

a在Z上的投影向量为

故答案为:（G。）

14.在三棱锥。一4BC中，己知45=3。=2,AC=2y/3,DB=4,平面BCDJ■平面23C,且

D31BC,则以下结论正确的是（填序号）.

①DB1AC②平面D43平面23。

4>/3

③三棱锥的体积为亍④三棱锥H3C的外接球的表面积为32万

【答案】①②③④

【解析】

【分析】利用余弦定理求得求得/四°,再利用面面垂直和线面垂直的判定定理即可判断①②，进一步

利用锥体的体积公式可判断③，再根据勾股定理的应用求出外接球的半径，从而可判断④.

【详解】解：因为M=BC=2,AC=273,

22+22-（25/3）1

cosAABC=-----------------=—

所以2x2x22

^ABC=—

所以3,

因为平面8CD_L平面23C,平面BCDCI平面^C=3C,DB1BC,

所以"_L平面ZBC,DB1AC,

又DBu平面DAB,所以平面DAB_L平面2EC,所以①②正确;

11

—X—x2x2xsm—x4=—

进一步三棱锥。一R3C的体积为323,所以③正确;

设三角形4EC的外心为尸，过F作尸。_L平面H8C,

L2

2.兀

sin—1

则三角形43C为外接圆的半径为

设。为三棱锥0-43C外接球的球心，

^FA=FB=2,OA=OD,所以同寸=晒而最丽,

所以右询=/、（4一8）;解得。尸=?

所以外接球的半径为04=、/F+"=3

所以三棱锥。-力的外接球的表面积为4加。4=32（所以④正确.

故答案为：①②③④.

四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

15.有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电了，大家随机拿

起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率.

（1）恰有两名同学拿对了书包;

（2）至少有两名同学拿对了书包;

(3)书包都拿错了.

1_

【答案】(1)4

7

(2)24

3

(3)区

【解析】

【分析】先列出全部事件的24个样本点，根据古典概型可知：

P=L

(1)恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，概率为4,

P=L

(2)至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，概率为24,

P--

(3)书包都拿错了包含9个样本点，概率为S

【小问1详解】

设4名同学的书包分别为A,B,C,D,4名同学拿书包的所有可能可表示为

(A,B,C,D)，(A5.D.C，)(A,C,B,D]，(ACD8)，^(A.D.B,C)，(ADCS)

(B,A,C,D)(B,A,D,C)(B,C,A,D)(B,C,D,A)(BDAC)(B,D,C,A)

(C,A,B,D}(C,A,D,B)(C,B,A,D)(C,B,D,A)(C,DAB)(C,D,B,A)

(D,A,B,C)(D,A,C,B)(0,3,4。)(D,B,C,A)(DCAB)(D,C,B,A)

，9，，9

共有24种情况.

恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为

(A,B,D,C)(A,C,B,D)(A,D,C,B)(B,A,C,D}(C,B,A,D)(D,B,C,A)

尸=9」

故其概率为244.

【小问2详解】

至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为

(A.B,C,D),(fA,B,D,C)f(A,C,B,D)(,A,D,C,B)■f(B,A,C,D)(C,B,A,D)

(D.B.C.A)

P=L

故其概率为24.

【小问3详解】

书包都拿错了包含9个样本点，分别为

(B,A,D,C)(B,C,D,A)(B,DAC)(C,A,D,B)(C,DAB)(C,D,B,A)

(D,A,B,C)(D,C,A,B)(D,C,B,A)

故其概率为248.

16.如图，AB是圆。的直径，点C是圆。上的点，过点C的直线VC垂直于圆。所在平面，D,E分别是

(1)QE〃平面45。；

(2)DE1平面组G

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)依题意可得DE//RC,根据线面平行的判定定理即可证明；

(2)依题意可得4C"LEC、ACire,由DE/L4C,即可得到DE_L80、从而得证.

【小问1详解】

因为0.E为ZL1H7的中点，

可得DE//47,又因为DEC平面4B。，HCu平面49。，

所以。E〃平面48C.

【小问2详解】

因为为。。的直径，点。是。。上的点，

所以A?_L3C,又因为FC垂直于OO所在的平面，且力。在0。所在的平面内，

所以A7JJT,

又因为DE//47,所以。E18。、DELVC,

又由ECcFC=C且2CJQU平面.C,所以平面如C.

17.已知函数〃X)=G'-3X+21nx(aeR).

(1)若一5,求函数的极值；

(2)若直线J'=a"3与曲线相切，求实数a的值.

_5

【答案】（1）极大值为2；极小值为？ln：!-4；

⑵a=1.

【解析】

【分析】（1）求导后，根据w正负可得单调性，由极值定义可求得结果；

（2）设切点为利用切线斜率和切点坐标可构造方程组，消元得到lnt=t-l；令

g（i）=ln/-/+l）利用导数可求得g"）1Ml（=g（l）=°,则可确定的唯一解为f=l,代回方

程组可求得a的值.

【小问1详解】

1/(x)=^-.r3-3x+21iix

a

当2时,

则〃“）定义域为（°”）

•当xe（0,l）U（2,"H»）时，/'（X）＞0.当xw（L2）时,/'（x）＜0.

；力、）在（0,1）,（2,+0。）上单调递增，在（L?）上单调递减；

,小）的极大值为""一二'一一5；极小值为了⑵=2一6+2In2=2-4

【小问2详解】

假设=x-3与/⑺相切于点八，）-至+2g,

,-flx）=2ax-3+—

x,

/*（/）=2a/-3+^=1

t,gp2a?-4/+2=0,

又t-3=ad-3t+21nt,

4/-2=&-41ni-6,gpInf=t-l；

、1]l-f

令g«）=WT+i,/^=rl=-

,

二当交（0,1）时,g'（t）＞0；当re（l.*o）时，g«）＜o；

-g⑴在（°」）上单调递增,在（L2）上单调递减，

,g（'L=g6=°,即lnf=f-l有唯一解：r=l,

2a-4+2=0,解得：a-1.

is.已知双曲线c与双曲线正一卞二i有相同的渐近线，且过点＜（入万，-1）.

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）已知点。（2,0）,E,歹是双曲线c上不同于。的两点，且DEDE=0,DG工EF于点、G,证明:

存在定点H,使口巴।为定值.

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线C为方程，再将点A的坐标代入求解作答.

（2）当直线E尸斜率存在时，设出其方程并与双曲线C的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理

求得直线E尸过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.

【小问1详解】

依题意，设双曲线c的方程为123,而点1）在双曲线c上，

333

［（25/2）（-1）1X/1?31

于是1-33,双曲线c的方程为1?33,即4",

---V=1

所以双曲线c的标准方程为4■.

【小问2详解】

当直线石尸斜率存在时，设直线的方程为：J=n+加，设一『x：!，.】、），

y=kx+m

由W_4j,J4消去y并整理得（4/-1）1+MT+4以+1）=0

有41-1H0,且△=（8加＞一16（"+1）（4k"一1）＞。，即41-1H0且4k2-病-1＜0,

-3km4w3+4、

有X+”-4^-1'=4k2-I,又丁门=（何+加）（生+用）=炉七七+km（士+七）+加）

DE=（』-2,1'!）,DF=5-2,.1、），由丽丽=0,得（巧一？）（F一=0,

整理得化2+1）气/+（而-2）■（$+%）+/+4=0,

/4加’+4..-3bn..

（F13+1）---＜--+（km-2）—«—+w33+4=0_,,

于是,4V-147-1,化简得1优2+16加+20必=A0,

^__10

即（3加+10后（加+2.=0,解得m=_2k或3,均满足条件，

当m=-2k时，直线E厂的方程为J•裾1r・？），直线E尸过定点（2，0）,与已知矛盾，

10,,,10、.,,10.

m=-——kv=k(x------)Af(一,n0)

当3时，直线防的方程为,3,直线仍过定点3；

当直线所的斜率不存在时，由对称性不妨设直线下的方程为：】'=X-

J=I_10__10

由一4ys=4解得、=2或'-3,因此点E,尸的横坐标有“"一3,即直线庭过定点

跖?0)

A/(—.0)

综上得直线即过定点3,

由于DG_L助，即点G在以为直径的圆上，H为该圆圆心，为该圆半径，

g2

所以存在定点"使口叼为定值3.

【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的

斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.

19.记无穷数列SJ勾前〃项中最大值为入4,最小值为加”，令*~

(I)若4=｝一3",请写出ae自也的值;

(II)求证：“数列SJ是等差数列”是“数列｛2｝是等差数列”的充要条件；

(III)若以€加*,卜卜2°18同=1,求证:存在使得V力“，有"+1=4

__匕=_2b=--_

【答案】⑴4=一1,2-2,,一2,么=1；(2)见解析；⑶见解析.

【解析】

【分析】(I)分别计算出4,a3,4结合题意即可得4，名，4,4的值；(H)先证必要性，无论

"为何值始终有,厂，即可证得结果，再证充分性，当数列14)是等差数列时，设其公差为

此一.T|加-1=」

d*,根据等差数列的定义化简可得22,进而可证得是单调数列，始终可

得4=?"，进而得最后结论；(III)利用反证法，由a=1或者4=T可得

-1=4=%=乙=-=4=%…，1=