浙江某中学2024-2025学年高三综合能力测试（二）数学试题（含解析）

浙江台州中学2024-2025学年高三综合能力测试（二）数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知向量3，B夹角为30°,a=（l,0j,W=2,则|2。一耳=（）

A.2B.4C.273D.277

2

2.复数一（i为虚数单位）的共朝复数是

1-1

A.1+iB.1—iC.—1+iD.—1-i

3.函数/（司=七号1。8卡|（0<a<l）的图象的大致形状是（）

r2v24

4.已知双曲线C：—-2_=i（a>o,%>0）的右焦点为F,过原点O作斜率为一的直线交C的右支于点4,若|04|=|0尸

ab-3

则双曲线的离心率为（）

A.73B.75C.2D.73+1

22

5.已知产是双曲线二—斗=1渐近线上一点，工,工是双曲线的左、右焦点，/F[PF2=%,记PH，PO,尸工的

ab2

斜率为左，k,k29若・2k,女2成等差数列，则此双曲线的离心率为（）

B任

A.y/2C.73D.76

2

6.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已

知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自

内切圆的概率是()

7.已知｛4｝为等比数列，%+。8=-3,a4a9=T8,则%+%1=()

2121

A.9B.-9C.—D.

2~4

22

8.过双曲线C：二—与=1(。＞0)＞0)左焦点口的直线/交。的左支于4,8两点，直线AO(。是坐标原点)交C

ab

的右支于点D,若。产LAB,且但司=|。h，则C的离心率是()

D.叵

2

9.中国古典乐器一般按“八音”分类.这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼•春

官•大师》，分为"金、石、±,革、丝、木、匏(p百。)、竹”八音，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”

为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为()

3112

A.—B・—C.—D.—

1414147

10.已知函数/(》)=Y一3》+5,g(x)=ax-\nx,若对Vxe(0,e),马稔e(0,e)且％尸々，使得

/(x)=g(%)(i=l,2),则实数。的取值范围是()

11.若(1+取)(1+幻5的展开式中的系数之和为—10,则实数。的值为()

A.-3B.-2C.-1D.1

12.集合4={小＞2,尤eR},3={#2_2x—3＞。},则4口8=()

A.(3,+8)B.(7,—l)U(3,y)C.(2,+8)D.(2,3)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校13名学生参加军事冬令营活动，活动期间各自扮演一名角色进行分组游戏，角色按级别从小到大共9种，分

别为士兵、排长、连长、营长、团长、旅长、师长、军长和司令.游戏分组有两种方式，可以2人一组或者3人一组.

如果2人一组，则必须角色相同；如果3人一组，则3人角色相同或者3人为级别连续的3个不同角色.已知这13名学

生扮演的角色有3名士兵和3名司令，其余角色各1人，现在新加入1名学生，将这14名学生分成5组进行游戏，则新

加入的学生可以扮演的角色的种数为.

14.如图所示，在AABC中，AB^AC=2,AD=DC>读=2丽，AE的延长线交5c边于点F,若=

贝!1防飞=

15.已知函数〃x)="—"工―1,则关于x的不等式/(2%)+/0+1)>-2的解集为.

16.在AABC中，AB=6,BC=1,ZC=—,贝！JAC=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图,在三棱柱43。—4耳01中，AC1BC,A3，3与，AC=3C=8与，。为AB的中点，且CD，口号.

(1)求证：5与，平面ABC；

(2)求锐二面角G的余弦值.

1一。6

X-2H1

2

18.(12分)在平面直角坐标系“Oy中，直线，的参数方程为:(，为参数)，以坐标原点。为极点，”轴

,亚，

y=1------1

I-2

的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为72-42cos6=3.

(1)求直线I的普通方程和圆C的直角坐标方程；

(2)直线/与圆C交于A,8两点，点P(2,l),求必L|・|P用的值.

19.（12分）在AABC中，内角AB,C的对边分别是"c,满足条件c=2b-缶,C=工.

4

（1）求角A；

（2）若AABC边AB上的高为g,求AB的长.

20.（12分）设函数/（x）=l+ln（x+l）（x〉0）.

X

（1）若/（X）〉上恒成立，求整数上的最大值；

X+1

（2）求证：（l+lx2）.（l+2x3）--｛l+nx（n+l）]>e2,!-3.

21.（12分）已知数列｛。“｝满足，q=l,%=4,且a”+2-4。,什1+3。“=0（〃eN*）.

（1）求证：数列｛凡+「凡｝为等比数列，并求出数列｛4｝的通项公式；

（2）设2=2〃•4,求数列也｝的前〃项和S”.

22.（10分）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断

x=l+2t.

直线/：〈。为参数）与圆C:72+2夕85夕—2仃皿。=0的位置关系.

[y=l—2f

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据模长计算公式和数量积运算，即可容易求得结果.

【详解】

由于2a-b=J(2a—b)=^4a-4-a-b+b=^4x3-4x^/3x2x^-+4=2，

故选：A.

本题考查向量的数量积运算，模长的求解，属综合基础题.

2.B

【解析】

分析：化简已知复数z,由共轨复数的定义可得.

22(l+z)

详解：化简可得z=1二=7\J,、=1+，

1—I+

Az的共辗复数为1-i.

故选B.

点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共朝复数，属基础题.

3.C

【解析】

对x分类讨论，去掉绝对值，即可作出图象.

【详解】

logfl(-x),x<-l,

logfl|x|=hogfl(-x),—1<%<0,

log/,x>0.

故选C.

识图常用的方法

(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题;

(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；

(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题.

4.B

【解析】

JT+y~=c

以。为圆心，以|。耳为半径的圆的方程为好+/=。2,联立,2/,可求出点A△--------，一,则

£

c4

/2,2=£，整理计算可得离心率.

a^c2+b23

【详解】

解：以。为圆心，以》为半径的圆的方程为X：+y-c

x-+y'=c

联立《,取第一象限的解得

、/一昂

4

3

整理得(9C2-5«2)(C2-5«2)=0,

25c2

则c==]<1(舍去)，二=5,

cr9a2

.'.e=—=y/5.

a

故选：B.

本题考查双曲线离心率的求解，考查学生的计算能力，是中档题.

5.B

【解析】

求得双曲线的一条渐近线方程，设出尸的坐标，由题意求得P(a,b),运用直线的斜率公式可得4一k,卜,再由等

差数列中项性质和离心率公式，计算可得所求值.

【详解】

Y2—b

设双曲线T—与=1的一条渐近线方程为y=一%,

Ajr

且尸(北士机)，由N耳尸鸟=—,可得以。为圆心，。为半径的圆与渐近线交于P,

a2

b

可得ITT+(~m)2=c2,可取m=a,则P(a,b),

a

hhb

设月(—c,0),E(GO),则勺='一,&=，一,k=-,

a+ca-ca

由左,—2左，Z2成等差数列，可得-4左=匕+&,

a2

故选：B.

本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，考查方程思想和运算能力，意在考查学生对这些知识的

理解掌握水平.

6.C

【解析】

利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公

式，即可求解.

【详解】

由题意，直角三角形的斜边长为,82+62=10,

利用等面积法，可得其内切圆的半径为厂=6*8=2,

6+8+10

兀_71

所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为1(。=?.

—x6x8

2

故选：C.

本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径

是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

7.C

【解析】

根据等比数列的下标和性质可求出生，/，便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出生+知•

【详解】

GG，又—，可解得<.或<

4+9=5+8,a4a9=5S=-18ct5+cts—3

as=3=

设等比数列｛4｝的公比为q,则

a=a3

Mz\5,3s1.+an=^-+a8q=-y-+3xf--=—

当《。时,<7=一=一彳，・・211q381｛2)2.

[q=3%2--

53

当<公时，=~=^,--a2+an=^j+asq=^-+(-6)x(-2)=

v7v7

as=-6a5q‘-22

故选：C.

本题主要考查等比数列的性质应用，意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.

8.D

【解析】

如图，设双曲线的右焦点为工，连接。工并延长交右支于C，连接FC，设。月=X,利用双曲线的几何性质可以得

到=x+2a,FC=x+4a,结合RtAFDC、放AED鸟可求离心率.

【详解】

如图，设双曲线的右焦点为工，连接用，连接。鸟并延长交右支于C.

因为EO=O6,AO=OD,故四边形为平行四边形，故心.

又双曲线为中心对称图形，故8C=BF.

设=x,则DF=x+2a,故6C=x+2a,故PC=x+4a.

因为AEDC为直角三角形，故(尤+4a)2=(2x+2ay+(x+2a)2,解得了=。

在RQEDF,中，有4c2=储+94，所以e=£=3=辿.

a\22

故选：D.

本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性(中心对称、轴对称)以及双曲线的定义来构造关于a/,c的方程,

本题属于难题.

9.B

【解析】

分别求得所有基本事件个数和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】

从“八音,，中任取不同的“两音,，共有C2=28种取法；

“两音”中含有打击乐器的取法共有Cj-Cl=22种取法；

所求概率"=H=£.

故选：B.

本题考查古典概型概率问题的求解，关键是能够利用组合的知识求得基本事件总数和满足题意的基本事件个数.

10.D

【解析】

先求出/(九)的值域，再利用导数讨论函数g(x)在区间(0,e)上的单调性，结合函数值域，由方程有两个根求参数范

围即可.

【详解】

因为g(x)=^_/依，故g，(x)=取1,

当aWO时，g'(x)<0,故g(x)在区间(0,e)上单调递减；

当时，g'(x)>0,故g(x)在区间(0,e)上单调递增；

当时，令/("=0,解得x=J_,

故g⑴在区间u单调递减，在区间，，，上单调递增.

又=l+=?—且当x趋近于零时，g(x)趋近于正无穷；

对函数/(x),当xe(o,e)时，/(x)e—,5j；

根据题意，对Vxe(0,e),必,x2e(0,e)且占w々，使得=g(xj(，=1,2)成立，

只需g(£|<5(e"5，

即可得l+/〃a<U,呸—125,

4e

「6N：

解得。e-,e4.

故选：D.

本题考查利用导数研究由方程根的个数求参数范围的问题，涉及利用导数研究函数单调性以及函数值域的问题，属综

合困难题.

11.B

【解析】

由(1+0X)(1+x)5=(1+X)5+ax(l+x)5,进而分别求出展开式中X2的系数及展开式中X3的系数，令二者之和等于

-10,可求出实数。的值.

【详解】

由(1+«x)(l+X)5=(1+x)5+«x(l+x)5,

2

则展开式中f的系数为c；+aC；=10+5a,展开式中苫3的系数为C；+aC5=10+10a,

二者的系数之和为(10+5。)+(10。+10)=15。+20=-10,得a=—2.

故选：B.

本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

12.A

【解析】

计算B=(―8,—1)U(3,y),再计算交集得到答案.

【详解】

B=-2x-3>oj=(-oo,-l)o(3,+oo),A=|x|x>2,xe7?1,故4门5=(3,+8).

故选：A.

本题考查了交集运算，属于简单题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.9

【解析】

对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，分析各种情况下14个学生所扮演的角色的分组，综合可得出结论.

【详解】

依题意，14名学生分成5组，则一定是4个3人组和1个2人组.

①若新加入的学生是士兵，则可以将这14个人分组如下；3名士兵；士兵、排长、连长各1名；营长、团长、旅长各1

名；师长、军长、司令各1名；2名司令.所以新加入的学生可以是士兵，由对称性可知也可以是司令；

②若新加入的学生是排长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；连长、营长、团长各1名；旅长、师长、军长各1

名；3名司令；2名排长.所以新加入的学生可以是排长，由对称性可知也可以是军长；

③若新加入的学生是连长，则可以将这14个人分组如下：2名士兵；士兵、排长、连长各1名；连长、营长、团长各1

名；旅长、师长、军长各1名；3名司令.所以新加入的学生可以是连长，由对称性可知也可以是师长；

④若新加入的学生是营长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；营长、团长、旅长各1

名；师长、军长、司令各1名；2名司令.所以新加入的学生可以是营长，由对称性可知也可以是旅长；

⑤若新加入的学生是团长，则可以将这14个人分组如下：3名士兵；排长、连长、营长各1名；旅长、师长、军长各1

名；3名司令；2名团长.所以新加入的学生可以是团长.

综上所述，新加入学生可以扮演9种角色.

故答案为：9.

本题考查分类计数原理的应用，解答的关键就是对新加入的学生所扮演的角色进行分类讨论，属于中等题.

22

14.——

9

【解析】

11—.4—■1—.―.—.2

过点。做。G||A广，可得"=—Ab,BF=—BC,AE=—A8+—AC由=4可得cos/84C=—,可

655533

uunuum54111ra1uumuum

得AE-AC=±(—A3+—AC)-AC,代入可得答案.

655

【详解】

解：如图，过点。做。G||A尸，

B

ADC

EFBE11_

易得:=—=—,EF=—DG,

~DGBD33

DG_CD=」,故。6=!4斤,可得：EF=-AF,

AF~AC226

BFBE1FGAD12i1_

同理:==—,==-，可得BF=—BC,

~FGED2GCCD15

AF=AB+BF=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

5555

由市.品=一之，可得(士通+J■衣).(衣—通)=J_前?―3通2+2通*=—3

5555555

14242

可得：—x4——x4+—x2x2cosABAC=——，可得：cosNBAC=—,

55553

—,—.5—►—►54—►1—>—►2—►—>1—.222122

AEAC=-AFAC=-(-AB+-AQAC=-ABAC+-AC=-x2x2x-+-x4=—,

6655353369

22

故答案为：—.

9

本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出。G||A户是解题的关键.

15.(/--1,+<»)、

【解析】

判断g(x)=/(x)+l的奇偶性和单调性，原不等式转化为g(2x)>—孰九)=g(r—)，运用单调性，可得到所

求解集.

【详解】

令g(x)=/(x)+l，易知函数g(x)为奇函数，在R上单调递增，

/(2x)+/(x+l)>-2o/(2x)+l+/(x+l)+l>0,

即g(2x)+g(x+l)>0,

，g(2x)>T(x>)=g(—%—)

2x>—x—l,即x>—

3

故答案为：［一

本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题.

16.1

【解析】

由已知利用余弦定理可得AC?+AC—2=0,即可解得AC的值.

【详解】

2万

解：•；AB=M，BC=1,ZC=-

•••由余弦定理AB?=人。2+§。2_2AC.BC.cosC，

PT^3=AC2+1-2XACX1X(-1),整理可得：AC2+AC-2^0,

2

二解得AC=1或-2(舍去).

故答案为：L

本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析；(2)叵.

5

【解析】

(1)证明CDLAB后可得CD，平面54AA,从而得CD，35],结合已知得线面垂直；

(2)以C为坐标原点，以CB为％轴，CG为V轴，C4为z建立空间直角坐标系，设C£=2,写出各点坐标，求

出二面角的面的法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值.

【详解】

(1)证明：因为AC=5C,。为中点，

所以CDLAfi,又CDLZM],AB^\D=D,

所以CD,平面又5与u平面朋用5,

所以。£＞，与3,又BQLAB,ABdCD=D,

所以用5,平面ABC.

(2)由已知及(1)可知CB,CC-C4两两垂直，所以以。为坐标原点，以CB为x轴，CG为y轴，C4为z建

立空间直角坐标系，设CG=2,则

C（0,0,0）,5（2,0,0）,4（0,0,2）,Q（0,2,0）,^（0,2,2）,D（l,0,l）.

设平面DCA的法向量瓦=&，x，Z]),则

n^-CD=0x+z.=0_/、

即《£+21。’令LL则

4•CAj=0

设平面。GA的法向量a=(%，%，Z2)，则

n-CD=0即-2y+z=0—.、

2Xc'9?，，令%=1，则?=(2,1,0),

n,.GA=0[2Z2=0-

〃1•4_3_A/15

所以cos(〃]4)

匐同8又非5

故锐二面角C-D\-Cx的余弦值为巫.

5

本题考查证明线面垂直，解题时注意线面垂直与线线垂直的相互转化.考查求二面角，求空间角一般是建立空间直

角坐标系，用向量法易得结论.

18.(1)直线/的普通方程x+y—3=。，圆。的直角坐标方程：%2+/-4X-3=0.(2)6

【解析】

(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.

(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系式即可求解.

【详解】

f°V2

X—2H----1

(1)直线/的参数方程为〈；2。为参数)，转换为直角坐标方程为x+y-3=0.

1友,

V2

圆C的极坐标方程为p2-4pcos0=3,转换为直角坐标方程为N+俨-4x-3=0.

f72

X—2H----1

(2)把直线/的参数方程为《:2。为参数)，代入圆的直角坐标方程N+y2-4x-3=0,

y-1-----1

I2

得到广—M—6=0，

所以照||尸8|=加2|=6.

本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运

算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.

19.(1)j.(2)273-2

【解析】

(1)利用正弦定理的边角互化可得sinC=2sinB_0sinA，再根据5=〃-A-C=7r-A+£,利用两角和的

正弦公式即可求解.

L71

(2)已知CD=百，由A=§知AD=1,在ABOC中，解出BD即可.

【详解】

(1)由正弦定理知

sinC=2sinB-y/2sinA

由己知C=而5="一A-C="一[A+

=2sin(A+(1—&sinA

=2^^-cosA+^-sinA]-A/2sinA

=A/2COSA

1471

cosAA=—,A=—

23

(2)已知CD=6，

n

则由A=一知AO=1

3

5CD

B=7i—A—C=——7i,DB=------

12tan5

TC冗

先求sin5%=sin=-(A/2+76)

434

5717C

cos—n--cos—+—=-(V6-V2)

12434

-%+?=2+G

12(V6-V2)

；・DB=、厂=2近-3

2+6

AB=AD+DB=l+2y/3-3=2y/3-2

bh

ALDB

本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式，需熟记定理与公式，属于基础题.

20.(1)整数人的最大值为3；(2)见解析.

【解析】

/、1丁屋“为(\k(x+l)+(x+l)ln(x+l)-3rs/、fx+l)+(x+l)ln(x+l).

(1)将不等式/r(%)>----变形为k---------------------构造函数=-----------------------L,利I用m

九十JCX

导数研究函数y=h(x)的单调性并确定其最值，从而得到正整数k的最大值；

(2)根据(1)的结论得到垣[1+“(“+1)]>2—〃(；+])=2—3(\—5),利用不等式的基本性质可证得结论.

【详解】

/、」/\l+ln(x+l)k/=(x+l)+(x+l)ln(x+l)

(1)由/(%)=-----——上>，得k<\——二——U——二

Xx+1X

令Mx)=a+l)+(x+l)ln(x+l),〃⑴「TT：(x+l),

XX

令g(x)=x-l-ln(x+l),g[x)=l——匚>0对Vx>0恒成立，

所以，函数y=g(x)在(0,+。)上单调递增，

•.-g(o)=-l<o,g⑴<0,g⑵<0,g⑶>0,

故存在毛€(2,3)使得8(%)=0,BPx0-l=ln(x0+l),

从而当x>x()时，有g(x)>g(Xo)=O,〃'(九)>0,所以，函数丁=〃(可在(5,+8)上单调递增；

当尤<为时,有g(x)<g[)=0,”(x)<0,所以，函数y=/z(x)在(0,飞)上单调递减.

所以，〃()「3)=U+1)+5+1)皿％+1)=(%+1)+(%+1)(%-1)=%+143,4),

%0xo

:.k<3,因此，整数人的最大值为3；

(2)由(1)知----------->----恒成乂，lnfx+11>------1—2----->2—，