专题五与零点相关的等式问题

专题五与零点相关的等式问题函数零点性质问题主要分为两类，第一类为与零点相关的等式问题(即求几个零点的和或与零点相关的表达式的和)，第二类为与零点相关的不等式问题(即比较零点或与零点相关的表达式的大小和求零点或与零点相关的表达式的最值或范围)，问题最终都是通过数形结合转化为两函数图象的交点进行解决．【例题选讲】[例1](1)已知函数f(x)＝ex－e－x＋4，若方程f(x)＝kx＋4(k>0)有三个不同的实根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________．答案0解析易知y＝ex－e－x为奇函数，且其图象向上平移4个单位，得y＝f(x)的图象．所以y＝f(x)的图象关于点(0，4)对称，又y＝kx＋4过点(0，4)且关于(0，4)对称．∴方程f(x)＝kx＋4的三个根中有一个为0，且另两根之和为0．因此x1＋x2＋x3＝0．(2)已知函数f(x)＝x2－3x＋eq\f(13,4)－8cosπeq\f(1,2)－x，则函数f(x)在(0，＋∞)上的所有零点之和为()A．6B．7C．9D．12答案A解析h(x)＝x2－3x＋eq\f(13,4)＝x－eq\f(3,2)2＋1的图象关于x＝eq\f(3,2)对称，设函数g(x)＝8cosπeq\f(1,2)－x．由πeq\f(1,2)－x＝kπ，可得x＝eq\f(1,2)－k(k∈Z)，令k＝－1可得x＝eq\f(3,2)，所以函数g(x)＝8cosπeq\f(1,2)－x的图象也关于x＝eq\f(3,2)对称．当x＝eq\f(1,2)时，heq\f(1,2)＝2<geq\f(1,2)＝8，作出函数h(x)，g(x)的图象．由图可知函数h(x)＝x2－3x＋eq\f(13,4)＝x－eq\f(3,2)2＋1的图象与函数g(x)＝8cosπeq\f(1,2)－x的图象有四个交点，所以函数f(x)＝x2－3x＋eq\f(13,4)－8cosπeq\f(1,2)－x在(0，＋∞)上的零点个数为4，所有零点之和为4×eq\f(3,2)＝6，故选A．(3)已知函数f(x)对任意的x∈R，都有f(eq\f(1,2)＋x)＝f(eq\f(1,2)－x)，函数f(x＋1)是奇函数，当－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)时，f(x)＝2x，则方程f(x)＝－eq\f(1,2)在区间[－3，5]内的所有根的和为________．答案4解析∵函数f(x＋1)是奇函数，∴函数f(x＋1)的图象关于点(0，0)对称，把函数f(x＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f(x)的图象，即函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(2－x)＝－f(x)．又∵f(eq\f(1,2)＋x)＝f(eq\f(1,2)－x)，∴f(1－x)＝f(x)，从而f(2－x)＝－f(1－x)，∴f(x＋1)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为2，且图象关于直线x＝eq\f(1,2)对称．画出函数f(x)的图象如图所示．∴结合图象可得方程f(x)＝－eq\f(1,2)在区间[－3，5]内有8个根，且所有根之和为eq\f(1,2)×2×4＝4．(4)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋20≤x<1,2－x2－1≤x<0))，且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝eq\f(2x＋5,x＋2)，则方程f(x)＝g(x)，在区间[－5，1]上的所有实根之和为()A．－5B．－6C．－7D．－8答案C解析先做图观察实根的特点，在[－1，1)中，通过作图可发现f(x)在(－1，1)关于(0，2)中心对称，由f(x＋2)＝f(x)可得f(x)是周期为2的周期函数，则在下一个周期(－3，－1)中，f(x)关于(－2，2)中心对称，以此类推.从而做出f(x)的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看g(x)图像，g(x)＝eq\f(2x＋5,x＋2)＝2＋eq\f(１,x＋2)，可视为将y＝eq\f(１,x)的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，所以对称中心移至(－2，2)，刚好与f(x)对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点x1<x2<x3，其中x2＝－3，x1与x3关于(－2，2)中心对称，所以有x1＋x3＝－4．所以x1＋x2＋x3＝－7．(5)若函数f(x)＝ln(ex－1＋e1－x)－2与g(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(πx,2)))图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则eq\i\su(i＝1,m,x)i＝()A．2B．4C．6D．8答案A解析设函数h(x)＝f(x＋1)＝ln(ex＋e－x)－2，y＝h(x)的定义域为R，因为h(－x)＝ln(e－x＋ex)－2＝h(x)，所以y＝h(x)为偶函数，因为y′＝eq\f(ex＋e－x′,ex＋e－x)＝eq\f(ex－e－x,ex＋e－x)＝1－eq\f(2,e2x＋1)是增函数，故当x≥0时，y′≥e0－e0＝0，所以当x≥0时，y＝h(x)为增函数，由奇偶性可知，当x<0时，y＝h(x)为减函数，故函数y＝f(x)关于x＝1对称，当x≥1时，y＝f(x)为增函数，当x<1时，y＝f(x)为减函数，函数y＝g(x)是关于x＝1对称的，作出两个函数的图象，如图所示，两个函数的交点有两个，设它们的横坐标分别为x1，x2，由对称性可得eq\f(x1＋x2,2)＝1，即x1＋x2＝2，故选A．(6)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝－2x＋1，设函数g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|(－1≤x≤3)，则函数f(x)与g(x)的图象所有交点的横坐标之和为()A．2B．4C．6D．8答案B解析∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴f(x)的周期为2．又f(x)为偶函数，∴f(1－x)＝f(x－1)＝f(x＋1)，故f(x)的图象关于直线x＝1对称．又g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x－1|(－1≤x≤3)的图象关于直线x＝1对称，作出f(x)和g(x)的图象如图所示．由图象可知两函数图象在[－1，3]上共有4个交点，分别记从左到右各交点的横坐标为x1，x2，x3，x4，可知x＝x1与x＝x4，x＝x2与x＝x3分别关于x＝1对称，∴所有交点的横坐标之和为x1＋x2＋x3＋x4＝1×2×2＝4，故选B．(7)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log\s\do9(\f(1,2))（x＋1），x∈[0，1），,1－|x－3|，x∈[1，＋∞），))则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(0＜a＜1)的所有零点之和为()A．2a－1B．2－a－1C．1－2－aD．1－2a答案D解析当－1≤x＜0时⇒1≥－x＞0；x≤－1⇒－x≥1．又f(x)为奇函数，∴x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－log\s\do9(\f(1,2))（－x＋1），x∈（－1，0），,－1＋|x＋3|，x∈（－∞，－1]，))画出y＝f(x)和y＝a(0＜a＜1)的图象，如图，共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，则eq\f(x1＋x2,2)＝－3，eq\f(x4＋x5,2)＝3，而－logeq\s\do9(\f(1,2))(－x3＋1)＝a⇒log2(1－x3)＝a⇒x3＝1－2a，可得x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝1－2a，故选D．(8)定义函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－8|x－eq\f(3,2)|1≤x≤2，,eq\f(1,2)eq\f(1,2)f(eq\f(x,2))x＞2，))则函数g(x)＝xf(x)－6在区间[1，2n](n∈N*)内的所有零点的和为()A．nB．2nC．eq\f(3,4)(2n－1)D．eq\f(3,2)(2n－1)答案D解析从f(x)＝eq\f(1,2)f(eq\f(x,2))可得，函数f(x)是以(2n－1，2n)区间为一段，其图像为将前一段图像在水平方向上拉伸为原来的2倍，同时竖直方向上缩为原来的eq\f(1,2)，从而先作出x∈[1，2]时的图像，再依以上规律作出[2，4]，[4，8]，﹍﹍，[2n－1，2n]，的图像，g(x)的零点无法直接求出，所以将g(x)＝0转化为f(x)＝eq\f(6,x)，即y＝f(x)与h(x)＝eq\f(6,x)的交点．通过作图可得，其交点刚好位于每一段中的极大值点位置，可归纳出(2n－1，2n)中极大值点为xn＝eq\f(2n－1＋2n,2)＝eq\f(3,4)·2n，所以所有零点之和为S＝eq\f(3,4)·eq\f(2(2n－1),2－1)＝eq\f(3,2)(2n－1)．注：本题考查了合理将x轴划分成一个个区间，其入手点在于f(eq\f(x,2))的出现，体现了横坐标之间2倍的关系，从而所划分的区间长度成等比数列．本题有一个易错点，即在作图的过程中，没有发现h(x)＝eq\f(6,x)恰好与f(x)相交在极大值点处，这一点需要通过计算得到：当x＝eq\f(3,2)时，f(eq\f(3,2))＝4＝h(eq\f(3,2))，f(3)＝2＝h(3)，从而归纳出规律．所以处理图像交点问题时，如果在某些细节很难通过作图直接确定，要通过函数值的计算来确定两图像的位置．(9)已知函数y＝eq\f(2x＋1,2x＋1)与函数y＝eq\f(x＋1,x)的图象共有k(k∈N*)个公共点：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，Ak(xk，yk)，则eq\i\su(i＝1,k,)(xi＋yi)＝________．答案2解析函数y＝f(x)＝eq\f(2x＋1,2x＋1)满足f(x)＋f(－x)＝2，则函数f(x)的图象关于点(0，1)对称，且f(x)在R上单调递增，所以f(x)∈(0，2)．又函数y＝eq\f(x＋1,x)的图象也关于点(0，1)对称，且在(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递减，画出两函数的大致图象如图所示，所以两个函数的图象共有2个公共点，A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，且这两个交点关于点(0，1)对称，则eq\i\su(i＝1,2,)(xi＋yi)＝x1＋x2＋y1＋y2＝2．[题后悟通]与零点相关的等式问题：可将零点问题转化成方程问题，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像．观察交点的特点(比如对称性等)并选择合适的方法处理表达式的值．即利用对称性解决对称点求和：如果x1，x2关于x＝a轴对称，则x1＋x2＝2a；如果x1，x2关于(a，0)中心对称，则也有x1＋x2＝2a．将对称的点归为一组，从而解决问题．【对点训练】1．函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x－1|)＋2cosπx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．1．答案10解析可转化为两个函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x－1|)与y＝－2cosπx在[－4，6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10．2．已知M是函数f(x)＝ex2－3x＋eq\f(13,4)－8coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))))在x∈(0，＋∞)上的所有零点之和，则M的值为()A．3B．6C．9D．122．答案B解析函数f(x)＝ex2－3x＋eq\f(13,4)－8coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))))在x∈(0，＋∞)上的所有零点之和，即ex2－3x＋eq\f(13,4)＝8sinπx在(0，＋∞)上的所有实数根之和，即eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋1＝8sinπx在(0，＋∞)上的所有实数根之和．令g(x)＝eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋1，h(x)＝8sinπx，易知函数g(x)＝eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋1的图象关于直线x＝eq\f(3,2)对称，函数h(x)＝8sinπx的图象也关于直线x＝eq\f(3,2)对称，作出两个函数的大致图象，如图所示．由图象知，两个函数的图象有4个交点，且4个交点的横坐标之和为6，故选B.3．已知函数f(x)＝sinx－sin3x，x∈[0，2π]，则f(x)的所有零点之和等于()A．5πB．6πC．7πD．8π3．答案C解析f(x)＝sinx－sin3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos2xsinx，令f(x)＝0,可得cos2x＝0或sinx＝0，因为x∈[0，2π]，所以2x∈[0，4π]，由cos2x＝0可得2x＝eq\f(π,2)或2x＝eq\f(3π,2)或2x＝eq\f(5π,2)或2x＝eq\f(7π,2)，所以x＝eq\f(π,4)或x＝eq\f(3π,4)或x＝eq\f(5π,4)或x＝eq\f(7π,4)，由sinx＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，因为eq\f(π,4)＋eq\f(3π,4)＋eq\f(5π,4)＋eq\f(7π,4)＋0＋π＋2π＝7π，所以f(x)的所有零点之和等于7π，故选C．4．已知函数f(x)＝eq\f(x－1,x－2)与g(x)＝1－sinπx，则函数F(x)＝f(x)－g(x)在区间[－2，6]上所有零点的和为()A．4B．8C．12D．164．答案D解析令F(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)＝1＋eq\f(1,x－2)与g(x)＝1－sinπx的图象，如图所示，又f(x)，g(x)的图象都关于点(2，1)对称，结合图象可知f(x)与g(x)的图象在[－2，6]上共有8个交点，交点的横坐标即F(x)＝f(x)－g(x)的零点，且这些交点关于直线x＝2成对出现，由对称性可得所有零点之和为4×2×2＝16，故选D.5．已知函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，g(x)＝x，记函数h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g(x)，f(x)≤g(x)，,f(x)，f(x)>g(x)，))则函数F(x)＝h(x)＋x－5的所有零点的和为________．5．答案5解析由题意知函数h(x)的图象如图所示，易知函数h(x)的图象关于直线y＝x对称，函数F(x)所有零点的和就是函数y＝h(x)与函数y＝5－x图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线y＝x对称，所以eq\f(x1＋x2,2)＝5－eq\f(x1＋x2,2)，所以x1＋x2＝5．6．函数f(x)对一切实数x都满足f(eq\f(1,2)＋x)＝f(eq\f(1,2)－x)，并且方程f(x)＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．6．答案eq\f(3,2)解析函数图象关于直线x＝eq\f(1,2)对称，方程f(x)＝0有三个实根时，一定有一个是eq\f(1,2)，另外两个关于直线x＝eq\f(1,2)对称，其和为1，故方程f(x)＝0的三个实根之和为eq\f(3,2)．7．若y＝f(x)是定义在R上的函数，且满足：①f(x)是偶函数；②f(x＋2)是偶函数；③当0＜x≤2时，f(x)＝log2019x，当x＝0时，f(x)＝0，则方程f(x)＝－2019在区间(1，10)内的所有实数根之和为()A．0B．10C．12D．247．答案D解析由f(x＋2)是偶函数得f(x＋2)＝f(－x＋2)，则f(x)的图象关于x＝2对称．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)的图象关于x＝0对称，x＝2n(n∈Z)是函数f(x)的对称轴．因为当0＜x≤2时，f(x)＝log2019x，当x＝0时，f(x)＝0，所以在区间(1，10)内，方程f(x)＝－2019有4个根，关于x＝4对称的两个根之和为8，关于x＝8对称的两个根之和为16，所以方程f(x)＝－2019在区间(1，10)内的所有实数根之和为24．8．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2x,x＋1)，x∈[0，1]，,1－|x－3|，x∈[1，＋∞]，))则函数F(x)＝f(x)－eq\f(1,π)的所有零点之和为________．8．答案eq\f(1,1－2π)解析由题意知，当x<0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2x,1－x)，x∈[－1，0]，,|x＋3|－1，x∈－∞，－1]，))作出函数f(x)的图象如图所示，设函数y＝f(x)的图象6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，令－eq\f(2x,1－x)＝eq\f(1,π)，解得x3＝eq\f(1,1－2π)，所以函数F(x)＝f(x)－eq\f(1,π)的所有零点之和为eq\f(1,1－2π)．9．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2|x－1|－1，0<x≤2，,\f(1,2)f(x－2)，x>2，))则函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为()A．8B．32C．eq\f(1,2)D．09．答案A解析令g(x)＝xf(x)－1＝0，则x≠0，所以函数g(x)的零点之和等价于函数y＝f(x)的图象和y＝eq\f(1,x)的图象的交点的横坐标之和，分别作出x>0时，y＝f(x)和y＝eq\f(1,x)的大致图象，如图所示，由于y＝f(x)和y＝eq\f(1,x)的图象都关于原点对称，因此函数g(x)在[－6,6]上的所有零点之和为0，而当x＝8时，f(x)＝eq\f(1,8)，即两函数的图象刚好有1个交点，且当x∈(8，＋∞)时，y＝eq\f(1,x)的图象都在y＝f(x)的图象的上方，因此g(x)在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8．10．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－10≤x≤1，,f(x－1)＋mx＞1))在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a≥0，方程f(x)＝a有且只有一个实数解，则函数g(x)＝f(x)－x在区间[0，2n]