北京中考数学复习训练：平行线与相交线 专项练习（含答案）

专题16平行线与相交线2023年中考数学一轮复习专题训练（北京

专用）

一'单选题

1.（2022・朝阳模拟）如图，将一条两边沿互相平行的纸带按图折叠，则N1的度数等于

（）

A.65°B.70°C.75°D.80°

2.（2022•朝阳模拟）如图，Z1=42,ZD=50°,贝此8的度数为（)

A.50°B.40°C.100°D.130°

3.（2021七上•石景山期末）如图，测量运动员跳远成绩选取的应是图中

A.线段PA的长度B.线段PB的长度

C.线段PM的长度D.线段PH的长度

4.（2021八上•东城期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE||BC,交AB于点

E.若乙4=30°,乙BDC=50°,贝iJzBDE的度数是（）

A.10°B.20°C.30°D.50°

5.（2021八上.朝阳期末）点P在NAOB的平分线上（不与点O重合），PCLOA于点

C,D是OB边上任意一点，连接PD.若PC=3,则下列关于线段PD的说法一定正确

的是（）

A.PD=POB.PD<3

C.存在无数个点D使得PD=PCD.PD>3

6.（2022•门头沟模拟）如图，AB||CD.点E在直线AB上，点F在直线CD上，

过点E作GE1EF于E,如果乙GEB=120°,那么Z.EFD的大小为（）

G

A------------B

'-D

A.60°B.50°C.40°D.30°

7.（2022•平谷模拟）如图，直线48〃CD,点尸是CD上一点，ZEFG=90°,EF交

A3于若/CTG=35。，则/AME的大小为（）

A.35°B.55°C.125°D.130°

8.（2022•顺义模拟）如图，直线allb,点B在直线a上,AB1BC,若Nl=40°,则N

2的度数为（）

9.（2022七下•海淀期末）如图，直线AB||CD,CB平分NACD,21=50。，则N2的度

10.（2022•昌平模拟）如图，。。的直径AB1CD,垂足为E,乙4=30。，连接C。并延

长交。。于点F,连接FC,则ZCFC的度数为（)

A.30°B.45°C.60°D.75°

二'填空题

11.（2021七上诞庆期末）如图所示，点A,B,C,D在同一条直线上.在线段PA,

PB,PC,PD中，最短的线段是,理由是.

12.（2021七上•通州期末）如图，从人行横道线上的点P处过马路，下列线路中最短的

是线路，理由是

13.（2021八上•怀柔期末）在平面直角坐标系xOy中，点M（2,t-2）与点N关于过点

（0,t）且垂直于y轴的直线对称.

（1）当t=3时，点N的坐标为；

（2）以MN为底边作等腰三角形MNP.

①当t=l且直线MP经过原点O时，点P坐标为；

②若AMNP上所有点到x轴的距离都不小于a（a是正实数），贝Ut的取值范围是一

（用含a的代数式表示）

14.（2021七上•昌平期末）如图，点P是直线1外一点，从点P向直线1弓|尸4PB,

PC,PD几条线段，其中只有线段PC与直线1垂直.这几条线段中，的长度

最短.

I

ABCD

15.（2021七上•密云期末）/AOB的大小可由量角器测得（如图所示），则NAOB的补

角的大小为度.

16.（2021七上•房山期末）如图，在公园绿化时，需要把管道1中的水引到A,B两

处.工人师傅设计了一种又快又节省材料的方案如下:

B.

A.

画法：如图，

⑴连接AB；

⑵过点A画线段AC1直线1于点C,所以线段AB和线段AC即为所求.

请回答：工人师傅的画图依据是.

17.（2021八上,石景山期末）如图，点D是乙40B的平分线OC上一点，过点D作。E||

0B交射线OA于点E,则线段DE与OE的数量关系为：DEOE（填“>”或

18.（2021九上•燕山期末）下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序

需要进行调整，正确的画图步骤是

19.（2021九上•丰台期末）如图，四边形ABCD内接于。。，E为直径AB延长线上一

点，且ABIIDC,若NA=70。，贝吐CBE的度数为.

20.（2022七下,通州期末）如图，点B、C、E在同一条直线上，请你写出一个能使

4B||CD成立的条件：.（只写一

个即可，不添加任何字母或数字）

三、综合题

21.（2022•朝阳模拟）已知等腰直角AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,以A为顶点

作等腰直角AADE,其中AD=DE.

（1）如图1,点E在BA的延长线上，连接BD,若/DBC=30。，若AB=6,求

BD的值；

（2）将等腰直角AADE绕点A顺时针旋转至图2,连接BE,CE,过点D作DFL

CE交CE的延长线于F,交BE于M,求证：BM=1BE；

（3）如图3,等腰直角AADE的边长和位置发生变化的过程中，DE边始终经过BC

的中点G,连接BE,N为BE中点，连接AN,当AB=6且AN最长时，连接NG并

延长交AC于点K,请直接写出AANK的面积.

22.（2021八上•门头沟期末）已知，如图，在AABC中，ZC=90°,AD平分/BAC

交BC于D,过D作DE〃AC交AB于E.

c

D

(1)求证：AE=DE；

(2)如果AC=3,AD=2V3,求AE的长.

23.(2021八上•延庆期末)尺规作图:

已知：如图1,直线MN和直线MN外一点P.

求作：直线PQ,使直线PQIIMN.

小智的作图思路如下：

①如何得到两条直线平行？

小智想到，自己学习线与角的时候，有4个定理可以证明两条直线平行，其中有“内

错角相等，两条直线平行”.

②如何得到两个角相等？

小智先回顾了线与角的内容，找到了几个定理和1个概念，可以得到两个角相

等.小智又回顾了三角形的知识，也发现了几个可以证明两个角相等的定理.最后，

小智选择了角平分线的概念和“等边对等角”.

③画出示意图：

④根据示意图，确定作图顺序.

(1)使用直尺和圆规，按照小智的作图思路补全图形1(保留作图痕迹);

(2)完成下面的证明：

证明：：AB平分NPAN,

.\ZPAB=ZNAB.

VPA=PQ,

AZPAB=ZPQA(①).

Z.ZNAB=ZPQA.

.,.PQHMN(②).

(3)参考小智的作图思路和流程，另外设计一种作法，利用直尺和圆规在图2中

完成.(温馨提示：保留作图痕迹，不用写作法和证明)

24.(2022・朝阳模拟)如图，已知AABC中，乙4cB=60。，BC<AB<AC.

(1)求作NPBC,使得“BC=30。且点P在AC上：要求：尺规作图，不写作法，保

留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若4B=4/，乙4=45。，求ZC的长度.

25.(2021九上•朝阳期末)对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P给出如下定

义：Q为图形M上任意一点，若P,Q两点间距离的最大值和最小值都存在，且最大

值是最小值的2倍，则称点P为图形M的“二分点”.

已知点N(3,0),A(1,0),B(0,V3).C(V3,-1).

(1)①在点A,B,C中，线段ON的“二分点”是；

②点D(a,0),若点C为线段OD的“二分点”，求a的取值范围；

(2)以点O为圆心，r为半径画圆，若线段AN上存在。。的“二分点”，直接写出

r的取值范围.

26.(2022•海淀模拟)如图，。。是AABC的外接圆，AB是。。的直径，点D为力C的

中点，。。的切线DE交OC延长线于点E.

(1)求证：DE-,

(2)连接BD交AC于点P,若ZC=8,COSTI=求DE和BP的长.

27.(2021七上•燕山期末)如图，已知NMON=60。，点A在射线OM上，点B在射线

ON下方.请选择合适的画图工具按要求画图并回答问题.(要求：不写画法，保留画

图痕迹)

(1)过点A作直线1,使直线1只与NMON的一边相交；

(2)在射线ON上取一点C,使得OC=OA,连接AC,度量NOAC的大小

为°;(精确到度)

(3)在射线ON上作一点P,使得AP+BP最小，作图的依据

是.

28.(2021八上•丰台期末)下面是小东设计的尺规作图过程.

已知：如图，在RtZkABC中，ZABC=90。.

求作：点使得点。在BC边上，且到4B和4c的距离相等.

作法：①如图，以点力为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB,4c于点M,N；

②分别以点M,N为圆心，大于4MN为半径画弧，两弧交于点P;

③画射线4P,交BC于点D.

所以点。即为所求.

根据小东设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明.

证明：过点。作DE14C于点E,连接MP,NP.

在△AMP和△ANP中，

"JAM=AN,MP=NP,AP=AP,

:.AAMP义AANP(SSS).

Z____________▲____________=Z____________

,：ZABC=90°,

：.DBLAB.

,：DE1XC,

：.DB=DE(A).

29.(2022七下•丰台期末)阅读下列材料：

如图1,AB||CD,E,尸分别是AB,CD上的点，点P在AB,CD之间，连接PE,

PF.用等式表示乙4EP,ZEPF与NCFP的数量关系.

小刚通过观察，实验，提出猜想：乙EPF=LAEP+乙CFP.

接着他对猜想的结论进行了证明，证明思路是：

过点P作PMIIAB,由ABIICD,可得PM||CD,根据平行线的性质，可得21=

2LAEP,Z2=乙CFP,从而证得NEPF=^AEP+乙CFP.

图1

请你利用小刚得到的结论或解题思路，完成下列问题.

已知AB||CD,E,F分别是AB,CD上的点，点P在AB,CD之间，连接PE,PF.

(1)如图2,若乙4EP=45。，ZEPF=80°,则乙PF。的度数为；

图2

(2)如图3,"EP与NCFP的平分线交于点Q,用等式表示“P尸与乙EQF的数量关

系，并证明；

图3

(3)如图4,NAEP与"FP的平分线交于点Q,直接用等式表示NEP尸与NEQF的数

量关系.

30.(2021九上•平谷期末)如图，ZMAN=45°,B是射线AN上一点，过B作BC_L

AM于点C,点D是BC上一点，作射线AD,过B作连接CE.

(1)依题意补全图形；

(2)求证：NCAE=NDBE；

(3)用等式表示线段CE、BE、AE的数量关系，并证明.

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：如图，

・.・AB〃CD,

.,.ZBAC+ZACD=180°,

VZACD=40°,

AZBAC=140°,

VZ1=Z2,

・・・N1=；NBAC=7O。，

故答案为：B.

【分析】根据折叠的性质和平行线的性质解决问题即可。

2.【答案】D

【解析】【解答】丁/2=NDFA,N1=N2,

AZ1=ZDFA,

・・・AB〃CD,

AZB+ZD=180°,

VZD=50°,

.\ZB=130o,

故答案为：D

【分析】先证明AB〃CD,再根据平行线的性质求出NB。

3.【答案】D

【解析】【解答】解：如图所示：

过点P作PHXAB于点H,PH的长就是该运动员的跳远成绩,

故答案为：D.

【分析】根据所给的图片，求出运动员跳远成绩即可。

4.【答案】B

【解析】【解答】解：(1)VZA=30°,NBDC=50。，NBDC=NA+NABD,

二ZABD=ZBDC-ZA=50°-30°=20°,

VBD是AABC的角平分线，

.*.ZDBC=ZABD=20o,

VDE//BC,

.,.ZEDB=ZDBC=20°,

故答案为：B.

【分析】先利用三角形的外角的性质求出NABD=NBDC-NA,再根据角平分线的性

质可得/DBC=NABD=20。，最后利用平行线的性质可得NEDB=/DBC=20。。

5.【答案】D

【解析】【解答】解：•.•点P在/AOB的平分线上，PCLOA于点C,PC=3,

.••点P到OB的距离为3,

•.•点D是OB边上的任意一点，根据垂线段最短，

/.PD>3.

故答案为：D.

【分析】根据角平分线的性质可得：角平分线上的点到角两边的距离相等，再利用垂

线段最短的性质可得答案为3.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：♦.•NGEB=120。，

，ZGEA=180°-ZGEB=60°,

'：GEA_EF,

，ZGEF=90°,

：.NAEF=30。,

'：AB//CD,

：.ZEFD=Z.AEF^0°

故答案为：D

【分析】先利用邻补角的性质求出NAEG=60。，再求出NAEF=30。，再根据平行线的

性质可得ZEFD=ZAEF=30°。

7.【答案】B

【解析】【解答】解：•.•/EPG=90°,ZCFG=35°,

：.ZCFE=ZEFG-ZCFG=55°,

'：AB//CD,

：.ZAME=ZCFE=55°,

故答案为：B.

【分析】先求出NCFE的度数，再利用平行线的性质可得NAME=NCFE=55。。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：如图可得：Zl+23+90。=180。，

Z3=50°,

a\\b,

Z2=Z3=50°（两直线平行同位角相等）.

【分析】因为两线平行，同位角相等，可知N2=N3,而N1与N3互余，即可得到答

案

9.【答案】A

【解析】【解答】解：4B||CD,zl=50。，

乙BCD=21=50°,

•••CB平分"CD,

Z2=乙BCD=50°,

故答案为：A.

【分析】先利用平行线的性质可得ZBCD=21=50。，再利用角平分线的定义可得

Z2=4BCD=50°o

10.【答案】C

【解析】【解答】解：•••OA=OC,

/.ZOCA=ZA=30°,

二ZBOC=ZOCA+ZA=60°,

YCF是。O的直径，

...ZCDF=90。，即FD_LCD,

又：AB_LCD,

AABHDF,

AZCFD=ZBOC=60°.

故答案为：C.

【分析】先求出NBOC=NOCA+NA=60。，再利用平行线的性质可得/CFD=/BOC

=60°o

11.【答案】PC；垂线段最短

【解析】【解答】解：：PC，AD,PA,PB,PD都不垂直于AD,

由垂线段最短可得，最短的线段是PC,

理由是：垂线段最短.

故答案为：PC；垂线段最短.

【分析】根据垂线段最短的性质求解即可。

12.【答案】PC；垂线段最短

【解析】【解答】解：•••点到直线的距离，垂线段最短，

..•从人行横道线上的点P处过马路，线路最短的是PC,

故答案为：PC.

【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，求解即可。

13.【答案】(1)(2,-1)

(2)(-2,1)；t2a+2或t9a-2

【解析】【解答】(1)过点(0,t)且垂直于y轴的直线解析式为y=t

•.•点M(2,t-2)与点N关于过点(0,t)且垂直于y轴的直线对称

，可以设N点坐标为(2,n),且MN中点在y=t上

2=记得n—t+2

.•.点N坐标为(2,t+2)

.•.当t=-3时，点N的坐标为(2,-1)

(2)①I•以MN为底边作等腰三角形MNP,且点M(2,t-2)与点N直线y=t对称.

，点P在直线y=t上，且P是直线OM与y=l的交点

当t=l时M(2,-1),N(2,3)

/.OM直线解析式为y=

,当y=l时1=一寺％,x=-2

；.P点坐标为(-2,1)

②由题意得，点M坐标为(2,t-2),点N坐标为(2,t+2),点P坐标为(P,t)

Vt-2<t<t+2,AMNP上所有点到x轴的距离都不小于a

.只需要|t-2|>a或者|t+2\>a

当M、N、P都在x轴上方时，0<t—2<t<t+2,此时t—22a,解得t2a+2

当AMNP上与x轴有交点时，此时AMNP上所有点到x轴的距离可以为0,不符合要

求；

当M、N、P都在x轴下方时，t-2<t<t+2<0,it匕时|t+2|2a,解得t9a-2

综上t>a+2或t<-a-2

【分析】(1)先求出哗Z=t,再求出点N坐标为(2,t+2),最后求解即可；

(2)①先求出OM直线解析式为=再求点的坐标即可；

②先求出|t-2|Na或|t+2|Na,再分类讨论计算求解即可。

14.【答案】PC

【解析】【解答】解：直线外一点P与直线1上各点连接的所有线段中，最短的是PC,

依据是垂线段最短，

故答案为：PC.

【分析】根据垂线段最短，作答即可。

15.【答案】140

【解析】【解答】解：由题意，可得/AOB=40。，

则NAOB的补角的大小为：180。-/AOB=140。.

故答案为：140.

【分析】根据量角器可得NAOB=40。，再利用补角的定义可得180。-/AOB=140。。

16.【答案】两点之间，线段最短；垂线段最短

【解析】【解答】解：由于两点之间距离最短，故连接AB,

由于垂线段最短可知，过点A作ACJ_直线1于点C,此时AC最短，

故答案为：两点之间，线段最短；垂线段最短.

【分析】根据题意作图，再根据两点之间，线段最短和垂线段最短求解即可。

17.【答案】=

【解析】【解答】解：：ED〃OB,

.\ZEDO=ZDOB,

VD是NAOB平分线OC上一点，

.\ZEOD=ZDOB,

/.ZEOD=ZEDO,

，DE=OE,

故答案为：=.

【分析】先求出NEDO=/DOB,再求出NEOD=NEDO,最后求解即可。

18.【答案】②③④①

【解析】【解答】解：第一步：先根据直径所对的圆周角是直角，确定圆的一条直径与

圆的交点，即图②，

第二步：画出圆的一条直径，即画图③；

第三边：根据切线的判定可知，圆的一条切线与切点所在的直径垂直，确定切点的位

置从而画出切线，即先图④再图①，

故答案为：②③④①.

【分析】根据切线的性质，再利用尺规作图即可得出答案。

19.【答案】110°

【解析】【解答】解：•••四边形ABCD内接于。0,

，乙4+ZC=180°,

•.Z=70°,

AZC=110°,

AB||DC,

:.乙CBE=ZC=110°；

故答案为：110。.

【分析】首先利用平行线的性质求得NC=110。，在利用圆内接四边形的性质求得答案

即可。

20.【答案】Zl=ZB或N2+乙B=180。或ZA+2。=180°

【解析】【解答】解：当Nl=NB或N2+ZB=180。或N4+ND=180。时，AB||CD,

故答案为：zl=NB或Z2+乙B=180。或ZA+ND=180°.

【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。

21.【答案】（1）解：如图1,过点B作BT_LDA交DA延长线于T,

图1

•••△ABC、AADE都是等腰直角三角形，

?.ZEAD=ZABC=45°,

ADT/ZBC,

AZBAT=ZABC=45°,ZADB=ZDBC=30°,

VZT=90°,AB=6,

/.BT=AT=3V2，

.,.BD=2BT=6VI;

(2)证明：如图2,延长ED到R,使DR=DE,连接AR、BR,延长RB交CF的延

长线于J,

R,

J

图2

*.•ZADE=90°,

AAD±ER,

VDR=DE,

AAD垂直平分RE,

・'•AR=AE,

TAD=DR=DE,

JNRAE=NBAO90。，

JNRAB=NEAC,

VAR=AE,AB二AC,

AARAB^AEAC(SAS),

ZABR=ZACE,

VZABR+ZABJ=180°,

AZACJ+ZABJ=180°,

JZJ+ZBAC=180°,

VZBAC=90°,

JZJ=90°,

VDF±CF,

・•・NDFC=NJ=90。，

・・・DF〃RJ,

.DE_EM

U9RD~MB"

〈DE=DR,

.\EM=BM,

：.BM=1BE；

(3)解：SAANK=.+2；南，

【解析】【解答］解：（3）取AB的中点Q,连接QN、QG,取QG的中点P,连接

PA、PN、CE,

・AB=AC,NBAO90。，点G为BC的中点，

,NAGC=NAGB=90。，NAEG=NACG=45。，AG=BG=CG,

・A、G、E、C四点共圆，

・NAEC=NAGC=90。，

・BN=NE,BG=GC,BQ=AQ,

・NG〃CE,QN〃AE,

・NQNG=NAEO90。，

・GA=GB,AQ=QB,ZAGB=90°,

・GQ=QA=QB=3,ZAQG=90°,

.PQ=PG=I，

・NP=1QG=|,AP*Q2+Qp2=竽,

*AN<PA+PN,

.当A、P、N三点共线时，AN最大，最大值为|十苧，过点G作GMLAC于M,

・PN=PG,

,NPNG=NPGN,

・BG=GC,BQ=AQ,

.GQ//AC,

.ZPGN=ZAKN,

,NPNC=NAKN,即ZANK=ZAKN,

・AK=AN=3+地

2十2

*ZAGC=90°,AG=GC,GM±AC,

.GM=/AC=3,

•C_1,3,3V5,„_9,9V5

•，SAAGK=2x（2+-^-）xv3=4+飞-，

・.・PQ=PG,

，SAAPG二SAAQP=$AQ・PQ=JX3X4=2,

ZZZ4

C.nr3135/5^r=

S~AP~3V5—5丁「

'AAPG丁

=痣+l）X?=舞+/

'^AANG:

••SAANK-SAANG+SAAGK-2+10

【分析】(1)过点B作BTLDA交DA延长线于T,证明NBAT=NABC=45。，Z

ADB=ZDBC=30°,求出BT,可得BD=2BT；

(2)延长ED到R,使DR=DE,连接AR、BR,延长RB交CF的延长线于J,证

明ARAB丝AEAC(SAS),再证明DF〃:RJ,根据平行线分线段成比例定理可得蔡=

KU

器可证BM*BE；

(3)取AB的中点Q,连接QN、QG,取QG的中点P,连接PA、PN、CE,先证明

A、G、E、C四点共圆，再证明当A、P、N三点共线时，AN最大，最大值为|十

3整,过点G作GM_LAC于M,再求出S^/GK和SlANG，即可求出Sq/NK。

22.【答案】(1)证明：・・・DE〃AC,

・・・NCAD=NADE.

VAD平分NBAC,

••・NCAD=NEAD.

ZEAD=NADE.

・・・AE=DE.

(2)解：过点D作DFLAB于F.

C

/^\D

EB

VZC=90°,AC=3,AD=2遍,

.•.在RtAACD中，由勾股定理得AC2+DC2=AD2.

-,-DC=V3.

「AD平分NBAC,

.*.DF=DC=V3.

又：AD=AD,ZC=ZAFD=90°,

/.RtADAC^RtADAF.

，AF=AC=3.

/.RtADEF中，由勾股定理得EF2+DF2=DE2.

设AE=x,则DE=x,EF=3—x,

A(3-%)2+(V3)2=/,

.•.x=2・

/.AE=2.

【解析】【分析】(1)先求出NCAD=NADE,再求出NCAD=NEAD,最后证明即

可；

(2)利用勾股定理求出DC=遍，再求出RtADAC^RtADAF,最后计算求解即

可。

(2)解：证明：：AB平分/PAN,

ZPAB=ZNAB.

VPA=PQ,

/.ZPAB=ZPQA(等边对等角).

ZNAB=ZPQA.

/.PQIIMN（内错角相等，两直线平行）.

故答案为：等边对等角；内错角相等，两直线平行;

（3）解：如图2,PQ为所求.

JH.

MN

圉2

【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可；

（2）利用角平分线的定义以及等腰三角形的性质解决问题即可;

（3）根据要求作图即可。

24.【答案】（1）解：如图，ZPBC即为所求（过点B作BPLAC）

(2)解：如图，由(1)得4APB=4BPC=90°,

：.^ABP=45°,

在Rt△ABP中，AP=BP=AB•sin450=4&义导=4,

在RtABPC中，Z.PBC=30°,PC=BP-tan30°=4X

,..4^/312+4^3

,•AACr=AAPD+PnCr=4A-1—=--3---

【解析】【分析】(1)过点3作3P1力。于P即可；

(2)解直角三角形求出AP、PC即可。

25.【答案】(1)解：①B和C

②若0<a〈g时，如图所示:

点C到0D的最小值为c。=J_砌2+12,最大值为。C=2,

•••点C为线段OD的“二分点”，

2J(V3—a)2+1=2，

解得：a=V3；

若b<a<2百，如图所示：

点C到OD的最小值为1,最大值为。C=2,满足题意;

若a>2K时，如图所示:

点C到OD的最小值为1,最大值为CD=(a-遍A+住,

•••点C为线段OD的“二分点”,

••2=J(a—V3)2+

解得：a—2V3(舍);

若a<0时，如图所示:

点C到0D的最小值为OC=2,最大值为CD=J(b一a)2+12,

'..点C为线段OD的“二分点”，

,'-4=J(V3—a)2+

解得：方=b—或。2=8+虫下(舍)，

综上所得：a的取值范围为8<a<2遮或a=V3—V15;

(2)!<r<1或3<rW9

【解析】【解答】解：(1)①

•.•点A在ON上，故最小值为0,不符合题意，

点B到ON的最小值为OB=y/3,最大值为BN=旧+(V3)2=28，

.•.点B是线段ON的“二分点”，

点C到ON的最小值为1,最大值为OC=J(V3)2+I2=2，

二点C是线段ON的“二分点”，

故答案为：B和C；

(2)

如图所示，设线段AN上存在。。的“二分点”为M(m,0)(1<m<3),

当0<丁<1时，最小值为：m-r,最大值为：m+r,

/.2(m—r)=m+r,即丁=-m,

Vl<m<3,

"wrWl

**•^<r<1;

当lVr<3,TH<丁时，最小值为：r-m,最大值为：r+m,

/.2(r—m)=r+m,即丁=3m,

Vl<m<3,

A3<r<9,

Vl<r<3,

不存在；

当1<丁<3,m>丁时，最小值为：m-r,最大值为：m+r,

—r)=m+r,即r=-m9

<r<1,

VI<r<3,

・“不存在；

当r>3时，最小值为：r—m,最大值为：m+r,

/.2(r—m)=m+r,即丁=3m,

A3<r<9,

Vr>3,

.*.3<r<9,

综上所述，r的取值范围为g<r<1或3<rW9.

【分析】（1）①根据图示即可得出答案；②若0＜awVI时，若a＞2遮时，若a＜0

时，分三种情况讨论即可；

（2）当0＜丁＜1时，当1＜厂＜3,时，当1〈厂＜3,7?1＞丁时，当厂＞3时，

由此即可得出r的取值范围。

26.【答案】（1）证明：连接0D,

•・,点D是4c的中点,

AODXAC,

・・・DE是。O切线，

.\DE_LOD,

:・DE〃AC

(2)解：设OD与AC交点为F,连接AD,则NCAD=NCBD,

VDE/7AC,

AZE=ZOCA,

,.・OA=OC,

AZOAC=ZOCA,

JNOAC=NE,

・・・AB是。O的直径，

JZACB=90°,

.\ZACB=ZEDO=90o,

AAABC^AEOD,

.OD_DE

•,前二痔

VcosZB?lC=^j=1,AC=8,

・・・AB=10,

:・BC=7AB2一402=6,OD=5,

.5DE

"6="8"

.「「20

••DE=~2~9

•：0F二BC=3,

・・.DF=OD-OF=5-3=2,

i

AF=AC=4,

­­AD=^AF2+DF2=2后

.4F42

,.coszCXD=^=^==?=,

.".cosZ-CBD-篇=5=专，

:.BP=3V5

【解析】【分析】（1）连接OD,因为OD和AC、DE均垂直，根据平行的判定可证明

（2）连接AD,构造直角三角形。证明三角形相似AABCs^EOD,根据cosA和勾

股定理可知AF=CF=4,OA=5,OF=3,BC=6,利用相似线段比例关系式求出DE,在

直角三角形AADF中，用勾股定理求AD和cosNCAD,因为/CAD=/CBD,利用余

弦值就可以求出BP

27.【答案】（1）解：过点A作直线1如图所示：

M,

P\C

（2）60

（3）两点之间，线段最短

【解析】【解答】（2）解：利用直尺先测量出OA长度，然后以点O为左端点，在射线

ON上找出点C,连接AC,如图所示；

经过测量：^OAC=60°,

故答案为：60；

（3）解：连接AB,与射线ON交于点P,即为所求，

依据两点