定角定高（知识解读）-2023年中考数学重难点题型专项训练

专题05定角定高（知识解读）

【专茎饯明】

定角定高问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是升入名校考查的热点。

此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强。常应

用于求一类三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键

就在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距2定高”求出半径的最小值，

那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形

圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值，

找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解.

【方法技巧】

1.定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC

外一点A,A到直线BC距离为定值（定高），NBAC为定角。则AD有最小值。

又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。

A

2.辅助线作法：

①作△ABC的外接圆。。；

②连接03,OC,作OMWC.

3.说理证明：

①易证河=a,OC=OB=OA=r-

②在HfZXBOM中，BM=rsinct,OM=rcosa；

•/AH±BC,IOM+OA>AH9

..rcoso+r>/I,

h

二r>

1+coso

2hsina

BC—2BM=2rsinG>

1+COS0

解决问题的策略：定角夹定高、作三角形外接圆、三角函数转化为半径最值、等

腰时取到最值.关键步骤：

L作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为「，用含「的代数式表示圆心距及

底边长；

2.根据“半径+弦心距2定高”求，的取值范围；

3.求出底边的范围，计算面积最小值。

【典例令新】

【典例1］辅助圆之定角定高求解探究

(1)如图①，已知线段A3,以A3为斜边，在图中画出一个直角三角形；

(2)如图②，在△ABC中，ZACB=6Q°,CD为A3边上的高，若CD=4,

试判断A3是否存在最小值，若存在，请求出A3最小值；若不存在，请说明

理由；

(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，

在四边形ABCD中，ZA=45°,ZB=ZD=90°,CB=CD=65点、E、

R分别为A3、AD上的点，若保持CELCF那么四边形AECT的面积是否存

在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由.

图①图②图③

【变式1-1】如图，在△ABC中，Z5AC=60°,ADL8C于点。，且AD=4,

则△ABC面积的最小值为.

【变式1-2］如图，在AABC中，ZBAC=90°,BC边上的高AD=6,贝！JZXABC

周长的最小值为.

【变式1-3］如图，正方形ABCD的边长为6,点E,尸分别是CD,5C边上的

【变式1-4］（2019•新城区校级一模）问题提出：

如图1：在△ABC中，8。=10且/84。=45°，点。为△ABC的外心，则^

ABC的外接圆半径是.

问题探究：

如图2,正方形ABC。中，E、歹分别是边BC、C£＞两边上点且NE4歹=45°,

请问线段3E、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由.

问题解决：

如图3,四边形ABCD中，A3=AD=4&,ZB=45°,ZD=135°，点E、

R分别是射线直、CD上的动点，并且NE4R=NC=60°,试问△AER的面

积是否存在最小值？若存在，请求出最小值.若不存在，请说明理由.

专题05定角定高（知识解读）

【专茎饯明】

定角定高问题是初中数学学习的重点和难点问题，也是升入名校考查的热点。

此类问题综合性强，常常会与三角形，四边形进行结合起来，隐蔽性强。常应

用于求一类三角形底边长的最小值，继而求三角形面积的最小值，问题的关键

就在作这个动三角形的外接圆，根据“半径+弦心距2定高”求出半径的最小值，

那底边存在最小值，面积存在最小值。由于底边的长在变化，此外接圆“隐形

圆”的大小也会发生变化，但是在运动过程中于找到“隐形圆”半径最小值，

找到此处为突破口，建立数学模型，综合性问题就迎刃而解.

【方法技巧】

1.定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC

外一点A,A到直线BC距离为定值（定高），NBAC为定角。则AD有最小值。

又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。

A

2.辅助线作法：

①作△ABC的外接圆。。；

②连接03,OC,作OMWC.

3.说理证明：

①易证河=a,OC=OB=OA=r-

②在HfZXBOM中，BM=rsinct,OM=rcosa；

•/AH±BC,IOM+OA>AH9

..rcoso+r>/I,

h

二r>

1+coso

2hsina

BC—2BM=2rsinG>

1+COS0

解决问题的策略：定角夹定高、作三角形外接圆、三角函数转化为半径最值、等

腰时取到最值.关键步骤：

L作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为「，用含「的代数式表示圆心距及

底边长；

2.根据“半径+弦心距2定高”求，的取值范围；

3.求出底边的范围，计算面积最小值。

【辑例令新】

【典例1］辅助圆之定角定高求解探究

(1)如图①，已知线段A3,以A3为斜边，在图中画出一个直角三角形；

(2)如图②，在△ABC中，ZACB=60°,CD为A3边上的高，若CD=4,

试判断A3是否存在最小值，若存在，请求出A3最小值；若不存在，请说明

理由；

(3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草,

在四边形ABCD中，ZA=45°,ZB=ZD=90°,CB=CD=6®点、E、

R分别为A3、AD上的点，若保持CELCF那么四边形AECT的面积是否存

在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由.

【解答】解：(1)如图①中，△ABC即为所求.

图①

(2)如图②中，作△ABC的外接圆OO,连接。4,OB,0C,作OELAB于

E.0A=0C=2x.

C

图②

VZA0B^2ZACB^120°,OA=OB,OE±AB,

：.AE=EB,/AOE=NBOE=60°,

.,.OE—^OA=x,AE="j3x,

2

OC+OE^CD,

/.3%24,

.•.x2生

3

•••X的最小值为名,

3

,:AB=2MX,

：.AB的最小值为典.

3

(3)如图③中，连接AC,延长交AD的延长线于G,将△CDR顺时针旋

转得到△C3H,作△CEH的外接圆OO.

，G

D/

图。

VZADC=ZABC=90°,AC=AC,CD=CB,

RtAACD^RtAACB(HL),

••S/\,ACD-Sz\ACB>

VZZ)AB=45°,

ZDCB=135°,

ZDCG=45°,

VZCDG=90°,

:.CD=DG=6®

：.CG=42CD=n,

.•.A5=GB=12+6M，

由(2)可知，当△CEH的外接圆的圆心。在线段BC上时，的面积

最小，此时四边形ARCE的面积最大，

设OC=OE=r,易知0B=EB=J^r,

_2

:.r+虫-r=6近,,

2

Ar=642(2-V2),

.,.EH—y[2r—12(2-^2)，

•••四边形MCE的面积的最大值=2X1X(12+6&)X6&-1X12(2-&)

22

X6加=144.

【变式1-1］如图，在AABC中，ZBAC=60°,于点。，且4。=4,

则△ABC面积的最小值为.

【答案］①退.

3

【解答】解：作AABC的外接圆O。，连接OA,OB,OC,过点。作OEJ_

VZBAC=60°,

：.ZBOC=120°,

'：OB=OC,

：./OBC=NOCB=30°,

设O。的半径为r,则OE=LOB=L,BE=1。3=近厂,

2222

"：OA+OE^AD,

r+L*》4,

2

解得：

3

:.BC》8愿,

3_

•*,SAABC寺C・AD>|X-^-x4=16^»

.-.△ABC的面积的最小值为应

故答案为：1道.

3

【变式1-2】如图，在△ABC中，NR4c=90°,3C边上的高AD=6,则AABC

周长的最小值为.

【答案】12&±12

【解答】解：如图，延长CB到E,使得BE=R4,延长到E使得8=

CA,连接AE,AF,作的外接圆O。，连接OE,OF,过点。作OJ,

EF于点J,交。。于点T.

：./BAE=/BEA,ZCAF=ZCAF,

'：ZABC^ZBAE+ZBEA,NACB=/CAF+ZCFA,

：.ZAEF+ZAFE=1.CZABC+ZACB)=45°,

2

AZEAF=135°,

AZEOF=90°,

'JOJLEF,

：.EJ=JF,

:.OJ=LEF,

2

OE=OF=r,贝！JE尸=&r,0J=^-r,

2

"：AB+BC+AC=EB+BC+CF=EF,

••.EP最小时，△ABC的周长最小，

'：AD±BC,

：.AD+OJ^OT,

r,

2

.,"212+66，

:.EFA2如+12,

：.AB+BC+AC^12^/2+12,

.,.△ABC的周长的最小值为1272+12,

故答案为：12加+12.

【变式1-3］如图，正方形A3CD的边长为6,点E,R分别是CD,3c边上的

【答案】36后-36

【解答】解：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到

由旋转的性质得，AH=AE,NBAH=NDAE,

VZEAF=45°,ZBAD=9Q°,

ZBAF+ZDAE=ZBAH+ZBAF=45°,

：.ZFAH=ZEAF=45°,

在△AEP和△AHE中，

，AE=AH

<ZEAF=ZHAF-

AF=AF

AAAEF^AAHF(SAS),

:.FH=EF,

S&AEF=S^AFH,

设DE=x,BF=y,则BH=DE=x,EF=BF+BH=x+y,CE=6-x,CF=6

-y>

在Rt^EPC中，EC+CF2=EF2,

(6-x)2+(6-y)2=(x+y)2,

化简得：y=36-6x=_6+卫，

x+6x+6

**•SAAEF=S^AFH=^-FH*AB=AX6(x+y)—3[x+(-6+~Z^_)]=3[(x+6)+22_

22x+6x+6

-12]=3[(V^6-2+12&-12],

_7x+6

•••当4两=空反时，x=6&-6,S“EF的最小值为36加-36.

x+6

故答案为：36A/2-36.

【变式1-4](2019•新城区校级一模)问题提出：

如图1：在△ABC中，3c=10且NB4c=45°，点。为△ABC的外心，则^

ABC的外接圆半径是.

问题探究：

如图2,正方形A3CD中，E、R分别是边3C、CD两边上点且NE4R=45°,

请问线段BE、DF、ER有怎样的数量关系？并说明理由.

问题解决：

如图3,四边形ABCD中，A3=AD=4&,ZB=45°,ZD=135°，点E、

R分别是射线直、CD上的动点，并且NE4R=NC=60°,试问△人•的面

积是否存在最小值？若存在，请求出最小值.若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）如图1,作出△A8C的外接圆O。,

VZA=45°,

AZBOC=90°,

VBC=10,

/.OB=sin45°XBC=与xi0=5芯，

故答案为：5&.

(2)EF=BE+DF,理由如下：

如图2,延长EB,使BG=DF,连接AG,

•・•