专题06奔驰定理及四心的识别（原卷版）-2021-2022学年高一数学常考题专练（人教A版2019）_第1页
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文档简介

专题06奔驰定理与三角形四心的识别题型一奔驰定理证明：已知是内的一点，的面积分别为，，，求证：【解答】如图，延长与边相交于点则______________________推论:是平面内的一点，且，则 ②【例题】1、已知点是所在平面内一点，满足，则与面积之比是2、已知点是所在平面内一点，满足，，则_______【练习】点M在△ABC内部，满足，则____________．设为所在平面上一点，且满足．若的面积为8，则的面积为___________．

题型二三角形四心的识别【四心的概念介绍】(1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；(2)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3)内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。【重心】：若O为△ABC重心（1）；（2）；（3）动点满足，，则的轨迹一定通过的重心（4）动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心（5）重心坐标为：.

【垂心】：若O为△ABC垂心（1）（2）（3）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心（4）（5）.

【内心】：若O为△ABC内心（1）（2）（3）动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心（4）

【外心】：若O为△ABC外心（1）；（2）动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心；（3）若，则是的外心；（4）；（5）.【奔驰定理与三角形四心向量式】1、是的重心2、是的内心3、是的外心4、是的垂心证明：如图为三角形的垂心，同理得，奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一

【四心的识别相关训练】已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B．内心C．重心D．垂心若O在△ABC所在的平面内，a，b，c是△ABC的三边，满足以下条件,则O是△ABC的（）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心若O在△ABC所在的平面内,且满足以下条件,则O是△ABC的（）A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心【四心之垂心】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的()．A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心是所在平面上一点，若，则是的()A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心若为所在平面内一点，且则点是的()A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【四心之重心】已知是所在平面上的一点，若，则是的()．A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的().A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心O是△ABC所在平面内一点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心【四心之外心】已知是所在平面上一点，若，则是的()．A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，

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