2025年高考数学复习之空间向量基本定理及坐标表示

2025年高考数学复习新题速递之空间向量基本定理及坐标表

一.选择题(共8小题)

TTT—

1.(2024•湖南开学)已知空间向量a=Q,1,2),6=(4,2,4),若则x=()

A.1B.-|C.D.3

2.(2024春•湘西州期末)已知A(-2,1,3),B(1,-1,4),则6=()

A.(3,0,1)B.(-1,-2,1)C.(-1,0,7)D.(3,-2,1)

3.(2024春•长春期末)已知向量p在基底｛a,b,c｝下的坐标是(2,3,-1),贝Up在基底｛a,a+b,b+c]

下的坐标为()

A.(-2,4,-1)B.(2,5,2)C.(2,5,-1)D.(-2,4,1)

TTTTTT

4.(2024春•镇江期末)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(4,5,入)，如果a,b,c三

个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数人为()

A.0B.9C.5D.3

5.(2024春•潍坊期末)如图，已知A,B,C三点不共线，O为平面A5C外任意一点，且平面A5C中的

—>—>—>—>—>—>—>—>

小方格均为边长为1的正方形，<OA,AB>=<OA,AC>=60°,\OA\=2,若4P=24B+AC,则

—»

\OP\=()

A.V15B.15C.2V3D.12

TTTTTT.

6.(2023秋•安顺期末)p：a,b,c是三个不共面的单位向量，q：{a,b,c}可为空间的一个基底，则p

是9的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

―»-7

7.（2023秋•安顺期末）如图，空间四边形048c中，点M是的中点,点N在BC上，设MN=xQ4+

—>—>

yOB+zOC,则x+y+z=()

O

8.（2024春•永昌县校级期末）已知｛a,b,c｝是空间的一个基底，/n=2Q+3b—c,n=x（a—h）+y（Jj—

—-~»1।-»-»

c）+4（a+c）,右m||荏，贝Ux+y=（）

A.0B.-6C.6D.5

二.多选题（共4小题）

—>―»

（多选）9.（2024•浑南区校级开学）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若力B=（—2,1,4）,4P=（1,

—>

-2,1）,AC=（4,2,0）,贝!]（）

A.APLABB.AP±BPC.BC=V53D.AP±BC

（多选）10.（2024春•大荔县期末）给出下列命题，其中正确的有（）

A.空间任意三个向量都可以作为一个基底

TTTT

B.已知向量a||6,则a、6与任何向量都不能构成空间的一个基底

C.对空间任一向量5，存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使得B=x嗟+yb+z*

D.如果26是两个单位向量，则向=\b\

（多选）H.（2023秋•南宁期末）在正方体ABC£>-ALBICI£>I中，能作为空间的一个基底的一组向量有

（）

A.AA±,AB,ACB.BA,BC,BD

C.ACr,BD[,CB]D.ADr,BAr,AC

TTT

(多选)12.(2023秋•黔东南州期末)已知｛%b,c｝是空间的一个单位正父基底，则()

A.\a+b\=V2\c\

T—TTTT

B.｛a—b,b+c,a+c｝构成空间的一个基底

—>->—>—>

C.(Q+b)・(a+c)=1

TTTTTT.

D.[a-b,b+c,a-c｝构成空间的一个基底

三.填空题(共4小题)

13.(2023秋•江西期末)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形,E是棱尸。上一点,且DE=翱,

BE=xBA+yBC+zBP,贝！Jx+y+z=・

14.(2024秋•三元区校级月考)已知向量之=(2,3,-2)/=(2,—m,一1),且则m=.

—>—>—>

15.(2024春•泗洪县期中)已知A(2,1,3),8(-4,2,尤)，C(1,-%,2),若向量。4+OC与。B垂

直(。为坐标原点)，则x等于.

—>—>—>—>—>—>

16.(2024春•宁德期末)四棱锥P-A8CD的底面是平行四边形，且PE=2EC,若。E=xAB++zAP,

则xyz=.

四.解答题(共4小题)

17.(2024•浑南区校级开学)已知空间中三点A(2,0,-2),8(1,-1,-2),C(3,0,-4),设2=族，

—»—>

b=AC.

->T—

(1)已知(a+kb)lb,求左的值；

(2)若©=6,且求c的坐标.

.TTTT_>T

18.(2024•福建开学)已知点P(-2,0,2),Q(-1,1,2),R(-3,0,4),设a=PQ,b=PR,c=QR.

T—T

(1)若实数4使ka+b与c垂直，求左值.

TT

(2)求a在b上的投影向量.

19.(2024春•广陵区校级期中)已知空间三点A(0,-2,3)、8(-2,-1,6)、C(1,1,5).

_>—・_>___)

(1)若向量zn与AB平行，且17nl求TH的坐标；

(2)求以C8、CA为邻边的平行四边形的面积.

20.(2023秋•开州区校级月考)已知向量2=(1,1,0),7=(-1,0,2).

TTTT、

(1)若(a+kb)//(a+b),求实数匕

TTT-、^

(2)若向量一。一kb与Q+b所成角为钝角，求头数人的范围.

2025年高考数学复习新题速递之空间向量基本定理及坐标表示(2024年9

月)

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

->TTT

1.(2024•湖南开学)已知空间向量a=(%,1,2),6=(4,2,4),若a16,贝U尤=()

A.1B.-|C.D.3

【考点】空间向量数量积的坐标表示.

【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】B

【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解.

TTTTK

【解答】解：因为a=(久，L2),6=(4,2,4),且a16,所以4x+2+8=0,解得久=一本

故选：B.

【点评】本题考查空间向量数量积的坐标运算，属于基础题.

—>

2.(2024春•湘西州期末)已知A(-2,1,3),B(1,-1,4),则力B=()

A.(3,0,1)B.(-1,-2,1)C.(-1,0,7)D.(3,-2,1)

【考点】空间向量线性运算的坐标表示.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算.

【答案】D

【分析】利用向量的坐标运算即可.

【解答】解：由题意可得4B=(1,-1,4)一(一2,1,3)=(3,—2,1).

故选：D.

【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

3.(2024春•长春期末)已知向量j在基底{乙b,d下的坐标是(2,3,-1),则3在基底加a+b,b+c}

下的坐标为()

A.(-2,4,-1)B.(2,5,2)C.(2,5,-1)D.(-2,4,1)

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示.

【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】A

【分析】由题意知3=2^+3b-六设3在基底｛Za+b,b+U｝下的坐标为(％,y,z),根据空间向

量的坐标运算和空间向量基本定理列方程组即可求解.

【解答】解：由题意知p=2。+3b—c,设p在基底｛a,a+b,b+c｝下的坐标为(x,y,z),

—>—>—>~-»—>—>~—>

所以p=xa+y(a+b)+z(b+c)=(%+y)a+(y+z)b+zc,

'%+y=2(x=—2

所以y+z=3,解得y=4,

、z=—1vz=—1

TTTTTT

所以p在基底｛a,a+b,6+c｝下的坐标为(-2,4,-1).

故选：A.

【点评】本题考查了空间向量的坐标运算和空间向量基本定理应用问题，是基础题.

TTTTTT

4.(2024春•镇江期末)已知a=(2,-1,3),/?=(-1,4,-2),c=(4,5,A),如果a,b,c三

个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数人为()

A.0B.9C.5D.3

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；空间向量的共线与共面.

【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合空间向量的基本定理，即可求解.

T-

【解答】解：=(2,-L3),b=(-1,4,-2),

，a与力不平行，

T—T

Va,b,c三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，

_一^2x—y=4(x=3

存在实数x,y使得c=xa+yb,即,-x+4y=5,解得y=2,

3x-2y=2(4=5

故实数)为5.

故选：C.

【点评】本题主要考查空间向量的基本定理，属于基础题.

5.(2024春•潍坊期末)如图，已知A,B,C三点不共线，。为平面48c外任意一点，且平面A8C中的

—>—>—>—>—>—>—>—>

小方格均为边长为1的正方形，<OA,AB>^<OA,710=60°,|。4|=2,若4P=24B+4C,则

|0P|=(

C.2V3

【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底.

【专题】转化思想；数形结合法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】A

—>—>—>—>

【分析】根据题意，得出。P=04+24B+4C,再求模长即可.

—>—>—>—>—>

【解答】解：由题意知，AB>=<0A,710=60°,\0A\=2,且4P=2A8+2C,

T—>—>—>

所以OP=OA+2AB+AC,

—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

所以。尸2=。人2+4/^2+/。2+4。4・48+20Z・AC+4AB・AC=4+4+1+4X2X1Xcos600+2X2X1X

cos60°+4X1X1Xcos90°=15,

所以I法|=715.

故选：A.

【点评】本题考查了空间向量的线性运算与数量积运算问题，是基础题.

->TT—TT

6.（2023秋•安顺期末）p：a,b,c是三个不共面的单位向量，q：（a,b,c｝可为空间的一个基底，则

是g的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；充分不必要条件的判断.

【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；简易逻辑；逻辑推理.

【答案】A

【分析】根据基底的含义与性质，结合充分、必要条件的定义，求解即可.

【解答】解：根据基底的定义可知，若看b,"是三个不共面的单位向量，则而，b,d可为空间的一

个基底，

_.TTT.TT—*

反过来，若｛%b,c｝为空间的一个基底，则a,b,c是三个不共面的向量，不一定是单位向量，

所以〃是9的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题考查基底的含义与充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题.

—>—>

7.(2023秋•安顺期末)如图，空间四边形。4BC中，点M是。4的中点，点N在BC上,设MN=久。力+

—»—»

yOB+zOC,贝！Jx+y+z=()

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示.

【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】B

【分析】根据图形，结合空间向量的线性运算法则，求解即可.

【解答】解：设嬴=4成:，Xe[0,1],

则MN=ON-OM=OB+BN-OM=OB+ABC~^OA=OB+4(OC-OB)-^OA=~^OA+

—>—»

(l-QOB+AOC,

所以第=一于y=l-入，z=入，

所以久+y+z=

故选：B.

【点评】本题考查空间向量的线性运算，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

8.(2024春•永昌县校级期末)已知｛a,b,c｝是空间的一个基底，?n=2。+3b—c,n=x(a—b)+y(h—

—-~»1।-»-»

c)+4(a+c),右m||?i,贝！Jx+y=()

A.0B.-6C.6D.5

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；空间向量的共线与共面.

【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】C

【分析】首先化简向量汇再代入向量平行的坐标表示公式，即可求解.

【解答】解：n=(%+4)a+(y-x)b+(~y+4)c,因为m||n,所以存在实数入，使得？i=/bn,

~,TTTT—T

所以。+4)a+(y-x)b+(—y+4)c=A(2a+3b—c),

卜+4=22,(X=2,

所以—%=解得卜=0,

(_y+4=(y=6,

所以x+y=6.

故选：C.

【点评】本题考查向量平行的坐标运算，属于基础题.

二.多选题(共4小题)

—>—>

(多选)9.(2024•浑南区校级开学)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若4B=(—2,1,4),AP=(1,

—>

一2,1),AC=(4,2,0),贝U()

A.AP±ABB.APLBPC.BC=V53D.APLBC

【考点】空间向量数量积的坐标表示.

【专题】转化思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】ACD

【分析】根据题意，结合空间向量的数量积的坐标运算，以及模的坐标表示，逐项判定，即可求解.

【解答】解：因为向量=(—2,1,4),AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),

对于A,由4B-aP=—2x1+1x(—2)+4x1=0,所以4B12P,BPAP±AB,选项A正确；

对于8,由BP=2P—2B=(3,—3,—3),可得BP•2P=3x1+(—2)x(—3)+1x(—3)=6力0,

所以而与2P不垂直，即AP与8尸不垂直，选项B错误；

对于C,由8c=AC—AB=（6,1,-4）,可得|8C|=五+F+（一4尸=后,

即8C=宿，选项C正确；

—>—>—>—>

对于。，由4P-BC=1x6+（-2）x1+1X（-4）=0,所以4P1BC,即APJ_8C,选项。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查了空间向量的数量积坐标运算问题，是基础题.

（多选）10.（2024春•大荔县期末）给出下列命题，其中正确的有（）

A.空间任意三个向量都可以作为一个基底

T—TT

B.已知向量a||6,则a、6与任何向量都不能构成空间的一个基底

C.对空间任一向量5，存在唯一的有序实数组（%,y,z）,使得％=xZ+y6+zU

D.如果6是两个单位向量，则鬲=\b\

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；命题的真假判断与应用；平面向量的概念与平面向

量的模.

【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理.

【答案】BD

【分析】根据共线向量、空间向量的基本定理、基底、单位向量概念等知识对选项进行分析，由此确定

正确答案.

T—TTT

【解答】解：对于A,因为｛a,b,c｝是空间的一组基底，所以a,b,c为不共线的非零向量，故A错

误；

T―T—T—

对于8,因为a11b,所以a与6共线，故a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底，故8正确；

—>—>—>

对于C,当｛a,b,c｝为空间的一组基底时，对于空间任一向量p,

、TTTT

则存在唯一的有序头数组（力,y,z）,使得p=+yb+zc,故。错误；

对于。，若京I都是单位向量，则模长都为1,故向=向，故O正确.

故选：BD.

【点评】本题主要考查基底的定义，空间向量基本定理，命题真假的判断，属于基础题.

（多选）11.（2023秋•南宁期末）在正方体ABC。-481C1D中，能作为空间的一个基底的一组向量有

A.AAr,AB,ACB.BA,BC,BD

C.ACr,BD1,CB]D.ADr,BAr,AC

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理；空间向量及其线性运算.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】AC

【分析】根据空间中不共面的三个向量可以作为空间向量的一个基底，从而求解.

【解答】解：画出正方体ABCD-如图所示：

对于A：AAlfAB,前不共面，由空间向量的基本定理可知，能作为空间的一个基底，故选项A正确；

对于8：因为BD=BA+BC,所以BA,BC,BD共面，

由空间向量的基本定理可知，不能作为空间的一个基底，故选项2错误；

—>—>—>

对于C：4Q,BD1，CB1不共面，由空间向量的基本定理可知，能作为空间的一个基底，故选项C正

确；

—>—>—>—>—>—>

对于D：因为BA】+AC=（BA+AA^+｛AB+BC）=7Ml+BC=AA1+AD=ADr,

—>―»—>

所以4必，BA1,4c共面，由空间向量的基本定理可知，不能作为空间的一个基底，故选项O错误.

故选：AC.

【点评】本题主要考查了空间向量的基本定理，属于基础题.

T—T

（多选）12.（2023秋•黔东南州期末）已知｛%b,c｝是空间的一个单位正交基底，则（）

A.\a+b\=V2|c|

TT—TTT.

B.｛a—b,b+c,a+c｝构成空间的一个基底

—T——

C.（a++c）=1

TTTTTT.

D.｛a-b,b+c,a-c｝构成空间的一个基底

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示.

【专题】计算题；整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】ACD

【分析】根据单位正交基底的定义判断A;利用空间向量基本定理判断B。；利用向量的运算判断C

TTTTTT

【解答】解：因为｛a,b,c｝是空间的一个单位正交基底，所以a,b,c均为单位向量且两两垂直，

所以而+=］而+62=a=企白,A正确；

—>_>T—>->T—>—>_>T—r^-r/z.

(a+/))-(a+c)=a+a•b+a•c+Z)-c=a=1,C正确；

因为a-b+b+c=a+c,所以｛a-b,b+c,a+c｝不能构成空间的一个基底，B错误;

假设存在实数x,y,使得％(a-b)+y(b+c)=xa+(y—x)b+yc=a—c,

(x=lTTr-rTTT

则,一久=0,该方程组无解，所以｛a-b,b+c,a—c｝构成空间的一个基底，O正确.

y--1

故选：ACD.

【点评】本题考查了单位正交基底的定义和空间向量基本定理，属于中档题.

三.填空题(共4小题)

7

13.(2023秋•江西期末)在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是平行四边形,E是棱PD上一点，且

—>—>—>—>4

BE=xBA+yBC+zBP,则x+y+z=-.

【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示.

【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算.

4

【答案】--

3

【分析】由已知选取向，BC,而为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解.

【解答】解：连接如图所示:

则

BE=BD+DE=BD+^。DP=BD+氢。BP-BD)=^。BD+^。BP=^。BA+BC)+^。BP=^。BA+

1T2

2BC+BP,

24

Z-X+y+Z-

又BE—xBA+yBC+zBP,所以％=g，丫=W，3-，3-

4

故答案是：--

【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题.

Tt7T

14.(2024秋•三元区校级月考)已知向量a=(2,3,-2),6=(2,-m,一1),且a，6,则机=，.

【考点】空间向量数量积的坐标表示.

【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】2.

【分析】根据空间向量垂直的坐标关系即可求解.

T—TT

【解答】解：因为向量a=(2,3,-2),b=(2,-m,-1),alb,

一TT,,

所以a-b=4—3m+2=0,解得m=2.

故答案为：2

【点评】本题考查空间向量垂直的坐标关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

15.(2024春•泗洪县期中)已知A(2,1,3),8(-4,2,x),C(1,-尤，2),若向量。4+OC与。B垂

直(。为坐标原点)，则x等于y.

【考点】空间向量运算的坐标表示.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算.

10

【答案】—.

—>—>—>—>—>—>

【分析】先求出。4+0C与。B的坐标，再利用(。4+。。)•OBuO求解即可.

【解答】解：(2,1,3),8(-4,2,尤)，C(1,-x,2),

：.OA+OC=(2,1,3)+(1,-x,2)=(3,1-%,5),OB=(-4,2,x),

—>—>—>

:向量。4+OC与。B垂直，

—>—>—»

...(。力+OC)-OB=0,

-12+2(1-x)+5x=0,

解得彳=学.

故答案为：弓.

【点评】本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题.

—>—>—>—>—>—>

16.(2024春•宁德期末)四棱锥P-48C。的底面是平行四边形，且PE=2EC,若DE=久/W++zAP,

2

贝ijxyz=一方.

【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底.

【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】—称.

【分析】由已知结合向量的线性运算即可求解.

—>—>

【解答】解：棱锥尸-ABC。的底面是平行四边形，且PE=2EC,

则DE=£>C+1CP=DC+!(DP-DC)=触(7+方(£M+4P)

==^AB-^AD+^AP,

JJ。。。J

若DE=+yAD+zZP,则x=可>=一W，z=于

故孙z=一务

故答案为：-5.

【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题.

四.解答题(共4小题)

17.(2024•浑南区校级开学)已知空间中三点A(2,0,-2),B(l,-1,-2),C(3,0,-4),设3

T—>

b=AC.

TTT

(1)已知(a+kb)lb,求％的值；

(2)若|c|=6,且c=4BC,求c的坐标.

【考点】空间向量数量积的坐标表示.

【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】(1)/c=4；(2)c—(4,2,—4)或c—(—4,—2,4).

-TTT

【分析】(1)根据木件得到a=(—1，—L0),b=(1/0/—2),a+kb=(k—1,—L—2/c),

再利用向量垂直的坐标表示，即可求解；

(2)根据条件得到1=(2九%—24),再利用d=6,即可求解.

TTTT

【解答】解：1)因为A(2,0,-2),8(1,-1,-2),C(3,0,-4),a=,b=AC,

TTTT

所以a—(—L—1,0),b=(1,0,—2),CL+kb=(k—1,—L—2k),

TTT->T—,1

又(a+kb)1b,所以(a+kb)-h=/c—l+4fc=0,得到/c=耳.

T——.__________________

(2)因为c=18C=(23X,-2A),又|c|=6,所以，4Q+"+4不=6,解得人=2或-2,

所以”的坐标为”=(4,2,一4)或1=(-4,-2,4).

【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.

18.(2024•福建开学)已知点P(-2,0,2),Q(-1,1,2),R(-3,0,4),设a=PQ,b=PR,c=QR.

->7T

(1)若实数4使ka+b与c垂直，求左值.

TT

(2)求a在b上的投影向量.

【考点】空间向量数量积的坐标表示.

【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)根据给定条件，求出空间向量的坐标，再结合向量垂直的坐标表示列式计算即得.

(2)利用投影向量的意义求解即得.

TTT

【解答】解：(1)依题意，a=(l,1,0),6=(—1,0,2),c=(—2,-1,2),

—>

ku+b=(k,kf0)+(—1,0/2)=(/c-1，k,2),

由kN+b与”垂直，得(/+h)-c=-2(k—1)—fc+2x2=0,解得k=2,

所以k=2.

T—T

(2)由(1)知，a-b=-1,\b\=V5,

T7

TTabT1Tl2

所以a在b上的投影向量为kb=0,

\b\2555

【点评】本题考查空间向量坐标运算法则、向量垂直、向量投影等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

19.(2024春•广陵区校级期中)已知空间三点A(0,-2,3)、2(-2,-1,6)、C(1,1,5).

(1)若向量m与力B平行，且|m|=V西，求ni的坐标；

(2)求以CB、C4为邻边的平行四边形的面积.

【考点】空间向量运算的坐标表示.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算.

【答案】(1)(-2,1,3)或(2,-1,-3)；

(2)7V3.

———

【分析】(1)由已知可设m=其中入eR,利用向量的模长公式求出入的值，即可得出向量小的坐

标；

(2)利用空间向量的数量积可求出C的值，然后利用三角形的面积公式可求得以C3、CA为邻边的平

行四边形的面积.

―>

【解答】解：(1)由已知可得AB=(—2,1,3),

T—一T

因为向量ni与48平行，设巾=4AB,其中入6R,

TT

则=|川•|AB|=旧阳=V14,解得入=±1.

TT7T

所以爪=48=(—2,1,3)或爪=-AB=(2,-1,-3).

—>—>

(2)cosC="空=,因为OWCWn,则C=^,

\CA\-\CB\Zs

所以以CB、C4为邻边的平行四边形的面积位H由sinC=(旧/x5=7遮.

【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的模，向量的夹角运算，主要考查学生的运算能力,

属于中档题.

20.(2023秋•开州区校级月考)已知向量a=(l,1,0),b=(-1,0,2).

TTTT

(1)若(a+助)//(a+b),求实数公

TT->T

(2)若向量一a-kb与a+b所成角为钝角，求实数4的范围.

【考点】空间向量数量积的坐标表示.

【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算.

【答案】(1)k=l；

(2){初c>—}且上#1}.

【分析】(1)根据空间向量平行的坐标运算求解即可得到答案.

->TtT

(2)根据题意得到(-a-kb)-(a+b)V0,再结合(1)的情况即可得到答案.

TTT7

【解答】解：(1)a+kb=(1,1,0)+(-fc,0,2k)=(1-fc,L2k),a+b=(0,1,2),

T—TTT—

因为(a+kb)//(a+b),所以(a+kb)="a+b),即(1-k,1,2k)=A(0,1,2),

fl-fc=0

所以1=2=：

12k=2A12=1

T—TT

(2)—CL—kb=(-1/-L0)—fc(—1,0,2)=(k—1,—1,-2k),a+b=(0,L2),

T—T-

因为向量一a-kb与a+6所成角为钝角，

一一7TTT1

所以(—a—kb),(a+b)VO,即-1-4ZV0,解得々>—

T—TT

当一a—/cb与a+b平行时，由(1)知：k=l,

T—T-

所以向量-a-kb与a+6所成角为钝角，

故实数人的范围为法生>一［且上W1}.

【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，属于基础题.

考点卡片

1.充分不必要条件的判断

【知识点的认识】

充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件。必然成立，但条件。成立时，条件尸不一定成立.用符

号表示为尸0°,但QAP.这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件.

【解题方法点拨】

要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证尸今。，然后找反例验证。成立但尸不成立.举反例

是关键步骤，找到一个。成立但尸不成立的例子即可证明P不是。的必要条件.例如，可以通过几何图

形性质验证某些充分不必要条件.

【命题方向】

充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等.

已知命题p：x2-4.r+3<0,那么命题p成立的一个充分不必要条件是（）

A.xWl

B.l<x<2

C.

D.2<x<3

解：由/-4x+3<0,解得l<x<3,

则l<x<2和2<x<3都是l<x<3的充分不必要条件.

故选：BD.

2.命题的真假判断与应用

【知识点的认识】

判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复

合命题的真假.

注意：“非P”的正确写法，本题不应将“非2”写成“方程x2-2x+l=0的两根都不是实根”，因为“都

是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分.

【解题方法点拨】

1.判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由

真值表得出复合命题的真假.

2.判断一个“若p则形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“oq”，则“若p

则4”为真；而要确定“若p则/为假，只需举出一个反例说明即可.

3.判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同

真同假这一关系进行转化判断.

【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题

形式出现.

3.平面向量的概念与平面向量的模

【知识点的认识】

向量概念

既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数

量（物理中的标量：身高、体重、年龄）.在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量.

向量的几何表示

用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.即用表

TTTT

示有向线段的起点、终点的字母表示，例如力B、BC,…字母表示，用小写字母a、6,…表示.有向向量

的长度为模，表示为|48|、|a|,单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量.

向量的模

应的大小，也就是几的长度（或称模），记作|晶|.

零向量

―>

长度为零的向量叫做零向量，记作0，零向量的长度为0，方向不确定.

单位向量

—>

->—AB

长度为一个单位长度的向量叫做单位向量4B（与共线的单位向量是一）.

\AB\

相等向量

长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性.

4.平面向量的基本定理

【知识点的认识】

1、平面向量基本定理内容：

如果ei、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一有且仅有一对实数入1、入2,使1=

—>—>

4送1+A2e2.

2、基底：不共线的即、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底.

3、说明：

(1)基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行.

(2)由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一.

5.空间向量及其线性运算

【知识点的认识】

1.空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示.

2.向量的模：向量的大小叫向量的长度或模.记为|又|,而

特别地：

―>

①规定长度为0的向量为零向量，记作0;

②模为1的向量叫做单位向量；

3.相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量.

4.负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量.如之的相反向量记为―-

5.平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量.

6.注意：

―>

①零向量的方向是任意的，规定0与任何向量平行；

②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1;

③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向

量；

④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；

⑤一般来说，向量不能比较大小.

1.加减法的定义：

空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法.

空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则.

OB=0A+AB=a+b

加