几何变换中的三角形全等模型-2023年中考数学几何模型重点突破训练

专题10几何变换中的三角形全等模型

内容导航：模型分析-►典例分析T

【模型1】全等三角形中的平移变换

B

C⑺

【说明】平移前后的三角形全等。

平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移

不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相

等.

【模型2】全等三角形中的折叠变换模型

【说明】折叠问题实质上是利用了轴对称的性质。

轴对称变换的性质:

①关于直线对称的两个图形是全等图形.

②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.

③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.

④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.

【模型3】全等三角形中的旋转变换模型

旋转变换的性质：图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任

意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等,

旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.

【例1】如图，AOE尸是由A48c经过平移得到的，/C分别交。£、£「于点G、"，若NB=120。，ZC=30°,

则NOG”的度数为（）

A.150°B.140°C.120°D.30°

【答案】A

【分析】根据平移可知：AABC.DEF,AC//DF,根据全等三角形对应角相等，得出=120。,

ZF=ZC=30°,即可得出/。的度数，再根据平行线的性质得出乙DG8的度数即可.

【解析】根据平移可知，AABC=^DEF,AC//DF,

：.ZE=ZB=\2Q°,ZF=ZC=30°,

/D=180°-NE—/F

=180°-120°-30°

=30°,

AC//DF,

：.NZ)GH+NZ)=180°,

oo

/.ZJDG//=180-ZJD=180°-30=150°,故A正确.

故选：A.

【例2】如图，纸片ABCD的对边,将纸片沿E尸折叠，CF的对应边CN交/。于点G.若/G=Gb，

且4=44。，贝1J/2的大小是()

【答案】C

【分析】利用等腰三角形和平行线的性质求得//尸G=N/E8=44。，再求得

ZCFE+ZCFE=180°-ZAFB-ZAFG=92°,利用折叠的性质和平行线的性质即可求解.

【解析】解：；/G=G尸，Z1=44°,

ZAFG=Z1=44°,

,?AD//BC,Z1=44°,

/.ZAFB=Z1=44°,

ZCFE+ZCFE=180°-ZAFB-ZAFG=92°,

由折叠的性质可得ZCFE=NC'FE,

ZCF^=-x92°=46°,

2

•/AD//BC,

：.Z2=ZCFE=46°,

故选C

【例3】如图，在等腰比△/5C和等腰而△CZ)£中，/ACB=/DCE=90。.

(1)观察猜想：如图1,点E在BC上，线段/E与2。的关系是；

(2)探究证明：把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，(1)中的结论还成立吗？说明理由；

(3)拓展延伸：把△<?£>£绕点C在平面内转动一周，若/C=8C=10,CE=CD=5,AE,AD交于点尸时，

连接。，直接写出尸最大面积.

【答案】(1)/£=8。，AEYBD-.

(2)结论仍成立，理由见解析；

25+2573

2'

【分析】(1)先根据等腰三角形的定义可得/C=5C，CE=CD,再根据三角形全等的判定定理与性质可

得4E=BD,NEAC=NDBC,然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得N4TO=90。即可；

(2)先根据三角形全等的判定定理与性质可得/£=2。，/EAC=NDBC,再根据直角三角形两锐角互余

可得/E4C+//OC=90。，然后根据对顶角相等、等量代换可得ND3C+/3O〃=90。，从而可得

ZOHB=90°即可；

(3)如图：由题意可知点尸在以为直径的O。上运动，点。在0c上运动，观察图形，可知当AP与OC

相切时，ABC尸面积最大；此时，四边形CDPE为正方形，PD=CD=5；然后在五以8。。运用勾股定理求

出5D,进而求出5尸的最大值，最后运用三角形的面积公式求解即可.

【解析】(1)解：AE=BD,AEYBD,理由如下：

如图1,延长4E交BD于H,

由题意得：AC=BC,ZACE=ZBCD=90°,CE=CD,

；."CE=^BCD(SAS),

AE=BD,NEAC=NDBC,

'：NDBC+NBDC=90°,

：.ZEAC+ZBDC=90°,

：.ZAHD=180°-(ZEAC+ABDC)=90°,即/E_L8。，

故答案为：AE=BD,AELBD.

B

AE=BDAELBD,理由如下:

如图2,延长4E交BD于H,交于。,

ZACB=ZECD=90°f

：.ZACB-ABCE=Z.ECD-ZBCE,BPZ_ACE=Z.BCD,

在△4CE和△BCD中，

AC=BC

<AACE=/BCD,

CE=CD

AACE="CD(SAS),

：.AE=BD,NEAC=/DBC,

•・•4cB=90。，

・•・NEAC+ZAOC=90。,

ZAOC=/BOH,

：.ZDBC+ZBOH=90°fBPZOBH+ZBOH=90°f

：./OHB=T80°—(NOBH+/BOH)=90°,即/£_L8。.

图2

(3)解：如图：♦.•4P3=90°,

二.点尸在以43为直径的OO上运动.

CD=CE=5,

二点。在OC上运动,

观察图形，可知当BP与OC相切时，ABC尸面积最大.

此时，四边形CDPE为正方形，PD=CD=i5.

在R〃BDC中,BD=y)BC2-CD2=573.

3+5,~cL+；5”

当AHCP的面积最大时，BP=BD+DP=5j

,1-------、、、-------'、、、

/、、B/、、B

八、、,、JC:二落;

////

f✓/

'、、、Jz✓

''----E"'一J

一、单选题

1.如图，三角形4BC,三角形E/G均为边长为4的等边三角形，点D是BC、E尸的中点，直线ZG、FC

相交于点M,三角形EFG绕点。旋转时，线段9长的最小值为()

导

F

A.4GB.2GC.273-2D.473-4

【答案】C

【分析】首先证明"MF=90。，判定出点W在以/C为直径的圆上运动，当M运动到时，BM最

短来解决问题.

【解析】解：如图，连接/£、EC、CG,AD,

♦;DE=CD=DF,

:./DEC=/DCE,/DFC=/DCF,

•••/DEC+ZDCE+ZDFC+/DCF=18。，

/.NECF=90。,

v^ABC.MFG是等边三角形，D是BC、所的中点,

/.ZADC=ZGDE=90°,

:./ADE=/GDC,

\ADE=\GDC(SAS),

/.AE=CG,NDAE=NDGC,

•••DA=DGf

ZDAG=ZDGA,

NGAE=ZAGC,

\AGE=\GAC{SAS),

ZGAK=NAGK,

KA=KG,

'：AC=EG,

/.EK=KC,

ZKEC=ZKCE,

ZAKG=ZEKC,

/.ZKAG=ZKCE,

\EC//AG,

ZAMF=ZECF=90°,

.・•点M在以zc为直径的圆上运动,

.,.当W_L/C时，且8、〃在/C的同侧时，BM最短,

QAB=4,

OB=273>AO=OM=2,

BM的最小值为2G-2.

故选：C.

2.如图，在正方形/BCD中，AB=4,点M在CD的边上，且。M=l,与ZU7W关于//所在的

直线对称，将ZUDW按顺时针方向绕点N旋转90。得到ZU8R连接£凡则线段M的长为（）

A.3B.273C.5D.V13

【答案】C

【分析】连接浏1.先判定当AA£48,即可得到好=即/.再根据BC=CD=48=4,CM=3,利用

勾股定理即可得到，RtA5cM中，BM=5,进而得出E厅的长.

【解析】解：如图，连接

MEM与\ADM关于AM所在的直线对称，

.­.AE=AD,ZMAD=ZMAE.

V&ADM按照顺时针方向绕点A旋转90°得到KABF,

.­.AF=AM,ZFAB=ZMAD.

/./FAB=/MAE,

/.ZFAB+ZBAE=ZBAE+/MAE.

ZFAE=/MAB.

\FAE^\MAB(SAS).

：.EF=BM.

••・四边形ZBCD是正方形，

/.BC=CD=AB=4.

•・•DM=1,

:.CM=3.

.•.在RtA5cM中，W=732+42=5，

/.EF=5,

3.如图，45CQ是一张矩形纸片，45=20,5C=4,将纸片沿MN折叠，点9,C分别是5,。的对应点,

MB与DC交于K,若△〃入K的面积为10,则。N的最大值是（

A.7.5B.12.5

【答案】D

【分析】作NELL9用于E,NF工BM于F,由折叠得N1=N2,根据角平分线的性质得可得四边形3C7VF是矩形,

则入下=5。=4,根据△的区的面积为10得AK=〃K=5,根据勾股定理得KE=3,则MF=ME=MK-KE=5-3=2,设

DN=x,贝!JCN=20-x,BM=BF+MF=20-x+2=22-x,由折叠可得加gKA/,BP22-x>5.可得让17,即可得。AK17,贝（J

ON的最大值是17.

【解析】解：如图所示，过点N作于RNF上BM于F,

由折叠得N1=N2,

：.NE=NF,

•.•四边形/BCD是矩形，

NB=NC=NBFN=90。,AB//CD.

，四边形5cA下是矩形，ZDNM=Z2,

:.NE=NF=BC=4,Z1=ZDNM,

：.NK=MK,

•.,△MAK的面积为10,

yKM-NE=yKN-NF=10,

：.NK=MK=5,

:,KE=4KN--NE1=3,

在△MEN和△MEN中，

'Z1=Z2

<ZMEN=NMFN,

ME=NF

:.丛MEN94MFN(44S),

：.MF=ME=MK-KE=5-3=2,

设DN=x,则CN=BF=20-x,

:.BM=BF+MF=20-x+2=22-x,

由折叠得BM>KM,即22-x>5.

：.x<11,即。A07,

.♦.£W的最大值是17.

故选：D.

4.如图，现有一张矩形纸片NBC。，AB=A,BC=8,点N分别在矩形的边4D,BC上,将矩形纸片

沿直线MN折叠，使点。落在矩形的边4D上，记为点尸，点。落在G处，连接PC,交MN于点、Q,连接

CM.下列结论：①CQ=CD；②四边形是菱形；③尸，/重合时，MN=2y[5;④△尸。M的面积S

的取值范围是3WSW5.其中正确的是（）

【答案】B

【分析】先判断出四边形CNPM是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN=NP,然后根据邻边相等的平

行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ=C£>,得RfACMQqACMD,进而得

/BCP=36°,这个不一定成立，判断①错误；点P与点/重合时，设BN=x,表示出/N=NC=8-x,利用

勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得判断出③正确；当过。点时，求得四边形

CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当尸与N重合时，S的值最大，求得最大值即可.

【解析】解：如图b

图1

•.•四边形/8C。是矩形,

J.PM//CN,

ZPMN=ZMNC,

VZMNC=ZPNM（折叠的性质）,

NPMN=ZPNM,

：.PM=PN,

-：NC=NP（折叠的性质）,

：.PM=CN,

...四边形CNPM是平行四边形，

,:CN=NP,

二四边形cmw■是菱形，故②正确；

J.CPLMN,ZBCP=ZMCP,

：.ZMQC=ZD=90°,

"：CM=CM,

若CQ=CD,则RtACMQ丝RtACMD(HL),

：.ZDCM=ZQCM=ZBCP=3Q°,这个不一定成立，故①错误;

点尸与点/重合时，如图2所示：

图2

设BN=x,则NN=NC=8-x,

在向ZUBN中，AB2+BN2=AN2,

即42+x2—(8-x)2,

解得x=3,

:・CN=8-3=5,AC=^AB2+BC2=742+82=4有,

/•QN=y]cN2-CQ2=V5，

：.MN=2QN=275.故③正确;

当血W过点D时，如图3所示:

此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小（四边形CNPM的边CN上的高固定为45的长），此时四边形

CNPA/是正方形，贝ljS谡小=；5菱/CMPN=；x4x4=4,

当尸点与4点重合时，CN最长,四边形CMPN的面积最大，则$最大=；*5*4=5,

.,.4<S<5,故④错误.

故选：B.

5.如图，在瓦A48c中，ABAC=90°,AB=AC,点。为8C的中点，直角NAffiN绕点。旋转，DM,

DV分别与边/瓦AC交于E,尸两点，下列结论：①A£»EF是等腰直角三角形；②AE=CF；

③S四边形包”;4加；@BE+CF=EF,其中正确结论的个数是（）

【答案】C

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得/C4Z）=/B=45。，根据同角的余角相等求出/ND尸然后

利用“角边角”证明和/全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE=£>F、BE=AF,

从而得到△£>£?是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出/E=CR判断出②正确；BE+CF=AF+AE,

利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF>EF,判断出④错误.

【解析】•.•/B/C=90。，AB=AC,

是等腰直角三角形，NB=45°,

:点。为3c中点，

：.AD=CD=BD,ADLBC,ZCAD=45°,

:.NCAD=/B,ZBDE+ZADE=ZADB=90°

•；NAffiW是直角,

，ZADF+ZADE=90°,

：.ZADF=ZBDE,

ZCAD=ZB

在△BDE和/中,AD=BD

NADF=NBDE

.△BDE咨4ADF(ASA),

.DE=DF,BE=AF,

.△。£尸是等腰直角三角形，故①正确;

"AE=ABBE,CF=ACAF,

.AE=CF,故②正确;

FBDE沿AADF

.SRDE=SAADF

•S四边形ZEDF-S/^ADE+^/XADF=/XADE+^ABDE=/XBDA=AABC

故③正确;

BE+CF=AF+AE>EF,

：.BE+CF>EF,

故④错误;

综上所述，正确的是①②③,

故选：C.

6.如图，在A48c中，AB=BC,将ANBC绕点3顺时针旋转，得到V48G，/建交/C于点E,4cl分

别交NC,BC于点、D,F,则下列结论一定正确的是（）

C

A.ZCDF=ZAB.AE=CFC.ZAQE=NGD.DF=FC

【答案】B

【分析】根据将△Z8C绕点2顺时针旋转，得到△/创工可证明△HAFtACBE,从而可得//=（才，即

可得到答案.

【解析】解:'：AB=BC,

：.NA=NC,

•.•将△NBC绕点B顺时针旋转，得到△43G,

：.AiB=AB=BC,ZAj=ZA=ZC,

在△42尸和△C2E中

Z4=ZC

<AtB=CB,

"BF=ZCBE

：./\AiBF^/\CBE（ASA）,

：.BF=BE,

：.AiBBE=BCBF,BPAiE=CF,故3正确，

其它选项的结论都不能证明，

故选：B.

7.如图，在矩形/BCD中，点M在48边上，把ABCM沿直线CM折叠，使点8落在/。边上的点£处，

连接EC,过点B作BF_LEC,垂足为R若CD=1,C「=2,则线段/E的长为（）

D

5C

A.V5-2B.V3—1C.-D.y

3，

【答案】A

【分析】先证明45尸可得DE=CQ2,再用勾股定理求得。£=逐，从而可得NO=8C=石，最

后求得NE的长.

【解析】解：：四边形/BCD是矩形，

：.BC=AD,ZABC=ZD=90°,AD//BC,

：.NDEC=NFCB,

BFLEC,

：./BFC=/CDE,

•.,把ABCM沿直线CM折叠，使点3落在AD边上的点£处,

：.BC=EC,

在△AFC与△(?£)£中，

'/DEC=NFCB

<NBFC=NCDE

BC=EC

：./\BFC^/\CDE(AAS),

:.DE=CF=2,

•*-CE=CD2+DE2=Vl2+22=V5，

：.AD=BC=CE=y/5,

：.AE=ADDE=45-2,

故选：A.

8.如图，正方形/BCD中，48=12,点£在边BC上，BE=EC,将△OCE沿。E对折至△OFE,延长所

交边48于点G,连接OG、3尸，给出以下结论：①△DAG妾LDFG；②2G=2/G；③SZ、DGF=48；®SABEF

.其中所有正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】①根据正方形的性质和折叠的性质可得凡NA=/GFD=90。,于是根据“乩”判定

Rt/\ADG^Rt^FDG；②再由GF+GB=G/+G8=12,EB=EF,ABGE为直角三角形，可通过勾股定理列

方程求出/G=4,BG=8,即可判断；③根据①即可求出三角形。GB的面积；④结合①可得ZG=G凡根

据等高的两个三角形的面积的比等于底与底的比即可求出三角形尸的面积.

【解析】解：①•••四边形是正方形，

C.AD^DC,NC=N/=90°,

由折叠可知，DF=DC=DA,ZDFE=ZC=90°,

：.ZDFG=lS0°-ZDFE=9Q°,

：.NDFG=NA=90°,

在RtAADG和Rt/\FDG中,

[AD=DF

[DG=DG'

:.RtAADG"RtAFDG(HL),

故①正确；

②•.•正方形边长是12,

:.BE=EC=EF=6,

设/G=FG=x,则EG=x+6,BG=U-x,

由勾股定理得：EG2=BE2+BG2,

即：(x+6)2=62+(12-x)2,

解得：x=4,

，/G=GF=4,BG=8,BG=2AG,

故②正确；

③•：RtAADG沿RtAFDG,

：.SADGF^SAADG=IxAG・AD=yx4x12=24,

故③错误；

@,/SAGBE=IBE-BG=1X6X8=24,

"：GF=AG=4,EF=BE=6,

.S^BFG_GF_2

.3372

,*S&BEF=yS^GBE=WX24=—)

故④正确.

综上可知正确的结论的是3个，

故选：B.

二、填空题

9.如图，矩形纸片/BCD中，N2=8cm,把矩形纸片沿直线4C折叠，点2落在点E处，/£交。C于点尸,

若/。=6cm,则/E/D的正弦值为.

E

7

【答案】五

【分析】首先根据勾股定理计算出4c的长，再根据折叠的方法可得AADFmACEF,进

而可得至I］可知/E=Z2=8cm,CE=8C=/r>=6cm,再设/尸=x，贝ijEF=DF=(8x)cm,在放△〃)厂中利用勾股定理可

得62+(8一彳尸二工？，求得/尸的长，再通过勾股定理求得。尸的长，最后可得结果.

【解析】解：：四边形N8CD是矩形，AD=6cm,

.'.BC=AD=6cm,

AB=8cm,

AC=yjAB2+CB2=1Ocm,

矩形纸片沿直线ZC折叠，则ZE=ZB=90°,

•.•四边形/BCD为矩形，

：.AD=BC=CE,ZD=Z5=90°,

ZE=ZD=90°,

又：ZAFD=ZEFC,

:.AADF咨4CEF(AAS),

可知AE=AB=^cm,CE=BC=AD=6cva,

设4/=工,贝1J£F=ZXF=(8x)cm,

在放△4。月中，

AD2+DF2=AF2^

即：62+(8—x)2=x29

解得卡」25.

4

：..AF=—25.

4

7

故答案为：-

10.如图，已知正方形48CD的边长为3,E、F分别是N2、3c边上的点，且NEDF=45°,将△£>/£1绕点

D逆时针旋转90。，得到ADCM.若/£=1,则尸”的长为.

【答案】2.5

【分析】由旋转可得/EDM为直角,可得出/££>尸+/地中=90。，由NED/7=45。，得到/〃。尸

为45°,可得出/£。尸=/〃。尸，再由。尸=。尸,利用SAS可得出三角形DE厂与三角形地W全等，由全等

三角形的对应边相等可得出E2MF；则可得到N£=C"1,正方形的边长为3,用/8/E求出£8的长，再

由8C+CM求出2"的长，设EF=MF=x,可得出BF=BMFM=BMEF=4x,在直角三角形8斯中，利用勾股

定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为月0的长.

【解析】解：逆时针旋转90。得到△水■〃,

ZFCM=ZFCD+ZDCM=180°,

:.F、C、M三点共线,

：.DE=DM,ZEDM=90°,

：.ZEDF+ZFDM=90°,

ZEDF=45°,

：.ZFDM=ZEDF=45°,

在△。跖和尸中,

DE=DM

<ZEDF=ZFDM,

DF=DF

:.丛DEFQXDMF(SAS),

：.EF=MF,

设EF=MF=x,

"：AE=CM=\,且BC=3,

BM=BC+CM=3+1=4,

BF=BMMF=BMEF=4x,

"：EB=ABAE=?>\=2,

在Rt/\EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，

22+(4—x)2=x2,

解得：x=2.5.

故答案为：2.5.

11.如图，点E在正方形ABCD的CD边上，连结BE,将正方形折叠，使点3与E重合，折痕交

3

边于点交4D边于点N,若tan/EMC=—,ME+CE=S,则折痕MN的长为.

【答案】3而

【分析】过N作NH_L2C于X,得到四边形印V是矩形，根据矩形的性质得到/NHM=90。,

证明△8CE丝根据全等三角形的性质得到W=CE,设C£=3x,则CM=4x,根据勾股定理得到

EM=5x,求出x,可得M7=9,再利用勾股定理计算即可.

【解析】解：过N作NHLBC于H,则四边形N3//N是矩形,

1・NH=AB,NNHM=90。,

•・•四边形48CD是正方形，

AZC=90°,AB=BC,

：.NH=BC,

•・,将正方形折叠，使点5与七重合，

:.MN工BE,BM=ME,

：.ZHNM+ZNMH=ZEBC+/BMN=90。,

：.ZEBC=/HNM,

ZNHM=ZC

在ABCE与ANHM中,lNH=BC

ZHNM=ZCBE

:.△BCE/ANHM(ASA),

:・HM=CE,

CE3

在RtAEMC中，tanZEMC=——=-,

CM4

・••设CE=3x,则CM=4x,

由勾股定理得：EM=5x,

*：ME+CE=Sf

・・5x+3x=8，

»»x=1,

：.EM=5,HM=CE=3,CM=4,

：.BC=BM+CM=EM+CM=9,

：.NH=9f

:・MN=s]NH2+HM2=792+32=3710，

故答案为：3V10.

12.如图，LABC,是两个全等的等腰直角三角形，/A4C=/PDE=90。.使的顶点P与

△/8C的顶点/重合，PD,尸£分别与3c相交于点尸、G,若BF=6,CG=4,则尸G=.

【答案】2而

【分析】将尸绕N点逆时针旋转，使42与/C重合，即可构建出直角三角形CG”,由勾股定理可求

出G"的长度，再证明△HGgAGN”即可.

【解析】解：将绕/点逆时针旋转，使48与/C重合，

A4CH由AABF旋转得到，

AZBAF=ZCAH,CH=BF=6,AF=AH,ZB=ZACH

'：^ABC,尸是两个全等的等腰直角三角形

AZ5=45°,ZACB=45°

：.ZHCG=90°

在放△〃CG中，由勾股定理得：GH=yjcG-+CH-=2V13-

,?ZE4G=45°

：.ZBAF+ZGAC=45°

：.ZCAH+ZGAC=45°,即ZG4H=45°

在△F4G和△G/8中，

AF=AH,ZFAG=ZGAH,AG=AG

：.AE4G咨LGAH

:.FG=GH=2岳

故答案为：2后.

13.如图，四边形48C。为正方形，点E是8C的中点，将正方形48CD沿ZE折叠，得到点8的对应点为

点、F,延长交线段DC于点P,若AB=6,则。尸的长度为.

【答案】2

【分析】连接4P,根据正方形的性质和翻折的性质证明放△NEPgRd/DP(HL),可得PF=PD,设PF

=PD=x,则CP=CD-PD=6-x,EP=EF+FP=3+x,然后根据勾股定理即可解决问题.

【解析】解：连接/P,如图所示，

：.AB=BC=AD=6,ZB=ZC=ZD=90°,

•.,点E是8c的中点，

:.BE=CE=^AB=3,

由翻折可知：AF=AB,EF=BE=3,/AFE=/B=90。,

：.AD=AF,ZAFP=ZD=90°,

在RtAAFP和RtAADP中,

(AP=AP

[AF=AD'

：.Rt/\AFP^RtAADP(HL),

:.PF=PD,

设PF=PD=x,则CP=CD—PO=6—x,EP=EF+FP=3+xf

在出△尸EC中，根据勾股定理得：EP2=EC2+CP2,

(3+x)2=32+(6—x)2,解得x=2,则。。的长度为2,

故答案为：2.

14.如图，在边长为6的正方形45CQ内作/E4尸=45。，AE交BC于点、E,AF交CD于点、F,连接石E将

△/£不绕点4顺时针旋转90。得到"BG,若DF=3,则的长为.

【答案】2

【分析】根据旋转的性质可知，△ADF/AABG,然后即可得到。尸=5G,/DAF=NBAG,然后根据已知条

件证明4区4G也△以「设BE=x,在放△。£尸中，由勾股定理可以求出的长.

【解析】解：由旋转可知，AADFQAABG,

:・DF=BG=3,ZDAF=ZBAG,

•：/DAB=90。,ZEAF=45°,

：.ZDAF+ZEAB=45°f

：.ZBAG+ZEAB=45°,

：.NEAF=NEAG,

在△£ZG和△口产中，

AG=AF

<ZEAG=ZEAF,

AE=AE

：.△EAGQ4EAF(SAS),

:・GE=FE,

设B£=x,贝UG£=GB+5£=3+x,CE=6-x,

EF=GE=3+x,

■:CD=6,DF=3,

:.CF=CD—DF=6—3=3,

VZC=90°,

...在R/ACE尸中，CE-CF?=EF?,即（6-xy+32=（3+X）2,

解得，x=2,即BE=2.

故答案为：2.

三、解答题

15.如图，在/N8C中，ZACB=90°,AC=BC,。是边上一点（点。与/,8不重合），连接。>,将

线CD绕点。按逆时针方向旋转90。得到线段CE,连接。E交2。于点尸，连接8E.

⑴求证：AACDgABCE；

（2）当尸时，求/AE1尸的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）/3跖=67.5。

【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可；

（2）先推理得到是等腰三角形，再由全等得到/C3E=45。，即可得到尸的度数.

【解析】（1）证明：：N/C8=90°

:.ZACD+ZDCB=9Q°

又,：CD绕点C按逆时针方向旋转90。得到线段CE

：.ZDCE=90°,CD=CE

NBCE+NDCB=90°

：.ZACD=NBCE

在和ABCE中：

'AC=BC

<AACD=NBCE

CD=CE

:.AACD-BCE(SAS)

(2)解：由第一问知，△ACD2BCE

：.AD=BE,ZCAD=ZCBE

又；AD=BF

：.BE=BF

在△ZCB中，AC=BC,ZACB=90°

ZCAD=ZCBA=45°

在△BEF中，BE=BF,ZCBE=45。

NBEF=NBFE=1(180°-45°)=67.5°

16.如图，中，4B=AC,ABAC=42°,D为AABC内一点、,连接将/。绕点A逆时针旋转42。,

得到NE,连接。E,BD,CE.

⑴求证：BD=CE；

（2）若求NR4。的度数.

【答案】（1）证明见解析；（2）21°

【分析】（1）根据旋转的性质得到AD=AE,NDAE=42°,可得NCAE=ABAD,然后证明AABD必ACE,

最后利用全等三角形的性质即可证明结论；

（2）根据等腰三角形的性质得到NC/E=[NONE=21。，根据全等三角形的性质可得到结论.

2

【解析】（1）证明：・・•将4。绕点A逆时针旋转42。，得到/E,

/.AD=AE,ZDAE=42°,

ZBAC=42°,

:・ABAC=ZDAE,

：.ABAD=ZCAE,

在△43。与A/CE中，

AB=AC

<ABAD=ZCAE,

AD=AE

：.^ABD^ACE(SAS'),

BD=CE.

(2)解：由(1)知：AD=AE,ZDAE=42°,

；DELAC,

：.ZCAE=-ZDAE=21°,

2

•：ABAD=NCAE,

：.ZBAD=21°.

17.如图(1),已知△/3C的面积为3,MAB=AC,现将△48C沿C4方向平移C4长度得到△£%.

（1）求△/8C所扫过的图形面积；

（2）试判断，/尸与8E的位置关系，并说明理由；

（3）若NBEC=15°,求NC的长.

【答案】（1）9；（2）BELAF,理由见解析；（3）26.

【分析】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S#E4=SABAF=SAABC,从而便可得到四边形CEFB

的面积；

（2）由已知可证得平行四边形EFA4为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到//与3E的位置关系

为垂直；

（3）作ADL/C于。，结合三角形的面积求解.

【解析】解：（1）由平移的性质得

AF//BC,J.AF=BC,AEFA汜AABC

二四边形/四。为平行四边形

SAEE4=S*AF=SAABC=3

(2)BELAF

证明：由(1)知四边形/ESC为平行四边形

J.BF//AC,1.BF=AC

又,：AE=CA

C.BF//AE且BF=AE

：.四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC

：.AB=AE

.•.平行四边形EEB/为菱形

：.BELAF-,

(3)如上图，作ADL4c于D

VZBEC=15°,AE=AB

，ZEBA=ZBEC=15°

：.ZBAC=2ZBEC=30°

：.在RSAD中，AB=2BD

谈BD=x,则NC=N8=2x

S^ABC=3,且SA/8C=；/C*BD=y,2x*x=x2

.*.x2=3

Vx为正数

'•X=y/3

：.AC=2y/3.

18.已知：点。是等腰直角三角形/2C斜边3c所在直线上一点(不与点8重合)，连接4D.

AAA

图1图2备用图

(1)如图1,当点。在线段2C上时，将线段4D绕点/逆时针方向旋转90。得到线段连接CE.直接写

出BD和CE数量关系和位置关系.

(2)如图2,当点。在线段8C延长线上时，将线段绕点N逆时针方向旋转90。得到线段4B,连接CE,

画出图形.(1)的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，说明理由.

【答案】(1)5。和CE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直，理由见详解；

(2)成立，理由见详解.

【分析】(1)由题意易得AB=AC,NBAC=ZDAE=90°,AD=AE,则有ABAD=ZCAE,然后可证△48。沿AACE,

进而问题可求解；

(2)如图，然后根据(1)中的证明过程可进行求解.

【解析】(1)解：BD_LCE且BD=CE,理由如下：

•••△N8C是等腰直角三角形，

：.AB=AC,ZBAC=90°,NABC=NACB=45°,

由旋转的性质可得：ZDAE=90°,AD=AE,

：.ZBAD+ZDAC=ZCAE+Z.DAC=90°,

/BAD=/CAE,

:.LABD咨LACE(SAS),

AZABD=ZACE=45°,BD=CE,

：.ZACE+ZACB=90°,即ZBCE=90°,

J.BDLCE-,

(2)解：(1)中结论仍成立，理由如下:

由题意可得如图所示：

图2

,/4ABC是等腰直角三角形,

：.AB=AC,ZBAC=90°,ZABC=ZACB=45°,

由旋转的性质可得：NDAE=90°,AD=AE,

：.ZBAC+ZDAC=ZEAD+ZDAC,

：.ZBAD=ZCAE,

:.△ABD咨ZXACE(SAS),

AZABD=ZACE=45°,BD=CE,

：.NACE+NACB=90°,即NBCE=90°,

：.BD±CE.

19.如图，在A48c中，Z5=45°,/C=60°，点£为线段/B的中点，点尸在边NC上，连结EF,沿E尸

将“EF折叠得到APEF.

A

八

(1)如图1,当点P落在BC上时，求//£尸的度数.

(2)如图2,当尸尸_L/C时，求ZBE尸的度数.

【答案】(1)90°；(2)60°

【分析】(1)证明BE=EP,可得NEPB=NB=45。解决问题.

(2)根据折叠的性质求出NAFE=45。，根据三角形内角和求出NBAC,从而得到NAEF和/PEF,再根据

平角的定义求出/BEP.

【解析】解：(1)如图1中，：折叠，

/.△AEF^APEF,

，AE=EP,

•.,点E是AB中点，即AE=EB,

；.BE=EP,

ZEPB=ZB=45°,

二ZPEB=90°,

.,.ZAEP=180°90°=90°.

(2)VPF±AC,

ZPFA=90°,

；沿EFWAAEF折叠得到APEF.

.,.△AEF^APEF,

ZAFE=ZPFE=45°,

VZB=45°,ZC=60°,

ZBAC=180°45o60o=75°,

ZAEF=ZPEF=180o75°45o=60°,

ZBEP=180o60°60o=60°.

20.如图1,AB=AC,EF=EG,4ABe会4EFG,于点Z),EHLFG于点、H.

(1)直接写出EW的数量关系：；

⑵将AEFG沿EX剪开，让点E和点C重合.

①按图2放置AEHG,将线段C。沿昉■平移至HV,连接/N、GN,求证：AN1GN；

②按图3放置AEHG,B、C(E)、a三点共线，连接NG交E〃于点若BD=1,40=3,求CM的长

度.

【答案】(1)4D=EH；(2)①见解析；②2

【分析】(1)利用全等三角形的性质即可解决问题；

(2)①设/CDN=a,证明N/ND=NHVG=45O3,即可解决问题；

2

②易证明可得CA/=QMZ)C=31=2.

【解析】(□•••△/^。/△瓦6，4Q_L8C于点。，EHLFG于点H,

：.AD=EH；

图2

由题意可知：AABDQ^ACDQAEFHQ^EGH,

CD=HG,AD=CH,/ADC=/CHG=9。。,

,:DC沿CH平移至HN,

:・DN=CH,DNUCH,DC=NH,

：.AD=DN,NH=GH,

：.ZDAN=ZDNA,ZHNG=ZHGN,

设/CDN=a,

YDC/NH,DNUCH,

：.ZCDN+ZDNH=ZDNH+ZCHN=180°,

AZDNH=180°-a,ZCDN=ACHN=a,

：.ZA7/G=90°+a,

a

：.ZAND=ZHNG=45°——,

2

・・・ZANG=ZDNH-ZAND-ZHNG=90°,

：.AN.LGN.

②解：如图3中,

图3

"：AC=GC,

：.ZCAG=ZCGA,

又,：4CAD=NGCH,

：.ACAG+ACAD=ZCGA+ZGCH,

即

又：ZADM=90°,

：.ZDAM=ZDMA=45°,

：.XD=DM=?>,

,:DC=BD=\,

：.CM=DM-DC=?>-\=2.

21.如图1,已知在必△48。中，ZACB=90°,ZA=30°,将口△/BC绕。点顺时针旋转a（0。<&<90。）

得到RtADCE

(1)当a=15。，则N/CE=°；

(2)如图2,过点C作CA/_LBF于作CN_LEP于N,求证：CF平分/BFE.

(3)求放△Z2C绕。点顺时针旋转，当旋转角a(0。<0(<9()。)为多少度时，△CFG为等腰三角形.

【答案】(1)15；(2)见解析；(3)40。或20°

【分析】(1)由旋转性质知：ZACE=ZDCB=a,求出//CE即可;

(2)由等面积法证明出CW=CN,再结合角平分线的判定，即可证CF平分NAFE；

(3)根据旋转性质得NBFD=/BCD=a,由CE平分/8汽£得NCFG=NCFB=-ZBFE=90-L夕,由//

22

为30。得44c尸=60。一,由//尸G=N8FD=a得/CG尸=30。+%再分CF=CG或CF=FG或CG=FG三

2

种情况讨论，求出a即可.

【解析】解：(1)由旋转性质，

得：ZACE=ZDCB=a=IS3,

故答案为：15；

(2)证明：由旋转性质，

得：/\ACB/AECD；

AB=DE,SABC=SEDC，

•：CM1BF,CN1EF,

：.-ABCM=-DE-CN,

22

CM=CN,

:・CF平分/BFE；

(3)VZACB=90°fZA=30°f

JZB=90°-ZA=60°f

由旋转性质，

得：/B=/D=6N,/BCD=a,

,//B+/BCD=/D+/BFD,

：.ZBFD=ZBCD=a,

JNAFG=ZBFD=a,

：.ZCGF=30°+a,NBFE=180。—NBFD=180。—a

由(2)知CF平分NBFE,

：.ZCFG=ZCFB=-ZBFE=9(T--a,

22

ZACF=ZCFB-ZA=60°—a,

2

①当CF=CG时，/CFG=NCGF,

90°—cc=30°+a,

2

解得：a=40。，

②当CF=FG时，ZFCG=ZCGF,

60°—a=30°+oc，

2

解得：a=20°,

③当CG=FG时，ZFCG=ZCFG,

：.90°--«=60°--a,

22

此方程无解，

综上所述，a=20。或40。时，△CFG为等腰三角形.

22.如图1,在口△/2C中，ZA=90°,AB=AC=y[i+\,点。，E分别在边48,AC±,且/。=/石=1,

连接。£现将△4DE绕点/顺时针方向旋转，旋转角为a,如图2,连接C£,BD,CD.

图1

⑴当0°<a<180°时，求证：CE=BD；

(2)如图3