卡根思想在导数中的应用（高阶拓展、竞赛适用）（学生版）-2025年高考数学一轮复习学案（新高考）

第10讲根思想在导数中的应用

（高阶拓展、竞赛适用）

（核心考点精讲精练）

I璃.考情探究•

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

求在曲线上一点处的切线方程

卡根思想在导数中用导数判断或证明已知函数的单调性

2023年全国甲卷理数，第21题,12分

的应用.根据极值求参数

由函数对称性求函数值或参数

卡根思想在导数中利用导数求函数的单调区间（不含参）

2023年全国乙卷理数，第21题,12分

的应用利用导数研究不等式恒成立问题

卡根思想在导数中利用导数研究方程的根

2022年新I卷，第22题,12分

的应用由导数求函数的最值（含参）

卡根思想在导数中求在曲线上一点处的切线方程（斜率

2022年全国乙卷理数，第21题,12分

的应用利用导数研究函数的零点

卡根思想在导数中利用导数求函数的单调区间（不含参）

2021年全国甲卷理数，第21题,12分

的应用利用导数研究方程的根

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分

【备考策略】I能用导数解决函数基本问题

2能用卡根思想结合零点存在性定理综合解题

【命题预测】在零点个数及方程的根等综合问题研究中，参变分离和数形结合都是解题的方法，但也都有

局限性，同时对函数图像画法要求较高；包括在零点个数研究中还有放缩方法，但是放缩的不等式变化较

多，这样对学生又提出了比较严苛能力要求。此时卡根法是此类题型的另一方法。同时卡根法也常应用于

导数研究函数性质的过程中，其本质是虚设零点（设而不求），利用零点满足的关系式化简，从而得到范围

或符号。高考中常用的解题方法，需要学生复习中综合掌握

知识讲解

“卡根”问题的一般方法，其具体步骤如下

1.根据函数的增长速度判断函数值变化的趋势，以便确定是否存在零点;

2.根据函数表达式的特点进行拆分，一般拆分成和或乘积形式；

3.根据函数的增长速度，将指、对数函数放缩成塞函数及其和的形式；

4.根据相关不等式的解集，利用零点存在定理来确定零点存在的区间

零点存在性定理：

如果函数y=/(x)在区间［出句上的图像是连续不断的一条曲线，并且有/(。)・/他)<0,那么函数

V=/(X)在区间(出，)内必有零点,即三双)£((7,6),使得/(须))=0

注：零点存在性定理使用的前提是/(X)在区间［出句连续，如果/(X)是分段的，那么零点不一定存在

考点一、卡根思想在导数中的综合应用

典例引领

QinV/ITA

1.(2023•全国•高考真题)己知函数"x)="———0,-

cosxv2J

⑴当a=8时，讨论/(x)的单调性；

(2)若/(x)<sin2x恒成立，求。的取值范围.

2.(2023•全国•高考真题)己知函数/'(x)=］—I-a^ln(l+x).

⑴当a=-1时，求曲线>=〃x)在点(1,7(1))处的切线方程；

⑵是否存在a,b,使得曲线夕=/(£|关于直线x=b对称，若存在，求a,6的值，若不存在，说明理由.

⑶若在(0,+动存在极值，求a的取值范围.

3.(2022•全国•高考真题)己知函数/(x)=ln(l+x)+axeT

⑴当4=1时，求曲线y=在点(0,〃0))处的切线方程；

(2)若“X)在区间(-1,0),(0,+⑹各恰有一个零点，求a的取值范围.

4.(2022・全国•高考真题)已知函数/(x)=e*-a龙和g(x)=ax-lnx有相同的最小值.

⑴求a；

(2)证明：存在直线》=6,其与两条曲线V=/(x)和N=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交

点的横坐标成等差数列.

即时检测

1.已知函数〃工)=,/+111¥-(2+1》，(a^O).

(1)求函数〃x)的单调区间；

(2)令尸(x)=/(x)-x2,若尸(x)<l-2ax在尤e(l,+8)恒成立，求整数a的最大值.

45

(参考数据：ln3<],In4>/

2.已知函数/(x)=lnx-；ax2,a&R.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若关于x的不等式/。)49-1垃-1恒成立，求整数。的最小值.

3.已知函数〃x)=lnx,/z(x)=ax(aeR).

(1)函数/(X)的图象与Mx)的图象无公共点，求实数a的取值范围；

(2)是否存在实数相，使得对任意的+8]，都有函数y=〃x)+竺的图象在g(x)=《的图象的下方？

若存在，求出整数加的最大值；若不存在，请说明理由.(八+；1112，1.99)

12.好题冲关•

能力提〜

1.(2024・福建福州•三模)已知函数/(*)=办-111(1-幻(0€11).

⑴求曲线V=〃x)在点(0,7(0))处的切线方程；

⑵若/(x)20恒成立，求。的值

2.(2024・山东日照•三模)已知函数〃x)=alnx-无2+(a-2)x,g(x)=(x-2)ex-x2-4x+m,aeR.

⑴讨论函数〃x)的单调性；

(2)当a=-l时，对Vxe(O,l),/(x)>g(x),求正整数加的最大值.

3.(2022・全国•模拟预测)已知函数/(x)=g+l)e'+2-3,其中e为自然对数的底数，aeR.

⑴讨论函数的单调性；

(2)当。=0时，若存在xeR使得关于x的不等式左上犷(尤)成立，求左的最小整数值.(参考数据：eL2J)

4.(2023•江西上饶■一模)已知/(x)=e*-ax,g(x)=ex(l-sinx).

⑴讨论/(x)的单调性；

(2)若ae(0,3),〃(x)=/(x)-g(x),试讨论〃(x)在(0,兀)内的零点个数.(参考数据：出。4.81)

5.(2024•浙江绍兴•二模)已知函数[(x)=]-x+asinx.

⑴当a=2时，求曲线昨/(x)在点(0,〃0))处的切线方程；

(2)当xe(O,兀)时，/(x)>0,求实数。的取值范围.

6.(2024•河南信阳•模拟预测)已知函数〃x)=xlnx,〃(x)=>0).

⑴试比较/(x)与〃(x)的大小;

(2)若〃x)W(x-l)(ax-a+l)恒成立，求。的取值范围.

7.(2024•安徽安庆•三模)已知函数/'(x)=x\wc-ax(aeR)在点(eJ(e))处的切线平行于直线x-y=0.

⑴若〃x)2mx-e2对任意的xe(0,+⑹恒成立，求实数加的取值范围；

(2)若不是函数”x)=〃x)+x2的极值点，求证：/(xo)+3xo>O.

8.(2024.四川绵阳.模拟预测)已知函数〃x)=Hnx-：+x(aeR).

⑴讨论的零点个数；

(2)若关于x的不等式在(0,+动上恒成立，求。的取值范围.

e

9.(2022•河北唐山•二模)己知函数/卜)=1与，g(x)=6sinx,曲线y=/(x)和y=g(x)在原点处有相同

的切线I.

⑴求6的值以及/的方程；

(2)判断函数从x)=/(x)-g(x)在(0,+动上零点的个数，并说明理由.

10.(2023•海南海口•二模)已知/(x)=lnx-ax+a.

⑴若/(x)在x=l处取到极值，求。的值；

(2)直接写出/(x)零点的个数，结论不要求证明；

⑶当a=-l时，设函数g(x)=M\x),证明：函数g(x)存在唯一的极小值点且极小值大于-2.

11.(2021•四川南充•模拟预测)已知函数/'(x)=Inx-sx?,g(x)=^mx2+x,meR,令

斤(x)=/(x)+g(x).

(1)当加=；时，求函数/(x)的单调区间及极值；

(2)若关于x的不等式尸(x)三加x-l恒成立，求整数小的最小值.

12.(2024•四川遂宁•模拟预测)已知函数/(x)=x-,+alnx,其中aeR.

⑴当xe[l,+8)时，/(%)>0,求a的取值范围.

(2)若。<-2,