高考文科数学二轮总复习课后习题 题型专项集训6 大题专项（四）

题型练6大题专项（四）立体几何综合问题

1.如图，在三棱柱ABC-ABG中，侧面BBCC为菱形，NCBBi=60°,点A在侧

面BBCC上的投影恰为BE的中点0,E为AB的中点.

⑴求证:0E〃平面ACCiAi;

⑵若AC与平面BBCC所成角为45°,且BC=2,求点E到平面ACCA的距

离.

2.如图，已知三棱柱ABC-AiBC的底面是正三角形，侧面BBCC是矩形,M,N

分别为BC,BiCi的中点,P为AM上一点.过BC和P的平面交AB于E,交AC

于F.

⑴证明AA/MN,且平面AiAMN,平面EBCF;

⑵设。为△AEG的中心.若A0=AB=6,A0〃平面EBCF,且NMPNg,求四棱

锥B-EBCF的体积.

3.（全国甲，文19）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.

包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8（单位:cm）的正方

形,AEAB,AFBC,AGCD,AHDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平

面ABCD垂直.

⑴求证:EF〃平面ABCD;

⑵求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

4.如图，AABC的外接圆0的直径为AB,CD,平面ABC,BE〃CD.

⑴求证:平面ADC_L平面BCDE;

⑵试问在线段DE和BC上是否分别存在点M和F,使得平面OMF〃平面ACD?

若存在,确定点M和点F的位置;若不存在,请说明理由.

5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,APCD为等边三角

形,平面PAC，平面PCD,PALCD,CD=2,AD=3.

⑴设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH〃平面PAD;

⑵求证:PA_L平面PCD;

⑶求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.

6.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PAL底面ABCD,PA=AC,

过点A的平面与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G(E,F,G三点均不在棱的端

点处).

⑴求证:平面PAB_L平面PBC.

⑵若PC平面AEFG,求三的值.

⑶直线AE是否可能与平面PCD平行?证明你的结论.

答案：

1.⑴证明：如图,连接BG,AG,因为。为B.C的中点,

所以。为BG的中点.

又E为AB的中点，所以OE〃AG.

又又。平面ACCiAi,AGu平面ACCiAi,

所以0E〃平面ACCIAL

⑵解：因为AO_L平面BBCC,

所以NAC0=45°.

因为BC=2,NCBBi=60。，所以AO-1,AC=V2,AG=2,SAOcC1=y-

所以S^ACCi-

设点0到平面ACCiAi的距禺为d,因为V三棱锥O-Ace1=V三棱锥A-OCCJ

所以京•SAACC1=|A0•S^occp即［d,y=1Xy,解得d=手.

o3J4J乙/

因为OE〃平面ACCiAi所以点E到平面ACCA的距离为呼.

2.(1)证明：因为M,N分别为BC,BC的中点，

所以MN#CCi.

又由已知得AAi〃CG,故AA/MN.

因为△ABG是正三角形，

所以BiCJAiN.

又BxCiXMN,故BiC」平面AiAMN.

又BCu平面EBCF,

所以平面AiAMN,平面EBCF.

(2)解:A0〃平面EBCF,AOu平面AiAMN,平面AiAMNA平面EBCF=PN,故AO

〃PN.

又AP〃ON,故四边形APNO是平行四边形，

所以PN=AO=6,AP=0N=|AM=V3,PM=|AM=2V3,EF=|BC=2.

因为BC〃平面EBCF,所以四棱锥B-EBCF的顶点B到底面EBCF的距离

等于点M到底面EBCF的距离.

作MT±PN,垂足为T,则由(1)知，MT,平面EBCF,

故MT=PMsinNMPN=3.

底面EBCF的面积为:X(BxCi+EF)XPN=j(6+2)X6=24.

所以四棱锥B-EBCF的体积为［X24X3=24.

3.⑴证明：如图，过点E作EE'J_AB于点E',过点F作FF'_LBC于点F',

连接E'F'.

,底面ABCD是边长为8的正方形,AEAB,AFBC均为正三角形,且它们所

在的平面都与平面ABCD垂直，

.,.EE,，平面ABCD,FF'_L平面ABCD,且EE'=FF',

...四边形EE'F'F为平行四边形，

.,.EF〃E'F'.

又E'F'u平面ABCD,EF。平面ABCD,

.\EF〃平面ABCD.

(2)解:过点G,H分别作GG'±CD,HH'±DA,交CD,DA于点G',H',连接

F'G',G'H',H'E',AC.

由(1)及题意可知,G',H'分别为CD,DA的中点,几何体EFGH-E'F'G'H'为长

方体，

故该包装盒由一个长方体和四个全等的四棱锥组合而成.

•.•底面ABCD是边长为8的正方形，

.,.AC=V82+82=8V2(cm),E'F，才E'=|AC=4V2cm,EE)=AEsin60°=4V3cm,

该包装盒的容积为

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V=VEFGH-E'F'G'H'+4VA-EE,H,H=E'F'.E'H'•EE+4X|SEE,H-H-]AC=4或X4或X4g+

4X-X4V2X4V3X2V2=^^(cm3).

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4.⑴证明：'.,△ABC的外接圆0的直径为AB,CD，平面ABC,BE〃CD,

.-.AC±BC,AC±DC.

VBCADC=C,

.\AC，平面BCDE.

TACu平面ADC,

I.平面ADC_L平面BCDE.

(2)解:存在点M和F,使得平面OMF〃平面ACD.

取BC的中点M,DE的中点F,连接OM,MF,OF.

•••0是AB的中点,

.•.OM〃AC,MF〃CD.

VACnCD=C,OMnMF=M,AC,CDu平面ACD,OM,MFu平面OMF,

.二平面OMF〃平面ACD.

5.(1)证明：如图，连接BD,易知ACABD=H,BH=DH.

又由BG=PG,故GH〃PD.

又因为GH。平面PAD,PDu平面PAD,所以GH〃平面PAD.

(2)证明:取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN±PC,

又因为平面PACL平面PCD,平面PACA平面PCD=PC,

所以DNL平面PAC,又PAu平面PAC,故DNXPA.

又已知PA±CD,CDADN=D,

所以PAL平面PCD.

⑶解:连接AN,由⑵中DNL平面PAC,可知NDAN为直线AD与平面PAC

所成的角.

因为4PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=V3,

又DNXAN,在RtAAND中，sin/DAN;黑=—.

所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为拳

6.(1)证明：因为PA_L平面ABCD,

所以PAXBC.

因为四边形ABCD为正方形,

所以ABLBC,

所以BCL平面PAB.

所以平面PABL平面PBC.

⑵解:连接AF.

因为