几类函数的对称中心及应用-高考数学复习压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题18几类函数的对称中心及应用

【方法点拨】

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1.三次函数f(x)=ax+Z?x+cx+d{aw0)的对称中心为(x°,J(x0))，其中(玉))=0,

b

即/"(/)=6ax0+2b=0,XQ=---.

3a

b

记忆方法：类比于二次函数的对称轴方程/o=——，分母中2—3.

2a

「丫z"/卜「

2.一次分式函数(或称双曲函数)/(X)=---(acwO)的对称中心为(一,一).

ax-baa

记忆方法：横下零，纵系数(即横坐标是使分母为0的值，而纵坐标是分母、分子中的一次

项系数分别作为分母、分子的值).

3.指数复合型函数/(%)=———(。>0且。/1,相〃片0)的对称中心为(108°叫-^-).

ax+m2m

记忆方法：横下对，纵半分(即横坐标是使分母取对数的值，但真数为保证有意义，取的是

绝对值而已，而纵坐标是分母、分子中的常数分别作为分母、分子的值的一半).

【典型题示例】

例1已知函数/00=二一一2x,则满足不等式/(a)+7(3。+2)>2的实数。的取值

3+1

范围是.

【答案】巴―gj

【解析】y=f-的对称中心是(0,1),其定义域为R且单减

3+1

令g(x)=/(x)-l=——-2x-l,则g(x)为R上的单调递减的奇函数

3+1

由/⑷+7(3。+2)>2得〃3a+2)—1>1—/(a)

即g(3a+2)>-g(d)

因为g(x)为奇函数，故一g(a)=g(—a)

所以g(3a+2)>g(—a)

又g(x)在R上单减，所以3。+2<-。，解之得。<—；

所以实数a的取值范围是(-巴

I2J

例2设/'(X)是函数y=/(x)的导数，f"(x)是/'(X)的导数，若方程f"(x)=0有实

数解天,则称点(飞，/(%))为函数丁=/(%)的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，

1Q

又有对称中心，且拐点就是对称中心.设/'(乃=§三—2必+§%+1,数列｛%｝的通项公

式为a”=2〃—7,则/(%)+/(2)+..•+/(/)=.

【解析】令/"(x)=2x—4=。得x=2,/(2)=1

1Q

/■(X)=§V—+耳X+1对称中心为(2,1),

所以/(无)+/(4—%)=2对于任意xeH恒成立

因为aa=2〃-7,所以％+/=&+%=%+4=&+%=4

所以fa)+/(/)=/(a2)+/(%)=/(%)+/(«6)=/(«4)+/(%)=2

所以/([)+/&)+…+/a)=8.

x+2

例3已知函数〉=sinx+l与y=——在(aeZ,且a>2017)上有加个交点

X

(不，乂)，(三，%),……，(％,，％,)，贝1J(占+%)+(尤2+%)+•,,+(4+%)=

A.0B.rnc.2mD.2017

【答案】B

【解析】

由图可知交点成对出现，每对交点关于点(0,1)对称，横坐标和为0,纵坐标和为2,所以

(玉+%)+(%+%)+…+(/+%)=晟义2=加,选B.

【巩固训练】

L对于定义在。上的函数/(X),点A(，〃M是/(X)图像的一个对称中心的充要条件是：对

任意无都有/(x)+/(2/"-x)=2〃，判断函数/(力=炉+2/+3升4的对称中心.

—x+2

2.函数y=y=----的对称中心是______________

%-4

3.设函数/(x)=(x—3)3+x—1,数列｛4｝是公差不为0的等差数歹U,

f(q)+/(a,)H---Ff(%)=14,则％+a,+,—卜a?=()

A、0B、7C、14D、21

4.已知函数/•(©=—+2—9.(其中aeH)图象关于点P(—1,3)成中心对称，则不等式

x+1

/(x)>x-l的解集是.

5.在平面直角坐标系宜为中，已知直线、=丘+2-2左与曲线y=2(x-2)3+x依次交于A,2,C

三点，若点P使I超+记1=2,贝”前I的值为.

6.已知函数/(x)=」一+。的图象关于坐标原点对称，则实数a的值为.

2-1

y-i

7.已知函数/(x)=+2x,则满足不等式/(a)+f(3a+2)>0的实数a的取值范围

y+i

9.己知函数/'(x)=----,若对VxeN*,，(x)K，(5)恒成立，则a的取值范围

x-a

是.

10.已知函数〃无)=wg+e=eT,若不等式［加)+〃1-2祠21对VxeR恒成立，则

实数。的取值范围是()

A.（0,e]B.[0,e]C.（0,1]D.[0,1]

IL已知函数〃x）=x4+ln含，若血卜”普•

,「2019e12019八_,,八„1，口所4，

,不而卜一厂(z“+外，其中。＞0，则n不藤+71的V取小।值为

1/U/U，乙^iciiu

A.-B.1C.V2口.乌

442

12,函数/(x)=j^[+2sin卬尤-；)]在xe[-3,5]上的所有零点之和等于.

【答案与提示】

1.【答案】［

【分析】根据点A(，%〃)是〃力图像的一个对称中心的充要条件，列出式子，即可得出结果.

解：因为〃力=丁+2/+3工+4,由于

—丁+2x2+3x+4+（——x2—x+21一gx2一x1+

3，gx2—x1+4=^x2=.即加二—g,九=工.所以（一|■，^J是/（1）=%3+2f+3x+4的

一个对称中心.

故答案为:（q尧

2.【答案】（4,-1）

_.„_—X+261

【解析】y=-----=-------1

x-4x-4

3.【答案】D

【提示】根据函数值之和/(%)+/(%)+…+/(%)=14求自变量之和/+生+…+%，很自

然会去考虑函数的性质，而等式常常考查对称性，从而尝试去寻求函数

/■(X)=(X—3)3+X—1的对称中心.

函数/(x)=(x—3)3+X―1可以视为由y=(X—3)3与y=X-1构成，它们的对称中心

不一样，可以考虑对函数的图象进行平移，比如/(x)—2=(x—3y+(x—3),引入函数

F(x)=f(x+3)-2=x3+x,则该函数是奇函数，对称中心是坐标原点，由图象变换知识

不难得出/(%)=(x—3)3+x—1的图象关于点(3,2)中心对称.

4.【答案】{小＜一1或0＜光＜3}

【解析】函数/(x)="*+2—"的对称中心为(一1,a),与P(—1,3)比较得a=3.此时

x+1

/（%）=33Y_—」1，不等式/（X）＞%—1,即3卫x_—」1〉％—103士x——1—（%—1）〉。

x+1x+1X+1

oX-y-3)<0ox(x+l)(x—30<0,由序轴标根法即得解集为｛%k<—1或0<x<

X+1

5.【答案】1

【提示】丫=履+2-2人过定点(2,2),对于三次函数y=2(x-2)3+x,令

/ff(x)=12(%-2)=0得x=2,又/(2)=2,所以y=2(x-2)3+x也关于点(2,2)对称，

所以西+定=2万，|丽卜1.

6.【答案】一1

7.【答案】f——+coj

3'-13V+1-22

【解析】小)=0+2户户+2户1-门+2彳的对称中心是(。,。)，其定义

域为R且单增(下略).

8.【答案】500

【思路一】从所求式中自变量的特征，被动发现函数的对称性.设若0<。<1,尝试去求

/(a)+/(l-a)的值，易得f(a)+/(l-a)=l.

【思路二】主动发现函数的对称性，f(x)=-4*-=l2,设g(x)=^2^,则其对称

4+24+24+2

,则〃无)的对称中心也为m,故〃无)+/(i-x)=i.

中心为

9.【答案】5<a<6

10.【答案】D

【分析】构造函数g(x)=/(x)-;，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为

f(ax2)-^>-/(l-2«x)-1,即g(加"g(2办-1),再利用函数单调性解不等式即可.

【解析】Q/W=zr-r+ex-e-\

2+1

.•.〃力+〃一力=「一

3+1-b+^^+1--------1---------

2'+12-%+1

令g(%)=/(x)—；，贝重(%)+8(一力=。，可得g(x)是奇函数,

21n2In2

2"+'+2

2X

又利用基本不等式知e^+—>2当且仅当ex=—,即％=0时等号成立;

In2/n2

0、1,。一丁当且仅当2、=1,即％=0时等号成立;

2H-----1-22

Y

故g，(x)>0,可得g(x)是单调增函数,

由/2)zi得/(2_9_/(1_2*+3=

ax_f(^~^ax)~~，

即g(^ax2^>-g(l-2ax)=g(2ax-l),即分？一2分+i之o对VXER恒成立.

a>0

当Q=0时显然成立；当QWO时，需△=得。<a"

综上可得故选：D.

11.【答案】A

【分析】通过函数/(X)解析式可推得/(x)+/(e-x)=2,再利用倒序相加法求得

e2e2Q18e2019e

，得到。+6的值，然后对。分类讨论利用

2020202020202020

基本不等式求最值即可得出答案.

【解析】因为

ex/、eie{e-x)

所以小)+7.7)=犬-t+111+(e—1)-----1-In------------

e-x2e-(e-x)

1ex[e(e-x).,exe(e-x).。

=In------+In--------=ln(-----------------)=l1ne2=2,

e—xxe—xx

e2e2018£2019£

令S=f+f

2020202020202020

e2019e2e2018g201%

则2S=J+f+"+f+•••+f+f

202020202020202020202020

=2x2019,所以S=2019

所以警

((2+Z?)=2019,所以a+Z?=2,其中〃