北京市2021-2023年中考数学试题分类汇编：解答题（基础题）知识点分类

北京市2021-2023三年中考数学真题分类汇编一03解答题（基础

题）知识点分类

实数的运算（共3小题）

1.（2023•北京）计算：4sin60°+（-1）臼-2|-，适.

3

2.（2022•北京）计算：（TT-1）°+4sin45。-通+|-3|.

3.（2021•北京）计算：2sin60°+A/12+|-5|-°.

二.整式的混合运算一化简求值（共2小题）

4.（2022•北京）已知，+2》-2=0,求代数式x（x+2）+（x+1）2的值.

5.（2021•北京）已知。2+2庐-i=o,求代数式（a-b）2+b（2a+6）的值.

三.分式的值（共1小题）

6.（2023•北京）已知x+2y-l=0,求代数式_,力-4y__^的值.

x2+4xy+4y2

四.一元一次方程的应用（共1小题）

7.（2023•北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别

称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6：4,

左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的」一某人要装裱一副对联，对联的长为

10

100cm,宽为27cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.

（书法作品选自《启功法书》）

第1页（共26页）

装裱后的宽天头

T3

长

X天

T

装

裱

1后

边

0边

c的

m长

:地头长

q-----

边的宽地头

五.解一元二次方程-因式分解法（共1小题）

8.（2021•北京）已知关于x的一元二次方程/-4〃a+3仅2=0.

（1）求证：该方程总有两个实数根；

（2）若%>0,且该方程的两个实数根的差为2,求机的值.

六.解一元一次不等式组（共3小题）

、x+2

x>

9.（2023•北京）解不等式组：亍,

5x-3<5+x

(2+x>7-4x,

10.（2022•北京）解不等式组"-4+x

‘4x-5>x+l

11.（2021•北京）解不等式组'3x-4/-

［丁<x

七.一次函数图象与几何变换（共1小题）

12.（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，一次函数〉=6+6（左片0）的图象由函数y=L

2

的图象向下平移1个单位长度得到.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当x>-2时，对于x的每一个值，函数（加。0）的值大于一次函数

的值，直接写出〃？的取值范围.

八.待定系数法求一次函数解析式（共1小题）

第2页（共26页）

13.（2022•北京）在平面直角坐标系x0y中，函数"W0）的图象过点（4,3）,（-

2,0）,且与y轴交于点N.

（1）求该函数的解析式及点/的坐标；

（2）当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+〃的值大于函数^=依+6（后W0）的值,

直接写出〃的取值范围.

九.三角形内角和定理（共1小题）

14.（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种,

完成证明.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

己知：如图，△43C,求证：N/+NB+/C=180°.

方法一方法二

证明：如图，过点/作〃台C.证明：如图，过点C作CD〃/8.

A

一十.全等三角形的判定与性质（共1小题）

15.（2022•北京）在△NBC中，ZACB^90°,。为△4BC内一点，连接AD,DC,延长

ZX7至U点£,使得CE=DC.

第3页（共26页）

（1）如图1,延长3c到点R使得CF=3C,连接/尸，EF.若//，£尸，求证：BDL

AF；

（2）连接AE,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2.若AB2=AE2+BD2,

用等式表示线段⑦与C”的数量关系，并证明.

图1

一十一.三角形的外接圆与外心（共1小题）

16.（2021•北京）如图，。。是△/8C的外接圆，4D是OO的直径，AD工BC于点E.

(1)求证：ZBAD=ZCAD；

（2）连接30并延长，交/。于点尸，交。。于点G,连接GC.若OO的半径为5,OE

=3,求GC和。尸的长.

一十二.切线的判定（共1小题）

17.（2022•北京）如图，48是。。的直径，CD是。。的一条弦，AB1.CD,连接NC,OD.

（1）求证：NBOD=2N4；

（2）连接。8,过点C作交。8的延长线于点£,延长。O,交NC于点若

下为ZC的中点，求证：直线CE为。。的切线.

第4页（共26页）

c

一十三.圆的综合题（共1小题）

18.（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点b）,N.

对于点尸给出如下定义：将点尸向右（a，0）或向左（a<0）平移同个单位长度，再向

上（620）或向下（6V0）平移向个单位长度，得到点P,点P'关于点N的对称点

为0,称点。为点尸的“对应点”.

（1）如图，点〃■（1,1）,点N在线段（W的延长线上.若点P（-2,0）,点。为点P

的“对应点”.

①在图中画出点Q；

②连接尸。，交线段ON于点7,求证：NT=1VM；

2

（2）。。的半径为1,"是。。上一点，点N在线段。河■上，且ON=f（工若

2

尸为OO外一点，点。为点尸的''对应点"，连接尸。.当点M在OO上运动时，直接写

19.（2021•北京）如图，在△NBC中，AB=AC,ZBAC=a,M为8C的中点，点。在MC

上，以点/为中心，将线段顺时针旋转a得到线段连接BE,DE.

（1）比较/A4E与的大小；用等式表示线段BE,BM,a之间的数量关系，并

第5页（共26页）

证明；

(2)过点M作的垂线，交DE于点、N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，并

证明.

一十五.折线统计图(共1小题)

20.(2022•北京)某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打

分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下面给出了

部分信息.

10,10,10,9,9,8,3,9,8,10

c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:

同学甲乙丙

平均数8.68.6m

根据以上信息，回答下列问题：

(1)求表中m的值；

(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该

同学演唱的评价越一致.据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对的评价更一

第6页(共26页)

致（填“甲”或“乙”

（3）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平

均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，

表现最优秀的是（填“甲”“乙”或“丙”）.

一十六.方差（共1小题）

21.（2023•北京）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm）,

数据整理如下：

小16名学生的身高：

161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175；

6.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：

平均数中位数众数

166.75mn

（1）写出表中他，〃的值；

（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越

好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或

“乙组”）；

甲组学生的身高162165165166166

乙组学生的身高161162164165175

（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168,

168,172,他们的身高的方差为四.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与

9

已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于旦2,其次要求所选的两名学生与

9

已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生

的身高分别为和.

第7页（共26页）

北京市2021-2023三年中考数学真题分类汇编一03解答题（基础

题）知识点分类

参考答案与试题解析

一.实数的运算（共3小题）

1.（2023•北京）计算：4sin60°+（A）-r+|-2|-^/12.

3

【答案】5.

【解答】解：原式=4X近+3+2-26

2

=2正+3+2-2眄

=5.

2.（2022•北京）计算：（TT-1）°+4sin45。-通+|-3|.

【答案】4.

【解答】解：原式=1+4义退_-2&+3

2

=1+2^/2-272+3

=4.

3.（2021•北京）计算：2sin60°+A/12+|-5|-加+、凌）°.

【答案】3->/3+4.

【解答】解：原式=2><恒+2加+5-1

2

=73+273+5-1

=3正+4.

二.整式的混合运算一化简求值（共2小题）

4.（2022•北京）已知X2+2X-2=0,求代数式X（X+2）+（x+1）2的值.

【答案】2/+4x+l,原式=5.

【解答】解：x（x+2）+（x+1）2

—X2+2X+X2+2X+1

=2X2+4X+1,

'/X2+2X-2=0,

••x2+2x=2,

第8页（共26页）

・•・当，+2%=2时，原式=2（X2+2X）+1

=2X2+1

=4+1

=5.

5.（2021•北京）已知42+2庐-i=o,求代数式（a-b）2+b（2a+b）的值.

【答案】1.

【解答】解：原式=/-2仍+■+2必+炉

=/+2序，

9：a2+2b2-1=0,

:.a2+2fe2=L

，原式=1.

三.分式的值（共1小题）

6.（2023•北京）已知x+2y-l=0,求代数式一生唆一的值.

x2+4xy+4y2

【答案】见试题解答内容

【解答】解：：x+2y-l=0,

・・%+2y=1,

•2x+4y2（x+2y）

x2+4xy+4y2（x+2y）2

=2

x+2y

=z

T

=2,

/-----2x+4y的值为2.

n9

x〈+4xy+4y

四.一元一次方程的应用（共1小题）

7.（2023•北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别

称为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般情况下，天头长与地头长的比是6：4,

左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的某人要装裱一副对联，对联的长为

10

第9页（共26页）

100cm,宽为27cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长.

(书法作品选自《启功法书》)

装裱后的宽

天头

A_

天头长

装

裱

后

边一——边

的

长

私长

工

q--------

cm*l边的宽地头

【答案】边的宽为4c加，天头长为24cM.

【解答】解：设天头长为6x,地头长为4x,则左、右边的宽为x,

根据题意得，100+10x=4X(27+2%),

解得x=4,

答：边的宽为4c〃z,天头长为24cm.

五.解一元二次方程-因式分解法(共1小题)

8.(2021•北京)已知关于x的一元二次方程,-4加x+3仅2=0.

(1)求证：该方程总有两个实数根；

(2)若加＞0,且该方程的两个实数根的差为2,求机的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：Va=l,b=-4m,c=3m2,

A—b2-4ac—(-4%)2-4X1X3m2=4m2.

\•无论m取何值时，4//20,即A20,

•••原方程总有两个实数根.

(2)解：方法一：*/x2-4mx+3m2=0,即(x-m)(x-3m)=0,

.*.xi=m,xi=3m.

第10页(共26页)

•：m>0,且该方程的两个实数根的差为2,

「・3机-m=2.

••加=1.

方法二：

设方程的两根为xi,X2,则/1+%2=4加,xi9X2=3m2,

•XI~X2~~2,

（XI-X2）2=4,

（X1+X2）2-4x1X2=4,

・・・（4m）2-4X3加2=4,

.*.m=±L

又m>0,

・•加=1.

六.解一元一次不等式组（共3小题）

，>x+2

9.（2023•北京）解不等式组：彳*?一.

V5x-3<5+x

【答案】1<X<2.

>x+2①

【解答】解：X3J,

5x-3<5+x②

解不等式①得：X>1,

解不等式②得：x<2,

・,・原不等式组的解集为：1V%<2.

'2+x>7-4x,

10.（2022•北京）解不等式组：］14+X

卜<丁.

【答案】1cx<4.

【解答】解：由2+x>7-4x,得：x>l,

由x<4+x,得：%<4,

2

则不等式组的解集为l<x<4.

4x-5>x+1

11.（2021•北京）解不等式组：|3X-4-

,-2-<X

第11页（共26页）

【答案】2<x<4.

【解答】解：解不等式4x-5>x+l,得：x>2,

解不等式”里<X,得：x<4,

2

则不等式组的解集为2Vx<4.

七.一次函数图象与几何变换（共1小题）

12.（2021•北京）在平面直角坐标系xQy中，一次函数〉=履+6（后#0）的图象由函数夕=工

2

的图象向下平移1个单位长度得到.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当1>-2时，对于x的每一个值，函数》=加、（加W0）的值大于一次函数）=履+6

的值，直接写出冽的取值范围.

【答案】⑴尸工-1.

2

（2）工W冽W1.

2

【解答】解：（1）函数歹=L的图象向下平移1个单位长度得到1,

22

・・,一次函数"W0）的图象由函数歹=1的图象向下平移1个单位长度得到，

2

，这个一次函数的表达式为丁=1-1.

2

（2）把x=-2代入歹=L-1,求得歹=-2,

2

，函数（加W0）与一次函数-1的交点为（-2,-2）,

2

把点（-2,-2）代入n=冽％,求得加=1,

•当x>-2时，对于x的每一个值，函数〉=冽、（冽W0）的值大于一次函数-1

的值，

2

第12页（共26页）

2

八.待定系数法求一次函数解析式（共1小题）

13.（2022•北京）在平面直角坐标系xQy中，函数"W0）的图象过点（4,3）,（-

2,0）,且与y轴交于点4

（1）求该函数的解析式及点/的坐标；

（2）当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+〃的值大于函数（左W0）的值，

直接写出〃的取值范围.

【答案】（1）y=L+l,A（0,1）；

2

（2）心1.

【解答】解：（1）把（4,3）,（-2,0）分别代入夕=依+6得,4k+b=3,

l-2k+b=0

解得｛2，

.b=l

一次函数的解析式为>=L+i,

2

当x=0时，7=1+1=1,

2

点坐标为（0,1）；

（2）当时，当x>0时，对于x的每一个值，函数y=x+〃的值大于函数y=Ax+6（左

#0）的值.

九.三角形内角和定理（共1小题）

14.（2022•北京）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，

完成证明.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

第13页（共26页）

已知：如图，AABC,求证：Zy4+Z5+ZC=180".

方法一方法二

证明：如图，过点工作。E〃3c.证明：如图，过点C作CD〃/5.

A

（2）见解答过程.

【解答】证明：方法Lt，：DE〃BC,

：.AB=ABAD,NC=NCAE,

,：ZBAD+ZBAC+ZCAE,

ZB+ZBAC+ZC=180a；

方法二：-CCD//AB,

：.AA=AACD,N8+N8CD=180°,

C.ZB+ZACB+=180°.

一十.全等三角形的判定与性质（共1小题）

15.（2022•北京）在△NBC中，ZACB^90°,。为△4BC内一点，连接AD,DC,延长

ZX7至U点£,使得CE=DC.

第14页（共26页）

(1)如图1,延长3c到点R使得CF=3C,连接/尸，EF.若求证：BDL

AF-,

(2)连接NE,交8。的延长线于点〃，连接CH,依题意补全图2.AB2=AE2+BD2,

用等式表示线段⑦与C"的数量关系，并证明.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：在△BCD和△尸CE中,

'BC=CF

<ZBCD=ZFCE»

LCD=CE

：./\BCD^/\FCE(.SAS),

：.NDBC=ZEFC,

J.BD//EF,

'：AF±EF,

C.BDLAF-,

(2)解：由题意补全图形如下：

CD=CH.

证明：延长2。到下，使CF=BC,连接/尸，EF,

第15页(共26页)

'：AC±BF,BC=CF,

：.AB=AF,

由（1）可知BD=EF,

\'AB2=AE2+BD2,

:.AF2=AE1+EF~,

：.ZAEF=9Q°,

：.AE±EF,

：.BDLAE,

：.ZDHE=90°,

又,：CD=CE,

:.CH=CD=CE.

一十一.三角形的外接圆与外心（共1小题）

16.（2021•北京）如图，OO是△/2C的外接圆，4D是OO的直径，ADLBC于点、E.

（1）求证：ZBAD=ZCAD；

（2）连接80并延长，交NC于点尸，交。。于点G,连接GC.若OO的半径为5,OE

=3,求GC和OF的长.

【答案】（1）证明见解答过程；

（2）GC=6,。尸=空.

11

【解答】（1）证明：是。。的直径，ADLBC,

•••BD=CD«

:.ZBAD^ZCAD；

(2)解：在RtZYBOE中，08=5,OE=3>,

•'•5£=VOB2-OE2=4,

第16页（共26页）

是。。的直径，AD±BC,

:.BC=2BE=8,

是。。的直径，

/.ZBCG=90°,

,',GC=VBG2-BC2=6,

'：AD±BC,/BCG=90°,

：.AE//GC,

：.△AFOsACFG,

•.•—OA.OF"，P即»p-5—OF,

GCFG65-OF

解得：。尸=22.

17.（2022•北京）如图，43是。。的直径，CD是。。的一条弦，ABLCD,连接/C,OD.

（1）求证：NBOD=2/A；

（2）连接DB,过点。作交DB的延长线于点E,延长。O,交NC于点尸.若

尸为/C的中点，求证：直线CE为。。的切线.

【解答】证明：（1）如图，连接AD,

第17页（共26页）

c

・・Z5是。。的直径，AB1.CD,

.*.BC=BD，

：.ZCAB=ZBADf

丁NB0D=2/BAD,

：.ZBOD=2ZA；

(2)如图，连接OC,

•・•/为zc的中点,

：.DFLAC,

：.AD=CD,

：.ZADF=ZCDF,

VBC=BD>

：.ZCAB=ZDAB,

9：OA=OD.

：.ZOAD=ZODAf

：.ZCDF=ZCAB,

•：OC=OD,

：.ZCDF=ZOCDf

第18页（共26页）

；.NOCD=/CAB,

VBC=BC）

：.ZCAB=ZCDE,

：.NCDE=NOCD,

VZE=90°,

：.ZCDE+ZDCE=9Q°,

：.ZOCD+ZDCE=90°,

即OCLCE,

,：OC为半径，

直线CE为0）0的切线.

一十三.圆的综合题（共1小题）

18.（2022•北京）在平面直角坐标系中，已知点b）,N.

对于点尸给出如下定义：将点P向右（。20）或向左（a<0）平移同个单位长度，再向

上（620）或向下（b<0）平移回个单位长度，得到点P,点P关于点N的对称点

为。，称点。为点P的“对应点

（1）如图，点M（1,1）,点N在线段（W的延长线上.若点尸（-2,0）,点0为点P

的“对应点”.

①在图中画出点?；

②连接尸。，交线段CW于点T,求证：NT=LOM；

2

（2）。。的半径为1,M是。。上一点，点N在线段（W上，且ON=f（工</<1）,若

2

尸为。。外一点，点。为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在。。上运动时，直接写

出P。长的最大值与最小值的差（用含/的式子表示）.

第19页（共26页）

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）①）由题意知，P（-2+1,0+1）,

：.P'（-1,1）,

如图，点。即为所求；

②连接PP,

VZP1PO=ZMOx=45°,

：.PP//ON,

,:P'N=QN,

：.PT=QT,

:.NT=LPP、,

2

':PP'=OM,

:.NT=LOM-,

2

(2)如图，连接尸。，并延长至S,使。P=OS,延长SQ到7,使ST=(W,

第20页（共26页）

：.TQ=2MN,

'：MN=OM-ON=1-t,

：.TQ=2-It,

：.SQ=ST-TQ=\-（2-2t）=2f-1,

■:PS-QS^PQ^PS+QS,

：.PQ的最小值为PS-QS,PQ的最大值为PS+QS,

长的最大值与最小值的差为（尸S+QS）-（PS-QS）=2QS=4t-2.

一十四.旋转的性质（共1小题）

19.（2021•北京）如图，在△N8C中，AB=AC,ZBAC=a,M为8c的中点，点。在〃C

上，以点/为中心，将线段AD顺时针旋转a得到线段NE,连接BE,DE.

（1）比较/A4E与的大小；用等式表示线段BE,BM,之间的数量关系，并

证明；

（2）过点M作的垂线，交于点N,用等式表示线段NE1与ND的数量关系，并

证明.

第21页（共26页）

E

【答案】(1)ZBAE^ZCAD,BE+MD=BM；(2)=DN.

【解答】解：(1)VZDAE=ZBAC=a,

：.ZDAE-/B4D=ZBAC-ZBAD,

即/胡

在△4BE和△/CD中，

'AB=AC

<ZBAE=ZCAD-

LAE=AD

:.AABE冬dACD(.SAS),

：.BE=CD,

为8C的中点，

:.BM=CM,

：.BE+MD=BM；

(2)如图，作EHLAB交BC于H,交AB于F,

由(1)A4BE出44CD得:ZABE=ZACD,

'：ZACD^ZABC,

：./ABE=NABD,

在△BE尸和△AH尸中，

，ZEBF=ZHBF

'BF=BF，

1ZBFE=ZBFH

:.ABEFqABHF(ASA),

：.BE=BH,

由(1)知：BE+MD=BM,

：.MH=MD,

\'MN//HF,

第22页（共26页）

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20.(2022•北京)某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打

分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析.下面给出了

部分信息.

10,10,10,9,9,8,3,9,8,10

c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:

同学甲乙丙

平均数8.68.6m

根据以上信息，回答下列问题：

(1)求表中m的值；

(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该

同学演唱的评价越一致.据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致

(填“甲”或"乙”)；

(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平

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均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学中,

表现最优秀的是丙(填“甲”“乙”或“丙”).

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)(10+10+10+9+9+8+3+9+8+10)=8.6；

10

(2)甲同学的方差非甲=工*[2义(7-8.6)2+2X(8-8,6)2+4X(9-8.6)2+2X(10

10

-8.6)2]=1.04,

乙同学的方差$2乙=_1_*[4乂(7-8.6)2+2X(9-8.6)2+4*(10-8.6)2]=1.84,

10

,.•5%〈群乙，

评委对甲同学演唱的评价更一致.

故答案为：甲；

(3)甲同学的最后得分为Lx(7+8X2+9X4+10)=8.625；

8

乙同学的最后得分为工乂(3X7+9X2+10X3)=8.625；

8

丙同学的最后得分为工X(8X2+9X3+10X3)=9.125,

8

...在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙.

故答案为：丙.

一十六.方差(共1小题)

21.(2023•北京)某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm),

数据整理如下：

名学生的身高：

161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,