湖北省部分学校2025届高三年级上册第一次大联考（一模）数学试题及答案

高三数学考试

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数，数列，平

面向量.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的

1.命题“血〉°，矿+1<2，，的否定为()

A.3tz>0,a2+l>2B.3a<0,tz2+l>2

C.VtZ>0,6!2+l>2D.V<7<0,672+l>2

【答案】c

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断.

【详解】因为“三。>0,。2+1<2”的否定是“7。>0,/+122”.

故选：C

2.已知集合4=｛削工2-3<。｝,3=｛尤|0<尤+1<3｝,则()

A.卜1,6)B.卜6,2)C.卜#,6)D.(—1,2)

【答案】A

【解析】

【分析】先确定两个集合中元素，再根据交集定义求解，

【详解】因为4=卜4,指),3=(—1,2),所以AcB=C，括］

故选：A.

3.已知函数/(1=卜—⑴龙,则()

A-B-r⑴=-1

c.7•⑵=e2-eD./⑵=e2-e

【答案】C

【解析】

【分析】求导，通过赋值逐项判断即可.

【详解】因为/(x)=._/'(l)x,所以/'(x)=e'—/'⑴，

则/'⑴=e—/'⑴，所以,(1)=］，

则〃x)=e，—/x,所以〃I)=1"'(2)=e2—/"(2)=e2—e.

故选：C

4.4知函数/(x)=(x—2)","eN*,则“"=1”是"/(x)是增函数”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由当〃=2k+1,左eN时，f'(x)>0,可得%)=(x—2)”是增函数，即可得到答案.

【详解】由/(力=(x—2)",得/'(x)=“(x—2尸，

则当“=2左+l#eN时，f(x)>0,〃％)=(九—2)"是增函数，

当〃=1时，可得〃尤)是增函数；

当/(x)是增函数时，"=2左+1,左eN,

故“〃=1”是“/(%)是增函数”的充分不必要条件.

故选：A.

5.若对任意的x,yeR,函数/(%)满足〃;>=〃x)+〃y),则〃4)=()

A.6B.4C.2D.0

【答案】D

【解析】

【分析】用赋值法即可求解.

【详解】令y=。，则由+/(y)，可得/(x)=-2/(0),

所以/(%)为常数函数，令x=y=0,可得/(0)=0,故"4)=0.

故选：D.

6.某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润$(单位：百万元)与新设备运

二2r+50598/<8

行的时间/(单位：年，feN*)满足5=3，，当新设备生产的产品可获得的年平均利

[4+10/2—2/,也8

润最大时，新设备运行的时间/=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】

一98

s—2,-------F50/<8

【分析】由已知可得y=—=《t,当，<8和出8时分别求得最大值，即可求解.

1[-2+10-2128

’98

s—2t------1~50,%〈8

【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润y=—=t,

t[-/+10/2/28

98

当，<8时，2r+—>28,当且仅当，=7时，等号成立，

t

98

贝！J—2”二十50«22,

t

所以当/=7时，二取得最大值，且最大值为22,

t

当出8时，—产+10/—2=—(-5)2+23,

所以函数在[8,+8)上单调递减，

所以当/=8时，二取得最大值，且最大值为14，

t

故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间/=7.

故选：B.

7.如图，在AABC中，N3AC=120。,=2,AC=1,。是5c边上靠近3点的三等分点，E是BC边

上的动点，则Z豆.E的取值范围为()

41047

c.D.

【答案】C

【解析】

【分析】先用余弦定理求出|阮再将向量用基底而，砺表示，借助向量运算性质计算即可.

AB|2+AC|2-\BC\2

【详解】由cos/R4c解得国="

2AB\\AC\2

设在=X屈

2410

=|AC-AB-|AC+^=-1+^2e

35T

故选：C

8.已知函数/(%)=三+3]+1,若关于％的方程/(sinx)+/(m+coM=2有实数解，则机的取值范

围为()

A.[-B.[-1,1]C.[0,1]D.[-

【答案】D

【解析】

【分析】设g(x)=/(x)—l=V+3x,利用函数的单调性和奇偶性，把/■(sinx)+〃”?+cosx)=2转化

成加二-sinx-cosx,再结合三角函数的性质求加的取值范围.

【详解】令g(x)=y(x)—l=/+3x,则/(x)=3*+3>0恒成立，则g(x)在R上单调递增，且g(x)

是奇函数.

由/(sinx)+/(m+cosx)=2,得/(sinx)-l=-[/(m+cosx)-1^|,即g(sinx)=g(-m-cosx),

从而sinx=-m-cosx,即m=-sin%-cosx=-^/2sin（x+jje[一四,

故选：D

【点睛】方法点睛：设g（x）=/（x）—l=V+3x,可得函数g（x）为奇函数，利用导函数分析函数g（尤）

的单调性，把了心11«；）+/（根+85%）=2转化成机=一5111^—88%,再求〃2的取值范围.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.在等比数列｛外,｝中，勾。2=2,。3=4，贝I（）

A.｛。“｝的公比为B.｛4｝的公比为2

C.%+。5=20D.数列＜log,—＞递增数列

【答案】BC

【解析】

【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可.

【详解】设等比数列｛四J的公比为4,

a、q=2,ciy—1,,

依题意得《।彳解得40所以。“=2，

储4=4,[q=2,

故。3+%=22+24=20,故BC正确，A错误；

,1,1

对于D,log2—=1-〃，则数列｛log,—卜为递减数列，故D错误.

4-an

故选：BC.

10.已知函数〃x）=gtan（0x—0）（0＞0,0＜夕＜兀）的部分图象如图所示，贝U（）

A.CD=2

71

B.(p=—

3

c./(%)的图象与y轴的交点坐标为

D.函数y=|/(x)|的图象关于直线x=」对称

【答案】AD

【解析】

【分析】根据函数的图象确定其最小正周期，求出＜9=2,判断A；利用特殊值可求出0,进而求出/(%)

3,0对称，即可判断D.

的图象与V轴的交点坐标，判断BC；判断了(九)的图象关于点

【详解】由图可知，“X)的最小正周期丁=二='，则。=2,A正确;

co2

由图象可知x=二时，函数无意义，故&—夕=乌+也,左eZ,

332

由0<°<兀，得夕=£，即/(x)=gtan12x_W],则/⑼=_

~乌6~)

即/(%)的图象与y轴的交点坐标为o,-B,C错误;

由于普)=5tan(T■—"=0,则/(%)的图象关于点卜寸称,

可得函数y=/(x)|的图象关于直线x=—对称.

故选：AD

11.已知产端，Z^=ln—,c=叵,则()

930

A.c>aB.a>b

C.c>bD.b>a

【答案】ACD

【解析】

【分析】将a,6变形作差，可得"6=j+—匕］,设/(x)=x+ln(l—x),xe(O,l),求导判断

函数的单调性即可判断D；将c变形，可得b—c=lnf—聘+京，设丸(》)=1皿一«+七，

xe(l,”)，求导判断函数的单调性即可判断C；根据C,D即可判断A.

1OS41Og2

［详解］a=2I°°=2i0=—,===,

10910I10；

a-b-----FInI1---

10

令/(x)=x+ln(l-x),XG(0,1),

则(x)=1—--=—<0,/(%)在(0,1)上单调递减,

所以/[j]</(o)=o,即a(人故D正确；

令(X)=llLV—yfxH—7=,xe(l,+co),

/z(x)在(1,+8)上单调递减，所以

即/?<c,故C正确，

因为a</?,b<c,所以c>。，故A正确.

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：数的大小的比较，通过构造函数，通过求导利用函数的单调性求解是解题的关键.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知平面向量玩，为满足沅•为=3,且沆，(沆—2为)，贝|］同=.

【答案】V6

【解析】

【分析】由向量数量积的运算律和向量垂直的表示直接计算即可得解.

【详解】因为庆1（海一2万）,

所以沅•（诩-2元）=0,则沅2=2玩.万=6,

所以问=卡.

故答案为：、后.

13.若,且cos2tz=cos[a+；J,则夕=.

TT

【答案】方

【解析】

【分析】化简三角函数式，求出sin[a+?）=g,根据即可求解.

【详解】由cos2a=cos[o+]J,得cosNa—sin?。=^~(cosa—sina).

因为二，所以cosa—sinaw0,则cosa+sina=,则sin[。+j=],

由a得则a+:=g解得0=

4144)4612

7T

故答案为：一—.

12

ah

14.已知正实数满足2a+3〃=2,则「------的最大值为___________.

—"+2人+4

【答案】三

26

【解析】

ab_1

【分析】将2a+3〃=2代入可得—4+2b+4=3a112b，再由基本不等式求解即可.

ba

【详解】解：因为勿+3/?=2,

ab_ab_ab_1

所以-a2+2b+4--a2+b(2a+3b)+(2a+3b)2-3a2+12b2+14ab-3aJ2J曾•又a>0力>。,

ba

42

当且仅当a=—力=—时，等号成立,

77

ab

则的最大值为——■

-a2+2b+426

故答案为：—7

26

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在公差不为。的等差数列｛斯｝中，%=1，且%是出与%4的等比中项•

（1）求｛%3的通项公式；

⑵若a=2乐，C"=anbn,求数列｛c,｝的前〃项和.

【答案】⑴an=2n-l

6n-5„110

⑵S"=22+1

99

【解析】

【分析】（1）根据等差数列通项公式把火、的、%4都用4与d表示，结合已知解出d，即可得出｛%｝

的通项公式;

（2）先表示出优=221,再表示出g=（2〃—1）-22"T,用错位相减法即可求解.

【小问1详解】

设｛%｝的公差为2（2/0）,因为%是4与%4的等比中项，

所以a：=a2a14,即(q+4dJ=(q+d)(q+13d),

整理得=2°/.

又q=1,dwO,所以d=2,

则%=%=2/1-1.

【小问2详解】

212n1

由(1)可得a=2%=2-,c〃=anbn^(2n-l)-2-,

则S“=lx21+3x23+5x25+…+(2〃-l).22"T①，

4S„=lx23+3x25+5x27+---+(2H-l)-22n+1(2),

X35TH2,,+1

①-②得-3Sn=2+2(2+2+---+22”)-(2-1)-2

=2+2X23~2'；+'-(2n-l)-22n+1=---^^-22"+1

1-4v733

则S,=%022m+9

99

j2_2

16.在锐角VA3C中，内角AB,C的对边分别为名仇。，且q=2;二wl.

cb~-ac

(1)证明：B=2C.

(2)若点。在边AC上，且8=3。=4,求。的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)(4后,4网.

【解析】

【分析】(1)化简已知等式结合余弦定理可得a=c(l+2cos6),再利用两角和的正弦公式即可证明结论;

(2)由已知条件结合正弦定理可得BC=8cosC,根据锐角VA3C确定角C的范围，即可求得答案.

【小问1详解】

证明：因为@=与二二，所以%—a2c=/c—g3,

cb-ac

整理得"(a-c)=c(a+c)(a-c)

又所以a—cwO,从而从=〃c+，="+，—2〃ccos5，

c

整理得a=c(l+2cos5),则sinA=sinC(1+2cosB).

由sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,得sinBcosC-cosBsinC=sinC,

即sin(B—C)=sinC,结合锐角VABC中，B-Ce(-p|),

则6—C=C,即B=2C.

【小问2详解】

如图，由00=5。，可得NACfi=NDfiC,则/5DC=7I—2NTLCB.

CB

BCBD

在△BCD中，由正弦定理得

sin^BDCsin/BCZ)

整理得BC=BDsm/BDC=4sin2C=8cosc

sin^BCDsinC

o<Y，

因为5=2C,且VABC是锐角三角形，所以。<2C?解得『C号,

71

0<TI-3C<-,

2

则<cosC<，

22

从而4A/2<8cosC<473.即0的取值范围为(40,473).

17.已知函数/(X)=炉-aln(x+l).

(1)若a=4,求“X)的极值点；

(2)讨论“尤)的单调性.

【答案】(1)极小值点为1,无极大值点.

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)利用导数，可得当xe(—1,1)时，/(%)单调递减；当％e(l,+8)时，/(%)单调递增，则得

答案；

(2)由/(力=2/+j;—a,则讨论2f+2%一a=。的解的情况，进而讨论出“村的单调区间.

【小问1详解】

因为a=4,所以/(x)=*-41n(x+l),x>—l,

e,/、42(x+2)(x-l)

则/'(x)=2x-----=------------

V'x+1x+1

令(尤)=2(X+2)(X_ll=o,解得％=1或%=—2(舍),

X+1

当xe(—1,1)时，/'(x)<0J(x)单调递减;

当xe(l,+8)时，/'(x)>O,/(x)单调递增,

故/(%)的极小值点为1,无极大值点.

【小问2详解】

由/(%)=X?—aln(x+1),x>—1,则/'(x)=2x———+2；一”

令212+2x-Q=0，

若A=4+8a<0,即o<—,

2

则方程2f+2x-Q=0无解或有两个相等的实数解,

此时2f+2x—恒成立，则/(力的单调递增区间为(—1,+a),无单调递减区间.

若A=4+8〃>0，即6Z〉---，

2

―1+J1+2〃-1-J1+2a

则方程2%2+2%—〃=0的解为玉=

22

若0<l+2〃vl,即—gva<0,则%>%2>一1，

-l-，l+2a、-1+Jl+2a―1-Jl+2a-1+J1+2、

当九w-1,,+8时，/，(%)>0,

2][2

时，/'(%)<0,

则/(%)单调递增区间为3和-l+y/l+2a+oo,单调递减区间为

―1-Jl+2a-1+Jl+2cl

2'2「

若1+2。21,即〃20,则九2<—1〈玉，

'-l+Jl+2a

,+。时，((%)>0,

当工£-1,-----------时，f"(x)<0,当％£~2~

)

则/(%)的单调递增区间为［-1+中2“

,+8,单调递减区间为-L

7

综上，

当aW—；时，/(%)的单调递增区间为(―1,+“)，无单调递减区间;

、

当」<a<(_i_Ji_i_2a―1++2〃

。时，/(%)的单调递增区间为T——t-----和,+”，单调递减区间为

2

I2kT~7

"-1-71+2^-1+Jl+2〃)

I2-52-J；

当心0时，/(%)的单调递减区间为-1,-1+^+2-1单调递增区间为T+++2a”

I2JI2)

18.己知数列｛4｝的前〃项和为S“，且4=：,5“=(2"—1)4.

(1)求｛%｝的通项公式；

(2)证明：s2s4…S2”>g.

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据前〃项和为S”与4的关系，利用相减法得数列递推关系式，从而根据等比数列可得｛&J

的通项公式;

⑵由⑴得S〃=l-3,根据不等式[+，][1一5]=1+?——7>1，

n>2,即可证得结

论.

【小问1详解】

当心2时，由S〃=(2"-l)a"，得加=(22-1)矶，

则=3—S“T=(2«-1)«„-(2--1整理得4

因为弓=；,所以｛%J是以;为首项，；为公比的等比数列，

则a,=a@T=出.

【小问2详解】

证明：由⑴可得S〃=(2〃—=l—贝1JS2"=1-5=[1+，]。一：1

当〃之2时，对于11+JTj1111

----1-------------=1+F-22«-才〉1，

2〃2〃-1^2n—1

19.当一个函数值域内任意一个函数值y都有且只有一个自变量》与之对应时，可以把这个函数的函数值

y作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量了作为新的函数的函数值，我们称这两个函数互为反

函数.例如，由y=3x,%eR,得x=],yeR,通常用x表示自变量，则写成y=1,xeR,我们称

y=3x,xeR与y=1,xeR互为反函数.己知函数/(尤)与g(x)互为反函数，若A3两点在曲线y=

/(x)上，两点在曲线y=g(x)上，以四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一

条边与直线V=x垂直，则我们称这个矩形为“X)与g(x)的“关联矩形”.

(1)若函数/(x)=6，且点在曲线y=/(久)上.

(i)求曲线y=f(x)在点A处的切线方程；

(ii)求以点A为一个顶点的“关联矩形”的面积.

(2)若函数f(x)=]n久，且〃尤)与g(x)的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的面积为S证

明：S>2.(参考数据:Ve-1-ln2<0)

【答案】(1)(i)y=x+-；(ii)2行+1；

48

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)(i)先由点在曲线y=/0)上求出点A,再利用导数工具求出即可由直线的点斜式方

程得解；(ii)先由反函数性质依次得出y=/(久)的反函数g(x)和A关于直线丁=%对称的点为。，从而得

kAD^\AD\,再由题意以及/(x)=五图象特征得AC，AD和心c，进而得直线AC的方程，接着联立

求出点c即可得|AC|,从而计算S=|AD||AC即可得解.

(2)先由题意设关于直线y=兀对称，关于直线y=x对称得ABLAD,进而设

4

A(x，1叫),B(x2,lnx2),C(玉,9),D(x4,e')得0<%<々,4<七，再由已知信息结合|的=忸。|得

至ije"-2%+1%=0,接着建立函数/z(x)=ex—2x+lnx并利用导数工具研究其单调性从而由人(%)=0

和唱卜0得七>|,从而借助5=|明2=2(d—x)的单调性得证S=2@

【小问1详解】

(i)因为点在曲线/(x)=«上，所以以L即A

2(3

由/(%)=A/X,得/(X)=2«，则/'

所以曲线y=/(%)在点4处的切线方程为y—g=x—；即y=x+(.

(ii)由(1)由=4得其反函数为g(x)=x2(xN。)，

则函数/(尤)和g(X)图象关于直线y=X对称，设A关于直线y=X对称的点为D,

11

则。在曲线g(x)上，且。［，］，鼬=十号=—1，

2~4

上

则M=