三角形中的8字模型和燕尾模型-2023年中考数学几何模型重点突破训练

专题04三角形中的8字模型和燕尾模型

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【模型1】“8字”模型

如图，已知AC与BD相交于点0,连接AD,BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得NZ+ND=NB+NC；

根据三角形两边之和大于第三边，可得4D+3C<4C+3D。

【模型变式1】

如图已知BD与AC相交于点。，点E在0A上，连接AD,DE,BC；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得

NA+ZADO=ZB+ZC=NDEO+/EDO。

【模型变式2】

如图DB与DG分别交AF于C点，E点，连接AB,GF；根据三角形内角和定理和对顶角相等可得

ZA+ZB=ZG+ZF=ZD+180°.

BG

【模型2】“燕尾”型

如图在四边形ABOC中，可根据外角定理：三角形的一个外角等于不与它相邻的两个内角的和，可得

NBOC=ZA+ZB+ZC.

【模型变式1】

如图在A48C中，点D,E,F分别在AB,BC,AC上，AE,BF,CD相交于点0。可得:

①^AAOBSMOC=BE:CE:

②S.°B：Sg℃=AF:CF

③SABOC:SMOC=BD:AD

【证明】如图，分别过点B,点C作BG垂直于AE于G点，作CP垂直于AG的延长线于P点。

在ZU8C中，...SMOB=LZO・8G；SMOC=-AO»CP

LXrlVJD22

：.SMOB-.S^OC=\^AO-BG\-.\^AO-CP\=BG：CP

在A5GE和NCPE中，ABGE=ZCPE=90°；NBEG=ZCEP；

ABGEsACPE

BGBE

"CPCE

SMOB''S\AOC=BE:CE

问理可证：S^OB:S耶oc='F:CF；S砧°C:^^AOC=BD:AD

【例1】如图，小ABC沿小ADE,ZCAD=10°fAB=25°,ZEAB=120°9求/。必和NDG5的度数.

【答案】NDFB=90。,ZDGB=65°

【分析】由可得NDAE=NB4c=g(/EAB一NCAD),根据三角形外角性质可得

/DFB=/FAB+/B,因为NE45=/C4O+/C4B,即可求得N。/咕的度数；根据三角形外角的性质可得

NDGB=NDFB-ND,即可得NQG5的度数.

【解析】解：

:・/BAC=/DAE,/B=ZD,

VZEAB=120°,ZCAD=10°fAB=25°,

J/D=NB=25。，

ZDAE=ABAC=^(ZEAB-ZCAD)

=1x(120°-10°)

=55°,

J/DFB=/FAB+/B

=ZCAD+ZCAB+ZB

=10°+55°+25°

=90°,

/.ZDGB=ZDFB-Z2)=90°-25°=65°.

：.ZDFB=90°,ZDGB=65°.

【例2】如图1,已知线段45、。。相交于点。，连接CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”.试

解答下列问题:

（图1）（图2）

（1）在图1中，请直接写出N/、SB、NC、ND之间的数量关系：；

（2）如图2,在图1的条件下，/DN8和N3CD的平分线/尸和CP相交于点P,并且与C。、45分别相交于

M、N.请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：

①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；

②若40。,28=50。，试求/尸的度数；

③若和DB为任意角，其他条件不变，试问N尸与乙D、之间是否存在一定的数量关系？若存在，请

写出推理过程；若不存在，请说明理由；

④若ND和DB/为任意角,NDAB=3N2,乙DC8=3Z4,试问NP与ND、DB之间是否存在一定的数量关系？

若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴ZA+/D=NC+NB

（2）①6②/尸=45。③存在（理由见解析）④存在，2NB+ND=3NP

【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出结论.

（2）①分别找到以交点M、0、N为顶点的能构成“8字形”的三角形，避免漏数.

②利用“8字形”的数量关系并结合角平分线的定义，可求出ZP的度数.

③和②同理

④利用“8字形”的数量关系并结合“NA48=3N2,NDC2=3N4”即可得出结论.

【解析】⑴解：••・在八4。。中，4+4»+4。。=180。

在△COB中，ZC+Z5+ZCO5=180°

ZAOD=ZCOB（对顶角相等）

ZA+ZD=ZC+NB

（2）①解：以M为交点的有1个，即为和！CMP

以。为交点的有4个，即为A40D和△COB,A/OM和ABOC,A/（W和ACON,八4。。和ACON

②解：--AP^ZDAB,CP平分/BCD

2/1=ZOAD,2Z3=ZOCB

由（1）中的结论得：

Z1+ZD=Z3+ZP,

2Z1+ZD=2Z3+Z5

整理得：/B+ND=2NP

③解：NB+ND=2/P理由如下：

・••AP平分CP平分N3CZ）

2/1=ZOAD,2Z3=ZOCB

由（1）中的结论得：

/1+/0=/3+/尸，

2Z1+ZD=2Z3+Z5

整理得：/B+ND=2NP

④解：2N2+ND=3N尸理由如下:

由（1）中的结论得：

/2+/P=N4+NB

3Z2+ZD=3Z4+ZB

整理得：2ZB+ZD=3ZP

一、单选题

1.如图，3。是OO的直径，点尸在8c的延长线上，P4与。。相切于点力,连接2。，若NP=40。,

则ZADB的度数为（）

D

A.65°B.60°C.50°D.25°

【答案】A

【分析】由切线性质得出/P4O=90。，根据三角形的内角和是180。、对顶角相等求出乙40P=50。,

即可得出答案；

【解析】解：••・必与。。相切于点4是。。的直径，

「•OALPA,

/.ZPAO=90°,

vZP=40°,

ZAOP=50°f

ZBOD=ZAOP=50°,

,;OB=OD,

/.ZOBD=ZODB,

ZADB=|x（180°-50°）=65°,

故选：A.

2.如图，和cr）相交于点。，ZA=ZC,则下列结论中不能完全确定正确的是（）

A./B=NDB.Zl^ZA+ZDC.Z2>ZDD.ZC=ZD

【答案】D

【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可.

【解析】VZA+ZAOD+ZD^1SO°,ZC+ZCOB+NA=NC,ZAOD^ZBOC,

：.NB=ND,

'：Z1=Z2^ZA+ZD,

：.Z2>ZD,

故选项4B,C正确，

故选D

3.如图，Zl=60°,则NA+NB+NC+ND+NE+NF=(

A.240°B.280°C.360°D.540°

【答案】A

【分析】根据三角形内角和定理得到NB与NC的和，然后在五星中求得N1与另外四个角的和，加在一起

即可.

【解析】解：由三角形外角的性质得：Z3=ZA+ZE,Z2=ZF+ZD,

VZ1+Z2+Z3=18O°,Zl=60°,

AZ2+Z3=120°,

即：ZA+ZE+ZF+ZD=120°,

VZB+ZC=120°,

JNA+NB+NC+ND+NE+NF=2400.

故选A.

4.如图是由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形，/D=28。，则/A+/B+/C+/F的度数为（

C.208°D.236°

【答案】C

【解析】；如图可知/尸+/8,ZCGE=ZC+ZA,

又,/ABED=/。+NEGD,

NF+NB=ND+NEGD,

又,/ZCGE+NEGD=180°,

/.ZC+ZA+ZF+ZB-ZD=1SO°,

又：ZD=28°,

zL4+Z5+ZC+ZF=180o+28°=208°,

故选C.

5.在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果44=52。,/8=25。，

NC=30°/D=35°/E=12。，那么乙F的度数是（）.

A.72°B.70°C.65°D.60°

【答案】A

【分析】延长交C尸的延长线于O,连接/O,根据三角形内角和定理求出N2OC,再利用邻补角的性质

求出NDEO,再根据四边形的内角和求出/DFO,根据邻补角的性质即可求出/0FC的度数.

【解析】延长2E交CF的延长线于。，连接/。，如图，

ZOAB+ZB+ZAOB=180°,

ZAOB^l80°-ZB-ZOAB,

同理得ZAOC=180°-NOAC-ZC,

•：/AOB+ZAOC+ZBOC=360°,

・・・ZBOC=360°-ZAOB-ZAOC

二360。—(180°-AB-ZOAB)-(180°-ZOAC-ZC)

=4+/C+/A4C=107：

・.・ABED=72°,

.../DEO=180。—/BED=108°,

・•・ZDFO=360°-ZD-/DEO-/EOF

=360°-35°-108°-107°=110°,

・•・ZDFC=180。一ZDFO=180。—110。=70。，

故选：A.

6.如图所示，N/+N5+NC+NQ+NE的结果为()

A.90°B.360°C.180°D.无法确定

【答案】C

【解析】如图，连接BC,

ZD+ZE+ZDOE=ZBOC+ZOCB+ZBOC=180°,NDOE=NBOC,

：.ZD+ZE=ZOBC+ZOCBf

XVZA+ZABO+ZACO+AOBC+ZOCB=180°,

・•・ZA+ZABO+ZACO+ZD+ZE=1SO0.

故选：C.

c

二、填空题

7.如图，^.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZI=

【答案】900°

【分析】根据多边形的内角和，可得答案.

；6边形48CDEFK的内角和=(6-2)x180°=720°,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+NF=720°一(Z1+Z2),

即NN+/3+/C+NO+/E+/F+(Z1+Z2)=720°,

VZ1+Z2=Z3+Z4,Z5+Z6+Z77=180°,

+Z5+ZC+ZD+ZE+ZFZH+(Z3+Z4)=900°,

+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF(Z3+Z4)+Z5+Z6+Z//=720°+180°,

N/+/2+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+Z1=900°,

故答案为：900°.

8.如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=°,

A

【答案】180

【分析】如图根据三角形的外角的性质，三角形内角和定理可知/1=N2+N2,Z2=ZD+ZE,N4+

Zl+ZC=180°,由此不难证明结论.

【解析】解:如图,

VZ1=Z5+Z2,Z2=ZD+ZE,ZA+Z1+ZC=180°,

：.ZA+ZB+ZD+ZE+ZC=180°,

故答案为：180.

9.如图，ZA+ZB+ZC+AD+AE+AF+AG+AH=.

【答案】360°

【分析】连接C凡根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：N2=NG+/H,/3=N4+NB,

Z1=ZZ)+Z£,=Z4+Z5,根据四边形的内角和为360。，可得：/2+/3+/GEE+/4+/5+/OC8

=360°即NG+/»+//+

【解析】解：如图，连接/C,

A

由三角形外角的性质可得：

Z2=ZG+ZH,

Z1=ZZ)+Z£,=Z4+Z5,

根据四边形的内角和为360。，可得：Z2+Z3+ZGF£,+Z4+Z5+Z£>C5=360°

即NG+ZH+ZA+ZB+ZGFE+ZD+ZE+ZDCB=360°,

故答案为360。.

10.如图，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH^.

【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得N2与/〃、NG的关系，N1与N2、

的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案.

【解析】解：如图：

由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得

Z2=ZH+ZG,Zl=Z2+ZD,

Z1=Z//+ZG+Z£>,

ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+NG+ZH

=ZA+ZB+ZC+ZE+ZF+ZH+NG+ZD

=180°x(6-2)

=270°.

故答案为：720。.

三、解答题

11.如图所示，已知四边形4BDC,ZBDC=ZA+ZB+ZC.

【答案】见解析

【分析】方法1连接2C,根据三角形内角和定理可得结果；

方法2作射线根据三角形的外角性质得到N3=4+4,Z4=ZC+Z2,两式相加即可得到结论;

方法3延长8D,交/C于点E,两次运用三角形外角的性质即可得出结论.

【解析】方法1如图所示，连接2c

在ANBC中，ZA+ZABC+ZACB=180°，ZA+ZABD+Z1+ZACD+Z2,=180°.

在△BCD中，•.•N3OC+Nl+N2=180°,

NBDC=ZA+ZABD+ZACD；

方法2如图所示，连接/。并延长.

/3是△力的外角，

Z3=Z1+ZABD.

同理，Z4=Z2+ZACD.

Z3+Z4=Zl+Z2+ZABD+ZACD.

即ZBDC=ZA+ZABD+ZACD.

方法3如图所示，延长3D,交/C于点E.

;NDEC是△/3E的外角，

:.ZDEC^ZA+ZABD.

•.•NBDC是ADEC的外角，

NBDC=/DEC+ZACD.

ZBDC=ZA+ZABD+ZACD.

12.如图，AM、CM分别平分N3AD和Z8CZ),若48=42。，40=54。，求的度数.

CD

【答案】ZM=48°.

【分析】根据三角形内角和定理用NB、/M表示出NBAM/BCM,再用NB、NM表示出NMAD/MCD,

再根据角平分线的定义可得/BAM/BCM=/MADNMCD,然后求出NM与/B、/D关系，代入数据进

行计算即可得解；

【解析】解：根据三角形内角和定理，ZB+ZBAM=ZM+ZBCM,

.*•ZBAMZBCM=ZMZB,

同理，ZMADZMCD=ZDZM,

VAM,CM分别平分/BAD和/BCD,

ZBAM=ZMAD,ZBCM=ZMCD,

.\ZMZB=ZDZM,

AZM=-（ZB+ZD）=-（42°+54°）=48°；

22

13.如图，BP平分乙4BC,交CD于点F,DP平分乙4DC交.4B于点、E,/B与CD相交于点G,NN=42。.

（1）若ZADC=60。，求NNEP的度数；

（2）若NC=38。，求N尸的度数.

【答案】（1）72°；（2）40°.

【分析】G）根据角平分线的定义可得NADP=g/ZDC,然后利用三角形外角的性质即可得解;

（2）根据角平分线的定义可得/ADP=/PDF,ZCBP=ZPBA,再根据三角形的内角和定理可得

NA+NADP=NP+/ABP,ZC+ZCBP=ZP+ZPDF,所以NA+NC=2NP,即可得解.

【解析】解：（1）；DP平分/ADC,

ZADP=ZPDF=|NADC,

•：N/DC=60。，

ZADP=30°,

ZAEP=ZADP+44=30°+42°=72°；

(2)；BP平分NABC,DP平分NADC,

，NADP=NPDF,ZCBP=ZPBA,

ZA+ZADP=ZP+ZABP,

ZC+ZCBP=ZP+ZPDF,

.\ZA+ZC=2ZP,

VZA=42°,ZC=38°,

AZP=1(38。+42。)=40°.

14.(1)如图①，求的度数；

(2)如图②，求//+/8+/C+ND+/E+/尸+/G+/8的度数;

(3)如图③，求//+/3+/C+NO+/E+/F+/G的度数.

【答案】(1)360°；(2)720°；(3)540°

【分析】(1)连接ND,根据三角形的内角和定理得N2+/C=N8/D+/CD/,进而将问题转化为求四边

形/DE尸的内角和，

(2)与(1)方法相同转化为求六边形N2CDE尸的内角和，

(3)使用上述方法，转化为求五边形/2CDE的内角和.

【解析】解：(1)如图①，连接AD,

由三角形的内角和定理得，NB+NC=NBAD+NCDA,

：.ZBAF+ZB+ZC+ZCDE+ZE+ZF=ZBAF+ZBAD+ZCDA+ZD+ZE+ZF

即四边形ND跖的内角和，四边形的内角和为360。，

ZBAF+ZB+ZC+ZCDE+ZE+ZF=360°,

(2)如图②，由(1)方法可得：

ZBAH+ZB+ZC+ZD+ZE+ZEFG+ZG+NH的度数等于六边形ABCDEF的内角和，

AZBAH+ZB+ZC+ZD+ZE+ZEFG+ZG+(6—2)x180°=720°,

(3)如图③，根据(1)的方法得，ZF+ZG=ZGAE+ZFEA,

ZBAG+ZB+ZC+ZD+ZDEF+ZF+ZG的度数等于五边形ABCDE的内角和,

AZBAG+ZB+ZC+ZD+ZDEF+ZF+(5-2)x180°=540°,

如图1,AB、CD交于点。，我们把和△30C叫做对顶三角形.

结论：若△/QD和△80C是对顶三角形，则//+/£)=NB+NC.

结论应用举例：

如图2：求五角星的五个内角之和，即N/+/3+/NCE+/4D3+NE的度数.

解：连接CD,由对顶三角形的性质得：ZB+ZE=Z1+Z2,

在中，VZA+ZACD+ZADC^18Q°,

即ZA+Z3+Z1+/2+/4=180°,

ZA+ZACE+AB+ZE+ADB=180°

即五角星的五个内角之和为180°.

解决问题:

(1)如图①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=_；

(2)如图②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG=

(3)如图③,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=

(4)如图④,ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZM+ZN^.

请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程.

,D

图③

【答案】(1)360°；(2)540°；(3)720°；(4)1080°；过程见解析

【分析】(1)连接CD,由对顶角三角形可得/N+/B=/5£>C+N/CZ),再由四边形的内角和定理得出结

论；

(2)连接ED,由对顶角三角形可得+再由五边形的内角和定理得出结论；

(3)连接3/7、DE,由对顶角三角形可知NE3/Z+/瓦江>=/"£>£+再根据五边形的内角和定理

得出结论；

(4)连接A©、NE,由对顶角三角形可知/1+N2=/NG"+/E〃G,再由六边形的内角和定理得出结论.

【解析】解：(1)连接CD,由对顶角三角形可得N/+NB=N3DC+N/CD,则N/+N3+NC+NO+

NE+N尸=360°；

(2)连接£»,由对顶角三角形可得+则N/+/8+/C+/D+/E+4F+

NG=540。；

(3)连接3"、DE,

由对顶角三角形可知NE3//+ABHD=ZHDE+ABED,

：.AA+AB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+4H=五边形CDEFG的内角和+AABH的内角和=540。+

180°=720°；

(4)连接ND、NE,

'：由对顶角三角形可知N1+N2=/NGH+ZEHG,

：.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH+ZM+NN=六边形BCFGHM的内角和+AAND的内角

和+的内角和=(6-2)X180°+360°=1080°.

D

图③

故答案为:360°；540°；720°；1080°.

16.模型规律：如图1,延长CO交48于点。，则40C=Zl+/3=/4+/C+/5.因为凹四边形4BOC

形似箭头，其四角具有“Z80C=乙4+48+/C”这个规律,所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”.

模型应用

（1）直接应用：

①如图2,ZA=60°,ZB=20°,ZC=30°,贝!J/BOC=

②如图3,ZA+ZB+ZC+ZD+Z£+Z