二元一次方程组（解析版）-2023年中考数学一轮复习专练

专题09二元一次方程组

一、解二元一次方程组

【高频考点精讲】

1.用“代入法”解二元一次方程组的一般步骤

(1)从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来；

(2)将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

(3)解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；

(4)将求得未知数的值代入变形后的关系式，求出另一个未知数的值；

(5)把求得的小y的值写在一起，用］x=a的形式表示，就是方程组的解。

\y=b

2.用“加减法”解二元一次方程组的一般步骤

(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，

使某一个未知数的系数相等或互为相反数；

(2)把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

(3)解这个一元一次方程，求得x(或y)的值；

(4)将求得未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值；

(5)把求得的x、y的值写在一起，用I'、的形式表示，就是方程组的解。

Iy=b

【热点题型精练】

1.(2022•株洲中考)对于二元一次方程组1丫='-12,将①式代入②式，消去y可以得到()

1x+2y=7②

A.x+2x-1=7B.x+2x-2=7C.x+x-1=7D.x+2X+2=7

解：fy=x-iO；将①式代入②式，

Ix+2y=7②

得x+2(x-1)=7,

.'.x+2x-2=7,

答案：B.

2.(2022•贵阳模拟)小明在解关于x,y的二元一次方程组1'+△丫=3时，得到了正确结果［*=□,后来发现4

13x-Ay=l\y=l

和口处被墨水污损了，则4,□处的值分别是()

A.A=2,D=2B.A=1,D=2C.A=2,D=1D.A=1,□=］

fx+4y=3①

解：v-，

—=1②

①+②得4x=4,

解得x=l,

把x=l,y=l代入①得1+A=3,

所以A=2,

即A=2,□=1.

答案：C.

3.（2022•沈阳模拟）若实数a,b满足|a+b-2|+,/『=0,则a+3b的值为（

A.1B.2C.3D.4

解：V|a+Z?-2|+77^=0,

Ja+b=2①，

'la-b=0@，

①+②得：2a=2,

解得：a=l,

①-②得：26=2,

解得：6=1,

则4+36=1+3=4.

答案：D.

4.（2022•无锡中考）二元一次方程组［*+2了=12'的解为_（x=2

,2x-y=lIy=3

铲f3x+2y=12①

l2x-y=l②

由②得：y=2x-1@,

将③代入①得：3x+2（2x-1）=12,

解得：x=2,

将x=2代入③得：y=3,

...原方程组的解为

ly=3

次afx=2

答案：I.

Iy=3

5.（2022•安顺中考）若a+26=8,3a+4b=18,则a+b的值为5.

解：：。+26=8,3。+46=18,

贝ijq=8-2b,

代入3a+4b=18,

解得：b=3,

则〃=2,

故〃+。=5.

答案：5.

6.（2022•随州中考）已知二元一次方程组（x+2yY,则彳-y的值为1

\2x3=5

解：...|x+2y=W，

12x+y=5②

由②-①可得：

x-y=l,

答案：1.

x-2y=3

7.（2022•淄博中考）解方程组：，1313•

旧《二

解：整理方程组得h-2了=3①

[2x+3y=13②

①X2-②得-7y=-7,

y=l,

把y=l代入①得x-2=3,

解得x=5,

.•.方程组的解为，x=5.

ly=l

8.（2022•南宁模拟）阅读下列材料，并回答问题:

【情境1]：小红在研究学习无理数时发现：

①任意一个有理数与无理数的和为无理数；

②任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数；

③零与无理数的积为零.

【情境2】：小刚在小红研究的基础上，继续探究，又发现：

若ax+b=0,其中。，。为有理数，尤为无理数，则4=0且6=0.

例如：若a•退+b=0,其中。，。为有理数，则a=0,b=0.

【情境3J：后来，小陈也加入到小红和小刚的研究学习当中，并成功解决了之前困扰他的一道题:

（l+V2）a+V2+b=0,其中a,b为有理数.分析：通过变形，得：（a+1）我+a+b=0.

又a,6为有理数，.4+1=0解得：卜=-1.

la+b=0Ib=l

运用上述知识解决下列问题：

（1）己知（a-2）・a+b+l=0,其中a,b为有理数，则片2,b=-1；

（2）已知（2+^）a-（l-J^）b=9,其中a,b为有理数，求芹+2的值.

解：（1）（a-2）«V3+/?+l=0,

:•a-2=0,。+1=0,

解得：〃=2,b=-1；

答案：2,-1；

（2）己知等式整理得：（a+b）V2+2a-b-9=0,

.•・〃+Z?=0,2a-b=9,

解得：〃=3,b=-3,

则原式=3-3+2=3-1=工.

3

二、由实际问题抽象出二元一次方程组

【高频考点精讲】

1.由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出

题目中的相等关系;

2.一般来说，有几个未知量就列出几个方程，所列方程必须满足:

(1)方程两边表示的是同类量;

(2)同类量的单位要统一;

(3)方程两边的数值要相符。

3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有以下规律和方法:

(1)如果题目中国给出的条件由“；”分割成两部分，可以在“；”前、后找出对应的等量关系。

(2)如果题目中借助表格提供信息，可以将信息进行横向或纵向对比，找出对应的等量关系;

(3)如果题目中给出图形，可以分析图形的长、宽，找出对应的等量关系。

【热点题型精练】

9.(2022•深圳中考)张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草.他卖五捆上等草的根数减去11根,

就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数.设上等草一捆为x根,

下等草一捆为y根，则下列方程正确的是()

5y-ll=7x5x+ll=7y

A.B.

7y-25=5x7x+25=5y

5x-ll=7y7x-ll=5y

C.D.

7x-25=5y5x-25=7y

解：设上等草一捆为无根，下等草一捆为y根,

5x-ll=7y

根据题意可列方程组为:

7x-25=5y

答案：C.

10.(2022•日照中考)《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引

绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩

余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则

所列方程组正确的是()

y-x=4.5x-y=4.5

A.B.

2x-y=l2x-y=l

x-y=4.5y-x=4.5

C.D.

x爰=1

解：设木头长为X尺，绳子长为y尺，

y-x=4.5

由题意可得＜Y.

xa=1

答案：D.

11.（2022•宁夏中考）《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”

题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱.问：人数、物价各多少？设有x

人，物价为y钱，则可列方程组为—aX-y=3_.

（y-7x=4

解：・・•每人出八钱，余三钱，

/.8%-y=3；

・・,每人出七钱，差四钱，

•\y-7x=4・

.•.可列方程组为俨-y

ly-7x=4

答案"8x-y=3

Iy-7x=4

12.（2022•无锡模拟）某商店购进A、8两种商品共50件，己知这两种商品的进货单价与销售单价如表所示，且将

这两种商品销售完毕共可获利660元.设商店购进A种商品尤件，购进B种商品y件，则根据题意可列方程组

（x+y=50

1（40-30）x+（55-40）y=660--

商品类别进货单价（元/件）销售单价（元/件）

A3040

B4055

解：设商店购进A种商品x件，购进8种商品y件，则根据题意可列方程组［、始=5°.

I（40-30）x+（55-40）y=660

答案」x"50

（40-30）x+（55-40）y=660

三、列二元一次方程组解决实际问题

【高频考点精讲】

1.审题：找出已知条件和未知量以及它们之间的关系；

2.设元：找出题目中两个关键的未知量，并用字母表示出来，直接设元与间接设元；

3.列方程组：找出题目中的两个等量关系，列出方程组；

4.求解；

5.检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答。

【热点题型精练】

13.（2022•宜昌中考）五一小长假，小华和家人到公园游玩.湖边有大小两种游船.小华发现1艘大船与2艘小船

一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人.贝！J1艘大船与1艘小船一次共可以

满载游客的人数为（）

A.30B.26C.24D.22

解：设1艘大船可载工人，1艘小船可载y人,

依题意得:产y=322,

2x+y=46②

①+②得：3x+3y=78,

，x+y=26,

即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26,

答案：B.

14.（2022•武汉中考）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一一九宫格.将9个数填

入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方.图

A.9B.10C.11D.12

解：•.•每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，

最左下角的数为：6+20-22=4,

最中间的数为：x+6-4=尤+2,或x+6+20-22->=尤-y+4,

最右下角的数为：6+20-（x+2）=24-x,或x+6-了=尤-y+6,

Iy=2

，x+y=12,

答案：D.

15.（2022•保定模拟）可以借助图1、图2的方式测量桌子的高度，将两块完全一样的长方体木块先按图1方式放

置，再按图2方式放置，测量的数据如图所示，则桌子的高度是（）

图1图2

A.（a-b）cmB.a+^cmC.（且+b）cmD.（a+-）m

解：设图中长方体木块的长边减短边的长为XC7”,桌子的高度是左加，

依题意得：卜+h=a,

lh-x=b

解得：仁生也，

2

答：cm.

2

答案：B.

16.（2022•湖北中考）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一

次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货23.5吨.

解：设1辆大货车一次可以运货尤吨，1辆小货车一次可以运货y吨，

根据题意得：,x+4y=22⑴，

［5x+2y=25（2）

⑴；⑵得:4x+3y=23.5；

答案：23.5.

17.（2022•枣庄中考）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程［七］中记载：“今有牛

五、羊二，直金十两.牛二、羊五，直金八两.牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10

两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”根据题意，可求得1头牛和1只羊共值金

12两.

7一

解：设每头牛尤两，每只羊y两，

根据题意,可得俨+2丫=10,

I2x+5y=8

；.7x+7y=18,

；.x+y=-^,

7

..J头牛和1只羊共值金殁两，

7

答案：理.

7

18.（2022•重庆中考）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫.初步预算，这

三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7,需香樟数量之比为4：3：9,并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：

3.在实际购买时，香樟的价格比预算低20%,红枫的价格比预算高25%,香樟购买数量减少了6.25%,结果发

现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为国.

一5一

解：根据题意，如表格所设：

香樟数量红枫数量总量

甲4x5y-4x5〉

乙3x6y-3x6y

丙9x7y-9x7y

,甲、乙两山需红枫数量之比为2：3,

.5y-4x2

6y-3x3

・・y=2x,

故数量可如下表:

香樟数量红枫数量总量

甲4x6xlOx

乙3x9x12x

丙9x5x14x

所以香樟的总量是16%,红枫的总量是20x,

设香樟的预算单价为〃，红枫的预算单价为4

由题意得，

[16x*(l-6.25%)-20%)]+20x・g・(l+25%)]=16x・〃+20x・b,

.•.124+25/?=16〃+20。，

4。=5。，

设a=5左，b=4k,

.16X(1-6,25%)XQ.8X5=3

20X1.25X4T

答案：3.

5

19.(2022•泰安中考)泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，8种茶20盒，共花费6000元；

第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%,该店又购进了A种茶20盒，8种茶15盒，共花费5100元.求

第一次购进的A、8两种茶每盒的价格.

解：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，2种茶的价格为y元/盒，

依题意得：俨x+20y=6000,

I20X(l+20%)x+15X(l+20%)y=5100

解得：卜=100.

ly=150

答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，8种茶的价格为150元/盒.

20.(2022•安徽中考)某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额

增加了25%,出口额增加了30%.

注：进出口总额=进口额+出口额.

（1）设2020年进口额为尤亿元，出口额为y亿元，请用含x,y的代数式填表:

年份进口额/亿元出口额/亿元进出口总额/亿元

2020Xy520

20211.25x1.3y1.25x+1.3y

（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？

解：（1）由表格可得,

2021年进出口总额为：1.25x+1.3y,

答案：1.25x+1.3y；

（2）由题意可得，

（x+y=520

11.25x+l.3y=520+14C，

解得（x=320,

ly=200

.,-1.25x=400,1.3y=260,

答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元.

四、三元一次方程组的应用

【高频考点精讲】

在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系

列几个方程。

1.把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础；

2.通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性。

【热点题型精练】

21.（2022•哈尔滨模拟）小明妈妈到文具店购买三种学习用品（每种至少买一件），其单价分别为2元、4元、6元，

购买这些学习用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这些学习

用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法.（）

A.6B.5C.4D.3

解：设分别购买学习用品x、y、z,

则有」2久+4y+6z=56①，

[1.5x+3.5y+5.5z=50②

①-②得：x+y+z=12③，

又x+2y+3z=28④，

,••④-③得：y+2z=16,

方案一：y=2,z=7,x=3.

方案—y=4,z=6,x=2

方案三：y=6,z=5,x=l

答案：D.

22.（2021•重庆中考）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售

额提升拓展了途径.某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A,B,C三种盲盒各一个，其

中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；2盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口

优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱.经

核算，A盒的成本为145元，2盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱

的成本之和），则C盒的成本为155元.

解：•••蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C

盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；

.•.3盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22-2-3-1-1-3-2=10（个），

盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：