阿氏圆（知识解读）-2023年中考数学重难点题型专项训练

专题03阿氏圆(知识解读)

【专茎饯明】

“PA+k・PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类

问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即

点P在直线上运动和点P在圆上运动。

(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；

本章节主要学习“阿氏圆”解题方法。

【方放技巧】

阿氏圆问题

问题：求解""+，犯3”类加权线段和最小值

方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值

②造：根据线段比，构造母子型相似

③算：根据母子型结论，计算定点位置

④转：“川+针4阵专化为^^尸+尸”可可题

关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数

②系数小于1：内部构造母子型

③系数大于1：外部构造母子型

【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B,则所有满足

PA=kPB（kWl）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼

斯发现，故称“阿氏圆”。

【模型初探】

（-）点P在圆上运动----------►“阿氏圆”问题

如图所示2TT,。。的半径为r,点A、B都在。0外，P为。0上的动点，

已知r=k•OB.连接PA、PB,则当“PA+k•PB"的值最小时,P点的位置如何确

分析：本题的关键在于如何确定“k+PB”的大小，（如图2T-2）在线段0B

上截取0C使OC=k•r,则可说明ABPO与△PCO相似，即k•PB=PC。

，本题求“PA+k・PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即A、P、C

三点共线时最小（如图2-1-3）,本题得解。

“阿氏圆”一般解题步骤：

第一步：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心

相连接），则连接OP、0B；

第二步：计算出所连接的这两条线段OP、0B长度；

第三步：计算这两条线段长度的比哈=如

第四步：在0B上取点C,使得笠=空；

第五步：连接AC,与圆0交点即为点P.

【龚例隆新】

【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点A、B,则所有符合地=k1>0且左。1)的点尸会组成一个圆.这个

PB

结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

【问题】如图1,在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C(m,0),D(0,n),

点尸是平面内一动点，且。尸=厂，设处=%,求尸C+小。的最小值.

0D

阿波罗尼斯

图1图2

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1,在OD上取点使得OM：OP=OP：OD=k；

第二步：证明股V)=RW；第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程(部分)：

解：在。。上取点使得。M：OP=OP-.OD=k,

又：ZPOD=/MOP,：.^POM^/\DOP.

任务：

(1)将以上解答过程补充完整.

(2)如图2,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,。为△ABC内一动点,

满足CO=2,利用(1)中的结论，请直接写出AO+Zg。的最小值.

3

【变式1】如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=9,QB的半径为3,点P

是02上一点，连接AP,CP,则的最小值为

3

【典例2】如图，在扇形A08中，ZAOB=90°,OA=4,C,。分别为。4,的中点,

点P是篇上一点，则2PC+PD的最小值为.

【变式2-1］如图，扇形AOB中，ZAOB=90°,OA=6,C是OA的中点，。是0B上一

点，0D=5,P是窟上一动点，则PC+工P。的最小值为.

【变式2-2］如图，△ABC为等边三角形，AB=6,将边AB绕点A顺时针旋转。(0°<0

<120°)得到线段A。，连接CDNBA。的平分线交C。于点E,点歹为上一点，

且DP=2CR连接8?

(1)如图①，当。=60°时，求EF的长；

(2)如图②，连接AF,求8F+工AF的最小值.

图①图②

专题03阿氏圆(知识解读)

【专题饯明】

“PA+k・PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。此类

问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。即

点P在直线上运动和点P在圆上运动。

(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；

(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题；

本章节主要学习“阿氏圆”解题方法。

【方放技巧】

阿氏圆问题

问题：求解""+，犯3”类加权线段和最小值

方法：①定：定系数，并确定是半径和哪条线段的比值

②造：根据线段比，构造母子型相似

③算：根据母子型结论，计算定点位置

④转：“川+针4阵专化为^^尸+尸”可可题

关键：①可解性：半径长与圆心到加权线段中定点距离比等于加权系数

②系数小于1：内部构造母子型

③系数大于1：外部构造母子型

【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A、B,则所有满足

PA=kPB（kWl）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼

斯发现，故称“阿氏圆”。

【模型初探】

（-）点P在圆上运动----------►“阿氏圆”问题

如图所示2TT,。。的半径为r,点A、B都在。0外，P为。0上的动点，

已知r=k•OB.连接PA、PB,则当“PA+k•PB"的值最小时,P点的位置如何确

分析：本题的关键在于如何确定“k+PB”的大小，（如图2T-2）在线段0B

上截取0C使OC=k•r,则可说明ABPO与△PCO相似，即k•PB=PC。

，本题求“PA+k・PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值，即A、P、C

三点共线时最小（如图2-1-3）,本题得解。

“阿氏圆”一般解题步骤：

第一步：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心

相连接），则连接OP、0B；

第二步：计算出所连接的这两条线段OP、0B长度；

第三步：计算这两条线段长度的比哈=如

第四步：在0B上取点C,使得笠=空；

第五步：连接AC,与圆0交点即为点P.

【龚例隆新】

【典例1】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点A、B,则所有符合地=k1>0且左。1）的点尸会组成一个圆.这个

PB

结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

【问题】如图1,在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m,0）,D（0,n）,

点尸是平面内一动点，且。尸=厂，设处=%,求尸C+小。的最小值.

0D

阿波罗尼斯

图1图2

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1,在OD上取点使得OM：OP=OP：OD=k；

第二步：证明股V）=RW；第三步：连接CM,此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在。。上取点使得。M：OP=OP-.OD=k,

又：ZPOD=/MOP,：.^POM^/\DOP.

任务：

（1）将以上解答过程补充完整.

（2）如图2,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,。为△ABC内一动点,

满足CO=2,利用（1）中的结论，请直接写出AO+Zg。的最小值.

3

【解答】解（1）在0D上取点使得OM：OP=OP：OD=k,

又,：/POD=/MOP,

：./\P0M^/\D0P.

：.MP：PD=k,

:,MP=kPD,

；・PC+kPD=PC+MP,当PC+Z尸。取最小值时，PC+MP有最小值，即C,P,M三点共

线时有最小值，

利用勾股定理得CM=VoC2-K)M2=Vm2+(kr)2=Vm2+k2r2-

(2)：AC=»7=4,型=2,在CB上取一点M,使得CM=2C£)=9,

BC333

图2

【变式1】如图，在RtAABC中，ZABC=90°,AB=6,BC=9,QB的半径为3,点P

是。2上一点，连接AP,CP,则的最小值为

3

【答案】V37

【解答】解：连接BP,在BC上截取8。=1,连接尸。，AQ,

•.•-B-Q—BP,

BPBC

■:NPBQ=NCBP,

•.•-P-Q-二BP一1’,

CPBC3

：.PQ=1CP,

：.AP+^CP=AP+PQ^AQ,

当A、P、。三点依次在同一直线上时，AP+小CP=AQ=dAB2+BQ2=何的值最小,

3

故答案为：V37.

【典例2】如图，在扇形AOB中，ZAOB=90°,OA=4,C,。分别为。4,。8的中点,

点P是窟上一点，则2PC+PD的最小值为.

【答案】2底.

【解答】解：如图，延长。4使AE=O4,连接E£),EP,0P,

E

'：AO=OB=4,C,。分别是。4,QB的中点,

：.OE=S,0P=4,0D=0C=2,

OC=2=OP,且/COP=/EOP,

OP?OE

：.AOPE^AOCP,

.PC=OP=I

"PEOE2

:.EP=2DC,

：.2PC+PD=PE+PD,

:.当点E,点P,点。三点共线时，2PC+PD的值最小，

：.2PC+PD最小值=五"^=2百？.

【变式2-1］如图，扇形AOB中，ZAOB=90°,OA=6,C是OA的中点，。是。8上一

点，00=5,P是窟上一动点，则PC+」P。的最小值为.

【答案】

2

【解答】解：如图，延长0A使AE=OB,连接EC,EP,0P,

：AO=OB=6,C分别是。4的中点，

：.0E=12,0P=6,0C=AC=3,

OPOC1

==,S.ZCOP=ZEOP

OEOP7

:.△OPEsMocP

.PC=OP=_1

"PEOE~2

：.EP=2PC,

：.PC+1-PD=^-(2PC+PD)=A(PD+PE),

222

当点E,点P,点。三点共线时，PC+工PO的值最小,

2

,•*DE=VOD2-HDE2=752+122=13'

:.PD+PE与DE=13,

.•.PO+PE的最小值为13,

：.PC+^PD的值最小值为

22

故答案为：旦.

2

【变式2-2］如图，△ABC为等边三角形，AB=6,将边AB绕点A顺时针旋转。(0°<0

<120°)得到线段A。，连接CO,NB4O的平分线交C。于点E,点/为。上一点，

S.DF=2CF,连接2?

(1)如图①，当9=60°时，求EF的长；

(2)如图②，连接AR求的最小值.

2

图①图②

【解答】解：(1)•..将边A8绕点A顺时针旋转。(0°<0<12