高考数学二轮复习：空间几何体-学案讲义

T专题突破

专题四立体几何

第1讲空间几何体

［考情分析］空间几何体的结构特征是立体几何的基础，空间几何体的表面积和体积是高考

的重点与热点，多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏上.

考点一空间几何体的折展问题

【核心提炼】

空间几何体的侧面展开图

(1)圆柱的侧面展开图是矩形.

(2)圆锥的侧面展开图是扇形.

(3)圆台的侧面展开图是扇环.

例1(1)(2023•郴州模拟)已知圆台的上、下底面半径分别为10和5,侧面积为300兀，AB为

圆台的一条母线(点8在圆台的上底面圆周上)，〃为的中点，一只蚂蚁从点8出发，绕

圆台侧面一周爬行到点则蚂蚁爬行所经路程的最小值为()

A.30B.40C.50D.60

答案C

解析因为圆台上底面半径为5,下底面半径为10,母线长为/,

所以5=兀/(10+5)=15兀/=300兀，解得/=20,如图所示，

将圆台所在的圆锥侧面展开，且设扇形的圆心为。.

线段MiB就是蚂蚁经过的最短距离，

设。4=R,圆心角是a,

则由题意知1。兀=0!尺，①

2(k=a(20+R),②

71

由①②解得'-2'

、R=23

所以O"i=OM=30,03=031=40,

所以知12=、0序+0册=50.

⑵（2023•深圳模拟）如图，在三棱锥尸一A8C的平面展开图中，AC=事,AB=\,AD=1,

ABA.AC,AB±AD,ZC4E=30°,则cos/FCB等于（）

答案D

解析由题意知，AE=AD=AB=1,BC=2,

在中，由余弦定理得

CE2=A序+_2AE-AC-cosZCAE

=1+3—2X1X小义为-=1,

.•.CE=CF=1,而BF=BD=小,BC=2,

.•.在△BCF中，由余弦定理的推论得，

BC2+CF2—BF?4+1—23

cosZFCB=2BCCF=2X2X1=4-

规律方法空间几何体最短距离问题，一般是将空间几何体展开成平面图形，转化成求平面

中两点间的最短距离问题，注意展开后对应的顶点和边.

跟踪演练1（1）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中

正确的是（）

A.CGGH

B.C。与EF是共面直线

C.AB//EF

D.GX与跖是异面直线

答案ABD

解析由图可知，还原正方体后，点C与G重合，即CGGH,又可知与是平行直线,

即C。与E尸是共面直线，AB与EF是相交直线(点8与点/重合)，G”与EF是异面直线，

故A,B,D正确，C错误.

F(B)

(2)(2023•鞍山模拟)如图，在三棱锥中，3=VB=VC=8,ZAVB^ZAVC^ZBVC

=30。，过点A作截面AEP,则△AEP周长的最小值为()

A.6^2B.6小C.8^2D.8小

答案C

解析沿侧棱弦把正三棱锥V—ABC展开在一个平面内，如图所示，则A4'即为△AEF周

长的最小值，又因为VC=NBVC=30。，

所以NTWV=3义30。=90。，在△口!〃中，01=以'=8,由勾股定理得AV=

yjv^+VA'2=^/82+82=8^2.

考点二表面积与体积

【核心提炼】

1.旋转体的侧面积和表面积

(1)5圆柱侧=2兀r/,S圆柱表=27ir(r+Z)(r为底面半径，I为母线长).

(2)5圆锥侧=兀r/,S圆锥表=7ir(r+Z)(r为底面半径，I为母线长).

(3)5球表=4TIR2(R为球的半径).

2.空间几何体的体积公式

（1）V柱=S/z（S为底面面积，h为高）.

（2）V^=；S/i（S为底面面积，h为高）.

（3）V上+、S上6下+5T）/Z（S上,5下分别为上、下底面面积，h为高）.

4

（4）V*=^7?3（7?为球的半径）.

jr

例2⑴（2023・潍坊模拟）如图，圆锥的底面半径为1,侧面展开图是一个圆心角为微的扇形.把

该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为:，则圆台的

答案C

解析假设圆锥的底面半径为R,母线长为/,则R=1.设圆台上底面半径为广，母线长为小

则r=|.

由已知可得畀平=年，解得/=6.

如图，作出圆锥、圆台的轴截面，

则有f=焉=!，

所以Zi=4.

所以圆台的侧面积为无超+厂）/1=4义。+?兀=号.

（2）（2023•全国甲卷）在三棱锥P—ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,PC

=乖,则该棱锥的体积为（）

A.1B.小C.2D.3

答案A

解析如图，取的中点。，连接尸。，CD,

Pf

/於二A

因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA=PB=2,

所以PO_LA8,CDLAB,所以P£>=CO=小，又PC=加，

所以PZ)2+C£)2=PC2,所以PO_LCD,

又ABCCD=D,AB,C£)u平面ABC,

所以PO_L平面ABC,

所以VP-ABC=2义“ABCXPD

=gx]X2X小义小=1.

规律方法空间几何体的表面积与体积的求法

(1)公式法：对于规则的几何体直接利用公式进行求解.

(2)割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或把不规则的几何体补成规则的几何体，不

熟悉的几何体补成熟悉的几何体.

(3)等体积法：选择合适的底面来求体积.

跟踪演练2(1)(2023•贵阳统考)如图，在棱长为2的正方体A8C£>—AiBiGA中，E,尸分别

为棱AB,2C的中点，则四棱锥B—4EPG的体积为()

247

AqB.1C.QD.g

答案B

解析方法一匕-&EFG=MEBF-AB[G—2HJgX2)X2-2X2=1.

方法一^B-AtEFq—匕—4乒+%—A/G—匕「EBf+J—BFC[=§义]*2+§X1X2=L

(2)(多选)(2023・连云港调研)折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也

寓意“善良”“善行”.它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决

胜千里，大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若扇形的

2冗

两个圆弧所在圆的半径分别是1和3,MZABC=y,则该圆台()

B

图1图2

A.高为平

B.表面积为3管4兀

C.体积为笠售

D.上底面面积：下底面面积：侧面积=1：9：24

答案BCD

[[1

3r=:一

解析对于A,设圆台的上底面半径为r,下底面半径为凡则|解得j3,

12TIH=年3,1尺=1,

且圆台的母线长为3—1=2,

所以圆台的高为422—(1—§2=华,故A错误；

7T

对于B,圆台的上底面面积为百下底面面积为兀，

侧面积为兀X0+1)X2=,，

所以圆台的表面积为方+无+号=争，故B正确；

对于C,圆台的体积^=%*[。2+：*1+12]乂半=戋售，故C正确；

对于D,圆台的上底面面积：下底面面积：侧面积=为：兀：号=1：9：24,故D正确.

考点三多面体与球

【核心提炼】

求空间多面体的外接球半径的常用方法

(1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长

方体中去求解；

⑵定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，

找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可.

例3(1)(2023•聊城模拟)某正四棱台形状的模型，其上、下底面的面积分别为2cn?,8cn?,

若该模型的体积为14cm3,则该模型的外接球的表面积为（）

A.20Kcm2B.1OTIcm2

57r,

C.571cmD.爹cm

答案A

解析设该正四棱台形状的模型高为//cm,

故42+8+、2X8)/i=14,解得/z=3,

如图，取上底面EFGH的中心下底面A8CD的中心N,则MN=/z=3,

故该模型的外接球的球心在MN上，设为点。，连接ME,NA,OE,OA,

设上、下底面边长分别为acm,bcm,

则a2—2,炉=8,

解得a=y/2,b=2y[2,

故EM=lcm,NA—2cm,

设ON=ycm,则。Af=（3—y）cm,

由勾股定理得

EO2=OM1+EM2=（3—+1,

AO2=ON2+AN2=y2+4,

故（3—y>+l=y2+4,解得y=i,

故外接球半径为入k+4=小©11）,该模型的外接球的表面积为4兀♦（小）2=207c（cm2）.

（2）（2023•全国甲卷）在正方体ABC。一AiBiCQi中，AB=4,。为AG的中点，若该正方体的

棱与球0的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是.

答案[2^2,2^3]

解析如图，设球。的半径为R.

当球。是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球。的半径最大，若半径

变得更大，球。会包含正方体，球面和棱没有交点，

正方体的外接球直径2R,为体对角线长

ACi^^42+42+42=4^3,

即2R'=44，R'=2/，

故Rmax=2小；

分别取侧棱A41,BB1,CC1,DD1的中点M,H,G,N,连接MH,HG,NG,MN,MG,

显然四边形是边长为4的正方形，且0为正方形的对角线A/G的中点,

则MG=4啦，当球。的一个大圆恰好是四边形MNGH的外接圆时，球。的半径达到最小，

即R而产2小.

综上，RG[2®2®

规律方法(1)求锥体的外接球问题的一般方法是补形法，把锥体补成正方体、长方体等求解.

(2)求锥体的内切球问题的一般方法是利用等体积法求半径.

跟踪演练3(1)若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，XABC是边长为3的正三

角形，SC为球。的直径，三棱锥S—ABC的体积为半，则三棱锥S—ABC的外接球的体积

为()

A电R—

A.3B.3

―26TI—32K

C.~^~D.-^-

答案D

解析如图，设AABC的中心为。，连接0。1,CQ的延长线交球面于点。，连接S£),显

然C。是△ABC外接圆。1的直径，则SO〃OOi,而0。」平面ABC,则S£)_L平面ABC,

因为正△ABC的边长为3,

则COi=小,CD=2COi=2事,

又SAABC=^AB2=乎，

而％-四0=<5445<7$1>=3><^15£>=^^,解得S£>=2,

在RtZ\SC£)中，球。的直径2R=SC="\/^万耳历=4,球。的半径R=2,

所以三棱锥S-ABC的外接球的体积V=*R3=竽.

(2)(2023・潍坊模拟)在半径为1的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的母线长为

答案平

解析设圆柱的底面半径为广，球心到圆柱底面的距离为心则圆柱的母线长为2〃,

由球截面的性质得》+序=1,

则?=l-/z2（0</z<l）,

圆柱的体积V=2兀/%=2兀0（1一层）=2兀。一2兀六，

V'=2兀-6兀%2=—6兀卜+坐j,一芈）,

当〃e（o,坐）时，u>0,

当〃G宵，“时，2<0,

所以函数在区间（o,由上单调递增，

在区间惇，1）上单调递减，

所以当〃=平时，丫取得最大值空，此时圆柱的母线长为2〃=平.

专题强化练

一、单项选择题

1.（2023・唐山模拟）若圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的

比为（）

A.1：1B.1：2C.2：1D.2：3

答案A

解析设球的半径为r,依题意知圆柱的底面半径也是r,高是2厂，圆柱的侧面积为2"2r

=4兀/,球的表面积为4兀,，其比为1：1.

2.（2023•锦州模拟）已知正方体ABC。一AiBiCQi的棱长为4,P,。是棱。A的两个三等分

点，则三棱锥。一P2C的体积为（）

,8「32八16-16

A.gB.gC.gD百

答案B

解析如图所示.

AG

1143?

=WX]X]X4X4=§.

3.（2023・泉州模拟）如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕

圆锥顶点。滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则该圆锥

的表面积为（）

---------------------切

A.36兀B.277tC.185兀D.9兀

答案A

解析设圆锥的母线长为/,以。为圆心，母线/为半径的圆的面积为5=无匕又圆锥的侧面

积Sm-i=7trl=3iil,因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以nZ2=3X37t/,

解得1=9,所以圆锥的表面积$=5联制+5底=3XTIX9+7IX32=36兀

4.（2023・长沙模拟）最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》（1247年）.该

书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”“圆罂测

雨”“峻积验雪”和“竹器验雪”.其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收

集雨水.已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，当盆中积

水深九寸时，平地的降雨量是（）

（注：一尺=10寸，平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积）

A.9寸B.6寸

C.4寸D.3寸

答案D

解析如图所示，由题意知天池盆盆口半径是14寸，盆底半径是6寸，高为18寸，

由积水深9寸知水面半径为£x（14+6）=10（寸）,

则盆中水体积为g兀X9X（62+1（）2+6X10）=588兀（立方寸），所以平地降雨量为黄韬=3（寸）.

5.（2023•日照模拟）红灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征

美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成，

上、下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面除去上、下两个相同球冠剩下的部分.如

图2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，

若球冠所在球面的半径为R，球冠的高为九则球冠的面积S=2兀7%.如图1,已知该灯笼的高

为58cm,上、下圆柱的高为5cm,圆柱的底面圆直径为14cm,则围成该灯笼中间球面部

分所需布料的面积为（）

58cm

A.1940兀cnrB.2350兀cnr

C.2400兀cnrD.2540兀cnr

答案c

解析由题意得笈一用当2=72,

所以R=25cm,

1,58-10

所以h—25—5—=l（cm）,

所以两个球冠的面积为25=2X2nRh=2X2XTTX25X1=1OOnfcm2）,

则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为

4兀尺2-25=4XTTX252-10071=24007c（cm2）.

6.（2023・淄博模拟）某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2,高为3的实心圆锥体工件切

割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆

柱体的最大体积是（）

答案A

解析设圆柱的半径为r,高为无，体积为匕

p

则由题意可得彳=平,

3

x=3-1r（0＜r＜2）,

・•・圆柱的体积

叭厂尸兀片。一!,

3

=—1兀2+3兀/（0＜一＜2）,

V'⑺=一去，+6兀厂=3兀厂（一号+2

4

当0＜厂＜9时，S⑺＞0；

4

当］<r<2时，V⑺<0,

./⑺在（0,力上单调递增，在伴2）上单调递减，

,,/4\16兀

故V（r）max==9-

7.（2023・广西联考）已知在一个表面积为24的正方体ABC。一A181GD1中，点石在80上运

动，则当3E+A必取得最小值时，AE等于（）

A.2B.毕C.小D.发

答案A

解析作出图形，如图所示.

依题意6A4=24,故AB=2,

将平面AiBiD翻折至与平面BBiD共面，

易得△A/i。丝△560,

故当时，BE+4E有最小值，此时萼=）,过点E作平面ABCD的垂线，垂足为

则BF=1B£>=2^,EF=^BB\=^,

由余弦定理得

AF2=AB2+BF2-2ABBFcos45°

=4+|-2X2X^X^=f）

则AE=\）AF2+EF2=yjy+（j）2=2.

8.（2023・广州模拟）现有一个轴截面是边长为4的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面

在上方），将半径为坐的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面

将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）

型33?t45n55TI

c.8mR8J88

答案D

解析作轴截面图如图所示，△ABC为圆锥的轴截面，点。为与侧面相切球的球心，点E,

产为切点,

由已知，可得A8=BC=AC=4,OE=OF=^,

ZACB=6Q°,OE±AC,

在△OEC中，0£=与

ZOEC=90°,NOCE=30。，

所以OC=小，CE=》又AC=4,

所以AE=（,所以圆台的母线长为I，

因为CE=CE,Z£CF=60°,

3

所以△£《方为等边三角形，所以£尸=》

所以圆台的侧面积S=7iX停+2）x|=攀.

二、多项选择题

9.有一张长和宽分别为8和4的矩形硬纸板，以这张硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则

此正四棱柱的体对角线的长度为（）

A.2V2B.2^6C.4小D.V66

答案BD

解析分两种情况求解：

①若正四棱柱的高为8,则底面边长为1,此时体对角线的长度为「82+1+1=包;

②若正四棱柱的高为4,则底面边长为2,此时体对角线的长度为产亍方=2、危

10.（2023・新高考全国II）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，ZAPB=120°,

E4=2,点C在底面圆周上，且二面角P—AC—。为45。，贝1（）

A.该圆锥的体积为无

B.该圆锥的侧面积为44兀

C.AC=2P

D.4c的面积为小

答案AC

解析依题意，ZAPB=120°,B4=2,

所以。尸=1,OA=0B=p

A项，圆锥的体积为/义兀＞＜（/）2乂1=%，故A正确；

B项，圆锥的侧面积为兀X^X2=2小兀，故B错误；

C项，取AC的中点。，连接。。，PD,如图所示，

则AC_L。。，ACLPD,所以是二面角尸一AC—O的平面角，

则/尸。0=45°,所以。尸=0。=1,

故AD—CD—\）3—1—y[2,

则AC=2吸，故C正确；

D项，PD=yjl2+l2=y[2,

所以S△阴c=/X2*\/^=2,故D错误.

11.（2023•德州模拟）如图,边长为2的正方形ABCD中，E,尸分别是AB,的中点,将△AOE,

△CDF,ABEF分别沿DE,DF,斯折起，使A,B,C重合于点P,则下列结论正确的是（）

A.PDLEF

B.三棱锥尸一。所的外接球的体积为2加兀

、.?

C.点尸到平面。跖的距禺为1

D.二面角尸一£尸一。的余弦值为《

答案AC

解析如图1,取E尸的中点H,连接尸“，DH,易知和△OEF均为等腰三角形，故

PH1EF,DHLEF,又因为PHCDH=H,所以EF_L平面P。”，又PDU平面PDH,所以

PDLEF,A正确；

图1

由PE,PF,尸。三线两两互相垂直，可构造如图2所示的长方体，长方体的外接球就是三棱

锥尸一OEF的外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，设为2R,则（2&2=12+12+22

=6,则/?=乎，所以所求外接球的体积为%无，B错误；

图2

设点尸到平面的距离为h,

如图1,在AEHD中，EH=PH=北,

DE=邓,

3^2

DH=y]DE2-EH2=

2，

由等体积法可得V三棱锥Q—PEF=V三棱锥P—DEF，即1X1X2=gx；X也X^^X/z,解得h

2

—yC正确;

如图1,因为DH±EF,

所以/PH。即为二面角P-EF-D的平面角，

因为PO_LPF,PDLPE,且PFCPE=P,PE,P/u平面尸EE

所以PO_L平面PEF,又PHU平面PEF,则PDLPH,即/DPW=90。，

PHi

在RtZVP/①）中，cos/PHD=lyHJti=aj，D错误.

12.（2023•辽阳统考）若正三棱锥P—ABC的底面边长为3,高为班,则该正三棱锥的（）

A.体积为3F

B.表面积为至

C.外接球的表面积为27兀

D.内切球的表面积为早

答案ABD

解析如图，三棱锥P—ABC的体积故A正确；

取的中点。，连接CD,PD,

则在正三棱锥P—ABC中，AB±CD,AB±PD.

作/W_L平面ABC,垂足为X,则PH="

由正三棱锥的性质可知H在CD上，且CH=2DH.

因为AB=3,所以CO=平，则CH=小.

因为PH=q&所以PC=、3+6=3,

则三棱锥产一ABC的表面积为宇义4=m，故B正确；

设三棱锥产一ABC的外接球的球心为。，半径为R,则。在尸刊上,

连接。C,则R?=CH2+OH2=（PH-OH）2,

即R2=3+o”2=（加切2,解得。〃=坐，

327

所以R2=3+R=W，

OO

则三棱锥产一