北京市顺义区某中学高三年级上册期中数学试题

2023-2024顺义一中高三第一学期期中考试

数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共50分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合〃={xlx+2»0},N={x|x—l<0},则Mf|N=（）

A.{x\-2<x<l]B,{%|-2<%<1}

C.{x\x>-2}D,{x|x<l}

【答案】A

【解析】

【分析】先化简集合",N,然后根据交集的定义计算.

【详解】由题意，M-{x\x+2>0}={x|x>-2},N={x|x-1<0}={x|x<1},

根据交集的运算可知，〃nN={九i—24尤<i}.

故选：A

2.在复平面内，对应的点的坐标是（1,石），则z的共辗复数彳=（）

A.1+而B.1-V3i

C.-1+>/3iD.-1—^/3i

【答案】B

【解析】

【分析】先根据复数的几何意义写出复数z；再根据共辗复数的定义即可得出结果.

【详解】因为复数z对应的点的坐标是（1,世）

所以Z=1+

则三=1—gi

故选：B

3.已知圆C的圆心坐标为（—3,2）,且点（-M）在圆C上，则圆C的方程为（）

A.x2+y2+6x-4y+8=0B.x2+y2+6x-4y-8=0

C.x2+y2+6x+4y=0D.x2+y2+6x-4y-0

【答案】A

【解析】

【分析】由圆心坐标可以设出圆的标准方程，再将点C代入可求出圆的半径，最后整理成圆的一般式方程

即可.

【详解】因为圆C的圆心坐标为(-3,2),所以设圆C的方程为：

(x+3y+(y-2,=r?(r>0),

由点(一1,1)在圆C上，则(一1+3)2+(1-2)2=於,得“百,

则圆C的方程为：(x+3y+(y—2)2=5,即炉+y2+6%—4y+8=0,

故选：A.

4.已知平面向量2=(-1,2),b-(3,-2),c=(t,t)9若(Q+C)〃几则方=()

5457

A.—B.——C.——D.——

2544

【答案】B

【解析】

【分析】先计算五十乙然后根据向量共线的坐标表示求参数即可.

【详解】因为。=(一1,2),b=(3,-2),c=Q/),

所以a+c=(—1+，,2+，)，

乂(a+c)llb，

所以3x(2+%)=(—2)x(—1+才),

4

解得看二一1，

故选：B.

5.记S"为数列｛4｝的前“项和，设甲：｛4｝为等差数列；乙：｛｝｝为等差数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】c

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前〃项和与第〃项的关系推理判断

作答.，

【详解】方法1,甲：｛4｝为等差数列，设其首项为卬，公差为d,

z

则Sn=na1+^^dA=Gi1+—d=+的一色,显一包=2

n12n12212n+1n2

因此｛、｝为等差数列，则甲是乙的充分条件；

n

反之，乙：隹｝为等差数列，即警—勺==学席为常数，设为乙

,TITJLTL71（77■十）71（71十J.j

即:；；；］：=t,则Sn=nan+1-t-n（n+1）,有=（九一l）an-l）,n>2,

两式相减得：an=nan+1—（n—l）an—2tn,即%i+i—an=2t,对〃=1也成立，

因此｛q｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件，C正确.

方法2,甲：｛4｝为等差数列，设数列｛4｝的首项4,公差为d,即%=71的+若五小

则包=%+空9d=&n+ai—色，因此｛工4为等差数列，即甲是乙的充分条件；

n222〃

反之，乙：｛&｝为等差数列，即沔—&=D,且=Si+（n—l）D,

v

nn+1nn'

即S九—71sl+Tl（Tl—1）D,^n-1二（九—1）S1+（荏-1）（九一2）。，

当〃22时，上两式相减得：Sn-Sn_1=St+2（n-1）£）,当〃=1时，上式成立，

于是%i=的+2（72—1）。，又Q九+i—CLn=a1+2.YLD-［的+2（12-1）/）］=2D为常数，

因此｛q｝为等差数列，则甲是乙的必要条件，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

6.金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.某金字塔的侧面积之和等于底面积的2

倍，则该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角的正切值为（）

A.1B.72C.73D.石

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意画图利用图形在正四棱锥中设相关的量结合，线面关系找出金字塔侧面三角形与底面正

方形所成角，在几何体中建立关系求出即可.

【详解】如图，

设正四棱锥的底面边长为AB=2a,

设。为底面的中心，高为PO=h,

设河为AO的中点，则设斜高为

连接QW,设侧面与底面所成的角为8,

由于PM±AD,OM±AD,

所以=e即为该金字塔侧面三角形与底面正方形所成角，

由平面ABC。，QWu平面ABCD,

所以尸

POh

所以tanZPMO=tan。=----=—,

OMa

因为金字塔的侧面积之和等于底面积的2倍，

即4x,x2a•//=2x2a-2a=>7/=2a,

2

又/z'2=h2+<22=>/z2=3a2=>—=A/3,

a

hi—

所以tanZPMO=tan6=—二6，

a

故选：C.

7.过点(0,—2)与圆/+/一4了_1=0相切的两条直线的夹角为a,则sina=()

A1B厉cMD新

444

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长,

结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得/+8k+1=0,利用韦达定理结

合夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为寸+9-4》-1=0,即（彳—2）2+丁=5,可得圆心C（2,0）,半径/=有,

过点。（0,-2）作圆C的切线，切点为

因为|PC|=j22+（—2『=2后,贝|」归川=、［行_产=5

可得smZA%=系呼

cosZAPC二

242~4

则sinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x叵x—=巫，

所以sina=sin（兀一NAPB）=sinZAPB=

4

法二：圆/+y2-4无一1=0的圆心c（2,0）,半径/=新，

过点尸（0,-2）作圆C的切线，切点为A,B,连接A3，

可得|PC|="2+（—2）2=2^/2,则|PA|==y）\PCf-r2=百，

因为|2—21尸@cosZAPB=|C4|2+1CB|2-21C4|­|CB|cosZACB

JEL/ACR=7t—/APR,贝!J3+3—6cos/LAPB=5+5—10cos（7i—^AP3）,

即3—cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cos/APB=—工<0,

4

即NAPB为钝角，则cosa=cos（71-ZAPB）=-cosZAPB=:,

且a为锐角，所以sina=Jl-cos2tz=边5；

4

方法三：圆/+/一4工_1=0的圆心。（2,0）,半径「=&',

若切线斜率不存在，则切线方程为x=0,则圆心到切点的距离d=2>r,不合题意;

若切线斜率存在，设切线方程为y=Ax-2,即辰-y-2=0,

\2k-2\厂。

则।/,=’5,整理得上2+8k+1=0,且A=64—4=60>0

“2+1

设两切线斜率分别为人,《，则《+《=—8,左向=1，

可得L_&|=4秘2=2岳，

所以tana=K~^-=715,即包巴=&?,可得costz=^g

1+k1k2cosavlf

M.I.22•2sina1

则sina+cosa-sina-\------=1，

15

且0£(0,兀)，则sina＞。，解得sina="5.

8.已知函数〃x）=A/5sin2x-cos2x,则（）

7T

A./(%)在-1,0单调递增,且图象关于直线％二—对称

6

B."％)在-：0单调递增,且图象关于直线尤=:对称

C."%)在(-2,oJ单调递减，且图象关于直线》=g对称

D.7(%)在，，。］单调递减，且图象关于直线x=；对称

【答案】B

【解析】

【分析】化简/'(%)的解析式，根据三角函数的单调性、对称性确定正确答案.

【详解】/(x)=V3sin2x-cos2x=2sin12x--^

兀兀兀兀

由于——<x<0,——<2x——<——，

6266

所以"%）在单调递增，

/H=2sin《=lw±2,所以〃%）不关于直线x=1对称.

/^yj=2sin^=2,所以〃%）关于直线x=；对称.

故选：B

bc

9.若函数F（x）=3Inx+—十=Qw0）既有极大值也有极小值，则错误的是（）

XX

A.bc>0B.ab>0

C.b1+Sac>0D.ac<0

【答案】A

【解析】

【分析】求出函数/（x）的导数f（x）,由己知，可得函数/（X）在（0,+8）上有两个变号零点，转化为一

元二次方程有两个不等的正根判断作答即可.

【详解】函数/（%）的定义域为（0,+8）,

,z./\1bc/b2cax2-bx-2c

由〃x）=alnx+—+=（aw0）,得,（》）=------—--=-------------，

XXXXXX

因为函数/（力既有极大值也有极小值，

所以函数/'（X）在（。,+8）上有两个变号零点，而〃。0,

所以方程依2—区—2c=0有两个不等的正根%],工2，

A=/+Sac>0

所以<X]+%2=—〉。，所以〃+Sac>O,ab>O,ac<0,

a

2c

------->0

、a

所以"灰:<0，即bc<0.

故BCD正确，A错误.

故选：A.

10.如图，在边长为2的正方体ABC。-44G2中，点尸是该正方体对角线上的动点，给出下列四

个结论：

①14产；

②△APC面积的最小值是血；

③只存在唯一的点尸，使32,平面APC；

④当BP=2叵时，平面ACP//平面AG。.

3

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】证明AC,平面判断①；求出△APC的面积函数求解判断②；利用过一点有且只有一个

平面垂直于已知直线判断③；证明8,，平面APC且2功，平面4G。判断④.

【详解】在正方体ABCD-4与。12中，DDX±平面ABCD,ACu平面ABCD,则AC±DD},

又AC±BD,BDnDD]=D,BD,DDXu平面BDD{B{,

则ACJ_平面，又BFuBDDjBi，则471,①正确;

连接交与得

6DACE，由EPuBDRB],ACLEP,SAAPC=^AC-PE=y/2PE,

在中，当PELBD1时，PE最小,而BD=26，5。=2百，

sinNDBQ=§j,此时PE=BE-sinNDBD1—y[2x>

因此△回（7面积的最小值为亚x逅=2叵，②错误；

33

由①知，AC±BD,,同理AB】_L3D],而AC。Ag=A,AC,A4u平面ABQ,

因此82,平面ABC，当点尸为直线BQ与平面钻。的交点时，82,平面APC,

而过一点有且只有一个平面垂直于已知直线，于是过直线AC与直线垂直的平面有且只有一个,

所以存在唯一的点尸，使82,平面APC,③正确；

当3P=2叵时，在石中，BE=V2-cos/D*=携=乎，

3HD】J

贝IPE=y/BP2+BE2-2BP-BEcosZPBE=J（竽1+2-2x手义正义与=与，

即有。石2+3产=2=3石2,则PEL2B，又AC，P3,ACcPE=E,于是8，，平面APC,

由①同理BD1±AiC1,BDl±4。,AGC4。=A，AC，4。U平面\CXD,

因此82,平面4G。，则平面ACP//平面4G。，④正确，

所以正确命题的个数为3.

故选：c

二、填空题（本大题共5小题，共25分）

11.已知函数/(x)=3*+log3X,贝1.

【答案】君—1

【解析】

【分析】将％=!代入函数解析式中计算即可.

3

【详解】因函数/(X)=3*+log3X,

所以/1]=3、1呜；=近T，

故答案为：迅-1.

12.已知直线4：x+2y—l=0,Z2：2x+ay-l=0,若〃6，则。的值是.

【答案】4

【解析】

【分析】由两直线平行可得4与=&耳，代入相关数据计算即可.

【详解】解：因为/J/4，

所以a=2x2=4.

故答案为：4.

13.已知命题P：若a,尸为第一象限角，且a＞，，则sin。＞sin/7.能说明命题p为假命题的一组名，

的值可以是a_,B=.

13兀兀

【答案】①.——(答案不唯一)②.一(答案不唯一)

66

【解析】

【分析】只要找到一组满足题意的角即可.

【详解】因为名，为第一象限角，且。＞分，

取。=二13兀上,/=7上1，则且在第一象限，

66

.13兀.C.兀1

止匕时sma=sin=sinp=sin—=—,

662

故命题P假命题，满足题意,

I5兀7T

所以。，万的值可以是。=卑,尸=2,

66

13兀兀

故答案为：—(答案不唯一)；-(答案不唯一).

66

14.数列｛■共9项，该数列的前3项成等比数列，后7项成等差数列，且4=1,%=1°，％=22,

则%=，数列｛4｝的所有项的和为.

【答案】0.16②.94或90

【解析】

【分析】根据等比数列和等差数列的通项公式，结合等差数列前〃项公式进行求解即可.

【详解】设等比数列的公比为4,等差数列的公差为d,

因为“5=1。，。9=22,

所以有a9=22=%+4d=>d=3,

于是有%=%+2d=1。+6=16,

%=6+2dn10=%+6n/=4,

因为该数列的前3项成等比数列，

所以。2==±2，

当出=2时，数列｛4｝的所有项的和为1+2+(4+：)义7=94；

当出=-2时，数列｛4｝的所有项的和为1-2+(4+；)*7=9(),

故答案为：16；94或90

15.已知曲线。的方程为：炉+产=2|x|+2|y|(x,yeR)有下列四种描述

(1)曲线c关于丁=%对称；

(2)曲线C的面积大于16；

(3)曲线C与圆/+丁2=5有四个公共点；

(4)若A,3为曲线C与左轴的交点，P为曲线。上的点，则的面积最大为2+2直；则其中所

有正确结论的序号是.

【答案】(1)(2)(4)

【解析】

【分析】根据方程的对称性，画出图象，数形结合，逐项判断即可.

【详解】设（羽y）是曲线C上任意一点，由于曲线C的方程为x2+y2=2|x|+2|y|（x,yeR）,

则当x20,y»0时，曲线C的方程为f+丁=2x+2y,即+（y—1）?=2；

方程/+y2=2|x|+2|y|中，用-x替换x,用-V替换V,方程不变，故曲线关于x轴，V轴，原点对

称，曲线C的图象如下图（由图中实线部分及原点组成），故（1）正确；

由图可知，曲线C所围成的图形是由一个边长为2、5的正方形和四个全等的半圆组合而成，其中半圆半

径为近，故曲线C围成图形的面积为+gx兀义(V2)-x4=8+471>16,故(2)正确;

连接原点与（1,1）点，并延长与曲线交于点河，贝"O"=2j5＞百，

则以（0,0）为圆心，半径为君的圆三+产=5与曲线有8个交点，故（3）错误；

因为尸为曲线C上的点，由于图象的对称性，不妨设点尸为第一象限点，

所以y=l+j2—（x—，当x=l时，%=1+也，故，领「＜3义4义（1+四）=2+2后，故（4）

正确.

三、解答题（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.己知△ABC满足，且6，B=-,从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知填在横线

4

上，并求解下列问题：

（1）sinC；

（2）求VA5C的面积.

条件①tan/=3,条件：②+，一〃=2c,条件③3b=«c.

【答案】（1）选①，②，sinC=2,选③，sinC=h叵；

510

（2）选①，②，S&ABC=6,选③，S、ABC=6或3.

【解析】

【分析】（1）若选①，由同角基本关系式求出sinA,cosA,进而可得sinC=sin（A+5）可得解，若选

②，由余弦定理可得cosA,由同角基本关系式求出sinA,进而得解；若选③，由正弦定理求得sinC；

（2）若选①，由正弦定理可求得c,再由三角形面积公式可得解，若选②，由正弦定理可求得c,再由三

角形面积公式可得解，若选③，利用余弦定理可求得。，进而利用二角形面积公式可得解.

【小问1详解】

若选①，由tanA=3得sinA=3cosA,A是锐角，又sin?A+cos2A=1，

铲汨..3丽.历

角牛得sinA=----，cosA=----，

1010

.*.sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB

3回V2V10V2275

=----X----1----X---=----.

1021025

若选②，由廿+°2一。？=2c，可得2Z?ccosA=2c,解得Z?cosA=l,又Z?=JI5，解得cosA=边。，

10

由平方关系得sinA=士何，下面同选①.

10

若选③，由36=后，可得C=3、/5，由正弦定理可得sinC=%0="0.

b10

【小问2详解】

/7772亚

9vlOx——

若选①，②，由第一问得sinC=至，由正弦定理得c=-----=——尸"=4,

5sinB也

工

由三角形面积公式可得S,„r=—Z?csinA=—x^0x4x=g.

由2210

若选③，由余弦定理可得/+02—/=2accos5，即4+18—10=2ax37Ix交，解得。=2或4,

2

当a=2时，SARC=—acsin5=—X2X3A/2x^-=3>

“ABC222

当a=4时，SARr=—acsinB=—x4x3\/2x^-=6

△ABC222

17.为了提高中小学生的身体素质，某地区开展了中小学生跳绳比赛系列活动，活动结束后，利用简单随

机抽样的方法，抽取了部分学生的成绩，按照不同年龄段公组记录如下表：

男生女生

组别

合格不合格合格不合格

第一组90108020

第二组88127228

第三组60405842

第四组80206238

第五组82187822

合计400100350150

假设每个中小学生跳绳成绩是否合格相互独立.

(1)从样本中的中小学生随机抽取1人，求该同学跳绳成绩合格的概率；

(2)从该地区众多中小学的男生、女生中各随机抽取1人，记这2人中恰有X人跳绳成绩合格，求X的分

布列与数学期望；

(3)假设该地区中小学生跳绳成绩合格的概率与表格中该地区中小学生跳绳成绩合格的频率相等，用

“短=1”表示第％组同学跳绳成绩合格，“5=0”表示第4组同学跳绳成绩不合格(々=1,2,3,4,5),试确定

方差。九。5女中哪个最大？哪个最小？(只需写出结论).

3

【答案】(1)-(2)详见解析(3)。。最小，。以最大

4

【解析】

【分析】(1)根据表格求出男女生跳绳合格的人数，总的人数，利用古典概型求解;

(2)根据相互独立事件的概率求出分布列，计算期望即可；

(3)根据表格所给数据，由方差的意义直接得到.

【详解】(1)设事件A="从样本中的中小学生随机抽取1人，该同学跳绳成绩合格”

样本中男生跳绳成绩合格的有:90+88+60+80+82=400人，

样本中女生跳绳成绩合格的有:80+72+58+62+78=350人,

样本中男、女跳绳成绩合格的共有:400+350=750,

样本中的男生总人数：400+100=500人,

样本中的男生总人数：350+150=500人,

样本中男、女生总数:500+500=1000,

400+3503

所以P(A)

500+5004

(2)设事件B="从该地区众多中小学的男生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”,

4

5

设事件C="从该地区众多中小学的女生中随机抽取1个，该生跳绳成绩合格”,

,一、3507

则P(C)=­=

500-io

由题可知X的可能取值为0,1,2,

——-473

则P(X=0)=P(BC)=P(B)P(C)=(l--)x(l--)=—,

__--474719

P(X=1)=P(BCUBC)=P(B)P(C)UP(B)P(C)=(l--)x-+-x(l--)=—,

472814

P(X=2)=P(BC)=P(B)P(C)=-x—=—=—,

5105025

所以X的分布列为

X012

P31914

505()25

319143

所以X的数学期望石(X)=0x±+lx』+2x—=2,

5050252

（3）最小，最大.

18.已知圆C:（X+2）2+9=1,直线x—y+m=0与圆。交于£,厂两点.

（1）若府|=6求实数加的值；

（2）求瓦•酝的取值范围（。为坐标原点）.

【答案】（1）2+—§£2--

22

⑵[2,5+272）

【解析】

【分析】⑴利用弦长公式冏=2介一屋,再结合圆心（―2,0）到直线x—y+机=。的距离为d,从

而求解.

（2）设出£（%,%）,斤（%,力），联立直线与圆C方程，然后利用根与系数关系，从而可求解.

【小问1详解】

|-2+m||m-2l

由题意得:圆心C(-2,0),r=1,圆心到直线％—y+m=0距离d=^^<1

V2

又因为：固=2〃_蕾=2，_（,2）=6，

々刀外曰yfzt^2

解得：m=2-\----或加=2-------•

22

故：加的值为：2+正或2—变.

22

【小问2详解】

设后（七，％）,尸（％2，%）,

联立＜（”+2）+/=1,得：2/+2（机+2）》+3+机2=0,

x—y+m—G

由题意得：A=4（m+2）2-8（3+m2）＞0,即2—行〈爪＜2+应，

3+m2

由根与系数的关系得：%+々=-m-2,%1x2=—-—,

OEOF=%％+,%=+（%+"2）（*2+加）

=2%无2+"2（石+）+m2=m2—2m+3=（m—1）^+2

又因为：2-亚＜m＜2+叵,

当〃z=l时，砺.酝有最小值2,

当相=2+0时，0月•南有最大值5+2行，

故无•南的取值范围为：［2,5+2、历）.

19.如图，在四棱锥P—A3CO中，底面A3CD是边长为2的菱形，ZADC=6ff-△B4D为正三角

形，。为AD的中点，且平面平面ABC。，M是线段PC上的点.

（1）求证：OMLBC；

（2）当点”为线段PC的中点时，求点M到平面已旬的距离；

（3）是否存在点使得直线40与平面R45的夹角的正弦值为®.若存在，求出此时萼的值;

10PC

若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析;

⑵叵;

5

（3）存在,且*=1.

【解析】

【分析】（1）连接OC、AC,证明出AD，平面POC,利用线面垂直的性质可得出AO,PC,再结

合AD〃3c可证得结论成立；

（2）推导出平面ABCD,然后以点。为坐标原点，OC.OD、0P所在直线分别为％、V、z

轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点M到平面A45的距离；

（3）设丽=2定，其中0W4W1,利用空间向量法可得出关于2的方程，结合0W4W1可求得2的

值，即可得出结论.

【小问1详解】

证明：连接OC、AC,

因为四边形ABCD为菱形，则AD=CD,因为NADC=60°，贝UAACD为等边三角形，

因为。为AD的中点，故OC_LAT>,

因为△PAD为等边三角形，。为AD的中点，则POLA。，

•：PO^OC=O,.•.加，平面POC,•・•PCu平面POC,则ADLPC,

QBC//AD,故BCLPC.

【小问2详解】

解：因为平面卓平面ABCD,平面Q4Dc平面ABCD=A。，POLAD,POu平面？AD,

..尸平面ABCD,

因为OCJ_A。，以点。为坐标原点，OC.OD、0P所在直线分别为X、y、Z轴建立如下图所示的

空间直角坐标系，

则A（0,—1,0）、M后-2,0）、c（省,0,0）、£＞（0,1,0）、P（0,0,V3）

设平面A4B的法向量为蔡=（x,y,z），荏=（G,—1,0）,AP=（0,l,73）,

m-AB=A/3X-y=0

由＜取尤=1,可得耳=（1,61）,

m-AP=y+A/3Z=0

___.(6_\AM-m\6715

AM=—,1,—,所以点河到平面A45的距离为d~~-=-7==——.

[22ImV55

【小问3详解】

解：设而=X斤=彳(』,0,—百)=(后,0,一扇)，其中0W4W1,

AM=AP+W=(0,1,A/3)+(A/32,0,-A/32)=(^2,1,^/3-A/32),

I,___.•同I2V32I回

由题意cos(AM,力=,11=I1—=,

1'〃|刎.网,6%—62+4.610

整理可得922+32—2=0，因为0W2W1,解得a=g,

因此，存在点"，使得直线40与平面B钻的夹角的正弦值为巫，此时拶=今

10PC3

,1

20.已知函数/(x)=alnx+^x9--(a+l)x+l.

（I）当a=0时，求曲线y=/（x）在点（2,7（2））处的切线方程;

（II）若函数/（%）在X=1处取得极小值，求实数4的取值范围.

【答案】（I）y=x-l；（II）a＜l.

【解析】

【分析】(I)当a=0时，利用导数的几何意义求切线方程；(II)首先求函数的导数,

/'(x)=q+x—。一1=三二丝土生士@=o时，%=1和％=。，并讨论。与0,1的大小关系，求实数。

xx

的取值范围.

1

详解】(1)当a=0时，/(x)=-x29-x+l.

所以f(x)=x—1,

所以k=f(2)=1,

因为/(2)=5义22_2+1=1.

所以切线方程为y=x-L

(II)函数/(%)的定义域为(0,+00).

1,

因为/(x)=alnx+^x-(a+l)x+l

、a1x--(«+1)%+a

所以f(x)=—+x—a—l=--------------.

xx

令/'(x)=。，即-—(a+l)x+a=0,解得x=l或x=a.

(1)当aW0时，当x变化时，/(x)J(x)的变化状态如下表:

X(0,1)1a,+oo)

/'(X)—0+

/(X)极小值/

所以当尤=1时，/(x)取得极小值.

所以aWO成立.

(2)当0＜。＜1时，当x变化时，尸(x),/(x)的变化状态如下表:

(0,a)a3D1(1,+°0)

/'(X)+0—0+

/(%)/极大值极小值/

所以当X=1时，/(%)取得极小值.

所以0＜。＜1成立.

(3)当a=l时，/'(%)20在(0,+8)上恒成立，

所以函数/(%)在(0,+8)上单调递增，没有极小值，不成立.

(4)当。〉1时，当了变化时，尸(X)"(尤)的变化状态如下表:

X(0,1)1(1,«)a(a,+co)

/'(X)+0—0+

/(X)/极大值极小值/

所以当x=l时，/(%)取得极大值.

所以不成立.

综上所述，a＜l.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据极值点求。的取值范围，本题容易求出导函数的零点1和但需讨

论。的范围，这是易错的地方，容易讨论不全面，需注意.

21.已知数集4={。1，。2，。3,…，