湖南省某中学2024-2025学年高三年级上册第一次调研考试数学试题

长郡中学2025届高三第一次调研考试

数学

本试题卷共4页.时量120分钟，满分150分.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知集合A={NV*0}l=》炉…2<0},则AC5=()

A.{0,1}B.{-1,0}C.{0,1,2}D.{-1,0,1}

【答案】A

【解析】

【分析】由因式分解分别求出高次方程和二次不等式的解集，再由集合的运算得出两个集合的交集。

【详解】Vx3-x=x(x+l)(x-l)=0

/.A={-1,0,1}

%2—x—2=(x—2)(x+l)<0

.•・5=(-1,2)

.,.AnB={0,l}

故选：A

2.已知加，”是两条不同的直线，。，分是两个不同的平面，则机〃a的一个充分条件是()

A.m//n,n//aB.m///3,a//夕

C.m1.n,naD.mc\n=A,n//

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由空间中线面关系以及线面平行的判定定理逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A,由机〃a可得加ua或加〃a,故A错误；

对于B,由加〃万,a〃夕可得mua或加〃a,故B错误；

对于C,由771，〃,“_1_名加a。可得加〃。，故C正确；

对于D,由mc〃=A,”〃可得774a相交或用〃a,故D错误；

故选：C

的展开式中的常数项是(

A.第673项B.第674项

C.第675项D.第676项

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解.

【详解】由二项式的展开式为乙=Co25(石产5T(--)「=(-2)，C0251丁

675

令2025-3r=0,解得厂=675,止匕时T616=(-2).C意，

/八2025

所以二项式标-』的展开式的常数项为第676项.

故选：D.

4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐

器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为

25cm,公共底面的半径为15cm,铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为gg/cm?,现有青铜材料

1000kg,则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为()(注：71^3.14)

【答案】C

【解析】

【分析】先根据圆台的体积公式计算求解铜鼓的体积，然后根据材料体积求解即可.

【详解】依题意圆台的上底面半径为15cm,下底面半径为25cm,高为15cm,

所以铜鼓的体积V=2x1x（152+252+15x25）7ixl5工38465（cm3）,

又1000000工3.25,故可以打造这样的实心铜鼓的个数为3.

38465x8

故选：C

5.己知定义在（0,+“）上的函数八％）满足〃x）＜x（r（x）—1）（/'（X）为/（%）的导函数），且

/（1）=0,则（）

A./（2）＜2B./（2）＞2

C./（3）＜3D./（3）＞3

【答案】D

【解析】

【分析】由已知可得令g（x）=/@—Inx,可得g（x）在（0,+s）上单调递增，进而

XXX

可得/（3）＞31n3,/（2）＞21n2,可得结论.

【详解】由题意可得靖（力―/（%）＞x,即：叫/（#〉L

XX

令g（x）=/fcLlnx,则g，（耳/‘叫/（”_.〉0,

所以g（x）在（0,+8）上单调递增，因为/⑴=0,所以g⑴=/'⑴—lnl=0,

所以g（3）＞g（l）=0,所以勺1—in3〉0,所以〃3）＞31n3＞3,

所以g（2）＞g⑴=0,所以qi—in2〉0,所以〃2）＞21n2,

又21n2＜2,故"2）与2的大小关系不确定.

故选：D.

6.已知过抛物线。：丫2=2°武0＞0）的焦点尸且倾斜角为7的直线交。于43两点，"是A3的中

点，点尸是C上一点，若点M的纵坐标为1,直线/:3x+2y+3=0,则P到C的准线的距离与尸到/的

距离之和的最小值为（）

A3疝口5^/13「3而n9713

A.-----D.-----C.-----D.-------------

26261326

【答案】D

【解析】

【分析】首先联立A3与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得P,进一步通过抛物线定义、三角形三边

关系即可求解，注意检验等号成立的条件.

【详解】由题得。的焦点为设倾斜角为]的直线A3的方程为丁=*"，

与C的方程/=2px（联立得J—2py—°2=o,

设40i，yi）,B（X2，y2），则%+%=22=2,2=1,故C的方程为V=2x,b[g,0）.

由抛物线定义可知点P到准线的距离等于点尸到焦点F的距离，

联立抛物线C:丁=2x与直线/:3x+2y+3=0,化简得9/+io%+9=0,

由△=100—4x9x9=—224<0得C与/相离.

Q,S,R分别是过点p向准线、直线/:3x+2y+3=0以及过点F向直线/：3x+2y+3=0引垂线的垂

足，连接FP,bS,

所以点P到C的准线的距离与点P到直线I的距离之和|Pe|+|PS|=|PF|+|PS|>\FS\习ER|,等号成立当

且仅当点P为线段用与抛物线的交点，

所以P到C的准线的距离与P至!]/的距离之和的最小值为点/[）,0卜直线/：3x+2y+3=0的距离，即

3x-+0+3

\FR\=29屈.

'1A/32+2226

故选：D.

7.已知函数/(x)=2sin(s+0)69>0,|^|<^-j,对于任意的x《R,

/（X）+/=0都恒成立，且函数〃龙）在-已0上单调递增，则0的值为（）

A.3B.9C.3或9D.73

【答案】A

【解析】

【分析】根据正弦型函数的单调性先确定周期的取值范围，从而缩小。的取值范围，结合正弦型三角函数

的对称性可得符合的3的取值为0=3或9,分类讨论验证单调性即可得结论.

【详解】设函数/（x）的最小正周期为丁，因为函数/（x）在-2,0上单调递增，所以

T2

,得—=TN—,因此0v69410.

2口5

由/+=—xj知/（X）的图象关于直线犬=^|对称，则。^|+夕=%1兀+］，%eZ①.

由/（%）+/《—％）=。知/（X）图象关于点对称，则0方+夕=42兀&£Z②.

JTJT

②一①得®不二（42一勺）兀一5，尤，左2£Z,令人二心一左1，则幻=6左一3,左wZ,

结合0vG<10可得G=3或9.

当0=3时，代入①得夕=（+左兀,6eZ,又M<5,所以夕=：，

此时/(x)=2sin〔3x+：］,因为—④<3x+：<?故“X）在$,0上单调递增，符合题意;

当。=9时，代入①得9=---1-k^n,左1eZ,又倒<为，所以夕=—了,

424

此时/（x）=2sin（9x—：）,因为一c兀兀

<9x—<—

2044

故/(%)在［-彳,。)上不是单调递增的，所以0=9不符合题意，应舍去.

综上，。的值为3.

故选：A.

8.如图，已知长方体ABC。—AB'C'D'中，AB=BC=2,44=后，。为正方形A3CD的中心点，

将长方体A3CD-AB'C'。'绕直线0。'进行旋转.若平面a满足直线0/7与a所成的角为53°,直线

43

/_La,则旋转的过程中，直线AB与/夹角的正弦值的最小值为()(参考数据：sin53°«j,cos53°«-)

4布-3036—4小373+3「473+3

AA.-------------B.-------------C.-------------D.-------

10101010

【答案】A

【解析】

【分析】求出直线O。'与C'D'的夹角，可得C'。'绕直线0。'旋转的轨迹为圆锥，求直线与/的夹角,

结合图形可知，当/与直线ZZE平行时，C'。'与/的夹角最小，利用三角函数知识求解即可.

【详解】在长方体ABC。—ABC'。'中，AB//CD',则直线AB与/的夹角等于直线C'。'与/的夹角.

长方体ABCD—ABC'。'中，AB=BC=2,A4'=也，。为正方形ABCD的中心点，

(J22+22Y7/-\2

则OD'=OC'=----------+(72)=2.又C'D'=2,

所以△OC'D是等边三角形，故直线OD'与CD的夹角为60。.

则C'。'绕直线0。'旋转轨迹为圆锥，如图所示，ZCD'O=60°.

因为直线0。'与a所成的角为53°,l±a,所以直线。。'与/的夹角为37。.

在平面C'D'O中，作Z7石，D'F,使得NODE=NOD'F=37°.

结合图形可知，当/与直线曾'石平行时，C'。'与/的夹角最小，为NC'DE=60°—37°=23°,

易知ZCD'F=60°+37°=97°.

设直线C'。'与/的夹角为。，则23。＜。＜90。，故当。=23。时sin。最小，

而sin23°=sin（60°-37°）=sin60°cos370-cos60°sin37°

=sin60°sin530-cos60°cos53°«撞二2,

10

故直线AB与l的夹角的正弦值的最小值为

10

故选：A

【点睛】关键点点睛：解题中在平面C'D'O中，作曾E,D'F,使得NOD'E=NODE=37°,结合图形

可知，当/与直线ZZE平行时，C'。'与/的夹角最小，为NC'DE=60°—37°=23°是关键.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某机械制造装备设计研究所为推进对机床设备的优化，成立A3两个小组在原产品的基础上进行不同

方向的研发，A组偏向于智能自动化方向，5组偏向于节能增效方向，一年后用简单随机抽样的方法各抽

取6台进行性能指标测试（满分：100分），测得A组性能得分为：91,81,82,96,89,73,8组性能得分

为：73,70,96,79,94,88,则（）

A.A组性能得分的平均数比B组性能得分的平均数高

B.A组性能得分的中位数比B组性能得分的中位数小

C.A组性能得分的极差比3组性能得分的极差大

D.B组性能得分的第75百分位数比A组性能得分的平均数大

【答案】AD

【解析】

【分析】根据计算公式分别计算A3两个小组的平均数、中位数、极差、第75百分位数，再对各选项逐一

判断即可.

【详解】由题意可得A组性能得分的平均数为-------------------------85.3，

6

73+70+96+79+94+88

3组性能得分的平均数为-83.3,

6

所以A组性能得分的平均数比3组性能得分的平均数高，A说法正确;

QO-L20

A组性能得分73,81,82,89,91,96的中位数为-------=85.5,

2

B组性能得分70,73,79,88,94,96的中位数为-------=83.5,

2

所以A组性能得分的中位数比3组性能得分的中位数大，B说法错误；

A组性能得分的极差为96-73=23,B组性能得分的极差为96-70=26，

所以A组性能得分的极差比B组性能得分的极差小，C说法错误；

B组性能得分70,73,79,88,94,96共6个数据，6x0.75=4.5，

所以3组性能得分的第75百分位数为94,比A组性能得分的平均数大，D说法正确；

故选：AD

10.嫁接，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽，嫁接到另一株植物的茎或根上，使接在

一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截

面，如图所示，其中AC,3。分别为两个截面椭圆的长轴，且A,C,瓦。都位于圆柱的同一个轴截面上，

AO是圆柱截面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为02’则能够保证|。户

的的值可以是（）

1

R正

B6丁丁

C」『叵4a

2734

【答案】AD

【解析】

1

-1

1r21r2J

【分析】根据勾股定理，结合离心率公式可得F—l=r，F—1=F，即可根据〃得T—>2,

e；n~纭m~，-1

e；

逐一代入即可求解.

【详解】设AD=2r,AB=2m,CD=2〃,且力之后加，

故§£)=ylAB2+AD2=2-Jm2+r2,AC=y]CD2+AD2=2，川+产,

AC=&+/，%=前=7m2十户

222

eFne

由于〃272m，故〃2>2m2，故二节-二版>2,即-j>2，

--------1-------------1

e；n2e；

对于A，G=g,e2g满足与

=2>2,故A正确,

21

对于B,e、，,e,=叵,1一=|<2,故B错误,

1225J3

e\

“工DA/3,40%_27+后「出、口

对于B,=〒，1—=而2,故C锢厌,

7一1

ei

对于D,e,=—,e2=—，-7一=(>2,故D正确,

34112

~2~[

e\

故选：AD

II.对于任意实数无,孔定义运算“㊉"％㊉y=|x—y|+x+y,则满足条件。㊉〃=力㊉c的实数a,dc的值

可能为（）

A.a=-log050.3,人=0.4°3,c=log050.4

B.0=0.4%/?=log050.4,c=-log050.3

C.ci=0.09,b=-7T-j-,c=In—

e019

D.4=学，z?=ln—,c=0.09

e019

【答案】BD

【解析】

【分析】由a㊉八力㊉c,可得|a—4+a+A=|〃-c|+A+c,可得bNa,bNc,故只需判断四个选项中的

6是否为最大值即可，利用函数函数y=logo$x为减函数，y=0.4,为减函数可判断AB；构造函数

A1y

〃x）=（l—x）eX,xe[0,l）,利用单调性可得0.09<F，进而再构造函数人（同==+皿1—%）,年[0,1）,

ec

求导可得〃（x）=（；；:;,再构造函数o（x）=（l—e"利用单调性可判断CD.

【详解】由a㊉/?=）㊉c,可得,一4+a+Z?=c|+Z?+c,BP|tz—Z?|—|Z?—c|=c—ci,

若aWb,cWb,可得,一百一|〃一c|=c-a,符合题意，

若aWb,c>b,可得|a—4一我一c|=2/?—a-c,不符合题意，

若a>b,cWb,可得,一百一尼一4=a-c,不符合题意，

若a>b,c>b,可得|。一目一|人一（?|=c+a-2b,不符合题意，

综上所述a—bWO,b-c>0,可得bNa,bNc,

故只需判断四个选项中的6是否为最大值即可.

对于A,B,由题知一1080.5。.3=1080.5，<1。80.51=。，而0<0.4°3<0.4°=1，

log050.4>log050.5=1,所以-log。$0.3<0.4°3<log050.4.

（点拨：函数y=logo_5X为减函数，y=0.4、为减函数），

对于A,a<b<c-,对于B,c<a<b,故A错误，B正确.

2i92=O.9e01=(1-0.1)e01,

对于C,D,

eai

（将0.9转化为1一0.1,方便构造函数）构造函数〃x）=（l—力巴140,1）,

则r（x）=re"因为x«0,l）,所以（'（x）WO"⑺单调递减,因为"0）=1,所以（（0.1）<l,

即0.9e°」<l,所以0.09<苧.（若找选项中的最大值，下面只需判断粤与In^的大小即可）

ee“

0.1,100.1,901

-xy—In—=—T-：—Inln—=—+ln(l-0.1)，

e019e0J+10e01I7

jr1-x1_~qX

构造函数/i(x)=；+ln(l—x),xe[0,l),则"(x)=

cex1-xe'(l-x)

因为尤所以e%l—X)>0,令o(x)=(l-x)2—e),则R(x)=—2(1—x)—e*,

当xe[0,1）时，R（x）<O,0（x）单调递减,因为0（0）=0,

所以。（x）W0,即"（x）W0,/z（x）单调递减，又&（0）=0,所以〃（0.1）<0,

即—^y+ln（l—0.1）<0,所以

e-e9

综上，0.09<—<In—.对于C,a<b<c；对于D,c<a〈b,故C错误，D正确.

e019

（提醒：本题要比较0.09与In©的大小关系的话可以利用作差法判断，

9

即0.09-lnW=0.1x0.9-lnI=(l-0.9)x0.9+ln0.9,

9A

构造函数g(x)=(1r)x+lnx,xe(0,f|,

_J_-2f+x+1=(2x+l)(-x+1)

则g'(x)=12r+=

xxX

因为xe（O,l],所以之0,g（x）单调递增,因为g⑴=0,所以g（0.9）<0,

即0.09—ln——<0,所以0.09<ln—）

99

故选：BD.

【点睛】方法点睛：本题考查定义新运算类的题目，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的

数据代入进行运算，构造函数，利用函数的单调性与最值比较数的大小.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

2—7

12.在复平面内，复数z对应的点为（1,1）,则——=.

1+Z

…山、13i

【答案】

【解析】

【分析】根据复数的几何意义可得z=l+i，即可由复数除法运算求解.

【详解】由于复数Z对应的点为（1,1）,所以z=l+i，

2-zJ-i_（l-i）（2-i）_l-3i_l_3i

故1+z2+i（2+i）（2-i）555;

-IQ.

故答案为：--y

13.写出一个同时满足下列条件①②③的数列｛厮｝的通项公式a”=.

①4_包是常数，机,“eN’且机W〃；②4=2%；③｛a“｝的前〃项和存在最小值.

m-n

【答案】77-4（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据等差数列的特征，不妨选择等差数列，然后根据题目条件利用等差基本量的运算求解通项公

式,即得解.

【详解】由题意，不妨取数列｛。九｝为等差数列，设其首项为4,公差为d,

由②可知线=4+5d=2%=2（4+4d）,则％=-3d,又％~%=1是常数，满足①，

m-n

由③｛an｝的前〃项和存在最小值，故等差数列｛&J单调递增，取d=l,则4=-3,

故4=〃—4,此时当〃=3或〃=4时，的前〃项和取到最小值为—6,

所以同时满足条件①②③的数列｛aj的一个通项公式4=〃-4.

故答案为：〃—4（答案不唯一）

14.清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁•查理

•卡特兰的名字命名）.有如下问题：在〃x〃的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右

走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有

多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数C：］.如图，现有3x4的格子，每一步只能往上或往右

走一格，则从左下角A走到右上角3共有种不同的走法；若要求从左下角A走到右上角3的

过程中只能在直线AC的右下方，但可以到达直线AC,则有种不同的走法.

【答案】①.35②.14

【解析】

【分析】根据题意，由组合数的意义即可得到结果，结合卡特兰数的定义，即可得到结果.

从左下角A走到右上角8共需要7步，其中3步向上，4步向右，

故只需确定哪3步向上走即可，共有C；=35种不同的走法；

若要求从左下角A走到右上角3的过程中只能在直线AC的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），

则由卡特兰数可知共有C；-C；=14种不同的走法，

又到达右上角。必须最后经过3,所以满足题目条件的走法种数也是14.

故答案为：35；14

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知〃为圆/+=9上一个动点，垂直x轴，垂足为N,。为坐标原点，的重心为G

（1）求点G的轨迹方程；

（2）记（1）中的轨迹为曲线C,直线/与曲线C相交于48两点，点Q（O,1）,若点”（、行,0）恰好是

△A3Q的垂心，求直线/的方程.

【答案】（1）亍+/=1（冷片0）

（2）>=氐3

【解析】

X二

4

【分析】（1）设G（x,y）,M（Xo，%），根据G为的重心，得彳，代入器+公=9,化简即

I3

可求解.

（2）根据垂心的概念求得勺=6,设直线/方程，与椭圆联立韦达定理，利用A//L3Q得

.三匚=一1，将韦达定理代入化简即可求解.

%1-,3%2

【小问1详解】

设G（x,y,则N（%,0）,因G为nW的重心,

“-33%r2

故有：《，解得勺=彳,%=3y,代入片+$=9,化简得土+y2=i,

24

v=A

-3

又/为/0,故孙/。，所以G的轨迹方程为宁+/=1（初/0〉

【小问2详解】

因H为AAB。的垂心，故有ABLHQ.AHLBQ,

1-0=43

又左所以左=G，故设直线I的方程为y=yf3x+m（m丰1）,

0-6—3

与亍+y?=1联立消去y得：13x2+8y/3iwc+4m2-4=0>

由△=208—16^2>o得机2<13,

设4（%，%），6（%2，%）,则西+々=—*加,药々=47;4,

由AH_L3Q,得—^~T'~—=一1，所以—6）+（G%i+a）（6%+加一1）=°，

X]v

2

所以+6（切-1）（%+x2）+m-m=0,

所以4（4/-4）-24m（m-l）+13（m2-m）=0,化简得5加之+口加—16=0，

解得加=1（舍去）或加=-3（满足A〉。），故直线/的方程为y="

55

16.如图，四边形ABDC为圆台qa的轴截面，AC=2BD,圆台的母线与底面所成的角为45。，母线长

为J5，E是30的中点.

K

（1）已知圆。2内存在点G,使得DEL平面BEG,作出点G的轨迹（写出解题过程）；

（2）点K是圆。2上的一点（不同于A,C）,2CK=AC,求平面ABK与平面CDK所成角的正弦

值.

【答案】（1）答案见解析

4^/70

35

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，过3作下底面的垂线交下底面于点G,过G作座的平行线，交

圆。2于GrG2,即可求出结果；

（2）建立空间直角坐标系，根据条件，求出平面A3K和平面CDK,利用面面角的向量法，即可求出结

果.

【小问1详解】

•.•E是8。的中点，:.DELBE.

要满足DE，平面BEG,需满足DELBG,

又；DEu平面BDE,平面BEG±平面BDE

如图，过3作下底面的垂线交下底面于点G,

KG2

过G作此的平行线，交圆。2于G，G2,则线段G1G2即点G的轨迹.

【小问2详解】

易知可以。2为坐标原点，QC，。201所在直线分别为V，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系

Q一盯z,

••・母线长为夜，母线与底面所成角为45。，AC=2BD,：.O2A^2,。出=1,OXO2=1,

取K的位置如图所示，连接2K,

-,­2CK=AC,二/。02K=60°，即NxO2K=30°,

则K(61,0),4(0,—2,0),3(0,—1,1),C(0,2,0),D(0,l,l),

则次=(63,0),砺=(62,—1),球=(点—1,0),DK=(A/3,0,-1).

设平面ABK的法向量为为=(/,%,4),

n-AK=0\-J3x,+3y,=0

则一，即厂1一，

n-BK=0[J?%+2%-Z]=0

令％=,则Z[=1,%=-1,.,.元=(Q,-1,1).

设平面CDK的法向量为初=(9，%，Z2)，

m-CK=0\yj3x-y,=0

则_.，即广72%,

m-DK=0[，3x,-z2=0

令々=也,则z?=3,y2=3(rh=(63,3).

设平面ABK与平面CDK所成的角为。，则

।,In.-ml|V3X^+(-1)X3+1X3|

11|n|-|m|75x72135

.•Z)R2-Z4^/70

..sm，=W—cos0=--------

35

17.素质教育是当今教育改革的主旋律，音乐教育是素质教育的重要组成部分，对于陶冶学生的情操、增强

学生的表现力和自信心、提高学生的综合素质等有重要意义.为推进音乐素养教育，培养学生的综合能力，

某校开设了一年的音乐素养选修课，包括一个声乐班和一个器乐班，已知声乐班的学生有24名，器乐班的

学生有28名，课程结束后两个班分别举行音乐素养过关测试，且每人是否通过测试是相互独立的.

(1)声乐班的学生全部进行测试.若声乐班每名学生通过测试的概率都为"设声乐班的学

生中恰有3名通过测试的概率为了(0)，求/'(2)的极大值点P。.

(2)器乐班采用分层随机抽样的方法进行测试.若器乐班的学生中有4人学习钢琴，有8人学习小提琴，

有16人学习电子琴，按学习的乐器利用分层随机抽样的方法从器乐班的学生中抽取7人，再从抽取的7人

中随机抽取3人进行测试，设抽到学习电子琴的学生人数为？，求，的分布列及数学期望.

【答案】(1)-

8

(2)分布列见解析，E(7)=£

【解析】

【分析】(1)根据独立重复试验求出概率，再利用导数求极值；

(2)先借助分层抽样确定随机变量，的所有可能取值，求出其分布列，最后求期望.

【小问1详解】

24名学生中恰有3名通过测试的概率/(p)=CM-p'(l-/?)21，

则尸(0=片[3片1-广-21/(1-p)2o]=c*3p2.(l—"。(1—8p),0<P<l,

令f'(P)=0,得P二,

o

所以当0<p<:时，f'(p)>o,/(2)单调递增；

当:<夕<1时，f(p)<o,7'(2)单调递减，

8

故/(P)的极大值点Po=：.

8

【小问2详解】

利用分层随机抽样的方法从28名学生中抽取7名，

则7名学生中学习钢琴的有1名，学习小提琴的有2名，学习电子琴的有4名,

所以，的所有可能取值为0,1，2,3,

c3「20i17

。(7=。)=椁=1p(?=i)=*=U

35；''c；35

_18「34

。(7=2)年,P«=3)=-4=—

-357；

j[c35

则随机变量，的分布列为

c0123

112184

p

35353535

c1,12c18c412

E(C)=0x----Flx----F2x----F3x—=—.

v7353535357

18.己知数列｛an｝为等比数列，｛%｝为等差数列，且4=乙=2,/=8%，%=4-

（1）求｛%｝,｛4｝的通项公式;

（2）数列]卦”山」|的前〃项和为S“，集合”‘4，，力”+2it,"eN*共有5个元

IJ〔_

素，求实数1的取值范围；

_log^,z.

（3）若数列｛%｝中，q=l,n~2_f-，，求证：

4〃

q+Cj,c2+Cj-c2-Cj+,■,+£■1,Cr,.C3...........Cn<2.

【答案】（1）an=T,b相=2n

147

（2）（25,—]

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设数列｛an｝的公比为数列｛“J的公差为d,由已知易得/=8,々=2+71=16,可求

%，bn.

(2)设数列4=(—/PH冷卜]02,可求得d4n++d4n_2+d4n_3=128n-48,S4n=

n\/n

S.»bn+,(32〃+8)(〃+2)

“a"1.进而可得比==-Q—'可得/⑴<")>/⑶>/(4)>.->加)，可求

f的取值范围为(25,——].

⑶qqq…y勺一正方,进而计算可得不等式成立.

【小问1详解】

设数列｛即｝的公比为4,数列出"的公差为d,

则由。8=8%，/=8,所以，=2,所以％=〃1。2T=2",

g=16,即々=2+72=16,所以〃二2,

所以"〃=4+(〃_l)d=2+(〃-1)x2=2〃；

【小问2详解】

设数列4=(―式虚8mH+1].年2,

则么?+%-1+d4a-2+%-3=%+-*_2-*_3=128”-48,

所以S4,]=(4+4+&+。4)+…+(〃4”-3+〃4"-2+4"-1+。4")=-----------------------

="(64"+16),

邑〃也+2一(64〃+16)・2(〃+2)(32〃+8)("+2)

"％~F"r'

人〃、(32〃+8)(“+2)(32〃+40)(〃+3)(32〃+8)(〃+2)

令/⑺=-------------，/(«+1)-/(«)=----------x-------------------------------

__32“2_8”_88_4(4“2f+n)

可得/(I)<可2)>/(3)>/(4)>...>f(n),

故当〃=2时，/(")最大,

且/⑴=60,/(5)=—,/(6)=25,

4

所以25</«一147，即/的取值范围为(251,4-7].

【小问3详解】

叫2%nn

(心2)

由q=L*“