云南省某中学2024-2025学年高二年级上册10月月考数学试题（含解析）

楚雄东兴中学高二秋季第一次月考

数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区

域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章〜第二章第2节。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知直线/经过点(1,-2),(3,0),则直线/的倾斜角为()

2.已知空间向量Q=(0,1,4),石=(1,一1,0),贝"〃+可=()

A.V19B.19C.17D.V17

3.如果48>0且3。<0,那么直线4c+8y+C=0不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.在空间直角坐标系中，点/的坐标为(1,2,3),则点/关于z轴的对称点坐标为()

A.(-1,2,-3)B.(-1,-2,3)C.(1,-2,-3)D.(-1,-2,-3)

5.如图，在四棱锥P—4BCQ中，底面48C。是平行四边形，点E在侧棱尸。上，且尸£若

2

AB=a,AD—b,AP=c,则AE-()

1-12-

B.——a——b7——c

333333

2-2-1一2-2-1-

C.—6Z~\—bH—CD.——a——b——c

333333

6.已知加为实数，直线（〃?+2）x+y-2=0,/2：5x+（〃z-2）y+1=0,则是=一3"的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知4（0,0,2）,5（0,2,1）,C（2,l,0）,则点。到平面/5C的距离为（）

8.在正三棱柱Z5C—481G中，AB=2,AA[=拒,反?=2及5为棱与G上的动点,N为线段/川

MNMO

上的动点，且——=——，则线段"N长度的最小值为（）

MOMA

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的是（）

A.若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们一定不共面

B.若。4>0,则a,B的夹角是锐角

C.不相等的两个空间向量的模可能相等

D.若3是两个不共线的向量，且"=苏+〃且外〃/0）,贝甲，反斗构成空间的一个基

底

10.过点/（3,4）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程可以是（）

A.4x-3y=0B.x-y+l=0C.x+y—1=0D.x+y-7=0

11.如图，在棱长为3的正方体4片。]〃中，P为线段与。上的动点，则下列结论正确的是（）

♦5

你

/H

A.当与尸=2尸C时，4P=JiZ

B.当BXP=2PC时，点。i到平面AXBP的距离为1

7T

C.直线"与助所成的角可能是?

D.若二面角B-AXP-B］的平面角的正弦值为"，则B1P=_B］C或BXP=-BxC

637

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.若直线/与直线y=-gx+2垂直，且它在y轴上的截距为4,则直线/的方程为.

13.在直三棱柱Z5C—44cl中，AB=AC=\,且NBL/C,异面直线与所成的角为60。，则

该三棱柱的侧面积为.

14.如图，在四棱锥P—/BCD中，AB//CD,且=NCDP=90°,若PA=PD=AB=DC,

NAPD=90°,则平面PBC与平面P4B夹角的余弦值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

求满足下列条件的直线/的方程：

(1)直线/过点(-2,1),且与直线x+y—3=0平行；

(2)直线/过点(-1,2),且与直线x+3y+l=0垂直.

16.(本小题满分15分)

在空间直角坐标系。—孙z中，已知点4(—2,1,2),5(-1,2,2),C(-3,l,4).

(1)设£=方，b=AC,若+B与£—33互相垂直，求几的值；

(2)若点尸在直线。/上运动，求当丽•定的值最小时，尸点的坐标.

17.(本小题满分15分)

如图，在长方体48。。一44。］〃中，4D=1,CD=2,DDX=\,求：

(1)点G到直线45的距离；

(2)平面ARD与平面4cA间的距离.

18.（本小题满分17分）

7T

在菱形4BCD中，ABAD=-,AB=2,将菱形4BC。沿着助翻折，得到三棱锥/-BCD如图所示,

3

此时ZC=&.

（1）求证：平面48。，平面5CQ；

（2）若点£是CD的中点，求直线与平面4BC所成角的正弦值.

19.（本小题满分17分）

如图，在空间几何体48C©EFG中，四边形4BC。是边长为2的正方形，8尸，平面4BC。，CG=1,

AE=2,BF=3,宜CG〃AE〃BF.

（1）求证：D,E,F,G四点共面；

7/??

（2）在线段尸G上是否存在一点“，使得平面E4c与平面MZC所成角的余弦值为二一？若存在，求

33

FM

出——的值；若不存在，请说明理由.？

FG

楚雄东兴中学高二秋季第一次月考•数学

参考答案、提示及评分细则

1.A设直线/的倾斜角为e(6e[0/)),则tand=O；(；)=l,所以.故选A.

2.D因为Z=(O,l,4),6=(1,-1,0),所以Z+石=(1,0,4),故«+凡=JT7.故选D.

C

3.C由48>0且<0,可得/,5同号，B,C异号，所以/,C也是异号.令x=0,得y=-5>0；

C

令y=0,得％=——>0,所以直线4x+8y+C=0不经过第三象限.故选C.

A

4.B因为点(x,y,z)关于z轴的对称点的坐标为(-x,-y,z),所以点/关于z轴的对称点坐标为(-1,-2,

3).故选B.

1—-1-.

5.A因为尸£=—EC,所以PE=—PC,

23

根据空间向量的运算法则，

^AE=AP+PE=AP+-PC=AP+-(PA+AC}

33、'

2—■1--2--1/--—1—■1--2—■

=-AP+-AC=-AP+-(AB+AD]=-AB+-AD+-AP,

3333、,333

—■1_1_2-

所以/£=一。+—6+—c.故选A.

333

一(加+2)=---------,

m-2解得加=±3,

6.B易知两直线的斜率存在，当/[〃乙时，则,

?丰——

m-2

由/1〃，2推不出机=—3,充分性不成立；

当机=-3时，可以推出4〃4，必要性成立.故选B.

7.C25=(0,2,-1),AC=(2,1,-2),AD=(2,0,-l),

、——/、m-AB=0,(2y-z=0,

设平面45C的法向量加=(x/,z),贝!.即<

,[m-AC=0,(2x+y-2z=0,

3

令＞=1,则x=],z=2,

所以平面ABC的一个法向量为机=1,21,

_"闻12A/29

所以点。到平面ABC的距离d=-产"==——.故选C.

同A/2929

8.D因为在正三棱柱4BC—481G中，O为的中点，取用弓的中点。，连接00,

如图，

以O为原点，OC,0A,。。分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),z(o,G,o),5,(-i,o,V3),q(i,o,G),

因为M是棱4q上的动点，

设M(a,0,G),且ae[-1,1],

因为竺Y=也，所以肱v_MO2_a1+3a1+3

MOMAMA爪+(6『++(可5,

于是令/=，/+6,te|^V6,77],所以=一=/_\'

又因为函数y=f-？在/6，]上单调递增，

所以当/时，p--)=瓜-}=旦,

4e2

\t/min

即线段"N长度的最小值为故选D.

2

9.AC选项A,由空间向量基本定理可知正确；

选项B,当=0且76时，a-b>0,故B错误；

选项C,由向量定义可知正确；

选项D,由平面向量基本定理可知，"与Z,B共面，贝不能构成空间的一个基底，故D错误.故

选AC.

10.ABD设直线在两坐标轴上的截距分别为a,b,截距的绝对值相等，

即同=回，则a=b或a=-b.

当a=6=0时，则直线设为歹=日，

4

将4（3,4）代入，解得左=丁

4

此时直线方程为：歹=§%，即4x—3歹=0.故A正确；

当a=—6/0时，则直线设为±+2=1,即工+」，=1,

aba-a

将/（3,4）代入,解得a=—1,6=1,

此时直线方程为：—+^=1,

-11

即x—丁+1=0,故B正确；

当a=6w0时，则直线设为'+2=1,即±+2=1,

abaa

将/（3,4）代入，解得a=b=7,

xv

此时直线方程为：一+匕=1,即X+y—7=0,故D正确.故选ABD.

77'

11.ABD建立空间直角坐标系如图所示,

则幺（0,0,0）,5（3,0,0）,Z＞（0,3,0）,4（0,0,3）,C（3,3,0）,及（3,0,3）,j（0,3,3）,

__1.2___►?

因为B[P=2PC,所以肝=-B^C=-（0,3,-3）=（0,2,-2）,

所以P（3,2,l）,AP=（3,2,1）,|2P|=V14,A正确;

而=（0,3,0）,48=（3,0,-3）,

因为鸟尸=2尸C,所以P（3,2,l）,所以乖=（3,2,—2）,

设平面4Ap的一个法向量为根=（x,y,z）,

.—»------------»

m•AXB=0,3x-3z=0,

则即4

m-A、P=0,3x+2y-2z=0,

设％=1,则加=1,PT

AXDX-m|

所以点2到平面ABP的距离为B正确;

XPI

设率=4鸵（0V/IV1）,则P（3,343—32）,所以乖=（3,34—32）,

—,、I/—.一\|4P•8。-9+92V3

又BD=-3,3,0,所以cos（4尸=二」=-^==—,

'）।"4斗叫3V2.3Vr1T2F2

1JT

解得彳=——任[0』，所以直线4P与5。所成的角不可能是一，C错误;

26

（丽=（3,0,0）,48=（3,0,-3）,

由C知A[P=（3,34，-3彳）,

设平面B4P,平面0的一•个法向量分别为a=（再,％,刍），b=[x2,y2,z2^,

a-AB=0,b-AB=0,

所以——}{1

"乖二0,

a•A{P=0,

3再-3zj=0,3X=0,

即＜2

再几%一

3+33/lzi=0,3X2+34%-32Z2=0,

Z=1,则Q=[1,1_；,1

分别令4=1,2

设二面角尸一A的平面角为e,sin8=------，

37

12.2x-y+4=0因为直线/与直线y=—gx+2垂直，所以直线/的斜率上

2,

又直线/在y轴上的截距为4,即直线/过点（0,4）,

由点斜式可得直线/：y—4=2x,化简得2x—y+4=0.

13.2+20以点4为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

。）

设X4]=a,则C（0,l,0）,4（0,0,a）,司（1,0,口），G（0,l,a）,CB}=（1,,a）,G4=（0,-1,，

因为异面直线CB｛与所成的角为60°,

所以=cos60°,即一/=一,解得a=y[2,

V2T72

所以该三棱柱的侧面积为2义后义1+后x后=2+2后.

14.—因为N5/P=NCZ)P=90°,所以/8,4尸，CDLDP,

3

又48〃CD,所以48,。尸，

又DPC4P=P,DP,4Pu平面4DP,所以481平面4DP,

又4Du平面4DP,所以48,40.

分别取40,8。的中点O,E,

因为4P=。尸，所以OPL4D,

又48J_平面4DP,。尸u平面4DP,所以4BLOP,

又40口48=2,4D,45u平面4BCD,所以OP,平面48CD,所以OPLOE,

又OELAD,以。为坐标原点，OA,0E,而分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系.

不妨设PA=PD=AB=DC=2,则尸(0,0,JI),8(衣2,0),C(-V2,2,0),N(衣0,0卜

可得平面尸5C的一个法向量)=(0,1,、历)，

平面PAB的一个法向量a=(1,0,1),

_____h

则平面P8C与平面上18夹角的余弦值cos6*=cos,,%)=—.

15.解：(1)直线/与直线x+y—3=0平行，可得/的斜率左=—1.

又/过点(-2,1),

由点斜式可得/：y—1=—(x+2),即/：x+j+l=0.

(2)直线/与直线x+3y+l=0垂直，所以直线/的斜率左=3,

又/过点(-1,2),由点斜式可得/：y—2=3(x+l),即/：3x-j+5=0.

16.解:(1)由题意知2=方=(—1,2,2)—(—2,1,2)=(1,1,0),

B=%=(—3,1,4)-(-2,1,2)=(-1,0,2),

所以/k7+b=4(l,l,0)+(_l,0,2)=(N_l,42),

a-3^=(l,l,0)-3(-l,0,2)=(4,l,-6).

又与Z-33互相垂直，

所以+=(几_1,42)-(4,1,—6)=4(4—1)+4—12=0,

解得2=3.

5

(2)因为点尸在直线04上移动，所以存在实数/使得丽=〃%=(-2/,/,2/)

所以而=(_1+2/,2_/,2—2。，PC=(-3+2r,l-r,4-2r),

所以而.正=(一1+2。(—3+2。+(2-)(17)+(2-2£)(4_2。

23（232323、

当且仅当，=一时，上式取得最小值，所以尸点坐标为-一.

18I9189J

17.解：（1）以点。为坐标原点，DA,DC,皿分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系,

则G(0,2,1),4(1,0,1),5(1,2,0),

所以泪=(—1,2,0),1^=(0,2,-1),

375

所以点G到直线45的距离为

5

(2)因为。(0,0,0),口(0,0,1),

所以。4=(1，°，1)，。5=(1,2,0),=(0,0,1),

设平面AXBD的一个法向量为〃=(x,y,z),

「一——*r1

,n-DA=0,x+z=0,A,y=—x,

则一—1y即解得,2

n-DB-0,〔x+2y=0,_

、Z—_Aj

取x=2,得"=(2,—1,—2),

由题易得平面&BD//平面BXCDX,

所以平面4AD与平面BCR间的距离即为点到平面4氐0的距离.

DD[-n-222

又d=Ty=y,即平面4AD与平面与。2间的距离为］.

TT

18.(1)证明：因为四边形4BC。是菱形，NBAD=—,所以△R4。与均为正三角形，

3

取5£＞的中点O,连结。/,OC,则。4LAD,

因为43=2,所以CU=OC=百，

因为0/2+。。2=6=幺。2,所以ON，。。，

又AC)nOC=O，8D,OCu平面55,所以。4_L平面5s.

因为。4u平面48。，所以平面45。，平面5s.

(2)解：由(1)可知，04,OB,OC两两垂直，

以。为坐标原点，OB,OC,04所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则z(o,o,G),5(1,0,0),C(0,V3,0),0(—1,0,0),

因为E是。。的中点，所以£—,0,

22

7

所以而=卜1,0,6)，5C=(-1,AO),BE=,0,

,(22,

设浣=为平面4BC的一个法向量，则]竺?=—尸=°，

I)[BC-m=-x+y/3y=0,

令y=l,得x=G，z=1,所以机=(G,1,1).

一_373V3

BE-m_2+2_M

cos{BE,m

阿丽73x755

设直线BE与平面ABC所成角为。，贝！Isin。=cos(BE,m^

5

V5

所以直线BE与平面ABC所成角的正弦值为-y.

19.(1)证明：因为5尸，平面48cZ),45,BCu平面4BC。，所以BF_L4B,BF1BC.

因为四边形4BCD是正方形，所以48,3。，

所以氏4,BC,8/两两垂直，则以点8为坐标原点，

以氏4,BC,8尸所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

根据题意,得据(2,2,0),£(2,0,2),尸(0,0,3)