08极值点偏移的终极套路（学生版）

08极值点偏移的终极套路专题08极值点偏移的终极套路值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强，能力要求较高．下面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方法．★已知，．若有两个极值点，，且，求证：（e为自然对数的底数）．解法一：齐次构造通解偏移套路证法1：欲证，需证．若有两个极值点，，即函数有两个零点．又，所以，，是方程的两个不同实根．于是，有，解得．另一方面，由，得，从而可得，．于是．又，设，则．因此，，．要证，即证：，．即：当时，有．设函数，，则，所以，为上的增函数．注意到，，因此，．于是，当时，有．所以，有成立，．解法二变换函数能妙解证法2：欲证，需证．若有两个极值点，，即函数有两个零点．又，所以，，是方程的两个不同实根．显然，否则，函数为单调函数，不符合题意．由，即只需证明即可．即只需证明．设，，在，即，故f．由于，故在，．设，令，则，解法三构造函数现实力证法3：由，是方程的两个不同实根得，令，，由于，因此，在，．设，需证明，只需证明，只需证明，即，即．即，，故在，故，即．令，则，因为，，在，所以，即．解法四巧引变量（一）证法4：设，，则由得，设，则，．欲证，需证．即只需证明，即．设，，，故在，故，故在，因此，命题得证．解法五巧引变量（二）证法5：设，，则由得，设，则，．欲证，需证，即只需证明，即，设，，故在，因此，命题得证．★已知函数，若方程有两个不相等的实数根，，求证：．【解析】证明：法一：由，得，故只有时，方程才有两个不相等的实数根，不妨设，则，满足，两式相减：①化简得：欲证：，结合的单调性，即证：等价于证明：令，，构造函数，，求导由单调性易得原不等式成立，略．法二：接后续解：由得：即：②而③由②③得：④要证，令，构造函数，，求导由单调性易得在恒成立，又因为，，故成立．法三：接④后续解：视为主元，设，则在上单调递增，故，再结合，，故成立．法四：构造函数，，则，从而在上单调递增，故，即对恒成立，从而，，则，由，，且在单调递增，故，即，从而成立．招式演练：1．已知函数.（1）若，讨论函数的单调性；（2）若函数的两个零点为，记，证明：.2．已知函数，为函数的导数.（1）讨论函数的单调性；（2）若当时，函数与的图象有两个交点，，求证：.3．已知函数，其中．（1）函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；（2）若函数在定义域上有两个极值点，，且．①求实数a的取值范围；②求证：．4．设，已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设函数在点处的切线互相平行，证明：.5．已知函数在定义域内有两个不同的极值点.（1）求实数的取值范围；（2）设两个极值点分别为，，且，证明：.6．已知函数．（1）当函数与函数图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；（2）证明：当时，函数有两个零点，且满足．7．已知函数.（1）求曲线在处的切线方程，并证明：；（2）当时，方程有两个不同的实数根，证明：.8．已知函数有三个极值点，（1）求实数的取值范围；（2）求证：.9．已知函数，，，且的最小值为0.（1）若的极大值为，求的单调减区间；（2）若，的是的两个极值点，且，证明：.10．已知函数，.（1）求的单调区间；（2）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，求证：对于任意的实数，都有；（3）若方程为实数）有两个实数根，，且，求证：.11．已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个不同的零点，，且，求证：.(其中是自然对数的底数)12．已知函数，其中，，e为自然对数的底数.(1)若，且当时，总成立，求实数a的取值范围；(2)若，且存在两个极值点，，求证：13．已知函数（自然对数的底数）有两个零点.（1）求实数的取值范围；（2）若的两个零点分别为，证明：.14．已知函数，其中，，为自然对数的底数.（1）若，，①若函数单调递增，求实数的取值范围；②若对任意，恒成立，求实数的取值范围.（2）若，且存在两个极值点，，求证：.15．已知函数，其中a为正