2024年广东省某中学中考三模数学试题及答案

2023-2024学年第二学期初三第三次模拟测试数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）.

1.2024年4月23日是第29个世界读书日，习近平总书记多次强调读书的重要性，倡导全社会都参与到阅

读中来，形成爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围.图书馆是开展全民阅读的重要场所，以下是我省四个

城市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A.

潮疝有画■帝佛111南国M值

tpr»QMAMI■nnARv

D-东莞图书馆

DONGGUAh

江q市图一个」官

IIRRARY

2.为了纪念著名的数学家苏步青及其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏

步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（）

A.0.218xl09B.2.18xl09C.2.18xlO8D.218xl06

3.下列二次根式中能与后合并的是（）

A.V12B.78C.720D.V27

4.桦卯（sunmao）,是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式.如图是某个部件“棒”的实

物图，它的主视图是（）

B.

D.---------

5.反比例函数y=-°的图象位于（）

x

A.第一、第三象限B.第一、第四象限C.第二、第三象限D.第二、第四象限

6.函数y=万的自变量元的取值范围在数轴上可表示为（

7.某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长3500米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时

，设实际每天铺设管道无米，则可得方程至"-型2=15,根据此情景，题中用“表示的缺

x-10x

失的条件应补为（）

A.每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成

B.每天比原计划少铺设10米，结果延期15天完成

C.每天比原计划少铺设15米，结果延期10天完成

D.每天比原计划多铺设15米，结果提前10天完成

8.已知x+y=6,孙=6,则％?+，的值为（）

A.9B.18C.24D.36

9.如图，将以。为中心点的量角器与含30。角的直角三角板紧靠着放在同一平面内，此时点。，C,B在

同一条直线上，且DC=2BC.过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E,则点E在量角器上所对应

的锐角度数是（）

DOCB

A.30°B.45°c.50°D.601

10.如图，□ABC和口ECD都是等腰三角形，且NBAC=NCED,点B,C,。在同一条直线上,

口ABC和口ECD的面积分别为16和25,则图中阴影部分的面积为（）

A.18B.20C.20.5D.22

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.

11.单项式-2/y的系数是.

12.广东省大陆海岸线长居全国第一，森林、湿地资源丰富，候鸟数量庞大、种类繁多.为了解某湿地公

园大白鹭的情况，从中捕捉50只大白鹭，戴上识别卡并放回，经过一段时间后发现，捕捉的大白鹭中有

记号的频率稳定在0.1左右，由此估计该湿地公园约有只大白鹭.

13.如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行.若4=32。，23=145°,则

Z2=.

14.如图，一次函数>=履+》的图像经过43两点，则关于x的不等式依+〃<2的解集是

15.在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活

动；对依次排列的两个整式机，“按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中相，"，n-m.第2次

操作后得到整式中加，n-m,-m.第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上

一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏.则该“回头差”游戏

第2024次操作后得到的整式串各项之和是.

三、解答题（一）（本大题共3个小题，每16题10分，第17、18题各7分，共24分）

16.（1）计算：1-W.sin45°+|2。—亚卜

x-2y=1

（2）解方程组:

3%+4y=23

17.作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分.这个五一，我市举行“缤纷运

动'莞'精彩、‘篮‘不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式(每两队之间都赛两场)，计划安排30场

比赛.

(1)应邀请多少支球队参加比赛？

(2)若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？

18.如图，的对角线AC,BD交于点、O,分别以点8,。为圆心，-AC,工劭长为半径画

22

弧，两弧交于点尸，连接BP,CP.

(1)试判断四边形BPC。的形状，并说明理由；

(2)①当平行四边形ABCD是_________形时，四边形8PC0是菱形；

②当平行四边形ABC。是形时，四边形是矩形.

四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)

19.如图1,是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形ABC。，其中AB=3m,

AD=lm,此时它与出入口等宽，与地面的距离AO=0.2m；当它抬起时，变为平行四边形

AB'C'D,如图3所示，此时，49与水平方向的夹角为60°.

(1)求图3中点"到地面的距离；

(2)在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；

(3)图4中，一辆宽1.6m,高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要与BC保持0.4m的安全距离，此

时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由.

(参考数据：V3®1.732，71«3.14,所有结果精确到0.1)

20.在全国节能宣传周期间，某校组织开展主题为“节能降碳，你我同行”的社会实践活动.某组同学在甲、

乙两个小区各随机抽取50户居民，获得了他们1月份的用电量x(单位：kW-h),分别将两个小区居民用

电量的数据分成5组：04x450,50<x<100,100<x<150,150<x<200,200<x<250,并

对数据进行整理和分析，下面给出部分信息：

信息一：

甲小区居民1月份用电量扇形统计图乙小区居民1月份用电量频数直方圉

106118120122123125125127128130130

131133133133134137140142143149

信息三：甲、乙两个小区居民1月份用电量的平均数、中位数如下.

甲小乙小

区区

平均数

120130

/kW•h

中位数

118b

/kW•h

根据以上信息，解答下列问题：

(1)填空：a=,b=.

(2)在扇形统计图中，“50<xW100”所在扇形圆心角的度数为°.

(3)若甲小区共有1000户居民，乙小区共有800户居民，试估计这两个小区1月份用电量大于150

〃的总户数.

(4)请选择一种统计量分析这两个小区1月份的用电情况，并提出一条能够节能降碳的建议.

21.综合探究

小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上(即四点共圆)时，就可以通过添加

辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件.小明同学

已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补.因此，他想探究它的逆命题是否成立,

以下是小明同学的探究过程，请你补充完整.

（1）【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：,

如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据.

（2）【验证】如图1,在四边形A6CD中，ZABC+ZA£>C=180°,请在图1中作出过点4B、C三点

的口。，并直接判断点。与口。的位置关系.（要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法）

（3）【证明】已知：如图1,在四边形中，ZABC+ZADC=180°,

求证：点AB、C、。四点共圆.

证明：过A、B、C三点作口。，假设点D不在口。上，

则它有可能在圆内（如图2）,也有可能在圆外（如图3）.

假设点。在口。内时，如图2,延长CD交口。于点E,连结AE,

•/ZADC是△。胡的外角，,ZADC>ZAEC,

•.•四边形ABCE是□。的内接四边形，.•.NABC+NAEC=180°,

又•••ZABC+ZADC=180°,:.ZADC=ZAEC.

这与NADC>NAEC相矛盾，所以假设不成立，所以点。不可能在口。内.

五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）

22.阅读理解

【信息提取】

新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友

好抛物线”.

新知识：对于直线M=幻+4（女尸0）和%=左2%+4（左2片0），若仁•左2=-1，则直线力与为互相垂

直；若直线口与火互相垂直，贝汉1・左2=-1.

【感知理解】

(1)抛物线M=—2(x+2)2-3的“友好抛物线”为%=；

(2)若抛物线yi=ax-+bx+c(aw0)与%=+nx+q{mW0)互为“友好抛物线”，则。与m的数量

关系为,6与〃的数量关系为,c与q的数量关系为；

【综合应用】

(3)如图，抛物线/］：%=必一4%+3的顶点为£,乙的“友好抛物线”4的顶点为R过点。的直线4

与抛物线/1交于点48(点A在3的左侧)，与抛物线4交于点C,。(点C在。的左侧).若四边形

AFDE为菱形，求A3的长.

23.如图，矩形ABC。中，AB=4,AD=3,点E在折线BCD上运动,将AE绕点A顺时针旋转得到

AF，旋转角等于/B4C,连接CT.

R口

F(备用图)

(1)当点E在BC上时，作9LAC,垂足为M,求证4M=4B；

(2)当AE=3血时，求CE的长；

(3)连接。口，点E从点2运动到点。的过程中，试探究。尸的最小值.

2023-2024学年第二学期初三第三次模拟测试数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）.

1.2024年4月23日是第29个世界读书日，习近平总书记多次强调读书的重要性，倡导全社会都参与到阅

读中来，形成爱读书、读好书、善读书的浓厚氛围.图书馆是开展全民阅读的重要场所，以下是我省四个

城市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（）

A.

潮疝有画■帝佛111南国M值

tpr»QMAMI■nnARv

D-东莞图书馆

DONGGUAh

江q市图一个」官

1IRRARY

【答案】c

【解析】

【分析】此题考查轴对称图形的定义：将一个图形沿着一条直线翻折，直线两侧的部分能完全重合，则此图

形是轴对称图形，据此判断即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；

B、不是轴对称图形，故不符合题意；

C、是轴对称图形，故符合题意；

D、不是轴对称图形，故不符合题意；

故选：C.

2.为了纪念著名的数学家苏步青及其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏

步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（）

A.0.218xl09B.2.18xl09C.2.18xl08D.218xl06

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中1<|a|<10,

〃为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值<1时，"是负整数.

【详解】解:218000000=2.18xlO8)

故选：c.

3.下列二次根式中能与0合并的是（)

A.712B.V8C.V20D.V27

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，同类二次根式的定义，二次根式的加减运算法则，掌握同类

二次根式，二次根式的加减运算法则是解题的关键.

【详解】解：A、712=273;不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

B、花=2后，是同类二次根式，可以合并，符合题意；

C、同=26，不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

D、后二35不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；

故选：B.

4.桦卯（sunmao）,是中国古代建筑、家具及其它木制器械的主要结构方式.如图是某个部件“棒”的实

物图，它的主视图是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了物体的三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关

键.

【详解】解：如图是某个部件“棒”的实物图，它的主视图是:

故选：c.

5.反比例函数y=的图象位于（）

x

A.第一、第三象限B.第一、第四象限C.第二、第三象限D.第二、第四象限

【答案】D

【解析】

k

【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数y=—（awO）,当左〉0时，图象在一、

三象限，当左<0时，图象在二、四象限，据此可得答案.

【详解】解：5<0,

反比例函数y=-*的图象位于第二、第四象限，

X

故选：D.

6.函数y=万的自变量尤的取值范围在数轴上可表示为（）

=1t

A.1rJ]*B.8____giC.-----5--1--i--*

0121^012012

'012

【答案】D

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件，求出％-120的解集，再在数轴上表示即可.

【详解】解：；Jx-1中,尤T20,

：.X>1,

故在数轴上表示为：

nn

02

故选：D.

【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，要注意，不等式的解集包括1.

7.某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长3500米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时

，设实际每天铺设管道无米，则可得方程网独-空叫=15,根据此情景，题中用“…”表示的缺

x-10x

失的条件应补为（）

A.每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成

B.每天比原计划少铺设10米，结果延期15天完成

C.每天比原计划少铺设15米，结果延期10天完成

D.每天比原计划多铺设15米，结果提前10天完成

【答案】A

【解析】

【分析】由给定的分式方程，可找出缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成.此题

得解.

【详解】解：；利用工作时间列出方程：至黑—头叫=15,

x-10x

，缺失的条件为：每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成.

故选：A.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，明确题意，由列出的分式方程找出题干缺失的条件是解

题的关键.

8.已知x+y=6,盯=6,则％2+）?的值为（）

A.9B.18C.24D.36

【答案】C

【解析】

【分析】此题考查了完全平方公式的变形计算，正确掌握完全平方公式是解题的关键，

根据完全平方公式变形计算即可得到答案.

【详解】解：'：x+y=6,阴=6,

X2+y2-（x+y）'-2xy=62-2x6=24

故选：C.

9.如图，将以。为中心点的量角器与含30。角的直角三角板紧靠着放在同一平面内，此时点。，C,8在

同一条直线上，且DC=2BC.过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E,则点E在量角器上所对应

的锐角度数是（）

A

【答案】D

【解析】

【分析】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质.此题难度适中，解题的

关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.设半圆的圆心为。，连接。4,由题意易得AC

是线段QB的垂直平分线，即可求得NAOC=ZABC=60°,又由AE是切线，证明RtQAOEgRtDAOC,

继而求得/AOE的度数，则可求得答案.

【详解】解：设半圆的圆心为O,连接。4,

CD=2OC=2BC,

OC=BC,

,：ZACB=90°,即

OA=BA,

：.ZAOC=ZABC,

,：ABAC=30°,

ZAOC=ZABC=60°,

AE是切线，

ZAEO=90°,

ZAEO=ZACO=90°,

在RtAAOE和RflAOC中，

OA=OA

'OE=OC'

...RtnAOE^RtnAOC(HL),

NAOE=ZAOC=60°,

ZAOD=180°-60°-60°=60°,

即点£在量角器上所对应的锐角度数是60。.

故选：D.

10.如图，□ABC和口ECD都是等腰三角形，且NBAC=NCED,点8,C,。在同一条直线上,

□ABC和口ECO的面积分别为16和25,则图中阴影部分的面积为（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意可判定△ABCsAB//EC,从而得到——的比，再由口48。43边上的高

S

和匕hCEEC边上的高相等，得到尸1=万的比，即可计算△ACE的面积.

3口ACEEC

【详解】••・O4BC和口ECD是等腰三角形，且NBAC=NCED

ZABC=ZACB=ZECD=ZEDC

:AABCsAECD,AB//EC

又":S^ABC=16,S口ECO=25

S"BC_16

S口ECD25

AB4

EC5

AB//EC

UABCAB边上的高和△ACEEC边上的高相等

S^ABCAB4

-

^OACEEC5

S口ACE=4s口说=4x16=20.

故选：B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于对应边的比的

平方，平行线之间的距离处处相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）.

11.单项式-2*2y的系数是.

【答案】-2

【解析】

【分析】根据单项式系数的定义作答.

【详解】解：-2/y中不含字母的项为-2,

.••单项式的系数是-2,

故答案为：-2.

【点睛】本题考查单项式系数的概念，单项式中的数字因数叫单项式的系数；掌握系数的定义是解题关

键.

12.广东省大陆海岸线长居全国第一，森林、湿地资源丰富，候鸟数量庞大、种类繁多.为了解某湿地公

园大白鹭的情况，从中捕捉50只大白鹭，戴上识别卡并放回，经过一段时间后发现，捕捉的大白鹭中有

记号的频率稳定在0.1左右，由此估计该湿地公园约有只大白鹭.

【答案】500

【解析】

【分析】本题主要考查的是通过样本去估计总体.捕捉的大白鹭样本中有记号的频率稳定在0.1左右，说明

50只大白鹭占总体的比也是0.1,据此即可解答.

【详解】解：设该湿地公园约有尤只大白鹭，

贝ij50:x=0.1,

解得x=500.

答：估计该湿地约有500只大白鹭.

故答案为：500.

13.如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部A3与支撑平台CD平行.若Nl=32。，Z3=145°,则

/2二•

AB

【答案】67°##67度

【解析】

【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键.过/2顶点作直线/〃支撑

平台，直线/将N2分成两个角即N4、N5,根据平行线的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过N2顶点作直线/〃支撑平台，直线/将N2分成两个角/4和N5,

•••工作篮底部与支撑平台平行、直线/〃支撑平台，

•・・直线I//支撑平台I//工作篮底部，

Z1=Z4=32°,Z5+Z3=180°,

,/Z3=145°

Z5=35°,

N2=/4+N5=67°,

故答案为：67°.

14.如图，一次函数>=履+》的图像经过43两点，则关于x的不等式依+。<2的解集是

【解析】

【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用.解决此类问题关键是仔细

观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合.直接根据图象解答即可.

【详解】解：由图象可知，关于X的不等式依+匕<2的解集是x<0.

故答案为：x<Q.

15.在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活

动；对依次排列的两个整式机，〃按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式中加，n,n-m.第2次

操作后得到整式中相，n,n-m,-m.第3次操作后……其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上

一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏.则该“回头差”游戏

第2024次操作后得到的整式串各项之和是.

【答案】2n-m

【解析】

【分析】本题考查的是整式的加减运算，代数式的规律探究，掌握探究的方法，并总结概括规律并灵活运用

是解本题的关键.先逐步分析前面7次操作，可得整式串的循环规律，即可求解.

【详解】解：第1次操作后得到整式串

第2次操作后得到整式串m,n,n-m,-m.

第3次操作后得到整式串m,n,n-m,-m,-n.

第4次操作后得到整式串m,n,n-+m；

第5次操作后得到整式串m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m.

第6次操作后得到的整式串m,n,n-m,-m,-n,-n+m,m,n；

第7次操作后得到的整式串加,",n-m,-m,-n,-n+m,m,n,n-m.

归纳可得：该“回头差”游戏每六次一循环，

•••2024+6=337…2,

第2024次操作后得到的整式中各项之和与第2次操作后得到整式串之和相等，

・•・第2次操作后得到整式串之和为加+〃+〃一加一加=2〃一加

故答案为：2n—m.

三、解答题（一）（本大题共3个小题，每16题10分，第17、18题各7分，共24分）

16.(1)计算：1—I-sin45°+|2°-

x-2y=1

（2）解方程组:

3x+4y=23

【答案】（1）0

【解析】

【分析】（1）根据负整数指数塞，零指数幕，特殊角的三角函数值计算.

（2）利用加减消元法解答即可.

本题考查了负整数指数幕，零指数幕，特殊角的三角函数值，解方程组，熟练掌握公式，熟记特殊角的三

角函数值，正确解方程组是解题的关键.

【详解】（1）解：原式=1—2x"+应—1

2

=1-V2+V2-1

=0

x-2y=1①

⑵〈—

13]+4y=23②

①x2得：2%-4y=2③

②+③得：5%=25,

x-5

把％=5代入①得5-2y=1,

y=2

x=5

•••原方程组的解为〈c

b=2

17.作为东莞的城市文化名片之一，篮球已成为不少东莞人生活的一部分.这个五一，我市举行“缤纷运

动'莞'精彩、‘篮‘不住”的篮球邀请赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），计划安排30场

比赛.

（1）应邀请多少支球队参加比赛？

（2）若某支球队参加2场后，因故不参与以后比赛，问实际共比赛了多少场？

【答案】（1）设应邀请6支球队参加比赛

（2）实际共比赛22场

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

（1）设应该邀请x支球队参加比赛，根据双循环比赛安排30场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取

其正值即可得出结论；

（2）利用比赛总场次数=该球队参加的场次数+剩下5支球队实行双循环比赛的场次数，即可求出结论.

【小问1详解】

解：设应邀请x支球队参加比赛，

由题意得：x（x-1）=30

解得：石=6,x2=—5（不合题意，舍去）.

答：设应邀请6支球队参加比赛.

【小问2详解】

解：2+5x4=22（场）

答：实际共比赛22场.

18.如图，的对角线AC,BD交于点O,分别以点3,。为圆心，-AC,工劭长为半径画

22

弧，两弧交于点尸，连接BP,CP.

（1）试判断四边形的形状，并说明理由；

（2）①当平行四边形ABC。是_________形时，四边形8PC。是菱形;

②当平行四边形ABC。是形时，四边形是矩形.

【答案】（1）四边形6PC。为平行四边形.理由见解析

（2）①矩；②菱

【解析】

【分析】（1）由平行四边形的性质得出OC=OA=』AC,。3=。。=,5。，证出。8=3,BP=OC,

22

则可得出结论；

（2）①由菱形的判定可得出结论.②由矩形的判定可得结论.

【小问1详解】

解：四边形BPC。为平行四边形.

理由：•••四边形ABC。为平行四边形，

0C=OA=—AC,OB=OD=一BD,

22

••・以点B,。为圆心，-AC,工劭长为半径画弧，两弧交于点尸，

22

OB=CP,BP=OC,

四边形8PC。为平行四边形；

【小问2详解】

①当DABC。是矩形时，四边形BPC。是菱形，理由如下：

•.•□ABC。是矩形，

AC=BD,

：.OC=OB,

又•.•四边形8PC0是平行四边形，

.••四边形BPC。是菱形.

②当口ABC。是菱形时，四边形BPC。是矩形，理由如下：

•••□ABCD是菱形，

AC1BD,

ZBOC=90°,

又•.•四边形BPC。是平行四边形，

.••四边形BPC。是矩形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握平行四边

形的性质是解题的关键.

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

19.如图1,是一电动门，当它水平下落时，可以抽象成如图2所示的矩形A3CD,其中A3=3m,

AD=lm，此时它与出入口等宽，与地面的距离AO=0.2m；当它抬起时，变为平行四边形

AB'C'D,如图3所示，此时，与水平方向的夹角为60°.

a

(1)求图3中点"到地面的距离；

(2)在电动门抬起的过程中，求点C所经过的路径长；

(3)图4中，一辆宽1.6m,高1.6m的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持0.4m的安全距离，此

时，汽车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由.

(参考数据：百。1.732，71^3.14,所有结果精确到0.1)

【答案】(1)点B到地面的距离约为2.8m

(2)点C所经过的路径约为3.1m

(3)汽车能安全通过，理由见解析

【解析】

【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造直角

三角形解决问题.

(1)过点B'作B'NLOM于点N,交AB于点E,根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可.

(2)根据弧长公式解答即可；

(3)根据解直角三角形、锐角三角函数进行解答即可.

【小问1详解】

解：如图1,过点"作“于点N,交于点E,

ABr=AB=3m,/BAB'=60°,

B'E

在Rt/\AEBf中，sinNBAB'=-----

ABf

B'E=AB'-sinZBAB'=3xsin60°=3x—=述x2,598m

22

B'N=B'E+EN=2.598+0.2«2.8m

答：点&到地面的距离约为2.8m；

【小问2详解】

解：♦.♦点C，是点C绕点。旋转60。得到的，

60,71,3

•••点C经过的路径长为1=-------=兀土3.1m.

180

答：点C所经过的路径约为3.1m.

【小问3详解】

汽车能安全通过.

解：在上取MK=0.4m,KE=L6m,作于点/，交AB于点H,交A8于点G,

即汽车与BC保持安全距离MK=0.4m,汽车的宽KF=1.6m,

OF=3—1.6—0.4=Im,

依题意得：ZAHG=90°,ZGAH=60°,四边形是矩形，

AH=OF=lm,HF=OA=0.2m,

在RtDAGH中，tan/GAH=2

AH

GH=AH-tanZGAH=1xtan60。=百"732m

GF=GH+HF«1J32+Q.2=1,932m

"•・汽车高度为1.6m,1.932>1.6,

二汽车能安全通过

20.在全国节能宣传周期间，某校组织开展主题为“节能降碳，你我同行”的社会实践活动.某组同学在甲、

乙两个小区各随机抽取50户居民，获得了他们1月份的用电量x（单位：kW-h）,分别将两个小区居民用

电量的数据分成5组：0<x450,50<x<100,100<x<150,150<x<200,200<x<250,并

对数据进行整理和分析，下面给出部分信息:

信息一:

甲小区居民1月份用电量扇形统计图乙小区居民1月份用电量频数直方圉

106118120122123125125127128130130

131133133133134137140142143149

信息三：甲、乙两个小区居民1月份用电量的平均数、中位数如下.

甲小乙小

区区

平均数

120130

/kW•h

中位数

118b

/kW•h

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a=,b=.

（2）在扇形统计图中，“50<x<100”所在扇形圆心角的度数为

（3）若甲小区共有1000户居民，乙小区共有800户居民，试估计这两个小区1月份用电量大于150

妇/i的总户数.

（4）请选择一种统计量分析这两个小区1月份的用电情况，并提出一条能够节能降碳的建议.

【答案】（1）16；125

（2）108（3）380户

（4）答案不唯一，合理即可，如拔掉家中一切不用的电源

【解析】

【分析】对于（1）,根据总户数为50,分别减去4组的频数可求出a,再确定乙小区的第25,26个数，求平

均数即可得出中位数；

对于(2),先求出50<x<100所占的百分数，再乘以360。；

对于(3),分别求出两个小区用电量大于150Rv-/z的户数，再求和即可；

对于(4),符合题意即可.

【小问1详解】

0=50-3-21-6-4=16.

根据题意可知乙小区第25,26个数在100<XV150之间，这两个数是125,125,则

故答案为：16,125；

【小问2详解】

根据题意可知100%-40%-16%-6%-8%=30%,

所以"50<x<100”所在扇形圆心角的度数为360°x30%=108°.

故答案为：108°；

【小问3详解】

6+4

甲小区用电量大于150hv-/z的百分比为22%,乙小区用电量大于的百分比为——=20%,所以

50

这两个小区1月份用电量大于150标/的总户数为1000x22%+800x20%=380(户)；

【小问4详解】

拔掉家中一切不用的电源.(答案不唯一，合理即可).

【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，求中位数，样本估计总体的思想，从频数分布直方图中获取信

息是解题的关键.

21.综合探究

小明同学在学习“圆”这一章内容时，发现如果四个点在同一个圆上(即四点共圆)时，就可以通过添加

辅助圆的方式，使得某些复杂的问题变得相对简单，于是开始和同学一起探究四点共圆的条件.小明同学

已经学习了圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补.因此，他想探究它的逆命题是否成立，

以下是小明同学的探究过程，请你补充完整.

(1)【猜想】“圆内接四边形的对角互补”的逆命题为：,

如果该逆命题成立，则可以作为判定四点共圆的一个依据.

(2)【验证】如图1,在四边形ABCD中，ZABC+ZADC=1SO°,请在图1中作出过点4、B、C三点

的口。，并直接判断点。与口。的位置关系.(要求尺规作图，要保留作图痕迹，不用写作法)

(3)【证明】已知：如图1,在四边形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,

求证：点A、B、C、。四点共圆.

证明：过A、B、C三点作口。，假设点。不在口。上，

则它有可能在圆内（如图2）,也有可能在圆外（如图3）.

假设点。在口。内时，如图2,延长CD交口。于点E,连结AE,

ZADC是△OEA的外角，ZADC>ZAEC,

••・四边形ABCE是□。的内接四边形，.•.NABC+N4EC=180°,

又­/ZABC+ZADC=180°,/.ZADC=ZAEC.

这与NADONAEC相矛盾，所以假设不成立，所以点。不可能在口。内.

【答案】（1）对角互补的四边形能内接于圆.（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）

（2）图见解析，点D在口。上

（3）详见解析

【解析】

【分析】本题考查了反证法，命题与定理及线段的垂直平分线的性质及有关圆的性质是解题的关键.

（1）根据逆命题与原命题是条件、结论互换解答.

（2）根据作过不共线的三个点的圆作法作图，先确定圆心再确定半径；

（3）根据反证法的步骤进行证明.

【小问1详解】

解：对角互补的四边形能内接于圆.（或：对角互补的四边形是圆的内接四边形）.

【小问2详解】

解：如图1,□。为所求.

点。在口。上.

'小证、。

V^''1【小问3详解】

I

*

图1

证明：假设点。在口。外时，如图3,

曲

CD交口。于点E,连结AE,

•.•/AEC是△OE4的外角，

NAEC>ZADC.

•••四边形ABCE是口。的内接四边形，

ZABC+ZAEC=1SO°

又•••ZABC+ZADC=180°,

ZAEC=ZADC.

这与ZAEC>ZADC相矛盾，所以假设不成立，

所以点。不可能在口。外.

五、解答题（三）（本大题共2个小题，每小题12分，共24分）

22.阅读理解

【信息提取】

新定义：在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，则一条抛物线叫另一条抛物线的“友

好抛物线”.

新知识:对于直线M=幻+4（左。0）和%=左2%+4（左2H0），若尢・左2=-1，则直线力与%互相垂

直；若直线X与内互相垂直，则占•左2=一1・

【感知理解】

（1）抛物线M=-2（X+2）2-3的“友好抛物线”为%=；

(2)若抛物线乃=ax-+bx+c{aw0)与乂=加^+依+q(m丰0)互为“友好抛物线”，贝U。与m的数量

关系为，人与"的数量关系为，，与〃的数量关系为

【综合应用】

(3)如图，抛物线/1：%=V-4x+3的顶点为E,4的“友好抛物线”(的顶点为尸，过点。的直线4

与抛物线4交于点43(点A在3的左侧)，与抛物线4交于点C,。(点C在D的左侧).若四边形

AFDE为菱形，求A2的长.

【答案】(1)2(X-2)2+3

(2)a=-m,b=n,c=-q

(3)AB=2底

【解析】

【分析】(1)根据“友好抛物线”定义可得顶点关于坐标原点对称，开口方向相反，形状相同写出解析式即可.

(2)将抛物线％=加+bx+c(a#0)与％=阳2+nx+q(m*0)化为顶点式，根据它们互为“友好抛物线”

求解；

(3)求出抛物线/1：%=/一4》+3的顶点为E的坐标为(2,-1),根据“友好抛物线”可得2-2,1).抛物

,1

线4：%=-%-4%-3,利用待定系数法可得直线EF的解析式为y=--x-根据新知识得直线AD的解

y—%2—4%+3

析式为y=2x.由,可得A(3—逝,6-2遥)，3(3+遍,6+2遥).利用两点的距离公

。=2%

式即可求解.

【详解】解：(1)由已知抛物线％=-2。+2)2-3与它的“友好抛物线”的顶点关于坐标原点对称，形状

相同，开口方向相反.

•••抛物线％=-2。+2)2—3的顶点坐标为(-2,-3),

,它的“友好抛物线”的顶点坐标为(2,3),

y2=2(x—2)2+3,

故答案为：2(X-2)2+3；

2222

(2)•「抛物线％=ax+bx+c=a(x+—)+,y2=nvc+nx+q=m(x+-^-)+__上,

2a4a2m4m

2

・二抛物线y1=ax+bx+c(a^O)的顶点坐标为(-二，.")，抛物线%二加/+几］+式加。0)的顶点坐

2a4a

「/n4mq-n2

标为(一丁，T——x)，

2m4m

12

抛物线yi=ax^bx+c(aw0)与%=mx++q(jnW0)互为“友好抛物线”.

bn4ac-b14ma-n2

..Cl——TYl,-----